桑婭潔 丁宏

【摘 要】 基于綜合難度系數(shù)模型，對(duì)2020年、2021年和2022年數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷進(jìn)行比較研究. 結(jié)果表明2022年新高考Ⅰ卷在“知識(shí)含量”“思維方向”“認(rèn)知水平”三個(gè)因素上的難度系數(shù)以及整份試卷的綜合難度系數(shù)均高于前兩年. 對(duì)教學(xué)提出以下建議：立足課標(biāo)、回歸教材，做好整體規(guī)劃、注重多元聯(lián)系;把握本質(zhì)、注重應(yīng)用，培養(yǎng)高階思維、提升關(guān)鍵能力;厚實(shí)閱讀、豐富閱歷，發(fā)展核心素養(yǎng)、實(shí)現(xiàn)育人價(jià)值.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)高考;綜合難度;比較研究;教學(xué)建議

1 研究背景

2020年1月教育部考試中心發(fā)布了《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》，集中回答了“為什么考、考什么、怎么考”的問(wèn)題，為新時(shí)代高考內(nèi)容改革提供了新的理論支撐和實(shí)踐指南. 繼2020年山東、海南實(shí)行新高考后，2021年湖南、湖北、河北、廣東、重慶、遼寧、福建、江蘇八省市進(jìn)入新高考. 高考作為大規(guī)模高利害考試，試題難度在一定程度上影響著試題的質(zhì)量和考試的公平性，最能引起社會(huì)的高度關(guān)注. 基于以上背景，本文對(duì)近三年數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷的試題綜合難度進(jìn)行比較研究，以期清楚把握新高考的考查內(nèi)容和考查要求，更好地輔教導(dǎo)學(xué).

2 研究對(duì)象與研究工具

2.1 研究對(duì)象2020年新高考Ⅰ卷（使用地區(qū)：山東），2021年和2022年新高考Ⅰ卷（使用地區(qū)：山東、廣東、湖南、湖北、河北、江蘇、福建）.2.2 研究工具

本文主要參考武小鵬在借助鮑建生等人的綜合難度系數(shù)模型基礎(chǔ)上，構(gòu)建的基于測(cè)試項(xiàng)目的綜合難度系數(shù)模型[1]. 該模型由7個(gè)因素構(gòu)成，各因素的難度系數(shù)為di：di=∑mj=1nijkijn（i=1，2，3，4，5，6，7），其中，nij表示第i個(gè)因素中第j個(gè)水平的項(xiàng)目數(shù)量，kij表示第i個(gè)因素中第j個(gè)水平的權(quán)重，m為因素中水平的個(gè)數(shù)，n代表項(xiàng)目總數(shù)量. 整份試卷的綜合難度系數(shù)為D：D=∑7i=1diki，其中ki為第i個(gè)因素的權(quán)重系數(shù)[2]. 各因素及各因素水平的權(quán)重采用武小鵬基于AHP理論計(jì)算所得結(jié)果. 具體見表1.

2.3 編碼示例

按照表1中各因素不同水平的內(nèi)涵描述，對(duì)三份試卷的試題進(jìn)行編碼，其中“知識(shí)含量”因素中的知識(shí)點(diǎn)參照《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）中主題和單元的劃分. 編碼示例如下：

（2022年新高考Ⅰ卷第4題）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問(wèn)題，其中一部分水蓄入某水庫(kù). 已知該水庫(kù)水位為海拔148.5 m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為140.0 km2;水位為海拔157.5 m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為180.0 km2. 將該水庫(kù)在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫(kù)水位從海拔148.5 m上升到157.5 m時(shí)，增加的水量約為（7≈2.65）

A. 1.0×109 m3??? B. 1.2×109 m3

C.? 1.4×109 m3??? D. 1.6×109 m3

此題編碼為生活背景A2，無(wú)參數(shù)B1，簡(jiǎn)單數(shù)值運(yùn)算C1（在運(yùn)算水平上，題目只存在具體數(shù)值的加、減、乘、除、開方），簡(jiǎn)單推理D1（推理過(guò)程只需2步：求出棱臺(tái)的高，代入棱臺(tái)體積公式計(jì)算出結(jié)果），單個(gè)知識(shí)點(diǎn)E1（立體幾何初步），順向思維F1（由已知條件，順向直接解決問(wèn)題），運(yùn)用G2（將棱臺(tái)的體積公式運(yùn)用到實(shí)際問(wèn)題的解決中去）.3 研究過(guò)程與研究結(jié)論

對(duì)2020年、2021年和2022年新高考Ⅰ卷的試題進(jìn)行編碼和統(tǒng)計(jì)，并計(jì)算各因素難度系數(shù)和整份試卷綜合難度系數(shù)，得到表2.

從表2可以看出，這三份試卷的綜合難度系數(shù)由低到高依次為：2020年（D=6.59）<2021年（D=6.67）<2022年（D=7.11）.

在“是否含參”和“推理能力”兩個(gè)因素上，這三年試題的難度系數(shù)基本保持一致. 在“是否含參”方面，無(wú)參數(shù)的試題比重較大. 在“推理能力”方面，復(fù)雜推理的試題占比均達(dá)到60%以上，這與高考服務(wù)選才的基本功能相契合. 在“背景因素”上， 2020年難度系數(shù)較高，共有7道試題以生活或科學(xué)為背景，2021年和2022年試卷僅有2道生活背景的題目. 但在“運(yùn)算水平”因素上，2021年和2022年試題的難度系數(shù)持平，大幅度高于2020年，可見高考加大了對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的考查力度.

值得關(guān)注的是，2022年新高考Ⅰ卷在“知識(shí)含量”“思維方向”“認(rèn)知水平”三個(gè)因素上的難度系數(shù)均遠(yuǎn)高于前兩年. 下面分別對(duì)三份試卷在這三個(gè)因素上的分布繪制折線圖（圖1，圖2，圖3），并繪制各因素難度系數(shù)雷達(dá)圖（圖4），以便更清晰直觀地進(jìn)行比較分析.

在一定程度上反映了三份試卷的難度構(gòu)成偏向，總體來(lái)說(shuō)，三份試卷均側(cè)重推理能力的考查.

通過(guò)對(duì)三份試卷基于綜合難度系數(shù)模型的對(duì)比分析，可以看出2022年新高考Ⅰ卷具有如下特點(diǎn).

3.1 突出知識(shí)的聯(lián)系性

試卷以主干內(nèi)容和重點(diǎn)知識(shí)構(gòu)建試題的主體，在考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的基礎(chǔ)上，注重在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)處命題，加大了知識(shí)的聯(lián)系性. 從圖1可以看出，在“知識(shí)含量”因素“大于等于三”水平上，2022年試題的占比遠(yuǎn)高于前兩年. 例如2022年新高考Ⅰ卷第17題，集中考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列的遞推公式、累乘法求數(shù)列通項(xiàng)、裂項(xiàng)法求數(shù)列的和以及不等關(guān)系. 又如第18題，綜合考查了三角恒等變換、解三角形和基本不等式，在不同的主題單元交匯處命題. 3.2 聚焦學(xué)生的思維品質(zhì)

2022年新高考Ⅰ卷依托高考評(píng)價(jià)體系，對(duì)接課程標(biāo)準(zhǔn)，堅(jiān)持素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重的命題原則，突出理性思維，注重考查學(xué)生的邏輯推理、信息加工、閱讀理解和批判性思維能力，加強(qiáng)對(duì)學(xué)生思維品質(zhì)的考查. 例如第20題，考查學(xué)生在真實(shí)情境下從文字和圖表中獲取有效信息、對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理與加工、運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力，對(duì)提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值有著積極的導(dǎo)向作用. 又如第7題，要求比較三個(gè)數(shù)之間的大小關(guān)系，顯然順向思維無(wú)法解決這一問(wèn)題，需要對(duì)思維過(guò)程進(jìn)行轉(zhuǎn)化，通過(guò)建立函數(shù)模型，將難以直接計(jì)算的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的問(wèn)題. 此題深入考查了學(xué)生的批判性思維，充分展示了理性思維的廣度和深度.

3.3 強(qiáng)調(diào)學(xué)生的認(rèn)知水平

試卷加大了對(duì)學(xué)生認(rèn)知水平的考查力度，從圖3可以清晰看出2022年新高考Ⅰ卷在“認(rèn)知水平”因素“分析”水平上的考查明顯加強(qiáng)，該因素難度系數(shù)也有所提高. “分析”水平需要在復(fù)雜環(huán)境中用數(shù)學(xué)眼光發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)思維找到問(wèn)題解決路徑，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言對(duì)結(jié)果進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)表述. 例如第22題，試題以指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)為載體，重點(diǎn)考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用. 從必備知識(shí)上看，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值最值、函數(shù)的圖象、函數(shù)的零點(diǎn)和等差數(shù)列的證明;從思想方法上看，側(cè)重對(duì)分類討論、函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化以及數(shù)形結(jié)合的考查;從學(xué)科素養(yǎng)上看，突出理性思維和數(shù)學(xué)探索;從關(guān)鍵能力上看，注重邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新能力. 對(duì)學(xué)生的認(rèn)知水平提出了較高要求.3.4 提升試卷的區(qū)分功能高考的基本功能是為不同類型的高校選拔出符合要求的新生，其選拔水平關(guān)系到高等教育質(zhì)量乃至國(guó)家創(chuàng)新人才的培養(yǎng)質(zhì)量[3]. 2022年新高考Ⅰ卷延續(xù)了前兩年對(duì)推理能力的考查，增強(qiáng)了試題的綜合性，關(guān)注學(xué)生的思維品質(zhì)和認(rèn)知水平，有效提升了試卷的區(qū)分功能，為服務(wù)選才提供了保障.4 教學(xué)建議4.1 立足課標(biāo)、回歸教材，做好整體規(guī)劃、注重多元聯(lián)系課程標(biāo)準(zhǔn)、評(píng)價(jià)體系是高考試題命制的指導(dǎo)性綱要，教材是高考試題命制的母本. 高考無(wú)論怎么考，都是源于教材而高于教材. 在教學(xué)活動(dòng)中，教師應(yīng)準(zhǔn)確把握課程目標(biāo)、課程內(nèi)容、高考考查內(nèi)容和考查要求，回歸教材. 充分挖掘例題和習(xí)題的教育教學(xué)價(jià)值，關(guān)注一題多解、一題多變、一題多用、一題多練. 以數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，抓住函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計(jì)等內(nèi)容主線，從整體上把握教學(xué)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生系統(tǒng)把握前后關(guān)聯(lián)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，厘清基本概念，熟悉基本規(guī)律，熟練基本方法，將知識(shí)、能力、素養(yǎng)融會(huì)貫通，構(gòu)建完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)、能力結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò).4.2 把握本質(zhì)、注重應(yīng)用，培養(yǎng)高階思維、提升關(guān)鍵能力

數(shù)學(xué)與人類生活和社會(huì)發(fā)展緊密關(guān)聯(lián)，數(shù)學(xué)的應(yīng)用已滲透到現(xiàn)代社會(huì)及人們?nèi)粘Ｉ畹母鱾€(gè)方面[4]. 教師在教育教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)，加強(qiáng)情境設(shè)計(jì)，提出合適的問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生深入思考與合作交流，提高分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力，實(shí)現(xiàn)從“解答題目”向“解決問(wèn)題”的轉(zhuǎn)變. 加強(qiáng)理論聯(lián)系實(shí)際，引導(dǎo)學(xué)生注重學(xué)以致用，在真實(shí)問(wèn)題的解決中培養(yǎng)信息獲取與加工、邏輯推理與論證、科學(xué)探究與構(gòu)造、語(yǔ)言表達(dá)與輸出以及批判性思維等高階思維能力，提升邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力、數(shù)學(xué)建模能力和創(chuàng)新能力等數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力. 4.3 厚實(shí)閱讀、豐富閱歷，發(fā)展核心素養(yǎng)、實(shí)現(xiàn)育人價(jià)值

數(shù)學(xué)教育承載著落實(shí)立德樹人根本任務(wù)、發(fā)展素質(zhì)教育的功能[4]. 數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)學(xué)科育人價(jià)值和數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn). 通過(guò)課堂教學(xué)、校本課程、課后作業(yè)、試題命制、推薦閱讀等途徑，引導(dǎo)學(xué)生閱讀教材鏈接內(nèi)容、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)文化等. 由于數(shù)學(xué)學(xué)科的特殊性，數(shù)學(xué)材料通常是文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言的交匯，且具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬓裕處煈?yīng)指導(dǎo)學(xué)生掌握科學(xué)有效的數(shù)學(xué)閱讀方法. 通過(guò)數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的設(shè)置、數(shù)學(xué)教學(xué)場(chǎng)地的轉(zhuǎn)移、數(shù)學(xué)社會(huì)實(shí)踐等形式，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)閱歷. 借助厚實(shí)閱讀、豐富閱歷，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高自主學(xué)習(xí)和實(shí)踐的能力，提升創(chuàng)新意識(shí)，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值和科學(xué)價(jià)值，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)高中數(shù)學(xué)學(xué)科育人價(jià)值.

參考文獻(xiàn)

[1] 武小鵬，張怡. 中國(guó)和韓國(guó)高考數(shù)學(xué)試題綜合難度比較研究[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2018，27（03）：19-24.

[2] 武小鵬，孔企平. 基于AHP理論的數(shù)學(xué)高考試題綜合難度模型構(gòu)建與應(yīng)用[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2020，29（02）：29-34.

[3] 教育部考試中心編寫. 中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系說(shuō)明[M]. 北京：人民教育出版社，2019：13.

[4] 中華人民共和國(guó)教育部制定. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018：1.

作者簡(jiǎn)介 桑婭潔（1984—），女，江蘇徐州人，中學(xué)一級(jí)教師;曾榮獲徐州市高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課評(píng)比一等獎(jiǎng)，江蘇省青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課評(píng)比一等獎(jiǎng);主要研究高中數(shù)學(xué)教學(xué).

丁宏（1963—），男，江蘇泰州人，中學(xué)高級(jí)教師;江蘇省教育評(píng)價(jià)委員會(huì)成員，徐州市中學(xué)數(shù)學(xué)理事會(huì)理事，徐州市教研室兼職教研員，徐州市高中數(shù)學(xué)學(xué)科中心組成員，曾參加2014年和2018年高考命題工作;主要研究高中數(shù)學(xué)教學(xué)和解題.