鄭海山 唐海燕

摘? 要：從“與圓有關(guān)的專題課”案例出發(fā)，從析題、思題、解題、悟題、變題這幾個方面的研究入手，建構(gòu)幾何專題復(fù)習(xí)課的核心環(huán)節(jié)，有效地把教師對題的認(rèn)識與學(xué)生對題的理解進(jìn)行充分的預(yù)設(shè)和生成，切實(shí)提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，形成良好的解題習(xí)慣和解題策略，提高邏輯推理能力.

關(guān)鍵詞：與圓有關(guān);專題復(fù)習(xí);解題能力

說題一般包含賞題、析題、解題、思題、變題五個方面. 把說題的要素融入復(fù)習(xí)設(shè)計(jì)與教學(xué)中，結(jié)合學(xué)生和課堂因素，在教學(xué)實(shí)踐中逐步提煉出“析、思、解、悟、變”環(huán)節(jié)建構(gòu)幾何專題復(fù)習(xí)課，獲得較好的效果. 本文以“與圓有關(guān)的專題課”為例，分享觀點(diǎn).

一、解讀與圓有關(guān)的專題課和“析、思、解、悟、變”

案例源自浙江省溫州市中考試卷——與圓有關(guān)的試題，其教學(xué)目標(biāo)是會運(yùn)用圓、三角形、四邊形的相關(guān)性質(zhì)解決問題，并在問題解決的過程中提升邏輯推理能力. 上課學(xué)生來自農(nóng)村學(xué)校，對該板塊內(nèi)容的掌握不是很理想，分析原因主要是只重視反復(fù)做題，大量練題，缺乏解題思路、解題方法的歸納總結(jié)，因此知識之間不成體系，凌亂繁雜，復(fù)習(xí)效率不理想，改變現(xiàn)狀的方法是提升解題質(zhì)量，進(jìn)而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯推理能力.

“析、思、解、悟、變”是指在試題處理中的析題、思題、解題、悟題、變題五個方面，通過“析、思、解、悟、變”的過程化教學(xué)，在知識、思想方法和策略的體系內(nèi)建構(gòu)幾何復(fù)習(xí)內(nèi)容，能有效提升解題質(zhì)量，促使每一個層次的學(xué)生在解題習(xí)慣和邏輯推理能力方面有所提升. 析題——遇見最近：根據(jù)試題，分別分析題目的條件和結(jié)論，即綜合法和分析法，由學(xué)生通過綜合法和分析法得出條件最近的結(jié)論和結(jié)論最需要的條件，快速理解題意. 思題——需要等待：教師要根據(jù)試題的特點(diǎn)設(shè)定好思考的時間，才能給學(xué)生山重水復(fù)疑無路和柳暗花明又一村的感觸. 解題——百花齊放：教師要有解題的多種方法，預(yù)設(shè)推理的困難點(diǎn)，多問你是如何想到的，所用知識是什么，再依靠學(xué)生的方法逐步釋放出一題多解. 悟題——謀篇布局：引導(dǎo)學(xué)生歸納解題背后的知識、模型、思想方法和策略. 變題——鞏固創(chuàng)新：進(jìn)行試題的同類變式和拓展變式等，對知識進(jìn)行鞏固與深化，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力.

二、例題分析

教師列舉浙江省溫州市2015—2019年中考中與圓有關(guān)的試題，重在圖形和問題結(jié)論（如表）的對比，視覺沖擊強(qiáng)烈.

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生能夠比較清晰地感知與圓有關(guān)的中考試題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的目的性，更快速地進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài).

例1 （2016年浙江·溫州卷第21題）如圖1，在△ABC中，∠C = 90°，D是BC邊上一點(diǎn)，以DB為直徑的⊙O經(jīng)過AB的中點(diǎn)E，交AD的延長線于點(diǎn)F，連接EF.

（1）求證：∠1 = ∠F.

（2）若sin B =[55]，EF =[25]，求CD的長.

例2 （2019年浙江·溫州卷第22題）如圖2，在△ABC中，∠BAC = 90°，點(diǎn)E在BC邊上，且CA = CE，過A，C，E三點(diǎn)的⊙O交AB于另一點(diǎn)F，作直徑AD，連接DE并延長，交AB于點(diǎn)G，連接CD，CF.

（1）求證：四邊形DCFG是平行四邊形.

（2）當(dāng)BE = 4，CD =[38]AB時，求⊙O的直徑長.

1. 析題——析出產(chǎn)生式遷移

教師與學(xué)生一起析題，即把相應(yīng)的條件標(biāo)注在圖形中，做到以圖達(dá)意.

例1處理：

問題1：以DB為直徑的⊙O經(jīng)過AB的中點(diǎn)E，你會想到什么？

問題2：要證∠1 = ∠F，只需證什么？

教師及時寫下師生互動的過程于黑板上（如圖3）.

例2處理：采用例1的提問方式，把握“得出與條件最近的結(jié)論”和“得出結(jié)論成立最需要的條件”這兩項(xiàng)學(xué)習(xí)任務(wù)之間的思維距離，與學(xué)生一起確定兩者之間遷移存在的思維困難點(diǎn)在何處.

【設(shè)計(jì)意圖】讓全體學(xué)生了解題目分析的思維流程圖，并掌握分析題目的基本方法，即運(yùn)用綜合法分析題目的條件，得出與條件最近的結(jié)論，用分析法分析題目的結(jié)論，得出結(jié)論成立最需要的條件，為思題環(huán)節(jié)提供思維著力點(diǎn).

2. 思題——思出思維節(jié)點(diǎn)

根據(jù)所得的條件你認(rèn)為角的轉(zhuǎn)化最有可能用到什么知識？邊的轉(zhuǎn)化可能用到什么知識？促進(jìn)學(xué)生產(chǎn)生聯(lián)想，不斷提高研判突破思維節(jié)點(diǎn)的方向性的能力，在不斷試錯中提升邏輯推理能力. 讓學(xué)生自主限時6分鐘完成此題，并考慮是否還有其他方法，教師適當(dāng)輔導(dǎo)部分學(xué)生，時間到后評估學(xué)生的完成情況.

【設(shè)計(jì)意圖】根據(jù)試題設(shè)定好的學(xué)生單獨(dú)思考完成的時間，才能讓不同學(xué)生充分感觸“山重水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村”的解題快樂，增加解題樂趣. 通過幫扶和評估手段可以更好地幫助思維困難的學(xué)生，并提高學(xué)生參與學(xué)習(xí)的主動性.

3. 解題——解出思維可視化和求異化

教師對試題的解法需要多樣性的思考預(yù)設(shè)，預(yù)設(shè)推理的困難點(diǎn)，多問學(xué)生你是如何想到的，所用知識是什么. 教學(xué)中根據(jù)學(xué)生的講解方式逐步演繹一題多解，明白想法來自何處，解法背后的知識是什么，提高解題的質(zhì)量和思維的寬度. 在例1中，教師設(shè)計(jì)了如下問題串.

問題1：你是如何想到要連接DE的（如圖4）？

問題2：你是如何發(fā)現(xiàn)可以把∠1和∠F進(jìn)行轉(zhuǎn)化的？運(yùn)用什么知識進(jìn)行轉(zhuǎn)化？

生1：中點(diǎn)垂直易發(fā)現(xiàn)全等三角形（中垂線），同弧易得角轉(zhuǎn)化.

問題3：你從哪個視角考慮求邊長？所用的知識是什么？

生2：在一個三角形中，運(yùn)用勾股定理建立方程，或者在兩個三角形中運(yùn)用相似建立方程.

問題4：還有其他方法嗎？是如何發(fā)現(xiàn)的？運(yùn)用了什么知識？具體解題過程是怎樣的？

生3：如圖5，連接BF，發(fā)現(xiàn)直角三角形中線性質(zhì)，易得角的轉(zhuǎn)化.793A9FFF-0255-4A68-8855-2FC75ED43FFA

在例2中，教師除了進(jìn)行上述提問外，還可以展示第（1）小題的逆向思維圖示：如圖6，∠GEB = ∠FCB → ∠FCB = ∠FDE → ∠CFD = ∠FCB → ∠FCB = ∠ACF → △ACF ≌ △ECF（或[EF=AF]），達(dá)到角轉(zhuǎn)化的思維路徑可視化;第（2）小題正向思維圖示：如圖6，易證△BEF ∽ △BAC（或△BGE ∽ △CDE）→EF = ？，AC = ？→由BE = 4，CD =[38]AB如何表征到EF和AC→方程思想，達(dá)到求邊的思維路徑可視化. 就是運(yùn)用“問題串 + 圖示”把不可視的思維（思考方法和思考路徑）呈現(xiàn)出來，使其過程清晰可見，可以提高信息加工及信息傳遞的效能.

【設(shè)計(jì)意圖】一題多解是提高解題質(zhì)量和訓(xùn)練學(xué)生思維的重要環(huán)節(jié)，教師充分預(yù)設(shè)解法情況，精心設(shè)計(jì)推理困難點(diǎn)的問題，善于通過學(xué)生的解法解說解法背后的思維路徑和知識支撐. 通過一題多解的教學(xué)可以充分發(fā)揮試題的價值，單位時間內(nèi)拓寬知識運(yùn)用的廣度，從而提高解法教學(xué)的效率和效益.

4. 悟題——悟出概括化知識系統(tǒng)

在解題中不斷引導(dǎo)學(xué)生歸納解題背后的知識、模型、思想方法和策略. 例如，例1、例2的悟題視角有：為什么要連接DE或BF？此題證明角相等的方法有哪些？解直角三角形的方法有哪些？計(jì)算邊長常用的方法和思想有哪些？隱去圓，弱化一些無關(guān)線段，能發(fā)現(xiàn)基本圖形（如圖7，即直角三角形 + 折疊求邊長模型圖）嗎？把以上的知識形成解題的一般策略，引導(dǎo)學(xué)生形成解題思維路徑（如圖8），便于學(xué)生建構(gòu)有跡可循的思考方向模型，再次鍛煉學(xué)生的推理能力.

【設(shè)計(jì)意圖】悟題在于歸納，是提升解題質(zhì)量的重要環(huán)節(jié)，它與解題環(huán)節(jié)是相互交叉，不斷歸納、補(bǔ)充的過程，能有效地解讀知其所以然，起到做一題、會一類，多法歸一的效果，多題同法的求同思維，為后續(xù)遷移和創(chuàng)新提供腳手架.

5. 變題——遷移與創(chuàng)新

對試題進(jìn)行同類變式和拓展變式，可以對原題進(jìn)行條件和結(jié)論的互換、條件弱化等變式，也可以另起新題，對所學(xué)知識進(jìn)行鞏固與深化，不斷培養(yǎng)學(xué)生的中、高階的推理能力、解題習(xí)慣和解題策略，幫助學(xué)生勾勒出知識與方法體系. 按照提升學(xué)生的推理能力進(jìn)行編排，賞析如下.

變式1：如圖9，AB為⊙O的直徑，BC切⊙O于點(diǎn)B，AC交⊙O于點(diǎn)D，∠BAC = 2∠CBE，BE交AC于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F，連接AF.

（1）求證：∠CBE = ∠CAF.

（2）過點(diǎn)E作EG⊥BC于點(diǎn)G，若∠C = 45°，CG = 1，則⊙O的半徑是多少？

變式2：如圖10，在△ABC中，AC = BC，∠ACB = 90°，⊙O（圓心O在△ABC內(nèi)部）經(jīng)過B，C兩點(diǎn)，交AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作⊙O的切線交AC于點(diǎn)F，延長CO交AB于點(diǎn)G，作ED∥AC交CG于點(diǎn)D.

（1）求證：四邊形CDEF是平行四邊形.

（2）若BC = 3，tan∠DEF = 2，求BG的值.

【設(shè)計(jì)意圖】通過題組，循環(huán)“析、思、解、悟、變”過程，為教師搭建以學(xué)為中心的復(fù)習(xí)框架（如圖11），為學(xué)生提供可視化的思維路徑，提升邏輯推理能力. 補(bǔ)充完善與圓相關(guān)的常見輔助線的添加方法，不斷完善“等角轉(zhuǎn)化”和求邊長的方法，圖形模型化等思維策略，并借此學(xué)會處理形如[2x+1=2+x+1]和[12x2+11=x+1x2+1]等方程，強(qiáng)化方程本質(zhì)，培養(yǎng)化繁為簡的數(shù)感，提升邏輯推理能力，并培養(yǎng)思維品質(zhì).

三、教學(xué)反思

“析、思、解、悟、變”構(gòu)建幾何復(fù)習(xí)課時要關(guān)注內(nèi)容、課堂特點(diǎn)和學(xué)生實(shí)際，把提升各層次學(xué)生的邏輯推理能力作為目標(biāo)，圍繞“如何想到？”“用什么知識？”顯現(xiàn)思維路徑和策略，提煉基本圖形為設(shè)計(jì)著眼點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo).

1.“析”的前提是備題充分

“析”的前提是對授課內(nèi)容進(jìn)行選材，關(guān)注試題反映的背景、意圖和評價等，準(zhǔn)確把握選材內(nèi)容是否符合《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》），這是內(nèi)容能否采用的關(guān)鍵所在. 例如，案例中采用的區(qū)域?qū)W業(yè)水平檢測題，比較貼合《標(biāo)準(zhǔn)》. 把“得出與條件最近的結(jié)論”和“得出結(jié)論成立最需要的條件”這兩項(xiàng)學(xué)習(xí)任務(wù)產(chǎn)生遷移，兩項(xiàng)任務(wù)之間產(chǎn)生式的重疊越多，遷移量越大. 兩項(xiàng)任務(wù)之間的遷移是隨著共有的產(chǎn)生式的多少的變化而變化的，可以幫助教師研判學(xué)生可能存在的思維困難點(diǎn)在何處.

2.“思”的核心是引導(dǎo)學(xué)生嘗試聯(lián)想

研判出學(xué)生“思”的疑惑點(diǎn)后，需要做好揭露思維節(jié)點(diǎn)的問題設(shè)計(jì).“得出與條件最近的結(jié)論”和“得出結(jié)論成立最需要的條件”之間有什么關(guān)聯(lián)？根據(jù)所得的條件你認(rèn)為角的轉(zhuǎn)化最有可能用到什么知識？邊的轉(zhuǎn)化可能用到什么知識？促進(jìn)學(xué)生產(chǎn)生聯(lián)想，不斷提高研判、突破思維節(jié)點(diǎn)的方向性的能力，在不斷試錯中提升邏輯推理能力.

3.“解”的要素是動態(tài)交互和呈現(xiàn)方式

解的過程需要師生互動. 你是如何想到的？所用的知識是什么？還有哪些方法？哪位學(xué)生解的方法最好？等等. 學(xué)生對題的認(rèn)識能讓我們重新評估學(xué)生思維的障礙點(diǎn)，及時追問和補(bǔ)充. 沒有互動，思想就不會傳遞，思維就不會產(chǎn)生火花，乃至共鳴. 此外，還要注意解題過程中的思維圖示展示（例題中的角轉(zhuǎn)化和邊轉(zhuǎn)化），把不可視的思考方法和思考路徑呈現(xiàn)出來，可以提高信息加工及信息傳遞的效能. 提高教學(xué)效能的關(guān)鍵不在于“知識重復(fù)的次數(shù)”，而在于挖掘與呈現(xiàn)知識背后的思維規(guī)律，并訓(xùn)練學(xué)生，使他們掌握它. 例題中的一題多法是發(fā)散思維的體現(xiàn)，只有這樣，學(xué)生邏輯思維能力才會在學(xué)習(xí)過程中得到有效發(fā)展.

4.“悟”的落點(diǎn)在于概括

賈德的概括化理論認(rèn)為：共同要素并不能自動導(dǎo)致遷移，經(jīng)驗(yàn)的概括才是重要的. 由于提高解題教學(xué)的效率在于解題的質(zhì)量而非解題的數(shù)量，教學(xué)中特別要研究由題目信息與不同數(shù)學(xué)知識結(jié)合形成的多個解題方向，學(xué)會選擇解題途徑，深度思考. 因此，引導(dǎo)學(xué)生對試題背后的知識與技能、思想與方法、規(guī)律與模型、策略與習(xí)慣等逐一概括，體現(xiàn)多法歸一、多題同法的求同思維，為后續(xù)遷移和創(chuàng)新提供腳手架，從而促使邏輯推理能力有效提高.

5.“變”的實(shí)質(zhì)是遷移與創(chuàng)新

“變”題含義是豐富的，有條件和結(jié)論互換變式，適用于新授例題學(xué)習(xí)和規(guī)律的運(yùn)用，也有同類遷移變式和創(chuàng)新變式提升. 在試題符合《標(biāo)準(zhǔn)》要求的情況下，教師要對其進(jìn)行秩序的組合，以滿足學(xué)生解題策略、解題習(xí)慣及解題模型的目標(biāo)達(dá)成，促進(jìn)有意義的變式題組. 一組好的變式題組能讓課堂層次更加豐富，還能讓課后作業(yè)更加有成效，為提升邏輯推理能力提供有效的媒介.

教學(xué)實(shí)踐表明，“析、思、解、悟、變”不僅適用于幾何專題復(fù)習(xí)課，也同樣適用于新授例題教學(xué)和代數(shù)的專題教學(xué)，在提升學(xué)生邏輯推理能力上效果顯著.

參考文獻(xiàn)：

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