趙千惠 張維忠

【摘 要】隨著全球教育格局的變革，對(duì)學(xué)生綜合素養(yǎng)的發(fā)展提出了日趨迫切的訴求，培養(yǎng)學(xué)生的跨界思維已成為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)改革的時(shí)代命題。文章立足STEAM理念的視角，以“曲線縫合：以‘直造‘曲”為例，對(duì)初中數(shù)學(xué)拓展課教學(xué)進(jìn)行探究，旨在達(dá)成數(shù)學(xué)、藝術(shù)、技術(shù)等學(xué)科的交互融合。

【關(guān)鍵詞】STEAM理念;跨學(xué)科;數(shù)學(xué)拓展課;曲線縫合

STEAM教育是集科學(xué)（Science）、技術(shù)（Technology）、工程（Engineering）、藝術(shù)（Arts）、數(shù)學(xué)（Mathematics）于一體的有機(jī)結(jié)合體，強(qiáng)調(diào)多學(xué)科的交叉融合，而非五門學(xué)科的簡(jiǎn)單疊加拼接，被寄予了打破傳統(tǒng)教育制度框架、促進(jìn)綜合創(chuàng)新型人才培養(yǎng)的厚望，一躍成為風(fēng)靡全球的教育新范式[1]。我國(guó)最新頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》也十分注重?cái)?shù)學(xué)課堂中跨學(xué)科教學(xué)的目標(biāo)導(dǎo)向，明確指出以跨學(xué)科項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的方式，整合數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的知識(shí)和思想方法，從數(shù)學(xué)的角度觀察與分析、思考與表達(dá)、解決與闡述社會(huì)生活以及科學(xué)與技術(shù)中遇到的實(shí)際問題[2]。由此可見，跨學(xué)科融合已成為當(dāng)下數(shù)學(xué)教育一個(gè)重要的改革風(fēng)向標(biāo)，值得為之進(jìn)行積極有效的探索和大膽的教學(xué)嘗試。事實(shí)上，現(xiàn)有的實(shí)際教學(xué)實(shí)施與呈現(xiàn)效果并不盡如人意。本應(yīng)指向培養(yǎng)跨界思維、解決真實(shí)情境問題能力等的初中數(shù)學(xué)拓展課卻在設(shè)計(jì)與實(shí)施的過程中暴露出綜合性與實(shí)踐性不足、關(guān)聯(lián)學(xué)科較為局限等缺漏[3]。因此，借助STEAM理念來優(yōu)化現(xiàn)有的初中數(shù)學(xué)拓展課顯得尤為重要，亦可延續(xù)二者的協(xié)同增效之路，鞏固相輔相成的優(yōu)勢(shì)聯(lián)動(dòng)關(guān)系。

一、STEAM理念下的數(shù)學(xué)拓展課教學(xué)

數(shù)學(xué)拓展課和STEAM理念在目標(biāo)導(dǎo)向上具有一致性，二者具備堅(jiān)實(shí)穩(wěn)固且延續(xù)不斷的契合關(guān)系。一方面，STEAM理念能為數(shù)學(xué)拓展課的設(shè)計(jì)與開發(fā)提供豐富的內(nèi)容基礎(chǔ)，另一方面，數(shù)學(xué)拓展課也能為STEAM理念的落地生根提供牢固抓手。其實(shí)，數(shù)學(xué)拓展課教學(xué)以STEAM理念作為促進(jìn)策略，本質(zhì)上是一種具體化、深入化的數(shù)學(xué)拓展課教與學(xué)的新形式，旨在通過STEAM理念的落實(shí)來凸顯數(shù)學(xué)拓展課教學(xué)的特征，進(jìn)而打造跨學(xué)科性、問題性、綜合性、實(shí)踐性、現(xiàn)實(shí)性及過程性濃郁的數(shù)學(xué)拓展課堂。毫無疑問的是，立足于STEAM理念實(shí)施數(shù)學(xué)拓展課無疑是對(duì)師生教與學(xué)的開展提出了更高的要求。在保留傳統(tǒng)數(shù)學(xué)拓展課教學(xué)模式以確保其普適性的前提下，不僅需要從宏觀層面上設(shè)置切合實(shí)際、具體可操作的數(shù)學(xué)拓展課教學(xué)環(huán)節(jié)，在教學(xué)明線上堅(jiān)守教學(xué)目標(biāo)和教育初衷，更需要依托真實(shí)情境問題解決過程中的具象表征形態(tài)、內(nèi)在認(rèn)知水平的發(fā)展及數(shù)學(xué)化活動(dòng)設(shè)計(jì)過程等暗線要素，在微觀層面上做出相應(yīng)調(diào)整，思考如何在學(xué)習(xí)者、教學(xué)者雙主體的角色轉(zhuǎn)換間抓住真實(shí)問題并得以解決，實(shí)現(xiàn)綜合素養(yǎng)的提升。

基于此，整合斯海霞[4]、張國(guó)祥[5]等學(xué)者的研究以及TIMSS 2019數(shù)學(xué)測(cè)評(píng)框架從認(rèn)知要求角度對(duì)數(shù)學(xué)問題解決能力的三水平劃分[6]，指出STEAM理念下的數(shù)學(xué)拓展課需包含以下四個(gè)關(guān)鍵的教學(xué)階段。1.激活階段。即問題情境信息與數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中“相似塊”的耦合、鏈接和活化階段，要求師生作為情境共同體，需從復(fù)雜現(xiàn)實(shí)中抽絲剝繭，擇出關(guān)鍵數(shù)學(xué)信息，對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)化的情境層次（與問題情境息息相關(guān)，針對(duì)某一專題范疇，促使脈絡(luò)化知識(shí)及策略在情境中得以運(yùn)用）。在激活階段，學(xué)生會(huì)經(jīng)歷識(shí)別、檢索、測(cè)量等思維程序，其真實(shí)情境問題解決能力處于“知道”水平。2.尋求階段。即結(jié)合已知條件信息，利用已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)去尋求合適的問題解決方案或途徑，鏈接數(shù)學(xué)化的指涉層次（利用指涉問題所衍生情境的具體數(shù)學(xué)模型取代特定的數(shù)學(xué)對(duì)象）和普遍層次。在尋求階段，學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展將覆蓋決定、表征、實(shí)施等層次，整體處于“應(yīng)用”水平。3.重組階段?？简?yàn)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)及善于將結(jié)果用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表述的能力，并得到初步結(jié)論，與數(shù)學(xué)化的形式層次（數(shù)學(xué)對(duì)象已引用至規(guī)范化的步驟和符號(hào)范疇內(nèi)，允許學(xué)習(xí)者進(jìn)行純粹思維活動(dòng)）相互關(guān)聯(lián)。4.評(píng)價(jià)階段。不僅包含對(duì)真實(shí)情境問題解決方案的合理性評(píng)估及改進(jìn)思路，也囊括對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)過程及最終展示成果的多方位定量兼定性評(píng)價(jià)。此階段映射至數(shù)學(xué)化的應(yīng)用層次，即終究回歸現(xiàn)實(shí)，保持和內(nèi)化有效的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、策略及方案，投入到更為廣泛的應(yīng)用情境中。在重組階段和評(píng)價(jià)階段，分析、整合、評(píng)估、一般化等高階的認(rèn)知層次將自始貫徹，學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展達(dá)到“推理”水平。

值得注意的是，為了打破數(shù)學(xué)學(xué)科長(zhǎng)期被冠以“封閉有余、開放不足、習(xí)慣固守邊界以維護(hù)所謂的學(xué)科‘純粹”的刻板印象，裨補(bǔ)人文因素的式微，STEAM理念視角下的數(shù)學(xué)拓展課堂應(yīng)在保證凸顯數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)的前提條件下，適時(shí)推倒關(guān)聯(lián)學(xué)科的“局限墻”，合理融入人文藝術(shù)的元素。其包含兩方面的含義：一是以歷史、語言、社會(huì)學(xué)等內(nèi)容作為情境要素，對(duì)學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備進(jìn)行擴(kuò)容;二是通過創(chuàng)意展示、藝術(shù)表達(dá)、審美鑒賞等方式，考查學(xué)生將內(nèi)在想法傳達(dá)給外部世界的“舞臺(tái)”張力與渲染力，以及對(duì)外部形象和美的感知、鑒賞與評(píng)價(jià)能力，亦可作為多維評(píng)價(jià)的有力參考指標(biāo)之一，實(shí)現(xiàn)STEAM教育在價(jià)值觀上從“識(shí)知”到“育人”的突破。

因此，本文立足于STEAM理念的視角，基于上述設(shè)計(jì)理念，以“曲線縫合：以‘直造‘曲”為例，對(duì)初中數(shù)學(xué)拓展課教學(xué)進(jìn)行研究探討（此節(jié)拓展課可設(shè)置在“二次函數(shù)”章節(jié)之后，授課對(duì)象為九年級(jí)學(xué)生）。旨在實(shí)現(xiàn)如下教學(xué)目標(biāo)的同時(shí)進(jìn)行相關(guān)拓展性討論：利用GeoGebra等幾何畫圖軟件或代數(shù)方法求得直角坐標(biāo)系內(nèi)“曲線縫合”圖形中的曲線方程，提升學(xué)生的運(yùn)算能力，感悟技術(shù)在數(shù)學(xué)發(fā)展中的不可或缺性;根據(jù)“曲線縫合”圖形所蘊(yùn)含的規(guī)律，總結(jié)歸納出“用直線創(chuàng)造曲線”的一般作圖流程，讓學(xué)生體會(huì)由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法;欣賞并創(chuàng)造“曲線縫合”藝術(shù)作品，領(lǐng)略數(shù)學(xué)的審美價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值;創(chuàng)意展示，藝術(shù)表達(dá)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光欣賞美，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考問題，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言統(tǒng)一、簡(jiǎn)約地表達(dá)和諧美。

二、“曲線縫合：以‘直造‘曲”教學(xué)設(shè)計(jì)E9ED0054-F5F4-4A35-8EF5-70E6320CD2FC

（一）激活階段

環(huán)節(jié)1：引入情境，探測(cè)信息

師生活動(dòng)：教師讓學(xué)生簡(jiǎn)單地回憶已學(xué)二次函數(shù)的性質(zhì)、圖象等相關(guān)內(nèi)容。隨后，教師提問激疑，啟發(fā)學(xué)生思考拋物線和直線這兩種平面圖形之間的關(guān)系，激發(fā)學(xué)生的求知欲望。

問題1：請(qǐng)同學(xué)們回憶自己踢足球的經(jīng)歷或者觀看球賽的場(chǎng)景，如圖1，GA表示A方球門，PB表示預(yù)設(shè)將球S一腳射入對(duì)方球門的B方運(yùn)動(dòng)員，PA表示試圖攔截球S的A方運(yùn)動(dòng)員[7]。

（教師用PPT動(dòng)態(tài)演示，明確3個(gè)起始位置。）

問題1-1：當(dāng)PA第一眼看到球S時(shí)，他最希望做什么？（在PB處截下球S）

師生活動(dòng)：連接PAPB（S）以此代表PA最初的想法，并確定球S和PA在每一時(shí)間單位內(nèi)運(yùn)動(dòng)的恒定距離，分別為S→S1和PA→PA1，以此類推。

問題1-2：球S的最終歸宿是在尚未被PA攔截之前順利抵達(dá)GA[連接PB（S）GA]。但是，當(dāng)球S滾動(dòng)到S1處，PA運(yùn)動(dòng)到PA1處時(shí)，此時(shí)運(yùn)動(dòng)員仍然會(huì)按照原來的路徑繼續(xù)運(yùn)動(dòng)嗎？他是否會(huì)改變自己的想法，即改變追及方向？請(qǐng)通過作圖對(duì)此運(yùn)動(dòng)過程進(jìn)行分析。[當(dāng)球從S滾動(dòng)到S1時(shí)，運(yùn)動(dòng)員沿著代表最初想法的PAPB（S）軌跡從PA運(yùn)動(dòng)到PA1，但此時(shí)他看到球已不再位于PB（S），而是位于S1，于是他改變了想法，即順著PA1S1軌跡運(yùn)動(dòng)，希望在S1處實(shí)施攔截，以此類推]

師生活動(dòng)：師生共同作圖分析整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程，指出球S的預(yù)期和實(shí)際軌跡始終保持一致，而PA卻不盡然。其中，PA1S1，PA2S2，PA3S3…代表PA的內(nèi)心想法，PAPA1PA2PA3…則代表其實(shí)際發(fā)生的行為軌跡，二者均被球的實(shí)時(shí)定位所牽引、修改。

【設(shè)計(jì)意圖】以學(xué)生熟悉的踢足球情境引入，拋開以往情境中“只研究理想狀態(tài)下的情況”的常規(guī)思路，立足于現(xiàn)實(shí)的人和物運(yùn)動(dòng)的視角剖析運(yùn)動(dòng)員及足球的移動(dòng)路徑問題，通過對(duì)比、描摹運(yùn)動(dòng)員PA的內(nèi)心預(yù)期路線和實(shí)際行動(dòng)軌跡，最大限度地引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生接續(xù)學(xué)習(xí)的熱情。同時(shí)，以PPT動(dòng)態(tài)演示運(yùn)動(dòng)情境的發(fā)生全過程，直觀、清晰地還原曲線產(chǎn)生的畫面，凸顯真實(shí)問題情境的說服力和震撼力。

環(huán)節(jié)2：有序檢索，識(shí)別問題

問題1-3：PA1S1，PA2S2，PA3S3…是什么類型的線？PA，PA1，PA2，PA3…構(gòu)成了什么類型的線？

問題1-4：你認(rèn)為是什么元素直接促使PA創(chuàng)造出這個(gè)曲線運(yùn)動(dòng)軌跡？

師生活動(dòng)：教師展示圖片，為學(xué)生介紹曲線縫合（Curve Stitching）藝術(shù)，讓直線和曲線這兩個(gè)看似毫無關(guān)聯(lián)的平面圖形產(chǎn)生碰撞，扭轉(zhuǎn)“不可能事件”的局面——“用直線創(chuàng)造出曲線”。

曲線縫合的藝術(shù)最早可以追溯到1904年，英國(guó)人Mary Everest Boole發(fā)明了這種采用直線段表現(xiàn)曲線的藝術(shù)形式。她采用針線和紙板進(jìn)行曲線的縫合，獲得許多優(yōu)美圖案。曲線縫合藝術(shù)極具感染力，是一種能給人以曲線錯(cuò)覺的工藝，深受藝術(shù)家的喜愛，在世界各國(guó)的雕塑、工藝品等藝術(shù)作品中被廣泛使用。譬如，Eli Hess用繩索和樹木創(chuàng)作了拋物線;Cory Poole巧用正多邊形的對(duì)稱性得到由拋物線組成的星形，并用鉛筆實(shí)現(xiàn)了向三維空間的躍升。同時(shí)，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，這種曲線縫合的藝術(shù)也開始以計(jì)算機(jī)編程的方式出現(xiàn)在大眾視野。譬如，美國(guó)賓夕法尼亞州計(jì)算機(jī)藝術(shù)家Lionel Deimel創(chuàng)作了大量的曲線縫合藝術(shù)作品（如圖2）。

【設(shè)計(jì)意圖】從環(huán)節(jié)1的真實(shí)情境中，學(xué)生已初步承認(rèn)直線“似乎”確實(shí)可以創(chuàng)造出曲線的事實(shí)。教師順勢(shì)對(duì)“曲線縫合”的相關(guān)背景知識(shí)進(jìn)行介紹，讓學(xué)生體悟數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值，點(diǎn)明主題。但此處并不是和盤托出，而是埋下伏筆，引發(fā)學(xué)生想要驗(yàn)證“以直造曲”的強(qiáng)烈欲望。

（二）尋求階段

環(huán)節(jié)3：集思廣益，工程設(shè)計(jì)

問題2：我們是否也能借助直線創(chuàng)造出曲線呢？請(qǐng)給出具體的實(shí)施方案。

師生活動(dòng)：小組合作與師生交流并行，提出、修改并最終確定整體方案。

（1）觀察已有的曲線縫合圖片，利用直線、線性方程等內(nèi)容所涉及的相關(guān)代數(shù)方法及技術(shù)手段確定其是否為曲線（或近似于曲線），并得到其曲線方程。

（2）結(jié)合步驟（1）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，總結(jié)歸納出“用直線創(chuàng)造曲線”的一般作圖流程。

（3）運(yùn)用發(fā)散思維，利用紙筆、GGB軟件、織物或電腦編程等方式創(chuàng)造曲線。

【設(shè)計(jì)意圖】STEAM理念所倡導(dǎo)的工程設(shè)計(jì)思維有助于全局觀念的發(fā)展，旨在讓學(xué)生從確定情境問題需求出發(fā)，構(gòu)思最佳的實(shí)施方案，其中不乏包括考量技術(shù)設(shè)備利弊、選擇最優(yōu)化使用工具、小組任務(wù)分配等，從而進(jìn)一步指導(dǎo)計(jì)劃的落實(shí)，推動(dòng)最終成品的產(chǎn)出。

環(huán)節(jié)4：協(xié)作實(shí)施，技術(shù)制作

（1）以圖3為例，學(xué)生首先通過直線上已知兩點(diǎn)坐標(biāo)得出每條直線的斜截式，發(fā)現(xiàn)10條直線表達(dá)式之間存在高度對(duì)稱性[8]348-357。

在確定了10條直線的函數(shù)表達(dá)式之后，學(xué)生借助GGB軟件或利用紙筆求解9個(gè)線性方程組，確定每相鄰兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)。在此過程中，學(xué)生可以充分發(fā)揮GGB軟件在畫圖、計(jì)算等方面的優(yōu)勢(shì)，直觀、精準(zhǔn)地繪制出每條直線并標(biāo)注出9個(gè)交點(diǎn)（見表1），其中點(diǎn)P1表示直線l1和直線l2的交點(diǎn)，點(diǎn)P2表示直線l2和直線l3的交點(diǎn)，依次類推。

更進(jìn)一步，學(xué)生可以嘗試證明直線交點(diǎn)是否落在曲線上，并利用P1～P9共計(jì)9個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)得出曲線的表達(dá)式。根據(jù)已有二次函數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)可知，這些點(diǎn)看似是位于拋物線上或者落在其附近，即意味著可利用二次函數(shù)的一般表達(dá)式對(duì)其實(shí)施模型的建構(gòu)。在此過程中，教師施以支架式引導(dǎo)，支持學(xué)生主動(dòng)借助GGB軟件去挖掘“整體接近程度”的內(nèi)涵，尋求“整體最接近”9個(gè)交點(diǎn)的拋物線，利用“雙變量回歸分析”功能建立多項(xiàng)式回歸模型，得到一元二次函數(shù)y=ax2+bx+c，其中a≈-0.04545，b=0，c≈-5.45455（實(shí)際也可得精確值a=-[122]，b=0，c=-[6011]），誤差平方和為0，整體擬合效果好，即認(rèn)定9個(gè)點(diǎn)均落在二次函數(shù)的曲線圖象上，函數(shù)表達(dá)式為y=-[122]x2-[6011]。E9ED0054-F5F4-4A35-8EF5-70E6320CD2FC

（2）經(jīng)由步驟（1）的探究，總結(jié)歸納出“用直線創(chuàng)造曲線”的一般作圖流程（如圖4）。

①建立直角坐標(biāo)系，確定橫、縱坐標(biāo)軸的等值間距;

②用直線將橫軸上距離原點(diǎn)最近的點(diǎn)和縱軸上距離原點(diǎn)最遠(yuǎn)的點(diǎn)連接起來，譬如x軸上的1和y軸上的20;

③用直線將橫軸上距離原點(diǎn)第二近的點(diǎn)和縱軸上距離原點(diǎn)第二遠(yuǎn)的點(diǎn)連接起來，譬如x軸上的2和y軸上的19;

④重復(fù)上述操作，始終確保xi+yj=21（i=1，2，3…20;j=20，19，18…1），即可得到曲線（實(shí)則為近似曲線，隨著直線數(shù)量的增加，拼接所得的圖形看起來會(huì)越來越像一條平滑的曲線）。

（3）延伸拓展，發(fā)散思維，打破直角坐標(biāo)系的禁錮，同時(shí)借助多種媒介創(chuàng)造曲線[9]。

①反向延長(zhǎng)橫、縱坐標(biāo)軸，使拋物線向外繼續(xù)延展;

②改變兩軸的夾角度數(shù)，形成“非直角坐標(biāo)系”，制作開口更大或開口更小的拋物線;

③在正三角形、正方形等多邊形內(nèi)部創(chuàng)建曲線，構(gòu)建美妙圖案;

④使用直線和圓創(chuàng)建同心圓、橢圓、心形圖案等;

⑤除了傳統(tǒng)的紙筆，還可借助織物、繪圖軟件、電腦編程以及其他實(shí)物等媒介制作更多藝術(shù)作品;

……

【設(shè)計(jì)意圖】在此教學(xué)階段，學(xué)生完成了數(shù)學(xué)化活動(dòng)從現(xiàn)實(shí)向數(shù)學(xué)化的轉(zhuǎn)變，譬如，將視覺上的曲線進(jìn)行了精細(xì)的量化處理，即探索了同組直線之間存在的數(shù)量及位置關(guān)系，試圖確定曲線的方程;歸納出“用直線創(chuàng)造曲線”的一般作圖流程等。學(xué)生在參與、體驗(yàn)課堂的過程中收獲合作交流、共情通感的能力，駕馭復(fù)雜信息，輸出思維模式的最終產(chǎn)物（這既可以指富有外在具象的實(shí)體作品，也可以是理論上的觀念作品）。步驟（3）中設(shè)計(jì)創(chuàng)意作品是獲得學(xué)習(xí)成就感的重要方式，也是維持和激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)、保持學(xué)習(xí)好奇心的重要途徑。在這個(gè)過程中，學(xué)生的工程設(shè)計(jì)思維及技術(shù)制作能力均受到了一定挑戰(zhàn)。

（三）重組階段

環(huán)節(jié)5：歸納梳理，整理成果

師生活動(dòng)：此階段給予學(xué)生適當(dāng)?shù)恼n堂緩沖時(shí)間，平息小組“協(xié)作實(shí)施，技術(shù)制作”環(huán)節(jié)帶來的興奮感。學(xué)生整理所得成果，確定以何種方式介紹本小組作品的設(shè)計(jì)理念和藝術(shù)價(jià)值。同時(shí)，理性梳理本節(jié)課的整體學(xué)習(xí)思路，思考獲得何種學(xué)習(xí)啟示，這亦是下一教學(xué)環(huán)節(jié)的重要內(nèi)容。

【設(shè)計(jì)意圖】梳理、歸納上述環(huán)節(jié)產(chǎn)生的成果，讓數(shù)學(xué)化活動(dòng)實(shí)現(xiàn)由數(shù)學(xué)化到形式化的轉(zhuǎn)變，允許學(xué)生對(duì)所得成果及過程中習(xí)得的感悟進(jìn)行純粹的思維活動(dòng)，并思考如何用數(shù)學(xué)語言加以闡述。

（四）評(píng)價(jià)階段

環(huán)節(jié)6：創(chuàng)意展示，藝術(shù)表達(dá)

師生活動(dòng)：學(xué)生選擇各異的藝術(shù)形式，針對(duì)數(shù)學(xué)思想觀點(diǎn)、創(chuàng)意想法、方案策劃以及最終成果的實(shí)用性與外觀、價(jià)值與功能等方面進(jìn)行匯報(bào)與展示。同時(shí)交流自己本節(jié)課的學(xué)習(xí)心得與體會(huì)，譬如對(duì)于如何利用直線交點(diǎn)確定曲線表達(dá)式等發(fā)表自己的觀點(diǎn)。

【設(shè)計(jì)意圖】此環(huán)節(jié)不僅考查學(xué)生對(duì)外部形象和美的感知水平，也旨在發(fā)展學(xué)生對(duì)藝術(shù)表征的鑒賞與評(píng)價(jià)能力，即學(xué)會(huì)傾聽他組匯報(bào)，并進(jìn)行對(duì)比分析，以此取長(zhǎng)補(bǔ)短。評(píng)價(jià)階段的數(shù)學(xué)化活動(dòng)實(shí)現(xiàn)了從形式化向現(xiàn)實(shí)的復(fù)歸。

環(huán)節(jié)7：優(yōu)化改進(jìn)，延伸思考

拓展思考1：除了利用GGB軟件，是否還有其他方法可以證明這些點(diǎn)落在拋物線上，并得到環(huán)節(jié)4步驟（1）中的二次函數(shù)表達(dá)式？[8]348-357（以次數(shù)較低、計(jì)算更為簡(jiǎn)便的一次函數(shù)入手進(jìn)行規(guī)律探究，得到初步結(jié)論，再將其類比到二次函數(shù)，以此降低思維難度，更能被學(xué)生接受）

規(guī)律1：對(duì)于落在一次函數(shù)y=kx+b（k，b都是常數(shù)，且k≠0）圖象上的一些點(diǎn)，其橫軸坐標(biāo)間隔相等，則其縱軸坐標(biāo)的差值為一個(gè)相等的恒定常數(shù)，反之亦然（見表2），其中y1′表示y1與y2的差值，y2′表示y2與y3的差值，依次類推。

類比思考：在二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）中是否也存在此規(guī)律，能夠假以幫助我們求得已知拋物線的表達(dá)式呢？

規(guī)律2：對(duì)于落在二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）圖象上的一些點(diǎn)，其橫軸坐標(biāo)間隔相等，則其縱軸坐標(biāo)二次相減后得到的差值為一個(gè)相等的恒定常數(shù)，反之亦然（見表3），其中y1′表示y1與y2的差值，y2′表示y2與y3的差值，依次類推;y1″表示y1′與y2′的差值，y2″表示y2′與y3′的差值，依次類推。下同，不再贅述。

反過來，便可利用此性質(zhì)證明環(huán)節(jié)4步驟（1）中的交點(diǎn)落在拋物線上，并得到二次函數(shù)表達(dá)式。若對(duì)一些橫軸坐標(biāo)間隔相等的點(diǎn)的縱坐標(biāo)進(jìn)行二次作差得到恒等的常數(shù)，即可說明這些點(diǎn)落在二次函數(shù)圖象上。

分析表4數(shù)據(jù)可知，交點(diǎn)縱坐標(biāo)二次作差后的數(shù)值yi″（i=1，2，3…7）恒等于-[411]，故根據(jù)規(guī)律2即可推斷這9個(gè)點(diǎn)均落在二次函數(shù)上。其次，比較表3和表4易知，2am2=-[411（]m=2），解得a=-[122]，且由于曲線過點(diǎn)[0，-6011]，說明c=-[6011]，再帶入任一點(diǎn)坐標(biāo)亦可得b=0，即求得該二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-[122]x2-[6011]。多重方法的比對(duì)，不僅使學(xué)生感知到技術(shù)軟件的力量，還可以實(shí)現(xiàn)學(xué)生思維的多向度發(fā)展。

拓展思考2：曲線與直線的碰撞充分展示了幾何圖形組合后產(chǎn)生的奇妙反應(yīng)，體驗(yàn)了一場(chǎng)幾何與視覺的魔術(shù)盛宴。數(shù)學(xué)中是否還存在其他有趣的幾何圖案呢？請(qǐng)查閱相關(guān)資料。

【設(shè)計(jì)意圖】富有彈性和開放性的拓展問題能幫助學(xué)生有效緩解思維定式的困擾，教師可提供多種截然不同的拓展思考方向，讓學(xué)生進(jìn)一步展開探究。同時(shí)，教師也需注重激發(fā)學(xué)生主動(dòng)提出新問題的積極性，讓學(xué)生搜集相關(guān)資料，實(shí)施后續(xù)自主研究。

環(huán)節(jié)8：多元主體，多維評(píng)價(jià)

師生活動(dòng)：要求通過多元評(píng)價(jià)主體、形成性評(píng)價(jià)、面向?qū)W習(xí)過程的評(píng)價(jià)，由學(xué)生本人、同伴、教師對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)過程的態(tài)度、興趣、參與程度、任務(wù)完成情況以及學(xué)習(xí)過程中形成的作品等進(jìn)行多方位質(zhì)性及量化評(píng)估。E9ED0054-F5F4-4A35-8EF5-70E6320CD2FC

【設(shè)計(jì)意圖】就STEAM理念視角下的數(shù)學(xué)拓展課堂而言，其評(píng)價(jià)重點(diǎn)關(guān)注的是學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展的長(zhǎng)遠(yuǎn)目標(biāo)，強(qiáng)調(diào)激發(fā)興趣、激勵(lì)參與、促進(jìn)發(fā)展、總結(jié)經(jīng)驗(yàn)、改進(jìn)活動(dòng)設(shè)計(jì)等學(xué)習(xí)活動(dòng)過程的多維、多元、多樣評(píng)價(jià)。

三、結(jié)語

STEAM理念下的數(shù)學(xué)拓展課教學(xué)以跨學(xué)科作為其核心特征，在與外部環(huán)境充分交融互動(dòng)的過程中，學(xué)生能最大限度地發(fā)揮主觀能動(dòng)性，敏銳辨識(shí)、透視知識(shí)在不同屬性下所具有的各異表征，創(chuàng)造性地內(nèi)化并產(chǎn)出情境化的知識(shí)內(nèi)涵，提升靈活遷移運(yùn)用的綜合素養(yǎng)，習(xí)得社會(huì)性成長(zhǎng)。挖掘“曲線縫合：以‘直造‘曲”的數(shù)學(xué)教學(xué)意義并以此作為教學(xué)主題，圍繞數(shù)學(xué)學(xué)科，向內(nèi)澆筑藝術(shù)、技術(shù)等其他學(xué)科領(lǐng)域的相關(guān)知識(shí)，將核心問題“如何借助直線創(chuàng)造出曲線？”轉(zhuǎn)化為一系列高投入的實(shí)踐探索，從而達(dá)到對(duì)知識(shí)的意義建構(gòu)和深層次理解?？v觀整個(gè)教學(xué)過程，學(xué)生并不是在教師提供的確定思路和要求下按圖索驥，而是被給予了能充分發(fā)揮自主性、創(chuàng)造性的學(xué)習(xí)空間，同時(shí)也有力印證了STEAM理念是一劑優(yōu)化數(shù)學(xué)拓展課的良藥。

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【作者簡(jiǎn)介】趙千惠，浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院在讀碩士研究生，主要研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)課程與教學(xué)論;張維忠，博士，浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院教授，博士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)課程與教學(xué)論。

【基金項(xiàng)目】2021年浙江省教育廳科研項(xiàng)目“基于STEAM教育理念的初中數(shù)學(xué)拓展課教學(xué)研究”（Y202147153）E9ED0054-F5F4-4A35-8EF5-70E6320CD2FC