王越 何聲清

【摘 要】 文章通過梳理近十余年數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域APOS理論的應(yīng)用研究，厘清核心議題、凝練有益經(jīng)驗。研究者對未來研究提出以下展望：從宏觀和微觀層面系統(tǒng)構(gòu)建數(shù)學(xué)概念的理解層級模型;系統(tǒng)開展教學(xué)循證實踐并形成標(biāo)準(zhǔn)化教學(xué)案例;系統(tǒng)研究本土化實踐面臨的問題并提出可行性方案。

【關(guān)鍵詞】 APOS理論;理解水平;概念教學(xué);學(xué)情分析

一、問題提出

“以學(xué)定教”是基礎(chǔ)教育階段數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計的基本準(zhǔn)則?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，數(shù)學(xué)教學(xué)要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和心理特征，使其逐步形成適應(yīng)終身發(fā)展所需要的核心素養(yǎng)[1]?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》提出，數(shù)學(xué)教學(xué)要關(guān)注數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展，通過制定科學(xué)合理的學(xué)業(yè)評價標(biāo)準(zhǔn)，促進學(xué)生在不同學(xué)習(xí)階段素養(yǎng)水平的達成[2]。

新課改后，盡管“以學(xué)定教”的理念已然受到教師的廣泛認(rèn)同，但在教學(xué)實踐中還存在難以有效落實的情況。有研究顯示，教師在分析學(xué)情時常常過于依賴教學(xué)經(jīng)驗，缺乏實證分析，難以對學(xué)習(xí)過程進行科學(xué)、深刻的描述與解釋，因而不利于教學(xué)的改進[3]。其中，一個根本問題是如何科學(xué)、深刻地描述和解釋學(xué)生的學(xué)習(xí)過程？對此，美國數(shù)學(xué)家杜賓斯基提出刻畫學(xué)生概念發(fā)展的APOS理論，認(rèn)為數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)要經(jīng)歷活動（Actions）、程序（Processes）、對象（Objects）、圖式（Schemas）四個階段[4]?！盎顒印彪A段是數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的起點，學(xué)生在該階段通過接觸感性材料、實施具體操作，獲得概念的初步印象。例如，給學(xué)生呈現(xiàn)一個函數(shù)公式，學(xué)生采用代入法計算某個給定點的函數(shù)值，初步獲得函數(shù)的概念。當(dāng)多次重復(fù)上述操作后，學(xué)生通過歸納、概括及反思在頭腦中形成內(nèi)化的“程序”。例如，學(xué)生通過嘗試計算不同點的函數(shù)值后，便認(rèn)識到“給定一個點就會得到相應(yīng)的值”。這一階段與上一階段的區(qū)別是學(xué)生不必再進行具體的活動（即計算），而是在頭腦中建立起“函數(shù)機”這樣的程序（即“程序性理解”），認(rèn)識到“函數(shù)表示的是一個‘輸入—輸出的程序”。當(dāng)認(rèn)識到可以將上述程序視作一個整體而進行研究或運算時，學(xué)生的理解就達到了“對象”階段。例如，學(xué)生建立起對函數(shù)的“對象性理解”后，就能夠把它視作一個“數(shù)學(xué)對象”，從而開始研究這個“數(shù)學(xué)對象”的性質(zhì)（例如單調(diào)性、奇偶性），并能對這個“數(shù)學(xué)對象”進行運算（例如復(fù)合運算、四則運算）。在達到“對象”階段后，學(xué)生基本能理解概念本身，但尚未建立該概念與已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中其他概念的聯(lián)系。當(dāng)學(xué)生經(jīng)過多次“活動”“程序”及“對象”的循環(huán)后，便能建立起對該概念更加系統(tǒng)的理解，即心理“圖式”。例如，學(xué)生在實現(xiàn)函數(shù)的“對象性理解”后，將該概念與方程、不等式等建立聯(lián)系，對該概念的理解就達到了“圖式”水平。

APOS理論對“以學(xué)定教”理念在教學(xué)實踐中的落地提供了一個標(biāo)準(zhǔn)化、可操作的理論框架，它刻畫了學(xué)生概念理解循序漸進、逐級抽象的基本過程。APOS理論自引進國內(nèi)后，學(xué)界對其開展了哪些應(yīng)用研究？是如何研究的？當(dāng)前研究取得哪些有益經(jīng)驗？筆者對近十余年APOS理論的應(yīng)用研究進行梳理，厘清核心議題、總結(jié)有益經(jīng)驗，為教學(xué)實踐中的學(xué)情分析、以學(xué)定教提供方法參考，為該領(lǐng)域未來研究的方向提出展望。

二、APOS理論應(yīng)用研究的核心議題及方法

（一）基于APOS理論刻畫概念理解水平

為了科學(xué)地回答“學(xué)生是如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的”[5]96，美國數(shù)學(xué)家杜賓斯基提出APOS理論的初衷是尋求一個刻畫概念理解水平的一般框架。從當(dāng)前應(yīng)用研究來看，基于APOS理論考察特定概念的理解水平是主流方向。

濮安山等基于APOS理論編制函數(shù)概念測評工具，考察了兩所學(xué)校高中生對函數(shù)概念的理解情況。結(jié)果顯示，學(xué)生在做“對象”水平的題目中正確率較低（最高僅為47.6%），他們對函數(shù)概念的理解大多停留在初步認(rèn)識、機械解題的水平。該研究還以APOS理論為標(biāo)準(zhǔn)比較了中美教材中函數(shù)概念編寫方式的差異，發(fā)現(xiàn)國內(nèi)教材在“活動”和“程序”階段設(shè)計較好，但針對“對象”階段的設(shè)計則較少[6]。秦德生基于APOS理論建立導(dǎo)數(shù)概念的理解層次模型，通過問卷調(diào)查等考察了東北地區(qū)高中與大學(xué)學(xué)生的理解水平。結(jié)果顯示，高三和大一年級學(xué)生對“瞬時變化率”的理解水平不存在顯著性差異（p=0.15），對“極限”形式化定義的理解水平存在顯著性差異（p<0.05）;大一和大四年級學(xué)生對“導(dǎo)數(shù)”形式化定義的理解水平存在顯著性差異（p<0.05）。鑒于以上結(jié)果，該研究建議：將導(dǎo)數(shù)內(nèi)容放到高中階段具備可行性;高中階段導(dǎo)數(shù)概念的教學(xué)尚不能建立在抽象的極限、連續(xù)概念之上，而應(yīng)該借助直觀的物理背景加以描述;導(dǎo)數(shù)形式化定義的理解需要建立在大學(xué)階段的長期教學(xué)之上[7]。熊丙章基于APOS理論建立算法理解的評價標(biāo)準(zhǔn)，通過問卷調(diào)查考察了高中生算法概念的理解水平。結(jié)果顯示，學(xué)生對算法結(jié)構(gòu)、算法語句的理解水平偏低，對于循環(huán)語句、條件語句的理解也不太理想。由此建議：算法內(nèi)容的設(shè)計應(yīng)借助實例將其轉(zhuǎn)化成計算機語言加以表述，教學(xué)應(yīng)以上機驗證學(xué)生的算法為主[8]。除基礎(chǔ)教育階段外，APOS理論在高等數(shù)學(xué)教學(xué)研究中的應(yīng)用也較廣泛[9-10]，在此不做贅述。

綜上所述，基于APOS理論刻畫概念理解水平的一般流程是：首先，基于APOS理論構(gòu)建特定概念的理解層級模型;其次，以該模型為依據(jù)編制測量工具;最后，基于測量工具開展調(diào)查研究，統(tǒng)計學(xué)生在各理解層級上的分布情況。

（二）基于APOS理論開展階段化教學(xué)

在回答“學(xué)生是如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的”之后，“制訂什么樣的教學(xué)計劃”就成為APOS理論關(guān)注的另一個問題[5]96。因此，基于APOS理論開展階段化教學(xué)是另一個主要研究方向。

張中發(fā)以數(shù)列概念為例，通過實驗研究考察了基于APOS理論的階段化教學(xué)對學(xué)生學(xué)業(yè)成績、問題解決能力及非認(rèn)知因素的影響。結(jié)果顯示，實驗班在學(xué)業(yè)成績和非認(rèn)知因素方面均顯著優(yōu)于對照班（p<0.05），在處理復(fù)雜問題時的表現(xiàn)也優(yōu)于對照班，而且題目越綜合、難度越大，上述差異就越明顯，這說明基于APOS理論的階段化教學(xué)能有效促進學(xué)生全面發(fā)展[11]。江春蓮等基于APOS理論設(shè)計了“二次函數(shù)圖象平移”的教學(xué)，采用動態(tài)幾何軟件作為教學(xué)輔助，通過準(zhǔn)實驗研究考察了該教學(xué)方式對于學(xué)生概念理解的影響。結(jié)果顯示：實驗組學(xué)生在二次函數(shù)圖象的平移、點的平移等任務(wù)上的表現(xiàn)均顯著優(yōu)于對照組。該研究還指出，基于APOS的教學(xué)設(shè)計還可以推廣到三角函數(shù)圖象變換的教學(xué)中，顯示了該理論在指導(dǎo)教學(xué)實踐方面的優(yōu)越性[12]。潘春娥等基于APOS理論設(shè)計了“指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)”的教學(xué)階段，采用皓駿（Hawgent）動態(tài)數(shù)學(xué)軟件作為教學(xué)輔助，引導(dǎo)學(xué)生先后經(jīng)歷了五個關(guān)鍵學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)。學(xué)習(xí)過程的設(shè)計適應(yīng)了學(xué)生的思維發(fā)展特征，因此學(xué)生不僅能夠收獲“魚”（知識和技能）和“漁”（思想和方法），還能獲得極大的“欲”（動機和興趣）[13]。張云輝等基于APOS理論設(shè)計了函數(shù)概念的起始課教學(xué)，構(gòu)建了創(chuàng)設(shè)情境“話”函數(shù)→實例分析“生”函數(shù)→剖析概念“辨”函數(shù)→經(jīng)歷實踐“用”函數(shù)→總結(jié)反思“悟”函數(shù)→感悟哲思“賞”函數(shù)的階段化教學(xué)流程，以初中階段的“變量說”觀點為暗線，以高中階段的“對應(yīng)說”觀點為明線，實現(xiàn)了函數(shù)概念教學(xué)的連貫性和整體性[14]。李彩紅等在分析學(xué)生對于“函數(shù)”概念理解困難的基礎(chǔ)上，融合APOS理論、多元表征理論及變式教學(xué)理論進行了階段化的教學(xué)設(shè)計，證實了APOS在促進學(xué)生概念學(xué)習(xí)方面的優(yōu)勢，指出階段化教學(xué)有助于學(xué)生深化概念理解，把握概念建構(gòu)的過程，有助于提升教學(xué)質(zhì)量和效果[15]。吳華等基于APOS理論設(shè)計了“導(dǎo)數(shù)”概念的教學(xué)階段，采用GeoGebra軟件作為教學(xué)輔助，引導(dǎo)學(xué)生先后經(jīng)歷了活動操作、主動探究、構(gòu)造概念及建立圖式四個學(xué)習(xí)階段，相繼實現(xiàn)了感悟平均速度、理解導(dǎo)數(shù)概念、掌握運算性質(zhì)及形成概念體系四個學(xué)習(xí)目標(biāo)[16]。8047C9C7-6FA2-4B4B-AD64-F7EF1998FAA6

綜上所述，基于APOS理論開展階段化教學(xué)的一般研究流程是：首先，基于APOS理論對特定概念的教學(xué)進行再設(shè)計;其次，根據(jù)該教學(xué)設(shè)計開展教學(xué)實驗和調(diào)查研究;最后，基于實驗數(shù)據(jù)、課堂記錄和課后訪談等，驗證上述階段化教學(xué)的有效性。

（三）基于APOS理論的教師知識研究

除上述兩個主要應(yīng)用方向的研究外，還有基于APOS理論開展教師知識方面的研究。例如，有研究基于APOS理論考察教師的學(xué)科知識水平。顧慶梅基于該理論考察了數(shù)學(xué)教師對“位值”等概念的理解水平。結(jié)果顯示，教師的數(shù)學(xué)本體知識大都處于中段的程序和對象水平，而達到圖式水平的教師比例較低。再如，在退位減法問題中，教師活動、程序、對象及圖式水平的比例分別為5%、45%、40%及10%;在兩位數(shù)乘兩位數(shù)問題中，上述四個水平的比例分別為5%、46.67%、40%及8.33%。研究指出：教師應(yīng)加強學(xué)科本體知識的學(xué)習(xí)，在教學(xué)活動中將學(xué)科本體知識與教學(xué)知識相結(jié)合[17]。又如，戴錫瑩基于該理論構(gòu)建了數(shù)學(xué)教師教育技術(shù)知識（TPMK）的結(jié)構(gòu)體系[18]。劉曉靜基于APOS理論，通過課堂觀察等方法考察了職初教師與專家型教師教學(xué)過程的差異及由此產(chǎn)生的影響。結(jié)果顯示，當(dāng)教師在程序、對象階段的教學(xué)差異較大，所教學(xué)生的學(xué)業(yè)成績也存在顯著性差異（p<0.05）[19]。由此可見，APOS理論可作為衡量教師本體知識、教學(xué)知識的參考框架。新課改后，教師對于“以學(xué)定教”理念大都是“高度贊同、低效落實”，原因在于其分析學(xué)情的方法不合理、教學(xué)過程的設(shè)計無依據(jù)。當(dāng)前，有關(guān)教師基于APOS理論（包括但不限于）開展階段化教學(xué)能力的研究相對較少，建議未來研究可對此展開更深入的探索。

三、APOS理論應(yīng)用研究的反思

綜上所述，已有研究顯示，APOS理論的本土化應(yīng)用對于數(shù)學(xué)的教與學(xué)產(chǎn)生了積極影響，基于該理論構(gòu)建的概念理解層級模型清晰地刻畫了學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，基于該理論構(gòu)建的階段化教學(xué)對數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成就、問題解決能力、非智力因素均有積極影響。除此之外，該理論在本土化過程中尚面臨諸多問題或挑戰(zhàn)。當(dāng)前研究對此有哪些有益經(jīng)驗？筆者對此進行了以下反思。

（一）情境是“活動”的手段而非目的

根據(jù)APOS理論，活動是概念學(xué)習(xí)的第一步，即接觸感性材料、實施具體操作，以獲得概念的初步印象。在該階段，為概念學(xué)習(xí)創(chuàng)設(shè)適切的現(xiàn)實情境尤其重要。但值得注意的是，創(chuàng)設(shè)情境是手段而非目標(biāo)，當(dāng)學(xué)生通過現(xiàn)實情境達到活動水平、初步感知數(shù)學(xué)后，應(yīng)引導(dǎo)他們往更高的理解水平發(fā)展，而不要在情境本身周旋過多。概念教學(xué)不可流于情境、不能陷于活動，否則容易顧此失彼。在概念教學(xué)過程中，創(chuàng)設(shè)情境是必要的，但應(yīng)注意量和度。相較之下，基于學(xué)生概念學(xué)習(xí)的層級模型設(shè)計階段化教學(xué)更為關(guān)鍵。

（二）“程序”階段具有不可跨越性

“程序”作為“活動”和“對象”的中間階段，既是對前一階段的內(nèi)化，又是后一階段的基礎(chǔ)。不經(jīng)由“程序”階段，學(xué)生難以通過“活動”直接實現(xiàn)概念的對象化。在實際教學(xué)中，若只依靠教師的快速抽象或替代體驗，會導(dǎo)致學(xué)生的學(xué)習(xí)過程不連貫、概念建構(gòu)不完整?；贏POS理論開展階段化教學(xué)應(yīng)讓學(xué)生在操作中感受知識的形成過程，幫助他們建構(gòu)新的知識結(jié)構(gòu)。學(xué)生將數(shù)學(xué)問題從現(xiàn)實情境中抽離出來后，還需親歷反思和內(nèi)化的階段，即擺脫外部操作的束縛，實現(xiàn)內(nèi)部的程序化理解。相應(yīng)地，教師在教學(xué)中需要引導(dǎo)學(xué)生自我反思，有意識地將操作經(jīng)驗內(nèi)化為心理程序。

（三）“對象”的建立不能一蹴而就

建立數(shù)學(xué)概念對象性理解需建立在反復(fù)操作、不斷內(nèi)化的基礎(chǔ)之上，其過程具有曲折性，因此不能一蹴而就。正是因為這樣的曲折性，學(xué)生往往會產(chǎn)生各種認(rèn)知偏差。在實際教學(xué)中，教師可以通過概念辨析糾正學(xué)生的認(rèn)知偏差，通過活動操作、程序內(nèi)化加深學(xué)生對知識的理解。

例如，在初步接觸函數(shù)的概念時，學(xué)生往往難以將定義與圖象建立聯(lián)系。因此，在遇到判斷圖形是否表示函數(shù)關(guān)系的問題時，有部分學(xué)生認(rèn)為：因為它們都無法用式子表示出來或者圖形沒有變化規(guī)律，所以不是函數(shù)。

例 如圖1，下列圖形是否表示y是x的函數(shù)？

根據(jù)函數(shù)的定義，對于每一個確定的x，都有唯一確定的y與之對應(yīng)，即任意的直線x=a與函數(shù)圖象都有一個交點。因此要判斷圖形是否表示函數(shù)關(guān)系，可作一條垂直于x軸的直線（x=a）并將其左右移動，若不論移動到任何位置，其與圖形都只有一個交點，那么這個圖形中的兩個變量就有函數(shù)關(guān)系。通過這樣的直觀操作，教師能幫助學(xué)生內(nèi)化概念，使學(xué)生進一步理解函數(shù)的概念。

（四）四個階段并非嚴(yán)格線性遞進

概念的對象性理解是程序性理解之后的更高水平，概念的圖式則是操作性理解（即“活動”水平）、程序性理解和對象性理解的綜合（即認(rèn)知結(jié)構(gòu)），但上述水平的關(guān)系并非嚴(yán)格線性遞進的。換言之，概念學(xué)習(xí)并非一定要經(jīng)歷完前面所有階段才能夠進入“圖式”階段。這是因為“圖式”階段的達成度不僅受前三個階段教學(xué)的影響，還受學(xué)生對其他相關(guān)概念理解水平的影響。因此，“圖式”水平一般是在較長一段時間內(nèi)逐步達成的，而前三階段的教學(xué)并非唯一的決定因素。在實際教學(xué)中，教師應(yīng)在遵循階段化教學(xué)的基礎(chǔ)上，加強學(xué)生對知識體系的認(rèn)識，幫助學(xué)生在頭腦中建立完整的心理圖式。

（五）劃分層級時應(yīng)關(guān)注群體差異

基于APOS理論構(gòu)建的理解層次模型在一定程度上揭示了特定概念的學(xué)習(xí)過程規(guī)律，但上述模型常常因忽視群體差異而指導(dǎo)作用有限。例如，盡管學(xué)生對某個概念的理解能夠達到“圖式”水平，但不同群體學(xué)生在該水平上的占比可能存在較大差異。究其原因，每個學(xué)生的知識基礎(chǔ)、生活經(jīng)驗、思維方式、學(xué)習(xí)能力等存在差異，這使得他們對特定概念的學(xué)習(xí)過程也會產(chǎn)生差異。例如學(xué)生對導(dǎo)數(shù)概念的理解存在性別差異，學(xué)生的算法能力在不同學(xué)校間存在差異[8-9]。由此可見，在揭示特定概念的理解層次模型后，教師需對不同群體進行更細(xì)致的研究，如此才能構(gòu)建既普適又具體、既宏觀又微觀的概念理解層次模型。8047C9C7-6FA2-4B4B-AD64-F7EF1998FAA6

四、未來研究展望

近十余年來，國內(nèi)數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域應(yīng)用APOS理論對概念理解、教學(xué)階段、教師知識方面開展的研究日漸增多，由此形成了三個鮮明的應(yīng)用方向。值得注意的是，當(dāng)前的應(yīng)用研究主要有兩個來源：一是碩士或者博士學(xué)位論文，二是一線教學(xué)案例。內(nèi)容選取還不夠全面、方法設(shè)計還不夠系統(tǒng)、實驗周期還不夠充分，尚未有專門從事該理論應(yīng)用研究的核心團隊。在學(xué)生認(rèn)知水平的測評方面，建議加強系統(tǒng)設(shè)計并開展調(diào)查研究;在課堂教學(xué)階段的設(shè)計方面，建議關(guān)注實踐檢驗并開展實驗研究;在教師知識研究方面，目前以碩士學(xué)位論文為主?；谝陨戏治觯P者對未來研究提出以下展望。

第一，宏觀的理解層級模型有助于教師整體把握教學(xué)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，微觀的理解層級模型則聚焦特定概念，是教師精準(zhǔn)診斷學(xué)情、設(shè)計階段教學(xué)的行動指南。對此，筆者建議從宏觀和微觀層面系統(tǒng)構(gòu)建數(shù)學(xué)概念的理解層級模型，既揭示特定概念學(xué)習(xí)的一般規(guī)律，又具體刻畫特定群體的學(xué)習(xí)特征。

第二，當(dāng)前有關(guān)應(yīng)用APOS開展的案例設(shè)計和教學(xué)實施雖多，但對其實踐效果進行實驗驗證鮮有研究，基于實驗驗證對案例設(shè)計進行優(yōu)化更鮮有研究。筆者建議應(yīng)系統(tǒng)開展基于APOS理論的階段化教學(xué)循證實踐，形成一系列標(biāo)準(zhǔn)化、可操作、可推廣的教學(xué)案例。

第三，根據(jù)已有研究的內(nèi)容，APOS理論在本土化實踐過程中有出現(xiàn)“水土不服”的情況。為此，筆者建議應(yīng)系統(tǒng)研究該理論本土化實踐過程中面臨的問題，提出階段化教學(xué)模式的可行性方案。

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【作者簡介】王越，上海師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院在讀碩士研究生;何聲清，上海師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院講師，碩士生導(dǎo)師，主要從事數(shù)學(xué)教育研究。

【基金項目】上海市浦江人才計劃項目（2019PJC079）8047C9C7-6FA2-4B4B-AD64-F7EF1998FAA6