【摘 要】 人教A版新教材選擇性必修1對平面內點到直線距離的推導采取了兩種辦法，一是利用解方程組求出垂足的坐標，再利用兩點之間的距離公式求解;二是利用向量，利用過點的向量在直線法向量上的投影來求解. 本文給出了利用向量在直線方向向量上的投影來求解的方法，同時給出了平面內直線方向向量的幾種表示和空間直線方向向量的應用.

【關鍵詞】 方向向量;法向量;距離

放學了，教室一下子空蕩安靜了，只剩下滿黑板的板書還讓人可以知道今天最后一節(jié)是數(shù)學課，學習的內容是“平面直角坐標系中的點到直線的距離公式”.也就是，坐標平面內，點P（x0，y0）到直線l：Ax+By+C=0的距離d=Ax0+By0+CA2+B2.

突然，教室里傳來一聲嘆息，還伴隨著不時的自言自語聲音，讓我們偷偷進去聽聽，到底是哪位同學還在教室.

“哎，只要一靜下來，我就想不通. 在三維空間，你直線縱橫捭闔，所向無敵，其實都是我出面擺平的，利用我方向向量，來解決與其它直線、平面的平行、垂直關系，來計算得到相交的角度和距離. 更重要的是，利用我還可以推導出你直線在空間直角坐標系中的方程：

設直線l過點A（-1，0，2），B（3，-1，4），則AB=（4，-1，2），設直線l上任意一點P（x，y，z），則AP=tAB（t∈R）.由于AP=（x+1，y，z-2），所以（x+1，y，z-2）=t（4，-1，2），從而x+1=4t，y=-t，z-2=2t，于是得到直線l的方程x=4t-1，y=-t，z=2+2t（t∈R）或x+14=y-1=z-22. 可見直線在平面內和在空間內的方程是不相同的.

那段經歷，我都無怨無悔，任勞任怨，盡職盡責. 然而一到這一章，你直線回歸到平面直角坐標系中，你就拋棄了我方向向量.讓我情何以堪？”聽口氣，說話的應該是直線l的方向向量a.

“沒有呀，你方向向量永遠是我直線的殺手锏，是我直線的真摯代表，不管是在空間，還是在平面內，判斷兩條直線平行或垂直，求相交的角和距離，永遠都離不開你方向向量. 這不，在平面直角坐標系中，如果我的斜率存在，你方向向量就是a=（1，k）.如果不考慮斜率，方向向量可以用我的傾斜角α表示，a=（cosα，sinα）.”這應該是直線l的聲音，語調中有點委屈無奈.

“還說沒有，你看，在空間，依靠我可以推出你的方程，但在坐標平面內，你方程的五種形式，哪種是依靠我推導出來的？”

“哦，稍安勿躁，點斜式、斜截式、兩點式、截距式和一般式確實都沒有用到你. 但不要忘記了，我直線還有第六種形式——參數(shù)方程，就是依靠你方向向量推導出來的.

設直線l過定點P（x0，y0），且方向向量為a=（cosα，sinα），對直線l上任意一點Q（x，y），必定存在一個實數(shù)λ，使得PQ=λa，即（x-x0，y-y0）=λ（cosα，sinα），從而x-x0=λcosα，y-y0=λsinα，即x=x0+λcosα，y=y0+λsinα，這就是我直線方程的第六種形式——過點P（x0，y0），且傾斜角為α的參數(shù)方程（其中λ是參數(shù)）. 這不就是你方向向量在空間推導我直線方程的翻版？”

“還有呢，你看這黑板上，推導點到直線的距離公式，我們不是在空間已經利用我方向向量得到了一個結論嗎？為什么平面內卻絕口不提？是不是平面內不適應？”“不是的，我們仍然可以用空間的那個結論來.

如圖，在l：Ax+By+C=0上取點A（x1，y1），則Ax1+By1+C=0，向量AP=（x0-x1，y0-y1）.

取方向向量a=（B，-A），則AP在a上的投影為

APcos〈AP，a〉=AP·aa=B（x0-x1）-A（y0-y1）A2+B2.

于是d2=AP2-AP·aa2=（x0-x1）2+（y0-y1）2-[B（x0-x1）-A（y0-y1）]2A2+B2

=A2（x0-x1）2+B2（y0-y1）2+2AB（x0-x1）（y0-y1）A2+B2

=[A（x0-x1）+B（y0-y1）]2A2+B2=Ax0+By0-（Ax1+By1）2A2+B2=（Ax0+By0+C）2A2+B2.

所以d=Ax0+By0+CA2+B2.”

“是的，空間中點到直線的距離就是這樣求的，它仍然適應于平面，對我方向向量的選擇，可以根據(jù)直線方程的形式來選擇，比如斜截式y(tǒng)=kx+b中a=（1，k），一般式Ax+By+C=0中a=（B，-A），也可以用傾斜角α表示a=（cosα，sinα）.”

“不行，不行，我不服，”這時旁邊有人插話，“我是法向量，在空間中，我專門護衛(wèi)平面，代表平面解決所有與平面有關的問題. 但在平面內，我轉而來護衛(wèi)直線——可惜的是，至今直線還不認可我.”

“怎么沒有認可你？在點到直線的距離公式推導中，就應用了你呀.”

“用是用到了我，但你們看看，教材第76頁中間一段話——向量1A2+B2（A，B）就是與直線l的方向向量垂直的一個單位向量——不就是直線l的法向量嗎？為什么不點明？好像我是私生子一樣，欲言又止.”

聽到唰的一聲，應該是關書的聲音，它繼續(xù)說道：“其實，在平面內直線l的法向量比方向向量還優(yōu)越些，比如直線l的一般式中，我就可以取n=（A，B），利用向量AP在我上面的投影求距離更快捷些.”邊說也邊在黑板上寫起來.

如圖，d=AP·nn=A（x0-x1）+B（y0-y1）A2+B2=Ax0+By0+CA2+B2.

“哈哈，很好，很好，”這是直線l的笑聲，“當我奔馳在空間時，一切全賴方向向量沖鋒陷陣，因為在空間我沒有給出方程;現(xiàn)在縱馬在平面內，我有了表示的方程，所以遇到與我直線有關的問題，就全賴方程來解決，沒有再麻煩兩位了，這不是拋棄你們，而是讓你們更多地休息，去處理更復雜的問題. 同時，推導點到直線的距離公式，采取了幾種方法，只是告訴同學們，每一種方法都是一條途徑，愛思考的同學自然不會放過你們兩個的. 謝謝兩位的陪伴，讓我們共同努力，開創(chuàng)向量和直線美好的未來.”

掌聲響起，在空蕩的教室里顯得格外響亮.

作者簡介 彭向陽（1969—），男，湖南長沙人，中學高級教師;一直熱衷于高中數(shù)學解題教學研究和高中數(shù)學趣味課堂教學研究;在報刊雜志發(fā)表解題類文章近百篇.