石義娜　丁紅云　李艷琴

【摘 要】文章通過以問題背景、數(shù)學認知、問題開放性為維度的三因素多水平教材問題分析框架，分析我國20世紀80年代以來人教版初中數(shù)學教材中“相交線與平行線”章節(jié)的數(shù)學問題，探析近四十年來教材中平面幾何板塊的問題編寫及其價值取向變化.分析發(fā)現(xiàn)價值取向變化主要表現(xiàn)為逐步從關(guān)注數(shù)學知識到更加注重數(shù)學與自然和諧的知識體驗，即數(shù)學的實用性價值;從注重數(shù)學演題到更加強調(diào)思維訓練的學習方式，即數(shù)學的理性價值;從注重數(shù)學知識鞏固到更加關(guān)注開放性的思維方式，即數(shù)學的創(chuàng)造價值.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學;教材;問題編寫;價值取向;平面幾何

數(shù)學教材是實現(xiàn)數(shù)學課程目標、發(fā)展學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的重要教學資源[1]，而教科書中的問題也是確定教科書效果的重要標準[2]，數(shù)學問題作為教材中的重要組成成分，有著重要的價值和意義.章建躍教授曾指出，有數(shù)學含金量的問題能幫助學生實現(xiàn)“從知其然到知其所以然，再到何由以知其所以然”的跨越[3].一直以來，教材比較研究大多聚焦于橫向比較，縱向研究較為匱乏，此外，在研究內(nèi)容上更多關(guān)注于教材的內(nèi)容、結(jié)構(gòu)以及問題難易度等方面的比較[4-7]，對教材中問題編寫及其價值取向變化的研究缺少更多的關(guān)注.平面幾何知識產(chǎn)生的歷史幾乎與人類的文明史同步，對人類的生存與繁榮起著極其重要的作用[8]，而“相交線與平行線”章節(jié)是學生學習的第一個幾何對象，在使學生了解研究一個幾何對象的“基本套路”上具有奠基意義[9].基于此，文章運用文本內(nèi)容分析法，以20世紀80年代以來的人教版數(shù)學教材“相交線與平行線”中的數(shù)學問題為研究對象，運用三因素多水平教材問題分析框架對數(shù)學問題進行分析和比較，進而考察近四十年來數(shù)學教材中平面幾何板塊的問題編寫及其價值取向變化.1 研究設(shè)計與工具

1.1 樣本的選取

文章選取人教版1982年、1992年、2004年、2020年的四套初一數(shù)學教材，重點考察教材相交線與平行線章節(jié)中的三類數(shù)學問題：①穿插在新知引入中的“觀察”“思考”“探究”等欄目問題，包括旁注的“問號型問題”[10];②例題，即教材中含有“例”或者“例題”這類標記的數(shù)學題;③練習，即教材中有“練習”這類標記的數(shù)學題[11].

1.2 研究方法

采取文本內(nèi)容分析方法，從數(shù)學問題背景、數(shù)學認知、開放性三個角度，對不同時期教材中“相交線與平行線”章節(jié)的數(shù)學問題進行分類、編碼與統(tǒng)計分析，進而揭示教材中問題編寫及其價值取向的變化.

1.3 分析框架

2001年Nohara在PISA水平中首次提出了總體難度（Overall difficulty）的概念，其中涉及四個難度因素：擴展性問題、實際背景、運算、多步推理[12].鮑建生教授指出總體難度雖然涉及了多個難度因素，但缺少對數(shù)學探究水平的刻畫和反映數(shù)學知識綜合程度的指標，此外在每個因素的水平劃分上顯得比較粗糙，如“運算”因素上，只包含“有”“無”兩個水平.基于此，鮑建生教授做了進一步的調(diào)整和改進，構(gòu)建了一個數(shù)學課程綜合難度的多因素模型，包括“運算”“推理”“知識含量”“探究”“背景”五個因素.其中，前三個因素更多的代表了我國傳統(tǒng)的“雙基”，而后兩個因素反映了數(shù)學課程改革的一種趨向[13-14]，課程改革本質(zhì)上是教育教學思想的時代變化，也側(cè)面體現(xiàn)了時代價值觀的變化.因此，文章選擇“探究”與“背景”因素作為考察教材編寫及價值取向變化的主要因素.在后續(xù)發(fā)展中，王建磬與鮑建生根據(jù)青浦實驗得出的數(shù)學認知水平框架對數(shù)學課程綜合難度的多因素模型進行了修正，將“探究”因素修改為了“數(shù)學認知”因素.考慮到數(shù)學問題的開放性對發(fā)展學生數(shù)學能力的重要意義，本研究在借鑒鮑建生數(shù)學課程的綜合難度模型基礎(chǔ)上，將其原有“探究”因素中的開放性剝離出來，成為一個單獨因素，構(gòu)建一個三因素多水平教材問題分析框架（見表1），用以研究教材中數(shù)學問題編寫及價值取向的變化.

其中di（i=1，2，3）依次分別表示“問題背景”“數(shù)學認知”“問題開放性”三個因素上的加權(quán)平均值;dj（j=1，2，3，4）依次分別表示四個水平上的取值;dij為第i個因素的第j個水平的權(quán)重（依水平分別取1，2，3，4，其中將封閉題歸為水平1，開放題歸為水平3），nij表示這組題目中屬于第i因素的第j個水平的題目的個數(shù)，k表示選取的總樣本量;Px則對應(yīng)1982—2020年四本教材中對“相交線與平行線”章節(jié)的數(shù)學問題進行分層抽樣所得的概率（分層抽樣可以使求解的值免受教材中問題數(shù)差異的影響），分別為P1982=1，P1992=0.4375，P2004=0.7179，P2020=0.56.

樣本數(shù)量統(tǒng)計情況如表2所示.

下面按照問題類型和各因素比較的特征，分別對四本教材中“相交線與平行線”章節(jié)中的數(shù)學問題進行定量分析和定性描述，再綜合背景、數(shù)學認知和開放性因素進行整體分析.

2.1 背景比較

首先，數(shù)學問題的背景可分為數(shù)學背景、社會生活背景、公共常識性背景以及科學情境四類.在此基礎(chǔ)上，對不同年代教材中的相關(guān)數(shù)學問題進行統(tǒng)計，具體見圖1.

從圖1不難發(fā)現(xiàn)四本教材中數(shù)學背景類問題居多，公共常識類和科學情境類問題占比均為0，且前兩本教材中數(shù)學背景類問題遠多于社會生活類問題，但自九十年代以來，社會生活類問題與數(shù)學背景類問題的差距縮小許多，2004年最為突出.盡管近四十年來教材中數(shù)學問題背景呈波動狀態(tài)，但是在問題設(shè)置上開始關(guān)注數(shù)學與自然和社會生活的聯(lián)系，注重數(shù)學的應(yīng)用性和實用性.

2.2 數(shù)學認知比較

根據(jù)數(shù)學認知可將數(shù)學問題分為四類：①操作—運算類，即按照課本要求的程序或方法進行基本計算或?qū)栴}中的元素進行常規(guī)操作;②概念—認識類，即考察學生對課本概念、規(guī)則、表達形式記憶的問題;③領(lǐng)會—說明類，即能理解概念、原理、法則和數(shù)學結(jié)構(gòu)的內(nèi)涵;轉(zhuǎn)化問題的不同形式，并比較、分析常規(guī)問題的不同變式;④分析—探究類，即能分析、創(chuàng)造性地解決非常規(guī)問題，也包括開放題，數(shù)學問題一般化或特殊化等[15].

圖2呈現(xiàn)各年代教材中的數(shù)學問題在數(shù)學認知因素上的統(tǒng)計結(jié)果：

從圖2中可以看出，在數(shù)學認知因素上，四本教材均是概念—認識類認知水平占比最高，1982年和1992年最為突出，遠高于其他三類認知水平，這也符合80、90年代的特征，即知識本位，側(cè)重普及和鞏固.此外，操作—運算類認知水平占比有所下降，但占比從九十年代開始穩(wěn)定，領(lǐng)會—說明和分析探究兩類認知因素的變化趨勢極為相似，后兩本較前兩本增加了不少.總的來說，近二十年來教材中數(shù)學問題的整體認知要求有了很大提高，且四類認知因素之間的差距明顯縮小，開始呈現(xiàn)均衡發(fā)展的走向，在問題設(shè)置上更具引導(dǎo)性和探究性，也越來越重視高階思維的培養(yǎng)，強調(diào)思維的訓練.

2.3 開放性比較

數(shù)學開放題沒有統(tǒng)一的定義，但普遍認為開放題是指答案不唯一，或在設(shè)問方式上要求學生進行多方面、多角度、多層次探索的數(shù)學問題[16].圖3呈現(xiàn)了不同版本教材中的數(shù)學問題在開放性上的統(tǒng)計情況.

觀察圖3發(fā)現(xiàn)，教材中封閉性問題的占比高于開放性問題的占比，但開放性問題數(shù)量逐漸上升，封閉性問題的數(shù)量逐漸下降，體現(xiàn)了近年來教材中數(shù)學問題的開放性得到了進一步強化.此外，從圖中可以看出，開放性題和封閉性題的兩條曲線從2004年開始趨于平緩，開始呈現(xiàn)相對穩(wěn)定的發(fā)展趨向.

2.4 綜合性分析

前面對問題背景、數(shù)學認知以及問題開放性三個因素分別進行了分析和描述，下面從因素和水平兩個維度進行綜合分析，對各指標賦權(quán)后求加權(quán)平均值后得到下面的雷達圖（圖4，圖5）.

觀察圖4，后兩本教材在三個因素的加權(quán)平均值上均高于前兩本，并且后兩本之間相差無幾，前兩本也是如此，究其原因主要是與2001年的課改有很大聯(lián)系，此次課改是一個巨大轉(zhuǎn)折點，對教材中問題編寫有著不可忽視的影響.在課改前，教材中的數(shù)學問題絕大多數(shù)都是練習題;而課改后，在教材中增添了“觀察”“思考”“探究”等欄目問題，包括旁注的“問號型問題”，這類過渡性問題的數(shù)量占較大比例，這體現(xiàn)了教材編寫對知識獲得過程的關(guān)注，重視對知識本質(zhì)的探究和再發(fā)現(xiàn)，進一步體現(xiàn)了對過程學習中能力與素養(yǎng)培養(yǎng)的滲透.此外，四本教材中數(shù)學問題的數(shù)學認知因素的加權(quán)平均值相較其他兩個因素而言要高出不少，這也說明了教材中平面幾何部分的數(shù)學問題強調(diào)高階性思維能力，即關(guān)注思維訓練的數(shù)學教育價值取向.四本教材中數(shù)學問題各水平的比較情況可以從圖5看出，隨著時代的發(fā)展，水平1下降幅度較為明顯，水平2波動較小，而水平3和水平4均有很大的提升，四個水平構(gòu)成的四邊形也越來越接近正方形，體現(xiàn)教材中數(shù)學問題的各水平占比差距縮小，有著穩(wěn)定均衡的發(fā)展走向.

綜上，可知近四十年以來，數(shù)學問題開始從注重數(shù)學知識本身到更為強調(diào)數(shù)學與自然的和諧發(fā)展，從關(guān)注數(shù)學演題到更為突出思維的訓練和高階思維的培養(yǎng)，從注重知識技能訓練到更為關(guān)注思維開放性，這些都反映了教育理念和價值取向的時代轉(zhuǎn)變.特別是近二十年來，隨著基礎(chǔ)教育數(shù)學課程改革的實施，教材中數(shù)學問題的設(shè)置更具探究性、邏輯性、引導(dǎo)性和開放性，更為強調(diào)數(shù)學的理性和實用性的動態(tài)平衡，以及創(chuàng)新精神、能力和素養(yǎng)的培養(yǎng).3 教材中問題編寫的價值分析

由前面對問題的背景、認知要求、開放性、以及綜合比較分析，可以得出近四十年來數(shù)學教材平面幾何板塊中數(shù)學問題的編寫變化，但僅從上述數(shù)據(jù)分析來衡量價值變化略顯局限.因此，下面結(jié)合四本教材所對應(yīng)的教學大綱或課程標準的要求進行交叉分析，從中折射出近四十年來平面幾何價值的變化.

3.1 數(shù)學的實用性價值

從問題背景因素上看，社會生活類、公共常識類和科學情境類比數(shù)學背景類更為突出數(shù)學與自然和社會的聯(lián)系，因此社會生活、公共常識和科學情境三者問題數(shù)之和與數(shù)學背景問題數(shù)的比值變化能直接體現(xiàn)數(shù)學實用性價值取向的變化.其中，四本教材的對應(yīng)比值分別為0.12，0.21，0.86，0.56，總體呈上升趨勢，而2020年比值較2004年低的主要原因是練習題的增加，側(cè)重純數(shù)學思維的訓練，即理性思維的培養(yǎng).總體上，后兩本的比值高于前兩本，說明數(shù)學問題背景設(shè)置愈發(fā)注重數(shù)學與自然和社會的聯(lián)系，即關(guān)注數(shù)學的實用性價值.例如在垂線段最短部分的設(shè)置上，前兩本教材均直接給出性質(zhì)內(nèi)容并沒有設(shè)置問題引導(dǎo)過渡，知識點后設(shè)置了問題和練習，而后兩本則是設(shè)置了一個現(xiàn)實生活問題情境進行引導(dǎo)，即在灌溉時，要把河中的水引到農(nóng)田，如何挖渠能使渠道最短？再抽象出知識點，最后利用性質(zhì)解決生活情境中的問題.顯然，在問題設(shè)置上，前兩本更關(guān)注的是數(shù)學知識本身的理解和運用，反觀后兩本不僅體現(xiàn)了數(shù)學源于生活、應(yīng)用于生活，還體現(xiàn)了從關(guān)注數(shù)學知識本身到更為注重數(shù)學的實用性價值，滲透了數(shù)學與自然和社會生活的聯(lián)系.

四本教材對應(yīng)的教學大綱（課程標準）也存在諸多差異，1982年和1992年的兩本大綱都注重雙基和三大能力，前者認為做足夠數(shù)量的練習，是使學生牢固掌握數(shù)學基礎(chǔ)知識和基本技能的必要途徑，后者提及利用所學解決簡單實際問題.2004年和2020年的兩本課標在教材編寫建議中均強調(diào)密切聯(lián)系學生生活，后者除生活現(xiàn)實外，還強調(diào)數(shù)學現(xiàn)實和其他學科現(xiàn)實的聯(lián)系[17，18].綜上可知，2001年的課改對教材編寫有著巨大的影響，課改前后的教材問題編寫存在著較大的差異，課改前明顯更重視雙基，課改后除四基、四能外，還開始關(guān)注數(shù)學與自然及人類社會的密切聯(lián)系.無論是前面的數(shù)據(jù)分析，還是教學大綱（課程標準）的比對分析，都反映了數(shù)學教材在問題背景設(shè)置上從關(guān)注數(shù)學知識本身轉(zhuǎn)為注重數(shù)學與自然和社會生活的聯(lián)系，即明確指出了數(shù)學的實用性價值.整體上，最新版在問題背景設(shè)置上更加全面和均衡.

3.2 數(shù)學的理性價值

數(shù)學認知中操作—運算和概念—認識是對問題進行常規(guī)性的和形式記憶的考察，此類題的解答只需學生了解課本上的相關(guān)知識點，沒有對知識進行深入理解和掌握;而領(lǐng)會—說明和分析—探究的題目就需學生理解數(shù)學知識和結(jié)構(gòu)的內(nèi)涵，并能理性思考，具有條理性與邏輯性，因此，后兩類與前兩類問題數(shù)的比值變化能展現(xiàn)學生學習方式的變化.其中，四本教材的對應(yīng)比值分別為0.12，0.23，1.29，1.00，從比值可以看出前兩本的數(shù)學問題大多數(shù)都是低層次的認知要求，而后兩本認知問題的層次十分接近.隨著時代的發(fā)展，教材中的數(shù)學問題認知要求有了明顯地提升，高認知的問題數(shù)量明顯增加，這充分說明了教材中幾何部分的數(shù)學問題強調(diào)高階思維能力的培養(yǎng).

四本教材對應(yīng)的教學大綱（課程標準）在思維方面的要求也有所不同，1982年對應(yīng)的大綱指出具有一定的邏輯思維能力;1992年對應(yīng)的大綱指出邏輯性與直觀性相結(jié)合，指出發(fā)展思維能力是培養(yǎng)能力的核心;2004年對應(yīng)的課標提出遵循學生心理規(guī)律與認知規(guī)律，建立初步的空間觀念，發(fā)展形象思維，發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理能力;2020年對應(yīng)的課標在2004年的基礎(chǔ)上增加了幾何直觀.總的來說，在問題的設(shè)置上均注意對思維的重要性，但后兩本對思維的訓練更加全面、具體，具有可操作性和實施性，對數(shù)學思考進行了具體闡述.隨著時代的發(fā)展，開始從注重數(shù)學演題轉(zhuǎn)為更加強調(diào)思維訓練的學習方式，在幾何板塊中愈發(fā)強調(diào)數(shù)學理性價值的滲透.

3.3 數(shù)學的創(chuàng)造價值

數(shù)學開放題是一種探索性問題，它能夠幫助學生獲得信心和提供多角度思考的機會，不同能力的學生在解答開放題時能夠產(chǎn)生自己的數(shù)學思考，培養(yǎng)高層次思維能力[19]，因此教材中開放式數(shù)學問題對學生思維和能力的培養(yǎng)有著毋庸置疑的作用，特別是創(chuàng)新思維和非智力因素的培養(yǎng).四本教材中開放性與封閉性題數(shù)的比值分別為0.04，0.10，0.34，0.32，九十年代后較之前而言開放式問題有明顯的提升.此外，后兩本教材中問題的設(shè)置相較于前兩本教材而言，不僅僅是開放性問題數(shù)量有所增加，還有形式上也更具多樣化，除答案不唯一外，還新增了方法不唯一、設(shè)問方式多層次化的問題.例如，學習了平行性的判定定理，四本教材設(shè)置的練習中，1982年和1992年的均為封閉題，提問的方式有幾種：“是不是？”“可以判定嗎？”“根據(jù)什么？”“為什么？”;但2004年和2020年設(shè)置了一個非常規(guī)問題，即觀察小明同學制作的英語抄寫紙的一部分（如圖6），其中的橫格線互相平行嗎？你有多少種判別方法？在設(shè)問方式上，后兩本較前兩本明顯地更具啟發(fā)性、思考性和開放性，打破常規(guī)、弱化思維定勢，利于學生發(fā)散思維和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，從而讓學生在看問題時更具變通性、流暢性和獨特性.

四本教材對應(yīng)的教學大綱（課程標準）中，1982年的大綱沒有提到與創(chuàng)新相關(guān)的要求，其余三本均談及培養(yǎng)創(chuàng)新意識或創(chuàng)新精神.其中，后兩本課標在教材編寫建議中明確提到教材和題材應(yīng)具有多樣化、豐富化，進而發(fā)散學生思維，促進想象力、創(chuàng)造力的培育，彰顯數(shù)學的創(chuàng)造價值.從上面的數(shù)據(jù)和教學大綱（課程標準）可以看出，教材中問題編寫的價值取向已從過去注重對知識技能的訓練，發(fā)展到現(xiàn)今更為強調(diào)思維開放性與創(chuàng)新意識，強調(diào)為學生思考、探究、發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新提供最大的空間，具有較強的開放性、選擇性.

總之，教材的編寫越來越注重數(shù)學的實用性價值，重視學生思維的訓練與理性的思考，即理性價值的滲透，以及強調(diào)創(chuàng)新精神的培養(yǎng).不僅體現(xiàn)了知識體驗、學習模式和思維方式的轉(zhuǎn)變，還透露出各時代的鮮明特征和價值取向的變化，這與研究的四本教材所對應(yīng)的教學大綱（課標）的要求和理念的變化有直接對應(yīng)關(guān)系.此外，平面幾何主要采用了公理化方法，強調(diào)用純邏輯推理的法則，建立成一個演繹系統(tǒng)的方法，因此教材針對平面幾何中的數(shù)學問題要平衡好數(shù)學的實用性和理性價值，只有把握好這個度，才能更好地培養(yǎng)學生的能力和素養(yǎng)，落實立德樹人的根本任務(wù).4 結(jié)論與思考

近四十年來，教材中的數(shù)學問題反映了價值取向從過去側(cè)重于知識本身、追求演題以及看重封閉式的練習，轉(zhuǎn)變?yōu)楝F(xiàn)在注重知識的獲得過程、強調(diào)獨立思考和自主探索的知識體驗，以及高層次思維、非智力因素和能力素養(yǎng)的培養(yǎng).通過對近四十年來教材中平面幾何內(nèi)容的編寫變化，來反映不同時代背景下的價值轉(zhuǎn)變和教材研究的育人發(fā)展，進而促進教材更好的改革和促進教材研究的可持續(xù)發(fā)展.

結(jié)合上述分析對教材編寫提出以下幾點建議.第一，適當增加公共常識和科學情境兩類問題背景.根據(jù)前面的分析可以發(fā)現(xiàn)，公共常識類和科學情境類問題幾乎為零，而這兩類恰恰對開拓視野，增強跨學科聯(lián)系，以及促進情感、態(tài)度與價值觀等方面的發(fā)展有著不可替代的作用.因此，豐富問題背景，使教材中的數(shù)學問題背景從單一轉(zhuǎn)向多元發(fā)展，更加凸顯數(shù)學與自然科學的交叉滲透和融合.第二，增強練習的層次性.學生是具有差異的個體，根據(jù)學習個體在學習特征、已有基礎(chǔ)及學習興趣等層面的不同，設(shè)定不同層次的練習任務(wù)，可兼顧不同學生的發(fā)展需求，達到學生學習參與最大化的目的.第三，在數(shù)學實用性與理性價值上保持適度平衡.盡管課標強調(diào)數(shù)學與自然社會的聯(lián)系，但平面幾何擁有嚴密的邏輯體系和推理方法，相比代數(shù)而言，對培養(yǎng)學生理性思維有著不可忽視的作用.因此，教材編寫不能傾向數(shù)學與現(xiàn)實的關(guān)聯(lián)而忽視數(shù)學學科的本質(zhì)特征，在關(guān)注數(shù)學實用性和直觀性的同時，也不要忽視幾何演繹體系中所蘊含的推理、論證、抽象的理性思維.

無疑，這給教學也提出了進一步的要求.首先，教師要了解學科發(fā)展，構(gòu)建整體認知框架，形成知識網(wǎng)圖，把握知識本質(zhì)，滲透價值理念.其次，教師需要站在研究者和教育者雙重視角去合理開發(fā)教材，規(guī)避教材的不足，適當調(diào)整教學、完善教學，達到用教材而又高于教材.例如，多給學生提供一些非常規(guī)題、情景題、開放題等，使學生能創(chuàng)造性的解決問題，提升能力、鍛煉思維、培養(yǎng)素養(yǎng)以及增長見識.最后，教師要在知識掌握與知識體驗、數(shù)學演題與自主探究和合作交流、知識鞏固與思維開放中保持適度的平衡，唯有如此，教學才能更好地促進學生數(shù)學素養(yǎng)的發(fā)展.

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作者簡介 石義娜（1996—），女，貴州遵義人，碩士研究生;主要從事數(shù)學教育研究.

丁紅云（1997—），女，貴州盤縣人，碩士研究生;主要從事數(shù)學教育研究.

李艷琴（1982—），貴州思南人，博士，教授，碩士生導(dǎo)師;主要從事數(shù)學教育研究.

基金項目 貴州師范學院與貴州師范大學聯(lián)合培養(yǎng)碩士研究生專項科研基金（項目編號：2021YJS04）.