駱意

【摘要】新中考實(shí)施后，中考數(shù)學(xué)試題呈現(xiàn)出基礎(chǔ)性、新穎性、創(chuàng)新性并重的局面，相當(dāng)一部分學(xué)生對(duì)此類題目常常感到束手無策。在此背景下，應(yīng)當(dāng)有效地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思想，提高學(xué)生在具體情境中綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);新中考;建模思想;課例

2020年起，廣東省初中學(xué)業(yè)水平考試實(shí)行全省統(tǒng)一命題、統(tǒng)一試卷、統(tǒng)一考試時(shí)間。按照《教育部關(guān)于加強(qiáng)初中學(xué)業(yè)水平考試命題工作的意見》（教基〔2019〕15號(hào)）要求，各學(xué)科命題均以《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》為依據(jù)，體現(xiàn)課程改革的理念與要求，減少單純記憶、機(jī)械訓(xùn)練性質(zhì)的內(nèi)容，突出對(duì)學(xué)科主干知識(shí)和學(xué)科素養(yǎng)的考查，增強(qiáng)與學(xué)生生活、社會(huì)實(shí)踐的聯(lián)系，注重考查學(xué)生在具體情境中綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力，引導(dǎo)發(fā)展素質(zhì)教育。

中考數(shù)學(xué)試題呈現(xiàn)出基礎(chǔ)性、新穎性、創(chuàng)新性并重的局面，而我們的一部分學(xué)生對(duì)此類題目常常感到束手無策。

新中考背景下，如何有效地提高學(xué)生在具體情境中綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力呢？筆者認(rèn)為，應(yīng)有效地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思想。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最重要成果就是學(xué)會(huì)建立數(shù)學(xué)模型，用以解決實(shí)際問題。培養(yǎng)學(xué)生的建模思想，讓學(xué)生經(jīng)歷建模和解模過程，有助于提高學(xué)生數(shù)學(xué)建模、抽象思維等核心素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)。

什么是數(shù)學(xué)建模思想？就是把現(xiàn)實(shí)生活中的問題抽象，抓住問題的本質(zhì)特征，用數(shù)學(xué)符號(hào)表示出來，它反映的是同類問題的共同特征，求出模型的解后，需要回歸到具體的問題中，驗(yàn)證解的合理性，它包含數(shù)學(xué)建模和模型思想兩個(gè)方面：一是數(shù)學(xué)建模：數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)公式及數(shù)量關(guān)系對(duì)現(xiàn)實(shí)問題原型簡(jiǎn)化的本質(zhì)描述。

二是模型思想：是學(xué)生遇到問題，通過分析，理清其中的各種關(guān)系，提出關(guān)鍵信息之間的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)而建立這些信息之間的聯(lián)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)的語言、符號(hào)進(jìn)而抽象，概括出問題的本質(zhì)過程，這個(gè)本質(zhì)具有同類問題的共同特征，就是數(shù)學(xué)模型，對(duì)這個(gè)模型求解，獲得問題的解，最后回歸到問題，驗(yàn)證解的合理性，體現(xiàn)了一個(gè)完整的思維過程。

一、課例分析

題目：（2020·廣東）有一架豎直靠在直角墻面的梯子正在下滑，一只貓緊緊盯住位于梯子正中間的老鼠，等待與老鼠距離最小時(shí)撲捉.把墻面、梯子、貓和老鼠都理想化為同一平面內(nèi)的線或點(diǎn)，模型如圖，∠ABC=90°，點(diǎn)M，N分別在射線BA，BC上，MN長(zhǎng)度始終保持不變，MN=4，E為MN的中點(diǎn)，點(diǎn)D到BA，BC的距離分別為4和2。在此滑動(dòng)過程中，貓與老鼠的距離DE的最小值為______。

這是新中考背景下2020年廣東省中考第17題填空壓軸題，題目創(chuàng)設(shè)了一個(gè)“貓捉老鼠”的新穎情境，抽象出數(shù)學(xué)問題，即求線段的最小值問題。考查的核心知識(shí)點(diǎn)是圓的定義和圓外一點(diǎn)與圓上一點(diǎn)的最值問題，但絕大部分的學(xué)生束手無策，不知從何入手，得分十分不理想。

首先，綜合分析學(xué)生的解題障礙，主要是：（1）無法識(shí)別點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑是一段圓弧，本質(zhì)上是對(duì)圓的動(dòng)態(tài)的定義不熟悉。（2）缺乏處理圓外一點(diǎn)與圓上一點(diǎn)最值問題的解決方法。

基于以上分析，筆者做了以下教學(xué)設(shè)計(jì)：

1.立足教材，提出問題：立足教材習(xí)題，引出動(dòng)點(diǎn)路徑問題。

2.多個(gè)角度，深化概念：用動(dòng)點(diǎn)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)圓的概念及外延，構(gòu)造模型。

3.理解模型，初步應(yīng)用：理解并簡(jiǎn)單運(yùn)用模型。

4.強(qiáng)化作圖，化歸方法：通過作圖和思考，突破圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)距離最值問題解題方法。

5.綜合運(yùn)用，拓展提升：聚焦中考真題，解決生活情境中“動(dòng)點(diǎn)最值”問題，提升解題能力。

6.變式教學(xué)，遷移應(yīng)用：能用此類題型的解題思路、步驟去解決不同情境中的問題。

7.課堂小結(jié)，內(nèi)化提升：動(dòng)點(diǎn)觀念下初中數(shù)學(xué)概念的整理。（圓、中垂線、角平分線）

二、教學(xué)過程

環(huán)節(jié)一：立足教材，提出問題

情景引入（九年級(jí)下冊(cè)課本第100頁(yè)“想一想”）：在一塊空曠的草地上有一根柱子，柱子上拴著一條長(zhǎng)為3m的繩子，繩子的另一端栓著一只狗。

問題1：假如繩子始終是緊繃的，那么這只狗繞著這根柱子跑一周所經(jīng)過的路徑是多長(zhǎng)？為什么？

問題2：假如繩子不是始終緊繃著的，你還能計(jì)算路徑長(zhǎng)嗎？

思考：如果我們將柱子看作一個(gè)定點(diǎn)B，這只狗看作是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，則繩子為線段BE，如果BE的長(zhǎng)度固定，那么動(dòng)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑有何特點(diǎn)？

環(huán)節(jié)二：多個(gè)角度，深化概念

從動(dòng)點(diǎn)的角度去理解圓的概念，深化對(duì)圓的定義的認(rèn)識(shí)。

構(gòu)造模型

模型特征（條件）：________________

模型結(jié)論：________________________

環(huán)節(jié)三：理解模型，初步應(yīng)用

如圖，有一架豎直靠在直角墻面的梯子，點(diǎn)E是它的中點(diǎn)。

（1）當(dāng)梯子固定不動(dòng)時(shí)，BE的長(zhǎng)和梯子MN有何關(guān)系？

（2）當(dāng)梯子下滑時(shí)，梯子長(zhǎng)度MN保持不變，點(diǎn)E會(huì)動(dòng)嗎？如果會(huì)，運(yùn)動(dòng)路徑是什么？

解題反思：____________________________。

環(huán)節(jié)四：強(qiáng)化作圖，化歸方法

如圖，假如點(diǎn)D處有一只貓，它是靜止不動(dòng)的。

（1）這只狗跑到什么位置時(shí)，貓和狗的距離最短？請(qǐng)畫出這個(gè)位置，并說出你的理由。

（2）這只狗跑到什么位置時(shí)，貓和狗的距離最長(zhǎng)？請(qǐng)畫出這個(gè)位置，并說出你的理由。

解題反思：三點(diǎn)共線，將動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離最值問題，化歸為點(diǎn)心距問題。

環(huán)節(jié)五：綜合應(yīng)用，拓展提升

（2020·廣東）有一架豎直靠在直角墻面的梯子正在下滑，一只貓緊緊盯住位于梯子正中間的老鼠，等待與老鼠距離最小時(shí)撲捉。把墻面、梯子、貓和老鼠都理想化為同一平面內(nèi)的線或點(diǎn)，模型如圖，∠ABC=90°，點(diǎn)M，N分別在射線BA，BC上，MN長(zhǎng)度始終保持不變，MN=4，E為MN的中點(diǎn)，點(diǎn)D到BA，BC的距離分別為4和2。在此滑動(dòng)過程中，貓與老鼠的距離DE的最小值為______。

解題反思：“定點(diǎn)定長(zhǎng)模型”初步解題步驟：1.找動(dòng)點(diǎn)→2.判路徑→3.現(xiàn)圓形→4.點(diǎn)共線→5.構(gòu)直角三角形。

環(huán)節(jié)六：變式教學(xué)，遷移提高

（折疊生圓問題）如圖，在邊長(zhǎng)為6的菱形ABCD中，∠BCD=60°，MC=2，E是CD上一動(dòng)點(diǎn)，將△MCE沿ME翻折得到△MFE.

（1）則AF的最小值為____________.

環(huán)節(jié)七：課堂小結(jié)，內(nèi)化提升

1.本節(jié)課你學(xué)到了哪些知識(shí)和思想方法？你還有哪些困惑？

2.你認(rèn)為還有哪些概念可以從動(dòng)點(diǎn)的角度去認(rèn)識(shí)？

通過這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)和課程，一個(gè)較難的問題得到了很好的解決，課后再總結(jié)反思。

三、新中考背景下培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模思想的策略

1.立足教材，創(chuàng)設(shè)情境的策略

按照新中考的要求，中考命題要增強(qiáng)與學(xué)生生活、社會(huì)實(shí)踐的聯(lián)系，注重考查學(xué)生在具體情境中綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力。因此，我們的教學(xué)不能“急功近利”地脫離情境直奔知識(shí)點(diǎn)去，而應(yīng)當(dāng)創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)那榫匙屩R(shí)合理地“發(fā)生”和“生長(zhǎng)”。教材中有很多很好的素材可供我們選取，立足教材，依標(biāo)靠本，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，合理創(chuàng)設(shè)情境，加強(qiáng)新舊知識(shí)的聯(lián)系，發(fā)掘新知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，這是第一步。

2.把問題想在前面的策略

教師施教前，應(yīng)當(dāng)充分了解學(xué)情，并根據(jù)學(xué)情把問題想在前面：學(xué)生可能存在的解題障礙是什么？如何突破？需要如何引導(dǎo)？啟發(fā)？如何搭臺(tái)階？如何進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)？只有把問題想充分了，才能把教學(xué)設(shè)計(jì)做細(xì)做好，才能讓我們的課堂充滿思維的火花。

3.問題串施教的策略

新中考注重考查學(xué)生在具體情境中綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力，所以，培養(yǎng)學(xué)生的建模思想，我們的課堂不能沒有問題。問題串教學(xué)策略是一個(gè)很好的方法。數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)，就應(yīng)該在分析問題和解決問題中引導(dǎo)學(xué)生層層生疑，在析疑和釋疑中不斷發(fā)展學(xué)生分析問題、解決問題的能力，提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維的品質(zhì)。我們?cè)诮虒W(xué)的時(shí)候，要根據(jù)所選擇的題目，設(shè)置問題串，幫助學(xué)生去解決問題，一方面降低題目的難度，也容易消化所學(xué)的知識(shí)，另一方面，降低學(xué)習(xí)難度，將數(shù)學(xué)方法融入其中，于無聲處培養(yǎng)學(xué)生思維。

4.及時(shí)地歸納，反思，建構(gòu)的策略

問題求解完后，應(yīng)當(dāng)及時(shí)地歸納、反思和構(gòu)建。通過反思，進(jìn)一步理清條件、結(jié)論，提出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)而建立它們之間的聯(lián)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)的語言、符號(hào)進(jìn)而抽象、概括出問題的本質(zhì)，這就是建模，體現(xiàn)了一個(gè)完整的思維過程。

歸納，反思，建構(gòu)可以以小組合作學(xué)習(xí)的方式交流討論，讓學(xué)生自己找、自己說。為什么不是教師直接講？因?yàn)橐粋€(gè)題目并不是我們講明白的，是學(xué)生悟出來的。即使我們講明白了，學(xué)生沒有真正領(lǐng)悟，過兩周學(xué)生可能又不會(huì)了。

5.注意遷移應(yīng)用的策略

經(jīng)過反思，運(yùn)用數(shù)學(xué)的語言、符號(hào)概括出問題的本質(zhì)，完成建模之后，還要回歸到問題，驗(yàn)證解的合理性。此時(shí)應(yīng)當(dāng)注意問題的遷移應(yīng)用，讓學(xué)生運(yùn)用模型的解，去解決同類問題，達(dá)到舉一反三、觸類旁通的目標(biāo)。

責(zé)任編輯? 李? 源