【摘 要】把數(shù)學(xué)解題教學(xué)簡(jiǎn)單地等同于解題，把教學(xué)過程簡(jiǎn)單地理解為“講題—聽題—練題”的循環(huán)，這種“以題為中心”的教學(xué)觀使得數(shù)學(xué)解題教學(xué)與數(shù)學(xué)育人目標(biāo)背道而馳。為了使數(shù)學(xué)解題教學(xué)回歸育人的本真，研究者認(rèn)為，首先要甄選主題，凸顯數(shù)學(xué)育人導(dǎo)向;其次要建立關(guān)聯(lián)，注入數(shù)學(xué)育人功能;最后要多元融合，打造數(shù)學(xué)育人課堂。

【關(guān)鍵詞】解題教學(xué);數(shù)學(xué)育人;導(dǎo)數(shù);切線不等式

全面深化課程改革的根本任務(wù)是落實(shí)立德樹人、學(xué)科育人。德育、智育、體育、美育構(gòu)成了學(xué)科育人的四個(gè)重要方面。數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)學(xué)生的發(fā)展具有重要的發(fā)展價(jià)值，是數(shù)學(xué)智育的集中體現(xiàn);數(shù)學(xué)學(xué)科豐富的思想方法、策略、邏輯思維背后所蘊(yùn)含的啟示與哲理，是數(shù)學(xué)德育的集中體現(xiàn);數(shù)學(xué)獨(dú)特的學(xué)科美感，對(duì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、欣賞、表現(xiàn)美的能力具有潛移默化的作用[1]。除了體育，在德育、智育、美育方面，數(shù)學(xué)也能發(fā)揮其獨(dú)有的育人功能，但在實(shí)際教學(xué)中，數(shù)學(xué)的德育、美育功能沒有得到足夠的重視，教師把教學(xué)的重心更多放在對(duì)知識(shí)的獲得與思想方法的形成上。筆者曾以“導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用”復(fù)習(xí)課為主題參加優(yōu)質(zhì)課評(píng)比。很多教師反映相對(duì)于概念課，復(fù)習(xí)課很難上出“新花樣”，因?yàn)閺?fù)習(xí)課往往跟解題教學(xué)掛鉤，解題教學(xué)通常以典型例題為載體，教師通過示范講解，向?qū)W生傳授技巧與方法;學(xué)生則通過聽題、做題，進(jìn)而掌握解題的方法。因此，在很多教師的觀念中，解題教學(xué)除了解題，似乎很難把它與德育、美育聯(lián)系起來。為此，筆者結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐進(jìn)行研究，以期給大家一些啟發(fā)。

一、甄選主題，凸顯數(shù)學(xué)育人導(dǎo)向

復(fù)習(xí)課選題一般有三個(gè)維度：一是從知識(shí)系統(tǒng)的維度來選題，把握復(fù)習(xí)方向，保證復(fù)習(xí)課不偏題;二是從重難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)的維度來選題，使重點(diǎn)得到強(qiáng)化，難點(diǎn)得到突破，易錯(cuò)點(diǎn)夠得到糾正;三是從知識(shí)育人功能的維度來選題，整體提升學(xué)生的核心素養(yǎng)水平。[2]具體如圖1所示。

對(duì)于“導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用”這節(jié)內(nèi)容而言，一方面，學(xué)生剛學(xué)完“導(dǎo)數(shù)”內(nèi)容，雖然已經(jīng)掌握了導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算法則，會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值），但對(duì)于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的基本原理的認(rèn)知還比較薄弱。比如，很多學(xué)生一遇到問題就求導(dǎo)，卻不知為何求導(dǎo)、求導(dǎo)了有什么用，尤其面對(duì)多次求導(dǎo)情景，學(xué)生基本是“一頭霧水”。因此，本節(jié)課的選題應(yīng)該立足導(dǎo)數(shù)的基本原理，注重基礎(chǔ)，適當(dāng)拓展，切不可好高騖遠(yuǎn)，一味追求難度。另一方面，導(dǎo)數(shù)的起源與發(fā)展具有豐富的歷史文化背景，導(dǎo)數(shù)思想源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，導(dǎo)數(shù)應(yīng)用更是與生活息息相關(guān)。因此，導(dǎo)數(shù)具有豐富的育人功能，尤其是德育與美育功能。但在導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)中，很多教師除了在起始課中進(jìn)行數(shù)學(xué)文化的簡(jiǎn)單滲透，平時(shí)很少關(guān)心導(dǎo)數(shù)的育人功能，把大量的時(shí)間花在學(xué)生的知識(shí)學(xué)習(xí)與解題能力的培養(yǎng)上。因此，學(xué)生對(duì)于導(dǎo)數(shù)育人功能的認(rèn)識(shí)是缺失的。

基于上述思考，筆者選擇了人教A版高中數(shù)學(xué)教材選修2-2第32頁B組習(xí)題第1題第（4）問的“切線不等式ex-1≥x≥ln（x+1）”（以下簡(jiǎn)稱切線不等式）為本次復(fù)習(xí)課的例題，理由如下。一是選題立足教材，不僅讓本節(jié)課“師出有名”，而且由于這個(gè)切線不等式是以章節(jié)復(fù)習(xí)題的形式呈現(xiàn)，在實(shí)際教學(xué)中并沒有引起教師的足夠關(guān)注。因此，這是一個(gè)比較新的知識(shí)，既可以避免復(fù)習(xí)課“炒冷飯”的現(xiàn)象，又可以化解解題教學(xué)單純解題的尷尬。二是切線不等式在導(dǎo)數(shù)運(yùn)算中具有重要的應(yīng)用價(jià)值，蘊(yùn)含“化曲為直”微積分的基本思想，有助于學(xué)生深度體驗(yàn)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的基本原理。三是切線不等式蘊(yùn)含豐富的代數(shù)和幾何背景，為數(shù)學(xué)育人的實(shí)施提供了必要的素材支撐。

二、建立關(guān)聯(lián)，注入數(shù)學(xué)育人功能

唯物辯證法認(rèn)為世界是一個(gè)有機(jī)的整體，世界上的一切事物都處于相互影響、相互作用、相互制約之中，即一切事物都相互關(guān)聯(lián)。數(shù)學(xué)也是如此，不僅數(shù)學(xué)知識(shí)之間相互關(guān)聯(lián)，數(shù)學(xué)與生活、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間也存在關(guān)聯(lián)。有些關(guān)聯(lián)隱藏得比較深，并不容易被人發(fā)現(xiàn)，需要將各種事物、各種形式以及物質(zhì)與精神上的各種要素融合在一起，并加以綜合分析，才能夠發(fā)現(xiàn)它們之間的關(guān)聯(lián)性。數(shù)學(xué)育人就是其中的一個(gè)關(guān)聯(lián)方向，即把數(shù)學(xué)現(xiàn)象、數(shù)學(xué)原理與德育、智育、美育中的核心要素關(guān)聯(lián)，進(jìn)而為數(shù)學(xué)注入育人的功能。對(duì)于切線不等式，可以建立以下兩種“關(guān)聯(lián)”。

（一）形式關(guān)聯(lián)，感受數(shù)學(xué)的美

切線不等式本身就是對(duì)稱美的一種體現(xiàn)，不等式左邊是以e為底的指數(shù)函數(shù)y=ex-1，右邊是以e為底的對(duì)數(shù)函數(shù)y=ln（x+1），這兩個(gè)函數(shù)互為反函數(shù)，可相互轉(zhuǎn)化;從圖象上看，不等式左右兩邊表示的是曲線，中間表示直線y=x，而這條直線不僅是兩條曲線的公切線，而且也是兩條曲線的對(duì)稱軸。

如果要追溯x≥ln（x+1）的來龍去脈，可以做以下變形。

x≥ln（x+1）[?]1≥[1x]ln（x+1）[?]1≥ln（x+1）[1x][?]e≥（x+1）[1x]，令n=[1x]，則有（1+[1n]）n≤e，這就是有名的復(fù)利模型[limn→+∞]（1+[1n]）n=e。

由此可見，復(fù)利模型是切線不等式的一個(gè)“源頭”，而[limn→+∞]（1+[1n]）n=e也充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)的對(duì)稱美。

從高等數(shù)學(xué)的角度分析，切線不等式與麥克勞林級(jí)數(shù)直接相關(guān)：ex=[n=1∞xnn！]≥x+1、ln（x+1）=[n=1∞（-1）n+1n]xn≤x，麥克勞林級(jí)數(shù)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美。

（二）情境關(guān)聯(lián)，感悟人生哲理

數(shù)學(xué)的育人功能需要借助情境才能得以呈現(xiàn)與落實(shí)。因此，盡管復(fù)利模型[limn→+∞]（1+[1n]）n=e可以作為引出切線不等式的重要線索，但不能把復(fù)利模型直接教授給學(xué)生，而是首先要?jiǎng)?chuàng)設(shè)關(guān)聯(lián)情境。

如果就以“復(fù)利”作為情境，比如，某人在銀行存了1000元，利息按復(fù)利計(jì)算（見表1），問：哪種存款方式最合算？一年后，本息和最大是多少？

“復(fù)利”體現(xiàn)的是一種理財(cái)?shù)睦砟?，還不夠貼近學(xué)生的學(xué)習(xí)生活，稍加改造，可以創(chuàng)設(shè)更接地氣的情境。B38838FF-7371-4061-8A06-23ACEAFF21C7

情境 假設(shè)小明初始的學(xué)習(xí)水平為1，年進(jìn)步幅度為100%，那么1年后小明的學(xué)習(xí)水平是多少？

（1）若小明半年進(jìn)步一次，計(jì)算一年后的學(xué)習(xí)水平。

（2）若小明一季度進(jìn)步一次，計(jì)算一年后的學(xué)習(xí)水平。

（3）若小明每個(gè)月進(jìn)步一次、每天進(jìn)步一次、每小時(shí)進(jìn)步一次、每秒鐘進(jìn)步一次……，計(jì)算一年后的學(xué)習(xí)水平。

（4）通過上述計(jì)算，你有什么發(fā)現(xiàn)？

上面的情境不僅與學(xué)生的學(xué)習(xí)息息相關(guān)，而且蘊(yùn)含深刻的人生哲理，如此一來，數(shù)學(xué)的德育功能便得到了凸顯。

三、多元融合，打造數(shù)學(xué)育人課堂

數(shù)學(xué)解題教學(xué)要充分發(fā)揮全方位的育人功能，不僅在選題上關(guān)注具有育人價(jià)值的元素，還要把各種教學(xué)手段與方法有機(jī)地融合在教學(xué)過程中，從而打造出具有“三度”特征的數(shù)學(xué)育人課堂，即知識(shí)適度、思想高度、文化厚度[3]?；谏鲜隼砟睿芯€不等式的教學(xué)過程設(shè)計(jì)如下。

（一）把生活經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)原理融合在一起

切線不等式對(duì)學(xué)生來說是全新的知識(shí)，因此，教學(xué)的第一步就是讓學(xué)生經(jīng)歷主動(dòng)發(fā)現(xiàn)的過程，而要發(fā)現(xiàn)新知必須要立足學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，而不是靠教師的直接“灌輸”，這就需要找到切線不等式的“源頭”，即復(fù)利公式[limn→+∞]（1+[1n]）n=e與學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的融合點(diǎn)。例如風(fēng)靡網(wǎng)絡(luò)的勵(lì)志公式“（1+0.01）365≈37.78與（1-0.01）365≈0.0255”。這組公式雖然勵(lì)志，但從數(shù)學(xué)的角度分析，該公式并不是很合理，因?yàn)槿瞬豢赡芤恢边M(jìn)步下去，到一定時(shí)間，就會(huì)遇到瓶頸期，所以在這段時(shí)間內(nèi)，人的進(jìn)步總量應(yīng)該是固定的。顯然，用[limn→+∞]（1+[1n]）n=e這個(gè)模型來刻畫更加合理。因此，公式的發(fā)現(xiàn)過程可以進(jìn)行以下教學(xué)設(shè)計(jì)。

問題1-1 馬上要進(jìn)入高三了，希望大家能夠在高三階段能夠取得更大的進(jìn)步。最近，網(wǎng)上出現(xiàn)了一組公式：（1+0.01）365≈37.78、（1-0.01）365≈0.0255，看到這組公式，你有什么想法？

問題1-2 從數(shù)學(xué)的角度分析，你認(rèn)為勵(lì)志公式合理嗎？如果不合理，應(yīng)該如何優(yōu)化？

問題1-3 正常情況下，在固定的時(shí)間段，進(jìn)步的總量應(yīng)該是一個(gè)定值。假設(shè)小明初始的學(xué)習(xí)水平為1，……（呈現(xiàn)情境）

問題1-4 通過上述例子，你有什么發(fā)現(xiàn)？

以上問題的設(shè)計(jì)意在讓學(xué)生在熟悉的情境中，通過對(duì)勵(lì)志公式的優(yōu)化，經(jīng)歷公式[limn→+∞]（1+[1n]）n=e的自然發(fā)現(xiàn)過程，感悟數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系。

（二）把理性思考與感性認(rèn)知融合在一起

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一種理性的思考過程，為了發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)及規(guī)律，往往需要經(jīng)歷抽象和概括、分析和綜合、質(zhì)疑和批判等理性思考的過程;同時(shí)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)又是一種感性的認(rèn)知活動(dòng)，為了建立數(shù)學(xué)與客觀世界的聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)的人文精神，往往需要從感性的視角激發(fā)學(xué)生內(nèi)心情感。因此，只有把理性思考與感性認(rèn)知有機(jī)融合在教學(xué)中才能更好地實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的育人目標(biāo)。

顯然，（1+0.01）365≈37.78、（1-0.01）365≈0.0255、[limn→+∞]（1+[1n]）n=e這三個(gè)數(shù)學(xué)模型是“學(xué)習(xí)進(jìn)步”現(xiàn)象的理性思考，而感性認(rèn)知主要體現(xiàn)在學(xué)生把模型代入到現(xiàn)實(shí)后的感悟。

比如公式（1+0.01）365≈37.78可感悟?yàn)椤扒趯W(xué)如初起之苗，不見其增，日有所長(zhǎng)”;（1-0.01）365≈0.0255可感悟?yàn)椤拜z學(xué)如磨刀之石，不見其損，日有所虧”;[limn→+∞]（1+[1n]）n=e可感悟?yàn)椤叭粢〉酶蟮倪M(jìn)步，必須時(shí)刻保持進(jìn)步”。由此可見，數(shù)學(xué)語言的魅力在于用最簡(jiǎn)潔的符號(hào)表達(dá)最深刻的道理。

筆者特意把本節(jié)課的主題命名為“放縮‘雙壁——初探一類切線不等式”，學(xué)生看到這個(gè)標(biāo)題很容易與語文中的“樂府雙壁”聯(lián)系起來，不僅體現(xiàn)了人文的味道，而且凸顯了切線不等式的功能。

（三）把解題技巧與深化概念融合在一起

當(dāng)然，解題教學(xué)不能沒有解題的環(huán)節(jié)，但不能僅僅止于解題，因?yàn)楦拍畈攀菙?shù)學(xué)的核心，解題只是概念的衍生與應(yīng)用，若沒有概念作為基礎(chǔ)，解題與解題教學(xué)也就無從談起。但解題教學(xué)中的概念教學(xué)不是“炒冷飯”，而是要對(duì)概念進(jìn)行深入地挖掘與拓展，讓學(xué)生認(rèn)清概念的本質(zhì)，收獲新的認(rèn)知。

在本節(jié)課中，有兩個(gè)概念需要得到深化。一是自然常數(shù)e，在此之前，自然常數(shù)e的由來一直困擾著學(xué)生，現(xiàn)在可以借助“學(xué)習(xí)進(jìn)步”模型[limn→+∞]（1+[1n]）n=e進(jìn)行澄清，e普遍存在于生活現(xiàn)象中，這就是為什么e被稱作“自然”常數(shù)的原因。二是切線不等式在[limn→+∞]（1+[1n]）n=e基礎(chǔ)上，容易猜想不等式（1+[1n]）n≤e成立，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)不等式進(jìn)行等價(jià)變形，即因?yàn)閚ln（1+[1n]）<1[?]ln（1+[1n]）<[1n][?]ln（1+x）第一階段：用切線不等式妙解三道高考題。

例1 利用切線不等式解下面三道高考題。

（1）（2010年全國(guó)Ⅱ卷理科數(shù)學(xué)）設(shè)函數(shù)f（x）=1-e-x，證明：當(dāng)x>-1時(shí)，f（x）≥[xx+1]。

（2）（2013年遼寧卷理科數(shù)學(xué)）已知函數(shù)f （x）=（1+x）e-2x，g（x）=ax+[x32]+1+2xcosx。當(dāng)x[∈[0，1]]時(shí)，求證：1-x ≤ f（x）≤[x1+x]。

（3）（2013年全國(guó)新課標(biāo)Ⅱ卷理科數(shù)學(xué)）已知函數(shù)f（x）=ex-ln（x+m），當(dāng)m≤2時(shí)，證明f（x）>0。

例1的這三道題用常規(guī)方法也可以求解，但如果用切線不等式進(jìn)行“放縮”求解更容易，讓學(xué)生體會(huì)切線不等式在簡(jiǎn)化運(yùn)算中的重要作用。

第二階段：用切線不等式巧解綜合題。

例2 求證：[ex+（2-e）x-1x]≥lnx+1。

例2如果直接構(gòu)造函數(shù)f（x）=[ex+（2-e）x-1x]-lnx-1求最值會(huì)比較麻煩，若運(yùn)用切線不等式進(jìn)行放縮，運(yùn)算就會(huì)大大簡(jiǎn)化。因?yàn)閘nx+1≤x，所以只需證明[ex+（2-e）x-1x]≥x即可，即證明ex+（2-e）x-1≥x2。接著構(gòu)造函數(shù)，令g（x）=ex+（2-e）x-1-x2，g′（x）=ex-2x+2-e，則x=1是g（x）的其中一個(gè)極值點(diǎn)，是否還存在其他的極值點(diǎn)，需要繼續(xù)求導(dǎo)。因?yàn)間″（x）=ex-2=0[?]x=ln2，則當(dāng)x∈（0，ln2）時(shí)，g″（x）<0，g′（x）單調(diào)遞減;當(dāng)x∈（ln2，[+∞]）時(shí)，g″（x）>0，g′（x）單調(diào)遞增。又因?yàn)間′（0）=3-e>0，g′（ln2）0，g（x）單調(diào)遞增，x∈（x0，1），g′（x）<0，g（x）單調(diào)遞減。因?yàn)間（0）=0，g（1）=0，所以當(dāng)x∈（0，[+∞]），g（x）≥0恒成立，即ex+（2-e）x-1≥x2。

上述解答過程既體現(xiàn)了切線不等式在簡(jiǎn)化運(yùn)算上的功能，又強(qiáng)化了用導(dǎo)數(shù)證明不等式的一般思路。當(dāng)然，切線不等式的應(yīng)用遠(yuǎn)不止于此，但由于學(xué)生是初次認(rèn)識(shí)切線不等式，因此問題難度不能過高，本節(jié)課點(diǎn)到為止即可，以后還可以做進(jìn)一步提升。

數(shù)學(xué)解題教學(xué)不僅僅是以智育為主，更是應(yīng)該深入挖掘數(shù)學(xué)中美育、德育的要素，并且與解題有機(jī)地融合在一起，通過創(chuàng)新的教學(xué)設(shè)計(jì)，從而讓解題教學(xué)回歸數(shù)學(xué)育人的本真。

參考文獻(xiàn)：

[1]吳亞萍.拓展數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價(jià)值[J].教育發(fā)展研究，2013（3）：48-52.

[2]蔣亮，呂增鋒.例淡數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課選題“三維度”：以“平面向量”復(fù)習(xí)課為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2013（4）：15-17.

[3]文衛(wèi)星.數(shù)學(xué)教學(xué)中的“微型育人”[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2015（10）：4-6.

【作者簡(jiǎn)介】林琪，二級(jí)教師，主要研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)文化。

【基金項(xiàng)目】2021年寧波市教育科學(xué)規(guī)劃重點(diǎn)課題“大概念視角下高中數(shù)學(xué)單元教學(xué)的研究”（2021YZD079）B38838FF-7371-4061-8A06-23ACEAFF21C7