楊杰

摘要：逆向思維是創(chuàng)造性思維的一個(gè)組成部分，也是進(jìn)行思維訓(xùn)練的載體，培養(yǎng)學(xué)生逆向思維過程也是培養(yǎng)學(xué)生思維敏捷性、拓展學(xué)生思維視野的過程。本課例通過提公因式法分解因式教學(xué)過程，試圖培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維。

關(guān)鍵詞：逆向思維;數(shù)學(xué)教學(xué);數(shù)學(xué)思維;因式分解;提公因式法

一、設(shè)計(jì)背景及問題分析

因式分解需要把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)最簡整式的積的形式，如果從運(yùn)算角度上考慮，實(shí)際上就是把一個(gè)表示和的形式，改變式子的結(jié)構(gòu)，寫成乘積的形式，但要保持兩者仍相等，這樣的變形過程與整式乘法之間是互逆的關(guān)系.因此，分解因式的變形正是體現(xiàn)了逆向思維的過程，所以我以本節(jié)課為課例進(jìn)行探索研究數(shù)學(xué)教學(xué)中逆向思維的培養(yǎng)過程。

二、培養(yǎng)逆向思維的教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）理解公式的形成過程

因式分解的原理來自多項(xiàng)式乘法，比如（a+b）（a-b）=a2-b2 和a2-b2=（a+b）（a-b）是一種逆向變形的關(guān)系.教學(xué)過程中，既要引導(dǎo)學(xué)生借助正向思維去獲得公式，掌握其規(guī)律，也要讓學(xué)生通過“瓜”來找“藤”，做到來去自如.

對于提取公因式法的學(xué)習(xí)，我這樣操作：

1.讓學(xué)生寫出：a（m+n+q）=am+an+aq，然后利用等式的特征寫出am+an+aq=a（m+n+q）.

2.我可以借助數(shù)形結(jié)合的方法展示如圖，從而很快讓學(xué)生理解：am+an+aq=a（m+n+q）

3.通過比喻的方式讓記住這兩個(gè)公式的表達(dá)形式：a（m+n+q）=am+an+aq——假如a前去某公司（括號正代表公司的房子）參觀，正好遇到了過去的朋友m，n，q三人都在這家公司工作，于是a分別與這三人握手示好;am+an+aq=a（m+n+q）——握手并在這家公司辦完事情后，a離開了這家公司，所以a已經(jīng)在括號（公司）的外面了，而原來與他握手的三人還在括號里面.

4.計(jì)算25×4+25×34+25×2，在實(shí)踐中理解這表示4個(gè)25相加，34個(gè)25相加，2個(gè)25相加，所以一共是40個(gè)25相加，與以原式等于40×25，這樣就促進(jìn)了理解.

5.歸納提取公因式法.

6.加強(qiáng)實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練，嘗試練習(xí)提取公因式法.

（二）利用等式性質(zhì)，作出逆向思考

從命題的角度分析，一個(gè)原命題的命題可以是真命題也可以是假命題，比如對于平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2來說，它只是一種整式乘法的形式，表述成語言就是兩數(shù)和與之兩數(shù)差的乘積等于這兩數(shù)的平方差，那么“如果兩數(shù)寫成平方差的形式，其結(jié)果是否等于兩數(shù)之和與兩數(shù)之差的積呢？”有的學(xué)生想當(dāng)然地說這是成立的，理由呢，大家就會一籌莫展，而事實(shí)上，a=b成立，b=a就是成立的，用反證法也能證明它.學(xué)生就接觸過這樣的例子：因?yàn)閨5|=5、|-5|=5，所以絕對值等于5的數(shù)有5與-5.但同樣5=|5|還是成立的，這里要防止是的把調(diào)換兩式位置兩種情況與原逆命題混為一談.比如對于平方差公式的思考方法：因?yàn)椋╝+b）（a-b）=a2-b2，所以等式a2-b2=（a+b）（a-b）右邊部分等于a2-b2，與左邊完全一樣，所以a2-b2=（a+b）（a-b）成立.也可以運(yùn)用反證法思考（學(xué)生還沒有學(xué)習(xí)過，但其邏輯常識是早已被學(xué)生所接受的）：如果a2-b2≠（a+b）（a-b），那么根據(jù)（a+b）（a-b）=a2-b2，替換上以后出現(xiàn)a2-b2≠a2-b2的情況，這說明前邊的假設(shè)是錯(cuò)誤的，故a2-b2=（a+b）（a-b）.

三、課堂實(shí)踐

【實(shí)踐過程】

2019年4月26日，八年級4班。

通過教室電子錄課設(shè)備錄下整節(jié)課的教學(xué)過程，課下與本組老師交流課堂中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，如提取公因式法概念的獲取效果和運(yùn)用逆向思維解題的正確率。

【片段描述】

師： 分解因式? 5a2x+10ay-25a3xy

生：先統(tǒng)觀全局，適當(dāng)變化，發(fā)現(xiàn)可以逆用分配律，而“a2”與“a3”逆用同底數(shù)冪的乘法am·an=am+n，可變成“a·a”與“a·a2”，便于尋找公因式：

解：5a2x+10ay-25a3xy

=5a·ax+5a·2y-5a·5a2xy

=5a（ax+2y-5a2xy）

師：試說明993-99能被100整除

生：993可以逆用同底數(shù)冪的乘法法則變成99×992，然后逆用分配律將99×992-99進(jìn)行分解。

解：993-99

=99×992-99×1

=99×（992-1）

=99×9800

=99×98×100

所以，993-99能被100整除

四、研究結(jié)論

在兩輪課堂實(shí)踐后，從課堂觀察員教師的觀察事實(shí)和微測評數(shù)據(jù)，驗(yàn)證了逆向思維對知識獲取的重要性，如果在學(xué)習(xí)分配律、乘法公式、冪的運(yùn)算性質(zhì)時(shí)，多進(jìn)行些逆向思維訓(xùn)練，那么在學(xué)因式分解時(shí)，就顯得容易多了。

參考文獻(xiàn)：

[1]馬建林.新課標(biāo)下初中數(shù)學(xué)教學(xué)逆向思維的開發(fā)與探索[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2021（10）：2.

[2]王國森.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生逆向思維的培養(yǎng)策略[J].知識窗 2021（16）：3.