【摘 要】本文從一道與三角形內心有關的課本習題出發(fā)，充分利用課本素材進行深入研究，挖掘問題本質，強化知識理解與應用，發(fā)揮習題最大功效，同一問題變換條件結論，得出新的有價值的問題，幫助學生鞏固基礎知識，拓展思維，促進數學素養(yǎng)在學習中養(yǎng)成.

【關鍵詞】習題拓展;探究;逆命題;內心

布魯諾指出：“思維永遠從問題開始.”學習的意義是不僅掌握教材中的知識，更要幫助學生能用所學的內容去解決問題，去創(chuàng)新實踐.教材習題是十分有價值的教學資源，通過典型問題的拓展與變式、方法的遷移應用促使學生貫通知識間的聯系，進而找到解決問題的策略、掌握分析問題的方法，這些品質和素養(yǎng)需要在日常教學中加以實踐和鍛煉.作為一線教師深入挖掘教材中習題的教育價值是必備素養(yǎng)之一，也是促進專業(yè)成長重要途徑.

1 原題呈現 已知，如圖1，在△ABC中，點E是內心，延長AE交三角形外接圓于點D，連接BD，DC.

求證：DB=DC=DE[1].

本題是滬科版數學九年級下冊第24章圓第45頁習題第5題.在教材中的目的是為鞏固學生對內心性質的理解與運用.通過內心的性質得到角相等以及圓中同弧所對圓周角相等進而證明.作為教師在教學中要依托課本習題，從不同的角度、不同的層面、不同的條件進行拓展研究，挖掘問題本質，強化知識理解與應用，發(fā)揮習題最大功效，從而幫助學生跳出“題?！?2 解法及研究

證明 由點E是內心，可知∠BAD=∠CAD，從而BD=CD.

如圖1，連接BE，則∠DBC=∠DAC=∠BAD，∠EBC=∠EBA，由∠EBD=∠EBC+∠DBC，∠DEB=∠EBA+∠BAD，所以∠EBD=∠DEB，即DB=DE，從而DB=DC=DE.

分析 若只是解答后就結束了，則失去了這道經典習題應有的價值.注意到題目中條件與結論存在互逆現象，能否變換條件結論，猜想是否正確，引發(fā)深層次思考.還有題目中隱藏的∠BEC與∠BAC之間的特殊關系，通過有意識設問，留給學生充分思考，再師生共同探討解決.通過教學中引導學生探究逆命題的真假，對培養(yǎng)學生的批判性思維、全局性思維大有裨益，進而引導學生在今后的學習中學會發(fā)現和提出問題.

研究1 若將條件“點E是內心”和結論“DB=DC=DE”互換，所得命題還能成立嗎？

即：已知，如圖1，點E為△ABC外接圓內一點，延長AE交三角形外接圓于點D，連接BD，DC，若DB=DC=DE.

求證：點E是△ABC的內心.

證明 由DB=DC，可知∠BAD=∠DAC，即點E在∠BAC的角平分線上.

如圖1，連接BE，則∠DBC=∠DAC=∠BAD，

而∠EBD=∠EBC+∠DBC，∠DEB=∠EBA+∠BAD，由DB=DE，所以∠EBD=∠DEB，可得∠EBC=∠EBA，即點E在∠ABC的角平分線上.

同理點E在∠ACB的角平分線上.

即點E是△ABC的內心.

研究2 設∠BAC=θ，由點E是△ABC的內心，則可得∠BEC=90°+θ2.則有以下命題：

若如圖2，在△ABC中，AD平分∠BAC，點E在線段AD上，連接BE，CE.設∠BAC=θ，若∠BEC=90°+θ2，求證：點E是△ABC的內心.

分析 點E在AD上從點A到點D運動，可知θ≤∠BEC≤180°，存在某一時刻，使得∠BEC=90°+θ2，而當點E為內心時∠BEC=90°+θ2，由同一法可知點E為△ABC的內心.

證法1 （中點型一線三等角相似）

如圖3，過點E作AD的垂線分別交AB，AC于點M，N.

由AD平分∠BAC，可得△AME≌△ANE（ASA），從而EM=EN，利用三角形外角可知∠CNE=90°+θ2，∠EMB=90°+θ2，即∠CNE=∠CEB=∠EMB，根據一線三等角相似可得△CNE∽△EMB，所以ENBM=CEBE，即EMBM=CEBE，又因∠EMB=∠CEB，所以△CEB∽△EMB，即△CNE∽△EMB∽△CEB.

可得∠EBM=∠EBC，∠ECN=∠ECB，即點E是△ABC的內心.

證法2 （角平分線的全等結構）

如圖4，以BE為邊點，E為頂點作∠BEF=90°+θ2交邊BA（或BA的延長線）于點F，延長EF交CA（或CA的延長線）于點G.

可知∠GEC=360°-∠BEF-∠BEC=180°-θ，所以∠GAF=∠GEC，從而可得△GAF∽△GEC，則∠GFA=∠GCE，即∠PFE=∠QCE，過點E分別向邊AB，AC作垂線交于點P，Q，從而由AD平分∠BAC，得出EP=EQ，所以△EPF≌△EQC（AAS）.

可得EF=EC，于是△BEF≌△BEC（SAS），則∠FBE=∠CBE，所以BE平分∠ABC，即點E是△ABC的內心.

證法3 （外接圓）

如圖5，作△ABC的外接圓，延長AD交外接圓于點F，延長BF至點G，使得FG=BF，連接CG.

由∠BAC=θ，可知∠BFC=180°-θ，因為AD平分∠BAC，從而∠BAF=∠CAF，由圓周角定理知FB=FC，從而∠FGC=12∠BFC=90°-θ2，根據∠BEC+∠FGC=180°可知E，B，G，C在以BG為直徑的圓周上，于是FB=FE=FC，由研究1知：點E是△ABC的內心.3 考題應用

如圖6，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于點D，點O為AD上一點，若∠BOC=2∠BAC=120°，OB=2OC，AO=23，求線段BC的長.

審題 根據題目信息可知∠BAC=60°，由∠BOC=120°，BO=2OC，聯想到解三角形，作∠BOC的外角構造直角三角形.再由AD平分∠BAC，AO=23可得出點O到兩邊距離為2.又∠BOC=120°=90°+12∠BAC，由研究2可知點O為△ABC的內心.

解法1 如圖7，過點O作AD垂線交AB，AC于點M，N，可知OM=ON=2，AM=AN=4，由∠CNO=∠COB=∠OMB=120°，可得△CNO∽△OMB，所以CNOM=ONBM=COOB=12，于是CN=1，BM=4，從而在△ABC中，AB=AM+BM=8，AC=AN+CN=5，∠BAC=60°，如圖8，過點C作CH⊥AB，解三角形得BC=7.

解法2 如圖9，過點B作CO的垂線，交CO的延長線于點E，由∠BOC=120°，BO=2OC，不妨設OC=m，則BO=2m，EO=m，BE=3m.

在Rt△BCE中，勾股定理可得BC=EC2+BE2=7m，過點O分別作邊BC，AC的垂線交于點F，G，由點O為△ABC的內心可得OF=OG=3，由△OCF∽△BCE，可得OFBE=OCBC，即33m=m7m，解得m=7，即BC=7m=7.4 思考

雙減背景下，切實減輕學生負擔要從教師“增壓”開始，教材是教師教學和學生學習的“根”，教材中的習題是編寫者精心設計的，值得教師深入研讀、研究.我們注意到，很多中考命題都是課本經典習題的改編和重組，也就是從課本的“根”生長出來的.用好教材、挖掘教材是教師專業(yè)基本功的重要體現，依托課本素材進行深入研究、變化，通過問題不同角度思考及變式訓練培育學生核心素養(yǎng).因此，要注重典型例題和習題延拓與發(fā)散，發(fā)展學生的思維，落實核心素養(yǎng)，積累活動經驗，從而提高教學效率！

參考文獻

[1]新時代數學編寫組.數學（九年級下冊）[M].上海：上?？茖W技術出版社，2021.

作者簡介 武前煒（1984—），男，中學高級教師;主持合肥市教育規(guī)劃課題并結題，獲2012年、2020年合肥市中學數學教師綜合素質大賽一等獎;主要從事初等數學教育、中考考題研究.

基金項目 2020合肥市教育規(guī)劃課題“基于核心素養(yǎng)的初中數學作業(yè)設計的實踐研究”（課題編號HJG20128）.