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        數(shù)形結(jié)合,讓數(shù)學(xué)運算更有深度

        2022-05-30 15:32:27王瑾
        關(guān)鍵詞:計算教學(xué)數(shù)形結(jié)合小學(xué)數(shù)學(xué)

        王瑾

        [摘 要]小學(xué)階段是學(xué)生形成數(shù)形結(jié)合思想的最佳時期,更是學(xué)生從直觀思維向抽象思維變化的重要時期。在進行計算教學(xué)時,教師應(yīng)有目的地進行數(shù)形結(jié)合思想的滲透,通過數(shù)字和圖形之間的聯(lián)系,來指導(dǎo)學(xué)生利用直觀的圖形表示抽象的數(shù)學(xué)概念,幫助學(xué)生更好地理解題意,掌握數(shù)學(xué)知識,鍛煉數(shù)學(xué)思維。

        [關(guān)鍵詞]小學(xué)數(shù)學(xué);數(shù)形結(jié)合;計算教學(xué)

        [中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068(2022)14-0097-03

        數(shù)學(xué)是一門專門研究空間形式與數(shù)量關(guān)系的學(xué)科,它的表達方式有兩種,就是“數(shù)”與“形”。而數(shù)形結(jié)合就是指根據(jù)“數(shù)”和“形”之間的內(nèi)在聯(lián)系,利用“形”來表示“數(shù)”以使“數(shù)”更加直觀、具象,利用“數(shù)”來研究“形”,以使“形”更加精準、明確。能否熟練地在代數(shù)問題和幾何問題中不斷切換是解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵。

        在計算教學(xué)中,教師要懂得合理運用數(shù)形結(jié)合思想,讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維在循序漸進中更具抽象性、靈活性與創(chuàng)造性,更好地協(xié)調(diào)學(xué)生的抽象思維與形象思維,還要提供優(yōu)化的方法,使學(xué)生更加直觀、輕松地解決數(shù)學(xué)問題,加深對相關(guān)算理的理解,啟發(fā)他們準確掌握數(shù)學(xué)規(guī)律,提升運算能力,提高數(shù)學(xué)思維水平與綜合素養(yǎng)。

        一、以形助數(shù),自主探究領(lǐng)悟算理

        在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中,計算教學(xué)占了非常大的比重,要想讓學(xué)生真正掌握算法的內(nèi)涵,先讓學(xué)生理解算理,但很多計算題的算理是隱藏的,對小學(xué)生來說是很難自主發(fā)現(xiàn)的。而實際教學(xué)中,教師往往重視反復(fù)練習(xí)算法,忽視學(xué)生對算理的理解,更別提讓學(xué)生在充分理解和掌握算法和算理的基礎(chǔ)上,將機械化的計算內(nèi)容變?yōu)樽灾魈骄炕顒?。這種重復(fù)式的練習(xí)及不明算理的計算帶來的后果就是學(xué)生只會機械地模仿,難以達到數(shù)學(xué)教學(xué)的目的。因此,要想解決以上問題,教師不僅要加強學(xué)生對算理的理解,還要運用數(shù)形結(jié)合思想,讓學(xué)生在直觀的圖形中進一步領(lǐng)悟算理,并于抽象中掌握算法,實現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的深入發(fā)展和計算能力的有效提升。

        例如,在教學(xué)“兩位數(shù)除以一位數(shù)(首位不能整除)”這一課的內(nèi)容時,有一個算式72÷3,學(xué)生在計算時發(fā)現(xiàn)被除數(shù)的十位數(shù)除以3后還余1。這時,教師為了促進學(xué)生對算理的理解,可以組織學(xué)生利用小棒進行擺一擺和分一分的探究活動,讓學(xué)生通過實物來逐漸找到簡便的擺法,從而更好地理解算理。學(xué)生在操作活動中很快就發(fā)現(xiàn):要先將7捆小棒平均分成3份,這樣一來每份就是2捆,而多余的1捆小棒則可以將其拆開與剩下的2根小棒合并在一起,再繼續(xù)平均分成3份,這樣一來每份就有4根小棒,最后將兩次平均分的結(jié)果加起來,20+4=24,所以商就是24。這時,教師可以進一步引導(dǎo)學(xué)生使用豎式來進行計算,并啟發(fā)學(xué)生認真思考:當十位除以3后余下的這1個十應(yīng)該如何處理呢?學(xué)生在前面案例的啟發(fā)下就自然得出“要將這1個十與個位數(shù)上的2合并起來再繼續(xù)除以3”的結(jié)論,輕松解決了算理上的難點。教師根據(jù)學(xué)生的探究結(jié)果,在黑板上將豎式計算的整個過程寫出來(如圖1),并配合講解與教具演示,將“數(shù)”與“形”完整地對應(yīng)起來,進一步加深學(xué)生對算理的理解。

        數(shù)形結(jié)合思想就像是算理與算法之間的一條紐帶,這條紐帶連通了學(xué)生的思維,讓學(xué)生充分理解算理的本質(zhì)。學(xué)生利用學(xué)具或圖片等直觀物品,從形的方向進行思考,以形助數(shù),通過操作、聯(lián)想、對比、概括等思維發(fā)展的過程,逐漸在腦海中建立起清晰的表象,在深入理解算理,掌握算法的同時,獲得了思維的進階發(fā)展,有效提高了計算教學(xué)的效果。

        二、以形思數(shù),巧借模型優(yōu)化算法

        著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說:“人之可貴在于能創(chuàng)造性地思維?!敝挥芯邆淞顺錆M主動性與創(chuàng)造性的思維,才能真正窺探到事物的本質(zhì)和發(fā)展規(guī)律,更好地創(chuàng)造出具有個性化、創(chuàng)新性的思維成果。小學(xué)生在計算學(xué)習(xí)的過程中,運用數(shù)形結(jié)合思想,能更好地激發(fā)創(chuàng)造性思維,想出多種算法,無形之中培養(yǎng)出發(fā)散性思維。通過對比、聯(lián)想和推理來探究出最優(yōu)化的算法,能促進學(xué)生計算能力的提升。

        例如,在教學(xué)“解決問題的策略(轉(zhuǎn)化)”這一課的內(nèi)容時,教師引導(dǎo)學(xué)生探究“[1/2] + [1/4 ] + [1/8] + [1/16]”的簡便算法。有的學(xué)生是先通分,將異分母分數(shù)轉(zhuǎn)化成同分母分數(shù)來進行簡便計算;也有的學(xué)生發(fā)現(xiàn)了其中蘊含的規(guī)律,即最終結(jié)果的分母與算式中最后那個分數(shù)的分母相同,而分子則比分母小1。上述兩種方法運用了代數(shù)知識,且涉及分數(shù)的計算,學(xué)生容易算錯,所以不是最優(yōu)解。還有的學(xué)生利用畫圖的方法,比如,畫線段圖、圓形圖、正方形圖等來獲得算式結(jié)果(如圖2)。最終,學(xué)生在經(jīng)過對比之后,一致認為通過數(shù)形結(jié)合畫出正方形圖來計算是最簡便、最直觀形象的方法。

        隨后,教師又依據(jù)教材內(nèi)容讓學(xué)生探索由1起始的連續(xù)奇數(shù)列的和“1+3+5+7+……”,讓學(xué)生先自己嘗試畫一畫,再進行求和,學(xué)生在邊畫圖邊思考中自主建構(gòu)起連續(xù)奇數(shù)列之和的數(shù)學(xué)模型。有一部分學(xué)生利用了畫正方形圖的方式建構(gòu)了相應(yīng)的奇數(shù)列模型(如圖3)。

        在第一個圖形中,學(xué)生畫了1個小正方形來表示1;第二個圖形是在第一個圖形的基礎(chǔ)上增加了3個小正方形,組合成了邊長為2的正方形,表示4;第三個圖形又比第二個圖形多了5個小正方形,組合成了邊長為3的正方形,表示9;第四個圖形比第三個圖形多了7個小正方形,組合成了邊長為4的正方形,表示16。以此類推,第五個圖形、第六個圖形……的正方形的邊長分別應(yīng)為5、6……,正方形分別表示25、36……,通過觀察探究,學(xué)生發(fā)現(xiàn)了其中的規(guī)律,明白了要想快速得出“1+3+5+7+……”的結(jié)果,重點在于這個算式中加數(shù)的個數(shù),它們的和等于加數(shù)個數(shù)的平方。正是通過畫圖的方式啟發(fā)了學(xué)生的創(chuàng)造性思維,讓學(xué)生逐漸建構(gòu)起直觀的數(shù)學(xué)模型,更容易找到最優(yōu)算法,快速解決數(shù)學(xué)問題,有效提高了計算的速度和正確率,也促進了學(xué)生計算能力的發(fā)展。

        三、以形悟數(shù),呈現(xiàn)場景感悟定律

        運算定律貫穿整個小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終,所以熟練掌握各種運算定律是能否準確運算的關(guān)鍵。在解決實際應(yīng)用題時,加法和乘法的交換律是最簡單也是最常用的運算定律,涉及一些復(fù)雜的計算題時,往往離不開加法和乘法的結(jié)合律及乘法分配律。交換律對于學(xué)生來講一般不難掌握,但是他們常常會對乘法分配律和乘法結(jié)合律的概念產(chǎn)生混淆。比如,在計算“(5×3)×4”時,有部分學(xué)生會把算式變形成“5×4+3×4”或者“5×4×3×4”,這就是混淆乘法結(jié)合律和乘法分配律之后出現(xiàn)的錯誤。產(chǎn)生這種錯誤的根本原因就是他們并沒有明白運算定律的實際意義,也沒有從根本上去理解運算定律。而數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢在于可以將復(fù)雜抽象的數(shù)學(xué)問題通過一定的場景或者圖形直觀地表達出來。因此,教師可以充分利用數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢,幫助學(xué)生理解運算定律的本質(zhì),從而更好地掌握和運用各種運算定律。

        以學(xué)習(xí)乘法分配律為例,探究如何運用數(shù)形結(jié)合思想來讓學(xué)生準確掌握運算定律。乘法分配律的標準書寫方式是“(a+b)×c=a×c+b×c”,這種帶有字母的等式對于小學(xué)生來講實在過于抽象,如果單單告訴他們“a,b,c可以代表不同的數(shù)字”,那么他們往往只會把不同的數(shù)字帶進去而得到不同的等式,壓根不知道運算定律的本質(zhì),也做不到掌握和運用的程度。教師可以設(shè)置一個“小方格種農(nóng)作物”的情境來幫助學(xué)生理解。如圖4,設(shè)定在淺色區(qū)域種植土豆,在深色區(qū)域種植白菜,問“一共種了多少塊地”。學(xué)生從圖中能直觀看出如何列式子來解決問題,學(xué)生最容易想到的方法就是分別將土豆的種植塊數(shù)和白菜的種植塊數(shù)相加,列出算式“4×6+6×6”,并求出答案。

        在此基礎(chǔ)上,教師還可以引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形,得出不同的式子,他們很快便能觀察到其實兩種農(nóng)作物種植的列數(shù)是一致的,唯一不同的是行數(shù),那么在求解過程中并不需要把兩種農(nóng)作物分開計算,只需要計算出它們的總行數(shù)然后再乘以列數(shù)即可,得到“(4+6)×6”,最后的答案和第一個式子是一致的。教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考“4×6+6×6是否等于(4+6)×6”,進而在形式上和乘法分配律靠攏,使得學(xué)生對于這種運算定律有了初步的認識。當然,僅憑這一個等式并不能得出乘法分配律的公式,還需要教師挖掘更多的事例。通過演練大量的數(shù)形結(jié)合的事例,學(xué)生才能掌握乘法分配律的本質(zhì),最終熟練運用運算定律,提升運算能力。

        四、以數(shù)解形,精準計算解決問題

        布魯納認為,在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中,深入掌握一些基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)思想方法,更便于對知識的理解和記憶。而數(shù)形結(jié)合思想就是其中之一,在教學(xué)中,大部分時候教師都是用“形”來詮釋“數(shù)”的,雖然“形”有著很好的直觀形象性,但也有不容易準確表達的缺點,這時就需要用“數(shù)”來準確翻譯出“形”所表達的意思。而“數(shù)”具有抽象性的特征,能充分表達出問題的本質(zhì)。因此,在解決某些問題時,我們也可以用“數(shù)”來輔助“形”。比如,利用一些數(shù)據(jù)來表示圖形的大小,并通過對數(shù)進行運算得出更為準確的結(jié)果,加強學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想的認識和掌握,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)。

        例如,在學(xué)習(xí)完“長方形和正方形的周長與面積”這一內(nèi)容后,教師可以在練習(xí)課上圍繞“周長和面積”這兩個概念設(shè)計一道練習(xí)題:桌子上有1根1 cm長的小棒,如果用12根這樣的小棒圍出長方形或正方形,可以圍出多少個,最大的面積應(yīng)是多少?這道題是對“形”的研究,但如果只是這樣,學(xué)生只能大約感受到周長一樣的情況下,如圖5的圖形面積似乎要大于如圖6的圖形面積。

        那么,如何才能讓學(xué)生得出“當周長一樣時,長和寬之間的差越小,圍出的圖形面積就越大”這個結(jié)論呢?很明顯要想更加精確地進行說明,單靠“形”是無法做到的。因此,教師便進一步引導(dǎo)學(xué)生利用填表的方式(如表1),根據(jù)數(shù)的運算來解決問題。

        學(xué)生在經(jīng)過探究后發(fā)現(xiàn):在滿足要求的三類圖形中,面積最大的是正方形。正是通過用“數(shù)”來輔助“形”的方式,讓學(xué)生更加深刻地掌握了周長和面積這兩者之間存在的關(guān)系,使問題獲得了更加準確的解答,這也是數(shù)形結(jié)合思想的價值所在。

        總之,數(shù)形結(jié)合是計算教學(xué)中不可或缺的一種思想方法和有效手段。它不僅能促進計算教學(xué)的實效性,還能發(fā)展和深化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。通過以形演數(shù)、以形助數(shù)、以形悟數(shù)、以形思數(shù)、以數(shù)解形等方式來挖掘計算中蘊含的原理和規(guī)律。理解各種運算定律的本質(zhì),讓學(xué)生學(xué)會思考,尋找解決問題的更優(yōu)思路,讓思維向更高處邁進,讓計算水平與數(shù)學(xué)素養(yǎng)獲得有效的提升。

        (責編 楊偲培)

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