【摘 要】 本文主要從2022年新高考Ⅰ卷試題入手剖析，從試題考查立足點(diǎn)，分析試題考查出發(fā)點(diǎn)，得到試題考查本質(zhì)，以期對高三復(fù)習(xí)和新高考教學(xué)有所幫助.

【關(guān)鍵詞】 核心概念;建模能力;數(shù)學(xué)思想;整合應(yīng)用;數(shù)學(xué)思維

2022年新高考Ⅰ卷，考生普遍反映難，和21年新高考Ⅰ卷相比，去年試題易中難的比例是5∶3∶2，今年約為4∶3∶3，基礎(chǔ)試題的分值約有60分. 今年試題綜合性的考查要求較強(qiáng)，突出對關(guān)鍵能力的考查，和去年試題相比試題整體難度有所提升. 對學(xué)生各個方面的能力考查更全面.本文對今年全國新高考1卷的考點(diǎn)進(jìn)行分析，考生覺得難，往往由于沒有養(yǎng)成良好數(shù)學(xué)思維而缺乏靈便方法，只講究機(jī)械做題，因此在對試卷進(jìn)行分析后，筆者從核心概念、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)思想、整合應(yīng)用四個方面進(jìn)行剖析.

1 核心概念

今年命題知識覆蓋面廣，突出了對數(shù)列、三角、立體幾何、概率統(tǒng)計(jì)、解析幾何以及函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的考查，后面的六道解答題也是這六大版塊各一道題. 分?jǐn)?shù)分配上，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)（第7，10，12，15，22題共32分）、立幾（第4，8，9，19題共27分）、解幾（第11，14，16，21題共27分）、三角（第6，18題共17分）、概率統(tǒng)計(jì)（第5，20題共17分）、數(shù)列（第17題共10分）. 從試題形式上看，試卷在選擇題、填空題、解答題起始部分起點(diǎn)低、入口寬，從數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法入手，重點(diǎn)考查核心概念. 如試卷第1至5題、第9題、第10題、第13題、第14題、第17至19題，都是有注重考查基礎(chǔ)知識、回歸教材的特點(diǎn). 例1 （2022年新高考Ⅰ卷第2題）若i（1-z）=1，則z+=（? ）.A.-2?? B. -1?? C. 1?? D. 2

分析 這道題考查對共軛復(fù)數(shù)的定義核心概念的理解，利用復(fù)數(shù)的除法可求z，從而可求z+.由題設(shè)有1-z=1i=ii2=-i，得z=1+i，故z+=（1+i）+（1-i）=2. 故選D.

例2 （2022年新高考Ⅰ卷第5題）從2至8的7個整數(shù)中隨機(jī)取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質(zhì)的概率為（? ）.

A.16?? B. 13?? C. 12?? D. 23

分析 這道題考查學(xué)生對古典概型核心概念，互質(zhì)的定義、通過列舉法即可得解.

從2至8的7個整數(shù)中隨機(jī)取2個不同的數(shù)，共有C27=21種不同的取法，

若兩數(shù)不互質(zhì)，不同的取法有：（2，4），（2，6），（2，8），（3，6），（4，6），（4，8），（6，8），共7種，

故所求概率P=21-721=23.

故選D.

另外，第10題考查極值點(diǎn)、零點(diǎn)的核心概念;第11題考查拋物線的定義核心概念、準(zhǔn)線方程的核心概念;第12題考查偶函數(shù)、導(dǎo)函數(shù)的核心概念;第13題考查展開式中項(xiàng)的系數(shù)的核心概念;第19題考查點(diǎn)到面的距離以及二面角的核心概念;第17題和第22題都考查等差數(shù)列的核心概念;第20題考查的是獨(dú)立性檢驗(yàn)核心概念.

2 數(shù)學(xué)建模

根據(jù)高考評價體系的整體框架，結(jié)合《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出的學(xué)科核心素養(yǎng)，高考對數(shù)學(xué)建模能力的考查力度在今年試卷中有較大提升. 今年試題難度大，就是因?yàn)榧哟罅藢?shù)學(xué)建模學(xué)科素養(yǎng)和關(guān)鍵能力的考查力度.

例3 （2022年新高考Ⅰ卷第4題）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔148.5 m時，相應(yīng)水面的面積為140.0 km2;水位為海拔157.5 m時，相應(yīng)水面的面積為180.0 km2，將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔148.5 m上升到157.5 m時，增加的水量約為（7≈2.65）（? ）.

A.1.0×109 m3??? B. 1.2×109 m3

C. 1.4×109 m3?? D. 1.6×109 m3

分析 考查臺體的體積計(jì)算，但并沒有直接考查，而是以我國的重大建設(shè)成就“南水北調(diào)”工程為素材，此知識融入到實(shí)際生活背景中，融合考查考生的基本空間想象能力和掌握棱臺的體積公式的運(yùn)算能力;將考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題來解決.

依題意，可以建立一個棱臺模型，如圖1，可知棱臺的高為MN=157.5-148.5=9（m），所以增加的水量即為棱臺的體積V.

棱臺上底面積S=140.0 km2=140×106 m2，下底面積S′=180.0 km2=180×106 m2，所以V=13h（S+S′+SS′）=13×9×（140×106+180×106+140×180×1012）=3×（320+607）×106≈（96+18×2.65）×107=1.437×109≈1.4×109（m3）.故選C.

例4 （2022年新高考Ⅰ卷第7題）設(shè)a=0.1e0.1，b=19，c=-ln0.9，則（? ）.A.a

分析 考生根據(jù)條件，構(gòu)造函數(shù)模型f（x）=ln（1+x）-x， 導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，由此確定a，b，c的大小.

設(shè)f（x）=ln（1+x）-x（x>-1），因?yàn)閒′（x）=11+x-1=-x1+x，當(dāng)x∈（-1，0）時，f′（x）>0，當(dāng)x∈（0，+∞）時，f′（x）<0，所以函數(shù)f（x）=ln（1+x）-x在（0，+∞）上單調(diào)遞減，在（-1，0）上單調(diào)遞增，所以f19ln109=-ln0.9，即b>c，所以f-110

設(shè)g（x）=xex+ln（1-x）（0

當(dāng)0

當(dāng)2-10，函數(shù)h（x）=ex（x2-1）+1單調(diào)遞增;

又h（0）=0，所以當(dāng)00，函數(shù)g（x）=xex+ln（1-x）單調(diào)遞增，所以g（0.1）>g（0）=0，即0.1e0.1>-ln0.9，所以a>c.故選C.

本題主要考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，涉及到構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，是一道中檔題.學(xué)生能不能構(gòu)造f（x）=ln（1+x）-x函數(shù)模型是解決這道題的關(guān)鍵.

另外，第9題通過建立正方體模型，對正方體中異面直線和線面角的考查，無需計(jì)算就能得分.

3 數(shù)學(xué)思想

本試卷的數(shù)學(xué)思想體現(xiàn)化整為零、積零為整兩個方面，注重條理、邏輯，能訓(xùn)練學(xué)生的思維條理性和概括性，所以在高考試題中占有重要的位置，很多方法來源對數(shù)學(xué)思想的深層次理解.

例5 （2022年新高考Ⅰ卷第22題）寫出與圓x2+y2=1和（x-3）2+（y-4）2=16都相切的一條直線的方程.分析 這是一道結(jié)論開放型試題，要求已知兩圓的公切線方程，通過數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想可快速寫出其中的一條公切線方程. 如圖2，先判斷兩圓位置關(guān)系，分情況討論即可.

圓x2+y2=1的圓心為O（0，0），半徑為1，圓（x-3）2+（y-4）2=16的圓心O1為（3，4），半徑為4，兩圓圓心距為32+42=5，等于兩圓半徑之和，故兩圓外切.

當(dāng)切線為l時，因?yàn)閗OO1=43，所以kl=-34.設(shè)方程為y=-34x+t（t>0），O到l的距離d=t1+916=1，解得t=54，所以l的方程為y=-34x+54.

當(dāng)切線為m時，設(shè)直線方程為kx+y+p=0，其中p>0，k<0.

由題意p1+k2=1，

3k+4+p1+k2=4，解得k=-724，p=2524，故y=724x-2524.

當(dāng)切線為n時，易知切線方程為x=-1，故答案為y=-34x+54或y=724x-2524或x=-1.

例6 （2022年新高考Ⅰ卷第22題）已知函數(shù)f（x）=ex-ax和g（x）=ax-lnx有相同的最小值.（1）求a;

（2）證明：存在直線y=b，其與兩條曲線y=f（x）和y=g（x）共有三個不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

分析 （1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)性，從而可得相應(yīng)的最小值，根據(jù)最小值相等可求a.注重分類討論數(shù)學(xué)思想;

（2）根據(jù)（1）可得當(dāng)b>1時， ex-x=b的解的個數(shù)、x-lnx=b的解的個數(shù)均為2，構(gòu)建新函數(shù)h（x）=ex+lnx-2x，利用導(dǎo)數(shù)可得該函數(shù)只有一個零點(diǎn)且可得f（x），g（x）的大小關(guān)系，根據(jù)存在直線y=b與曲線y=f（x）、y=g（x）有三個不同的交點(diǎn)可得b的取值，再根據(jù)兩類方程的根的關(guān)系可證明三根成等差數(shù)列.考查函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想.

解 （1）f（x）=ex-ax的定義域?yàn)镽，而f′（x）=ex-a，

若a≤0，則f′（x）>0，此時f（x）無最小值，故a>0.

g（x）=ax-lnx的定義域?yàn)椋?，+∞），而g′（x）=a-1x=ax-1x.

當(dāng)xlna時，f′（x）>0，故f（x）在（lna，+∞）上為增函數(shù)，故f（x）min=f（lna）=a-alna.

當(dāng)0

當(dāng)x>1a時，g′（x）>0，故g（x）在1a，+∞上增函數(shù)，

故g（x）min=g1a=1-ln1a.

因?yàn)閒（x）=ex-ax和g（x）=ax-lnx有相同的最小值，

故1-ln1a=a-alna，整理得到a-11+a=lna，其中a>0，

設(shè)g（a）=a-11+a-lna，a>0，則g′（a）=2（1+a）2-1a=-a2-1a（1+a）2≤0，故g（a）為（0，+∞）上的減函數(shù)，而g（1）=0，故g（a）=0的唯一解為a=1，故1-a1+a=lna的解為a=1.

綜上，a=1.

（2）由（1）可得f（x）=ex-x和g（x）=x-lnx的最小值為1-ln1=1-ln11=1.

當(dāng)b>1時，考慮ex-x=b的解的個數(shù)、x-lnx=b的解的個數(shù).

設(shè)S（x）=ex-x-b，S′（x）=ex-1，

當(dāng)x<0時，S′（x）<0，當(dāng)x>0時，S′（x）>0，

故S（x）在（-∞，0）上為減函數(shù)，在（0，+∞）上為增函數(shù)，所以S（x）min=S（0）=1-b<0.

而S（-b）=e-b>0，S（b）=eb-2b，

設(shè)u（b）=eb-2b，其中b>1，則u′（b）=eb-2>0，

故u（b）在（1，+∞）上為增函數(shù)，故u（b）>u（1）=e-2>0，T′（x）<0.

故S（b）>0，故S（x）=ex-x-b有兩個不同的零點(diǎn)，即ex-x=b的解的個數(shù)為2.

設(shè)T（x）=x-lnx-b，T′（x）=x-1x，

當(dāng)01時，T′（x）>0，故T（x）在（0，1）上為減函數(shù)，在（1，+∞）上為增函數(shù)，

所以T（x）min=T（1）=1-b<0.

而T（e-b）=e-b>0，T（eb）=eb-2b>0，

T（x）=x-lnx-b有兩個不同的零點(diǎn)即x-lnx=b的解的個數(shù)為2.

當(dāng)b=1，由（1）討論可得x-lnx=b，ex-x=b僅有一個零點(diǎn).

當(dāng)b<1時，由（1）討論可得x-lnx=b，ex-x=b均無零點(diǎn).

故若存在直線y=b與曲線y=f（x），y=g（x）有三個不同的交點(diǎn)，則b>1.

設(shè)h（x）=ex+lnx-2x，其中x>0，故h′（x）=ex+1x-2.

設(shè)s（x）=ex-x-1，x>0，則s′（x）=ex-1>0，

故s（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，故s（x）>s（0）=0即ex>x+1.

所以h′（x）>x+1x-1≥2-1>0，所以h（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，

而h（1）=e-2>0，h1e3=e1e3-3-2e3

故h（x）在（0，+∞）上有且只有一個零點(diǎn)x0，1e3

當(dāng)0

當(dāng)x>x0時，h（x）>0即ex-x>x-lnx即f（x）>g（x），

因此若存在直線y=b與曲線y=f（x），y=g（x）有三個不同交點(diǎn)，故b=f（x0）=g（x0）>1，此時ex-x=b有兩個不同的零點(diǎn)x1，x0（x1<0

又ex1-x1=b可化為ex1=x1+b，即x1-ln（x1+b）=0即（x1+b）-ln（x1+b）-b=0，故x1+b為方程x-lnx=b的解，同理x0+b也為方程x-lnx=b的解，所以{x1，x0}={x0-b，x4-b}，而b>1，故x0=x4-b，x1=x0-b，即x1+x4=2x0.

另外，17題（數(shù)列）數(shù)列求通項(xiàng)考到了常用的累乘法，第二問考到了數(shù)列求和中的裂項(xiàng)相消法;18題（三角）考查了函數(shù)與方程數(shù)學(xué)思想，第二問求最值轉(zhuǎn)化為角的函數(shù)，用基本不等式求最值;19題（立體幾何）、21題（解析幾何）考查了數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想、轉(zhuǎn)化與化歸數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).4 整合應(yīng)用

今年高考題試卷重視難度和思維的層次性，數(shù)學(xué)概念的理解、基本數(shù)學(xué)方法的掌握、數(shù)學(xué)素養(yǎng)的養(yǎng)成等與思維水平有高度的關(guān)聯(lián)性，給學(xué)生更廣闊的思考空間、更多的思考角度以及基于自己認(rèn)知水平的發(fā)現(xiàn)和探索解題方法的不同平臺，具有高度整合性和應(yīng)用性.例7 （2022年新高考Ⅰ卷第18題）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知cosA1+sinA=sin2B1+cos2B.

（1）若C=2π3，求B;

（2）求a2+b2c2的最小值.

分析 此題不是常規(guī)地利用正余弦定理與面積公式求解三角形，而是考查了函數(shù)與方程思想. 第二問求最值轉(zhuǎn)化為角的函數(shù)，用基本不等式求最值或構(gòu)造函數(shù)求解最值. 此題也不是單純地考查運(yùn)算能力，還要求具有很強(qiáng)的分析問題的能力，具有高度整合性. 所以考生備考時應(yīng)注意內(nèi)外角平分線定理、托勒密定理、斯特瓦爾特定理、米勒定理的證明，加強(qiáng)正余弦定理三角公式的靈活運(yùn)用，加強(qiáng)對圖形進(jìn)行分解、組合等知識的整合.

（1）根據(jù)二倍角公式以及兩角差的余弦公式可將cosA1+sinA=sin2B1+cos2B化成cos（A+B）=sinB，再結(jié)合0

詳解 （1）因?yàn)閏osA1+sinA=sin2B1+cos2B=2sinBcosB2cos2B=sinBcosB，即sinB=cosAcosB-sinAsinB=cos（A+B）=-cosC=12.

而0

（2）由（1）知，sinB=-cosC>0，所以π2

所以C=π2+B，即有A=π2-2B.

所以a2+b2c2=sin2A+sin2Bsin2C=cos22B+1-cos2Bcos2B

=（2cos2B-1）2+1-cos2Bcos2B=4cos2B+2cos2B-5≥28-5=42-5.

例8 （2022年新高考Ⅰ卷第20題） 一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱為對照組），得到如下數(shù)據(jù)：

不夠良好良好病例組4060對照組1090

（1）能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？

（2）從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”.

P（B|A）P（|A）與P（B|）P（|）的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對患該疾病風(fēng)險程度的一項(xiàng)度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為R.

（?。┳C明：R=P（A|B）P（|B）·P（|）P（A|）;（ⅱ）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出P（A|B），P（A|）的估計(jì)值，并利用（?。┑慕Y(jié)果給出R的估計(jì)值.

附K2=n（ad-bc）2（a+b）（c+d）（a+c）（b+d），

P（K2≥k）0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

分析 以獨(dú)立性檢驗(yàn)和條件概率為原型，設(shè)計(jì)概率統(tǒng)計(jì)應(yīng)用題，也以真實(shí)的某種疾病與衛(wèi)生習(xí)慣的關(guān)系情境來考查，這些都體現(xiàn)出高考命題注重應(yīng)用性. 考查考生對獨(dú)立性檢驗(yàn)、條件概率、數(shù)據(jù)處理等知識的理解和應(yīng)用，引導(dǎo)考生重視數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)和數(shù)學(xué)的應(yīng)用. （1）由所給數(shù)據(jù)結(jié)合公式求出K2的值，將其與臨界值比較大小，由此確定是否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異;（2）（ⅰ） 根據(jù)定義結(jié)合條件概率公式即可完成證明;（ⅱ）根據(jù)（?。┙Y(jié)合已知數(shù)據(jù)求R.

詳解

由已知K2=n（ad-bc）2（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）=200（40×90-60×10）250×150×100×100=24，又P（K2≥6.635）=0.01，24>6.635，

所以有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異.

（?。┮?yàn)镽=P（B|A）P（|A）·P（|）P（B|）=P（AB）P（A）·P（A）P（A）·P（）P（）·P（）P（B），

所以R=P（AB）P（B）·P（B）P（B）·P（）P（）·P（）P（A），

所以R=P（A|B）P（|B）·P（|）P（A|）.

（ⅱ）由已知P（A|B）=40100，P（A|）=10100，

又P（|B）=60100，P（|）=90100，

所以R=P（A|B）P（|B）·P（|）P（A|）=6.

另外，例如19題立體幾何，第1問考查等體積法求點(diǎn)到面的距離，重視往年文科考題，對“點(diǎn)到面的距離”的解法感到陌生;第21題解析幾何也是一個整合，與2009年遼寧高考數(shù)學(xué)試題和2011年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題有相同點(diǎn). 這些既有整合，也突出知識應(yīng)用.

今年2022新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)試題體現(xiàn)了從“知識立意”到“能力立意”，再到“素養(yǎng)導(dǎo)向”，從“解題”到“解決問題”的思維躍升，從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題，已使單純的知識記憶和刷題失效. 所以高三備考應(yīng)注重養(yǎng)成獨(dú)立思考和深入思考的習(xí)慣，發(fā)展思維的全面性與深刻性， 要能在思路受阻時進(jìn)行靈活地調(diào)整與變通，使其意志品質(zhì)和思維品質(zhì)得到培養(yǎng)和提升.

參考文獻(xiàn)

[1] 2022新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)卷試題，2022.6.

作者簡介 潘冬麗（1989—），女，廣西南寧人，碩士，高中數(shù)學(xué)一級教師;研究方向?yàn)檎n堂教學(xué)研究.