【摘 要】利用旋轉(zhuǎn)思想和對稱思想解一道典型題目，培養(yǎng)學(xué)生化繁為簡的能力.

【關(guān)鍵詞】旋轉(zhuǎn)思想;對稱思想;數(shù)學(xué)思想;數(shù)學(xué)思維

在初中數(shù)學(xué)中，對稱變換和旋轉(zhuǎn)變換是重要的兩種幾何變換，更是兩種重要的思想方法.無論哪一種變換，都有一個重要的性質(zhì)，就是圖形經(jīng)過變化后，形狀、大小都保持不變，即對應(yīng)邊、對應(yīng)角都相等，變化只是圖形的位置，這在解題中是潛在的重要前提，常常用來求解線段長度和面積等問題.比如對稱變換第一個典型的應(yīng)用就是“將軍飲馬”問題，利用對稱變換將折線的距離和轉(zhuǎn)化為兩點之間的最短距離問題;旋轉(zhuǎn)變換是把圖形的位置進行變換，優(yōu)化圖形結(jié)構(gòu)，進一步整合圖形，通過旋轉(zhuǎn)找到解題的突破口，將較為復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單問題從而得到順利解決，逐步培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力.1 案例分析在近幾年來各地市的中考試題中有較多問題需要利用旋轉(zhuǎn)變換進行求解，此類問題較好地考察了學(xué)生的思維靈活性及深刻性，具有很好的選拔功能，成為近年來各地中考試題的熱點問題，下面這道題就是非常典型的一道.

題目1 （2018淄博）如圖1，P為等邊三角形ABC內(nèi)的一點，且P到三個頂點A，B，C的距離分別為3，4，5，則△ABC的面積為（）.

A.9+2534B.9+2532C.18+253D.18+2532

常規(guī)解法 因為△ABC為等邊三角形，所以BA=BC，

可將△BPC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得△BEA，連接EP，且延長BP，作AF⊥BP于點F.如圖2，

所以BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，所以△BPE為等邊三角形，所以PE=PB=4，∠BPE=60°，

在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，所以可判定△APE為直角三角形，且∠APE=90°，所以∠APB=90°+60°=150°.

所以∠APF=30°，

所以在直角△APF中，AF=12AP=32，PF=32AP=332.

所以在直角△ABF中，AB2=BF2+AF2=4+3322+322=25+123.

則△ABC的面積是34AB2=34·25+123=9+2534.所以選A.

本題的突破點就是將中間的三個三角形中的一個進行旋轉(zhuǎn)，作出旋轉(zhuǎn)后的三角形，然后利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)來解決，可是旋轉(zhuǎn)對學(xué)生來講是難點，所以不少學(xué)生掌握得不好，也畫不出旋轉(zhuǎn)后的三角形，我在教學(xué)的過程中發(fā)現(xiàn)了解決此類題的另一個辦法，就是利用軸對稱的思想來解決，做法如下.

解 （對稱法）如圖3，分別以AB，BC，AC為對稱軸作△APB、△BPC、△APC的對稱△ADB、△BEC、△AFC，連接DF，DE，EF，因為∠DAF=2∠BAC=120°，且DA=FA=PA=3，所以△ADF是頂角為120°的等腰三角形，所以可求得DF=33，易得S△ADF=934，同理△BDE、△ECF都是頂角為120°的等腰三角形，腰分別是4和5，所以易得DE=43，EF=53，S△BDE=43，S△ECF=2534.

又因為△DEF中，DF=33，DE=43，EF=53，所以△DEF是直角三角形，∠FDE=90°，所以S△DEF=12·33·43=18，而六邊形ADBECF的面積就是△ADF、△BDE、△ECF、△DEF的面積之和，也是△ABC面積的兩倍，所以S△ABC=12（S△ADF+S△BDE+S△CEF+S△DEF）=12（934+43+2534+18）=9+2534.

這種方法只是利用了軸對稱的思想，作出軸對稱三角形，對學(xué)生來說，遠遠比作旋轉(zhuǎn)三角形容易，而且思路簡單，學(xué)生比較容易想到，而且計算方面主要用到了120°等腰三角形的有關(guān)計算以及勾股定理的逆定理，相對容易得多.下面再通過一道題目對比一下.

題目2 如圖4，Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=60°，點P在△ABC內(nèi)，且PA=3，PB=5，PC=2，求△ABC的面積.

常規(guī)解法 如圖5，作△ABQ，使得∠QAB=∠PAC，∠ABQ=∠ACP，則△ABQ∽△ACP.

因為∠ABC=30°所以AB=2AC，

所以△ABQ與△ACP的相似比為2.

所以AQ=2AP=23，BQ=2CP=4，

∠QAP=∠QAB+∠BAP=∠PAC+∠BAP=∠BAC=60°.

因為AQ∶AP=2∶1，可判斷出∠APQ=90°，所以PQ=3AP=3，

所以BP2=25=BQ2+PQ2，所以∠BQP=90°，

過A點作AM∥PQ，延長BQ交AM于點M，

所以AM=PQ，MQ=AP，

所以AB2=AM2+（QM+BQ）2=PQ2+（AP+BQ）2=28+83，

故S△ABC=12AB·AC·sin60°=38AB2=6+732=3+732.

這種做輔助線構(gòu)造相似三角形的方法，學(xué)生比較難想到，所以作圖也比較難，思路和過程也對學(xué)生的要求較高，特別是判斷∠APQ=90°這點對初中生來說有很大的難度.

下面簡略說一下判斷∠APQ=90°的兩種方法.方法一：用高中的知識，就是在△APQ中，由余弦定理PQ2=AQ2+AP2-2AQ·AP·cos∠PAQ，可求得PQ=3，再由勾股定理逆定理判斷出直角三角形，從而得出∠APQ=90°.方法二：用初中的知識，那就需要過點Q向直線AP作垂線，構(gòu)造出含30°角的直角三角形，根據(jù)直角三角形中，30°的角對的邊是斜邊的一半，從而得出∠APQ=90°.這對初中學(xué)生來說難度是相當(dāng)大的.而此題用作對稱三角形的方法就容易得多了，下面就用這種方法來解決.

解 （對稱法）如圖6，分別以AB，BC，AC為對稱軸作△APB、△BPC、△APC的對稱△ADB、△BEC、△AFC，連接DE、DF，因為∠DAF=2∠BAC=120°，且DA=FA=PA=3，所以△ADF是頂角為120°的等腰三角形，所以DF=3，易得S△ADF=334，同理△BDE可判定是邊長為5的等邊三角形，易得S△BDE=2534;因為∠BCA=90°，可判斷出E，C，F(xiàn)共線，由DF=3，EF=4，DE=5，可得△DEF是直角三角形，且∠DFE=90°，所以S△DEF=6.

而五邊形ADBEF的面積就是△ADF、△BDE、△DEF的面積之和，也是△ABC面積的兩倍，所以S△ABC=12（S△ADF+S△BDE+S△DEF）=12（334+2534+6）=3+732.2 思考與總結(jié)在中考復(fù)習(xí)中，此類問題會經(jīng)常遇到，通過上面例題的不同解法，對此類問題進行反思與總結(jié).2.1 領(lǐng)悟?qū)ΨQ思想的廣泛性與巧妙性

對稱不僅僅是一個數(shù)學(xué)概念，更是一種思想方法，它的應(yīng)用是非常廣泛的，它除了在上述平面幾何問題的應(yīng)用以外，在數(shù)和式等代數(shù)問題、立體幾何等方面都有廣泛的應(yīng)用.利用對稱的思想去分析和解決問題，通?？梢詫⒉灰?guī)則的圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形，將很難求解的問題轉(zhuǎn)化為容易求解的問題，而且使解題思路簡單，作圖簡單，還能回避繁雜的運算，巧妙地解決了問題，達到出奇制勝的效果，提高解題的速度和準確率[1].2.2 體會數(shù)學(xué)思想的重要性

老師在平時的課堂教學(xué)及課后習(xí)題設(shè)置中，要時時處處注意數(shù)學(xué)思想方法的滲透，這樣學(xué)生才會有扎實的數(shù)學(xué)思想基礎(chǔ)，對所有的數(shù)學(xué)思想方法熟記于心并能信手拈來.比如上面問題就是先用對稱思想，作出對稱圖形，然后用轉(zhuǎn)化思想，將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為一個簡單問題.對于常用的數(shù)學(xué)思想（如數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、建模思想、類比思想等）在平時的教學(xué)中我們要引導(dǎo)學(xué)生多分析，多嘗試，多類比，多總結(jié)，不斷碰撞出學(xué)生運用數(shù)學(xué)思想的火花，形成數(shù)學(xué)知識和思想方法的和諧統(tǒng)一，提高熟練運用數(shù)學(xué)思想解題的能力.2.3 培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的靈活性

解數(shù)學(xué)題的靈魂就是靈活合理變化，在變化中常會拓展出解題所需要的一片新天地.在平時的習(xí)題訓(xùn)練中，老師不要被思維定勢所限制，要經(jīng)常設(shè)置一些思想方法靈活多變、一題多解的題目，讓學(xué)生在獨立練習(xí)中體會巧妙解法的重要性;如果遇到復(fù)雜、沒有思路的題目的時候，要快速地改變思維方式，不斷進行大膽嘗試，使學(xué)生真正體會到數(shù)學(xué)思維的靈活性所帶來的樂趣，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的潛能.這樣不僅能提高學(xué)生分析問題、思考問題的能力，提高靈活的化復(fù)雜問題為簡單問題的能力，還能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，并從中感受到數(shù)學(xué)的無窮魅力.

參考文獻

[1]方志平.例析對稱思想在數(shù)學(xué)解題中的妙用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2021（11）：36-39.

作者簡介 李榮（1974—），女，山東東營人，中學(xué)一級教師;主要研究數(shù)學(xué)解題和教法.