鄭海山 唐海燕
摘? 要:從“與圓有關(guān)的專題課”案例出發(fā),從析題、思題、解題、悟題、變題這幾個方面的研究入手,建構(gòu)幾何專題復(fù)習(xí)課的核心環(huán)節(jié),有效地把教師對題的認(rèn)識與學(xué)生對題的理解進(jìn)行充分的預(yù)設(shè)和生成,切實提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力,形成良好的解題習(xí)慣和解題策略,提高邏輯推理能力.
關(guān)鍵詞:與圓有關(guān);專題復(fù)習(xí);解題能力
說題一般包含賞題、析題、解題、思題、變題五個方面. 把說題的要素融入復(fù)習(xí)設(shè)計與教學(xué)中,結(jié)合學(xué)生和課堂因素,在教學(xué)實踐中逐步提煉出“析、思、解、悟、變”環(huán)節(jié)建構(gòu)幾何專題復(fù)習(xí)課,獲得較好的效果. 本文以“與圓有關(guān)的專題課”為例,分享觀點.
一、解讀與圓有關(guān)的專題課和“析、思、解、悟、變”
案例源自浙江省溫州市中考試卷——與圓有關(guān)的試題,其教學(xué)目標(biāo)是會運用圓、三角形、四邊形的相關(guān)性質(zhì)解決問題,并在問題解決的過程中提升邏輯推理能力. 上課學(xué)生來自農(nóng)村學(xué)校,對該板塊內(nèi)容的掌握不是很理想,分析原因主要是只重視反復(fù)做題,大量練題,缺乏解題思路、解題方法的歸納總結(jié),因此知識之間不成體系,凌亂繁雜,復(fù)習(xí)效率不理想,改變現(xiàn)狀的方法是提升解題質(zhì)量,進(jìn)而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯推理能力.
“析、思、解、悟、變”是指在試題處理中的析題、思題、解題、悟題、變題五個方面,通過“析、思、解、悟、變”的過程化教學(xué),在知識、思想方法和策略的體系內(nèi)建構(gòu)幾何復(fù)習(xí)內(nèi)容,能有效提升解題質(zhì)量,促使每一個層次的學(xué)生在解題習(xí)慣和邏輯推理能力方面有所提升. 析題——遇見最近:根據(jù)試題,分別分析題目的條件和結(jié)論,即綜合法和分析法,由學(xué)生通過綜合法和分析法得出條件最近的結(jié)論和結(jié)論最需要的條件,快速理解題意. 思題——需要等待:教師要根據(jù)試題的特點設(shè)定好思考的時間,才能給學(xué)生山重水復(fù)疑無路和柳暗花明又一村的感觸. 解題——百花齊放:教師要有解題的多種方法,預(yù)設(shè)推理的困難點,多問你是如何想到的,所用知識是什么,再依靠學(xué)生的方法逐步釋放出一題多解. 悟題——謀篇布局:引導(dǎo)學(xué)生歸納解題背后的知識、模型、思想方法和策略. 變題——鞏固創(chuàng)新:進(jìn)行試題的同類變式和拓展變式等,對知識進(jìn)行鞏固與深化,培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力.
二、例題分析
教師列舉浙江省溫州市2015—2019年中考中與圓有關(guān)的試題,重在圖形和問題結(jié)論(如表)的對比,視覺沖擊強烈.
【設(shè)計意圖】學(xué)生能夠比較清晰地感知與圓有關(guān)的中考試題的結(jié)構(gòu)特點,增強學(xué)生學(xué)習(xí)的目的性,更快速地進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài).
例1 (2016年浙江·溫州卷第21題)如圖1,在△ABC中,∠C = 90°,D是BC邊上一點,以DB為直徑的⊙O經(jīng)過AB的中點E,交AD的延長線于點F,連接EF.
(1)求證:∠1 = ∠F.
(2)若sin B =[55],EF =[25],求CD的長.
例2 (2019年浙江·溫州卷第22題)如圖2,在△ABC中,∠BAC = 90°,點E在BC邊上,且CA = CE,過A,C,E三點的⊙O交AB于另一點F,作直徑AD,連接DE并延長,交AB于點G,連接CD,CF.
(1)求證:四邊形DCFG是平行四邊形.
(2)當(dāng)BE = 4,CD =[38]AB時,求⊙O的直徑長.
1. 析題——析出產(chǎn)生式遷移
教師與學(xué)生一起析題,即把相應(yīng)的條件標(biāo)注在圖形中,做到以圖達(dá)意.
例1處理:
問題1:以DB為直徑的⊙O經(jīng)過AB的中點E,你會想到什么?
問題2:要證∠1 = ∠F,只需證什么?
教師及時寫下師生互動的過程于黑板上(如圖3).
例2處理:采用例1的提問方式,把握“得出與條件最近的結(jié)論”和“得出結(jié)論成立最需要的條件”這兩項學(xué)習(xí)任務(wù)之間的思維距離,與學(xué)生一起確定兩者之間遷移存在的思維困難點在何處.
【設(shè)計意圖】讓全體學(xué)生了解題目分析的思維流程圖,并掌握分析題目的基本方法,即運用綜合法分析題目的條件,得出與條件最近的結(jié)論,用分析法分析題目的結(jié)論,得出結(jié)論成立最需要的條件,為思題環(huán)節(jié)提供思維著力點.
2. 思題——思出思維節(jié)點
根據(jù)所得的條件你認(rèn)為角的轉(zhuǎn)化最有可能用到什么知識?邊的轉(zhuǎn)化可能用到什么知識?促進(jìn)學(xué)生產(chǎn)生聯(lián)想,不斷提高研判突破思維節(jié)點的方向性的能力,在不斷試錯中提升邏輯推理能力. 讓學(xué)生自主限時6分鐘完成此題,并考慮是否還有其他方法,教師適當(dāng)輔導(dǎo)部分學(xué)生,時間到后評估學(xué)生的完成情況.
【設(shè)計意圖】根據(jù)試題設(shè)定好的學(xué)生單獨思考完成的時間,才能讓不同學(xué)生充分感觸“山重水復(fù)疑無路,柳暗花明又一村”的解題快樂,增加解題樂趣. 通過幫扶和評估手段可以更好地幫助思維困難的學(xué)生,并提高學(xué)生參與學(xué)習(xí)的主動性.
3. 解題——解出思維可視化和求異化
教師對試題的解法需要多樣性的思考預(yù)設(shè),預(yù)設(shè)推理的困難點,多問學(xué)生你是如何想到的,所用知識是什么. 教學(xué)中根據(jù)學(xué)生的講解方式逐步演繹一題多解,明白想法來自何處,解法背后的知識是什么,提高解題的質(zhì)量和思維的寬度. 在例1中,教師設(shè)計了如下問題串.
問題1:你是如何想到要連接DE的(如圖4)?
問題2:你是如何發(fā)現(xiàn)可以把∠1和∠F進(jìn)行轉(zhuǎn)化的?運用什么知識進(jìn)行轉(zhuǎn)化?
生1:中點垂直易發(fā)現(xiàn)全等三角形(中垂線),同弧易得角轉(zhuǎn)化.
問題3:你從哪個視角考慮求邊長?所用的知識是什么?
生2:在一個三角形中,運用勾股定理建立方程,或者在兩個三角形中運用相似建立方程.
問題4:還有其他方法嗎?是如何發(fā)現(xiàn)的?運用了什么知識?具體解題過程是怎樣的?
生3:如圖5,連接BF,發(fā)現(xiàn)直角三角形中線性質(zhì),易得角的轉(zhuǎn)化.793A9FFF-0255-4A68-8855-2FC75ED43FFA
在例2中,教師除了進(jìn)行上述提問外,還可以展示第(1)小題的逆向思維圖示:如圖6,∠GEB = ∠FCB → ∠FCB = ∠FDE → ∠CFD = ∠FCB → ∠FCB = ∠ACF → △ACF ≌ △ECF(或[EF=AF]),達(dá)到角轉(zhuǎn)化的思維路徑可視化;第(2)小題正向思維圖示:如圖6,易證△BEF ∽ △BAC(或△BGE ∽ △CDE)→EF = ?,AC = ?→由BE = 4,CD =[38]AB如何表征到EF和AC→方程思想,達(dá)到求邊的思維路徑可視化. 就是運用“問題串 + 圖示”把不可視的思維(思考方法和思考路徑)呈現(xiàn)出來,使其過程清晰可見,可以提高信息加工及信息傳遞的效能.
【設(shè)計意圖】一題多解是提高解題質(zhì)量和訓(xùn)練學(xué)生思維的重要環(huán)節(jié),教師充分預(yù)設(shè)解法情況,精心設(shè)計推理困難點的問題,善于通過學(xué)生的解法解說解法背后的思維路徑和知識支撐. 通過一題多解的教學(xué)可以充分發(fā)揮試題的價值,單位時間內(nèi)拓寬知識運用的廣度,從而提高解法教學(xué)的效率和效益.
4. 悟題——悟出概括化知識系統(tǒng)
在解題中不斷引導(dǎo)學(xué)生歸納解題背后的知識、模型、思想方法和策略. 例如,例1、例2的悟題視角有:為什么要連接DE或BF?此題證明角相等的方法有哪些?解直角三角形的方法有哪些?計算邊長常用的方法和思想有哪些?隱去圓,弱化一些無關(guān)線段,能發(fā)現(xiàn)基本圖形(如圖7,即直角三角形 + 折疊求邊長模型圖)嗎?把以上的知識形成解題的一般策略,引導(dǎo)學(xué)生形成解題思維路徑(如圖8),便于學(xué)生建構(gòu)有跡可循的思考方向模型,再次鍛煉學(xué)生的推理能力.
【設(shè)計意圖】悟題在于歸納,是提升解題質(zhì)量的重要環(huán)節(jié),它與解題環(huán)節(jié)是相互交叉,不斷歸納、補充的過程,能有效地解讀知其所以然,起到做一題、會一類,多法歸一的效果,多題同法的求同思維,為后續(xù)遷移和創(chuàng)新提供腳手架.
5. 變題——遷移與創(chuàng)新
對試題進(jìn)行同類變式和拓展變式,可以對原題進(jìn)行條件和結(jié)論的互換、條件弱化等變式,也可以另起新題,對所學(xué)知識進(jìn)行鞏固與深化,不斷培養(yǎng)學(xué)生的中、高階的推理能力、解題習(xí)慣和解題策略,幫助學(xué)生勾勒出知識與方法體系. 按照提升學(xué)生的推理能力進(jìn)行編排,賞析如下.
變式1:如圖9,AB為⊙O的直徑,BC切⊙O于點B,AC交⊙O于點D,∠BAC = 2∠CBE,BE交AC于點E,交⊙O于點F,連接AF.
(1)求證:∠CBE = ∠CAF.
(2)過點E作EG⊥BC于點G,若∠C = 45°,CG = 1,則⊙O的半徑是多少?
變式2:如圖10,在△ABC中,AC = BC,∠ACB = 90°,⊙O(圓心O在△ABC內(nèi)部)經(jīng)過B,C兩點,交AB于點E,過點E作⊙O的切線交AC于點F,延長CO交AB于點G,作ED∥AC交CG于點D.
(1)求證:四邊形CDEF是平行四邊形.
(2)若BC = 3,tan∠DEF = 2,求BG的值.
【設(shè)計意圖】通過題組,循環(huán)“析、思、解、悟、變”過程,為教師搭建以學(xué)為中心的復(fù)習(xí)框架(如圖11),為學(xué)生提供可視化的思維路徑,提升邏輯推理能力. 補充完善與圓相關(guān)的常見輔助線的添加方法,不斷完善“等角轉(zhuǎn)化”和求邊長的方法,圖形模型化等思維策略,并借此學(xué)會處理形如[2x+1=2+x+1]和[12x2+11=x+1x2+1]等方程,強化方程本質(zhì),培養(yǎng)化繁為簡的數(shù)感,提升邏輯推理能力,并培養(yǎng)思維品質(zhì).
三、教學(xué)反思
“析、思、解、悟、變”構(gòu)建幾何復(fù)習(xí)課時要關(guān)注內(nèi)容、課堂特點和學(xué)生實際,把提升各層次學(xué)生的邏輯推理能力作為目標(biāo),圍繞“如何想到?”“用什么知識?”顯現(xiàn)思維路徑和策略,提煉基本圖形為設(shè)計著眼點,實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo).
1.“析”的前提是備題充分
“析”的前提是對授課內(nèi)容進(jìn)行選材,關(guān)注試題反映的背景、意圖和評價等,準(zhǔn)確把握選材內(nèi)容是否符合《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》(以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》),這是內(nèi)容能否采用的關(guān)鍵所在. 例如,案例中采用的區(qū)域?qū)W業(yè)水平檢測題,比較貼合《標(biāo)準(zhǔn)》. 把“得出與條件最近的結(jié)論”和“得出結(jié)論成立最需要的條件”這兩項學(xué)習(xí)任務(wù)產(chǎn)生遷移,兩項任務(wù)之間產(chǎn)生式的重疊越多,遷移量越大. 兩項任務(wù)之間的遷移是隨著共有的產(chǎn)生式的多少的變化而變化的,可以幫助教師研判學(xué)生可能存在的思維困難點在何處.
2.“思”的核心是引導(dǎo)學(xué)生嘗試聯(lián)想
研判出學(xué)生“思”的疑惑點后,需要做好揭露思維節(jié)點的問題設(shè)計.“得出與條件最近的結(jié)論”和“得出結(jié)論成立最需要的條件”之間有什么關(guān)聯(lián)?根據(jù)所得的條件你認(rèn)為角的轉(zhuǎn)化最有可能用到什么知識?邊的轉(zhuǎn)化可能用到什么知識?促進(jìn)學(xué)生產(chǎn)生聯(lián)想,不斷提高研判、突破思維節(jié)點的方向性的能力,在不斷試錯中提升邏輯推理能力.
3.“解”的要素是動態(tài)交互和呈現(xiàn)方式
解的過程需要師生互動. 你是如何想到的?所用的知識是什么?還有哪些方法?哪位學(xué)生解的方法最好?等等. 學(xué)生對題的認(rèn)識能讓我們重新評估學(xué)生思維的障礙點,及時追問和補充. 沒有互動,思想就不會傳遞,思維就不會產(chǎn)生火花,乃至共鳴. 此外,還要注意解題過程中的思維圖示展示(例題中的角轉(zhuǎn)化和邊轉(zhuǎn)化),把不可視的思考方法和思考路徑呈現(xiàn)出來,可以提高信息加工及信息傳遞的效能. 提高教學(xué)效能的關(guān)鍵不在于“知識重復(fù)的次數(shù)”,而在于挖掘與呈現(xiàn)知識背后的思維規(guī)律,并訓(xùn)練學(xué)生,使他們掌握它. 例題中的一題多法是發(fā)散思維的體現(xiàn),只有這樣,學(xué)生邏輯思維能力才會在學(xué)習(xí)過程中得到有效發(fā)展.
4.“悟”的落點在于概括
賈德的概括化理論認(rèn)為:共同要素并不能自動導(dǎo)致遷移,經(jīng)驗的概括才是重要的. 由于提高解題教學(xué)的效率在于解題的質(zhì)量而非解題的數(shù)量,教學(xué)中特別要研究由題目信息與不同數(shù)學(xué)知識結(jié)合形成的多個解題方向,學(xué)會選擇解題途徑,深度思考. 因此,引導(dǎo)學(xué)生對試題背后的知識與技能、思想與方法、規(guī)律與模型、策略與習(xí)慣等逐一概括,體現(xiàn)多法歸一、多題同法的求同思維,為后續(xù)遷移和創(chuàng)新提供腳手架,從而促使邏輯推理能力有效提高.
5.“變”的實質(zhì)是遷移與創(chuàng)新
“變”題含義是豐富的,有條件和結(jié)論互換變式,適用于新授例題學(xué)習(xí)和規(guī)律的運用,也有同類遷移變式和創(chuàng)新變式提升. 在試題符合《標(biāo)準(zhǔn)》要求的情況下,教師要對其進(jìn)行秩序的組合,以滿足學(xué)生解題策略、解題習(xí)慣及解題模型的目標(biāo)達(dá)成,促進(jìn)有意義的變式題組. 一組好的變式題組能讓課堂層次更加豐富,還能讓課后作業(yè)更加有成效,為提升邏輯推理能力提供有效的媒介.
教學(xué)實踐表明,“析、思、解、悟、變”不僅適用于幾何專題復(fù)習(xí)課,也同樣適用于新授例題教學(xué)和代數(shù)的專題教學(xué),在提升學(xué)生邏輯推理能力上效果顯著.
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