胡晉賓 劉洪璐

摘要：數(shù)學(xué)“三會(huì)”是指數(shù)學(xué)眼光、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)語言，它們分別對應(yīng)數(shù)學(xué)整個(gè)活動(dòng)的從現(xiàn)實(shí)世界提升到數(shù)學(xué)世界、在數(shù)學(xué)世界內(nèi)部推進(jìn)、從數(shù)學(xué)世界回饋到現(xiàn)實(shí)世界三個(gè)發(fā)展樣態(tài)，與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)（關(guān)鍵能力）、“四基”、“四能”都有對應(yīng)關(guān)系。數(shù)學(xué)眼光就是在思維過程中，找到數(shù)學(xué)的元素，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的主題，提出數(shù)學(xué)的概念，捕捉數(shù)學(xué)的關(guān)系，欣賞數(shù)學(xué)的美感，彰顯數(shù)學(xué)的觀念。數(shù)學(xué)眼光的教育意義在于，重視核心素養(yǎng)理念，強(qiáng)調(diào)應(yīng)用和創(chuàng)新意識(shí)，瞄準(zhǔn)數(shù)學(xué)直覺本領(lǐng)。培養(yǎng)數(shù)學(xué)眼光應(yīng)該重視應(yīng)用舉例，關(guān)切發(fā)散聯(lián)想，倡導(dǎo)數(shù)學(xué)閱讀。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)眼光;數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);數(shù)學(xué)“三會(huì)”

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“2017年版課標(biāo)”）在“課程性質(zhì)”中提出，要“引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界”②?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標(biāo)”）進(jìn)一步發(fā)展了相關(guān)思想，明確提出“三會(huì)”主張，即“會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”③;并把它們作為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要指導(dǎo)思想，寫進(jìn)課程目標(biāo)。作為一個(gè)較為新穎的學(xué)術(shù)名詞，對一線教師來說，怎樣理解數(shù)學(xué)眼光的

②中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[S].北京：人民教育出版社，2020：2。

③中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：5-6。

內(nèi)涵，怎樣把握數(shù)學(xué)眼光的發(fā)生機(jī)制，如何認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)眼光的教育意義，如何落實(shí)數(shù)學(xué)眼光的培養(yǎng)，是重要的課題。

一、數(shù)學(xué)眼光的理論審視

（一）數(shù)學(xué)眼光的內(nèi)涵解讀

2022年版課標(biāo)雖然沒有明確給出數(shù)學(xué)眼光的定義，但是描述了數(shù)學(xué)眼光的作用：“數(shù)學(xué)為人們提供了一種認(rèn)識(shí)與探究現(xiàn)實(shí)世界的觀察方式。通過數(shù)學(xué)的眼光，可以從現(xiàn)實(shí)世界的客觀現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系與空間形式，提出有意義的數(shù)學(xué)問題;能夠抽象出數(shù)學(xué)的研究對象及其屬性，形成概念、關(guān)系與結(jié)構(gòu);能夠理解自然現(xiàn)象背后的數(shù)學(xué)原理，感悟數(shù)學(xué)的審美價(jià)值;形成對數(shù)學(xué)的好奇心與想象力，主動(dòng)參與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)?！雹?/p>

既然叫作“數(shù)學(xué)眼光”，多少和看見、觀察等有關(guān)系?；?022年版課標(biāo)的闡述，數(shù)學(xué)眼光、數(shù)學(xué)觀察實(shí)際上是同義的。為了方便理解，我們給出數(shù)學(xué)眼光的操作定義：“數(shù)學(xué)眼光主要指在現(xiàn)實(shí)與數(shù)學(xué)之間進(jìn)行的思維切換，也即：立足知識(shí)儲(chǔ)備，關(guān)涉活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，借助數(shù)學(xué)抽象和直觀想象，從現(xiàn)實(shí)案例‘看到數(shù)學(xué)內(nèi)涵，從數(shù)學(xué)內(nèi)涵‘想到現(xiàn)實(shí)案例?！雹跀?shù)學(xué)眼光是雙向的，即不僅有看到現(xiàn)實(shí)案例想到數(shù)學(xué)內(nèi)涵的一個(gè)側(cè)面，而且有看到數(shù)學(xué)內(nèi)涵想到現(xiàn)實(shí)案例的一個(gè)側(cè)面。

圖1給出了“三會(huì)”與數(shù)學(xué)的基本思想（抽象、推理、模型）、特征（高度抽象、邏輯嚴(yán)謹(jǐn)、應(yīng)用廣泛）的大致對應(yīng)關(guān)系。廣義說來，數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)。如果把思維當(dāng)作動(dòng)詞，那么思維和思考等價(jià)，數(shù)學(xué)思維就是大腦內(nèi)部的數(shù)學(xué)思考。從根本上說，無論是數(shù)學(xué)眼光（數(shù)學(xué)觀察）、數(shù)學(xué)思維（數(shù)學(xué)思考）還是數(shù)學(xué)語言（數(shù)學(xué)表達(dá)），背后的內(nèi)核都是“數(shù)學(xué)地思考”。只不過，如果把數(shù)學(xué)的整個(gè)活動(dòng)分為從現(xiàn)實(shí)世界提升到數(shù)學(xué)世界、在數(shù)學(xué)世界內(nèi)部推進(jìn)、從數(shù)學(xué)世界回饋到現(xiàn)實(shí)世界這樣三個(gè)發(fā)展樣態(tài)的話，那么數(shù)學(xué)眼光對準(zhǔn)的是第一個(gè)階段，即從現(xiàn)實(shí)世界到數(shù)學(xué)世界這一跨越，不涉及后面的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)語言分別對應(yīng)的兩個(gè)階段。③

余秋雨先生指出：“文化，是一種成為習(xí)慣的精神價(jià)值和生活方式。它的最終成果，是集體人格?！雹軐?shí)際上，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也是一個(gè)文化繼承和學(xué)科熏陶的過程，就是形成數(shù)學(xué)觀察、數(shù)學(xué)思考和數(shù)學(xué)表達(dá)的過程。因此，數(shù)學(xué)“三會(huì)”不同于語言課程的聽說讀寫，迥異于科學(xué)課程的實(shí)驗(yàn)探索，有別于藝術(shù)課程的情感演繹。極而言之，數(shù)學(xué)“三會(huì)”就是帶有數(shù)學(xué)氣質(zhì)、具有數(shù)學(xué)味道、體現(xiàn)數(shù)學(xué)特點(diǎn)的觀察、思考和表達(dá)。數(shù)學(xué)眼光就是在思維過程中，找到數(shù)學(xué)的元素，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的主題，提出數(shù)學(xué)的概念，捕捉數(shù)學(xué)的關(guān)系，欣賞數(shù)學(xué)的美感，彰顯數(shù)學(xué)的觀念。

（二）數(shù)學(xué)眼光與數(shù)學(xué)家眼光的異同

張景中院士這樣描述數(shù)學(xué)家的眼光：“數(shù)學(xué)家看問題，關(guān)心的是數(shù)量關(guān)系和空間形式，用的是抽象的眼光。有些我們覺得不

①中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：5。

②③胡晉賓，劉洪璐.數(shù)學(xué)眼光的內(nèi)涵及培養(yǎng)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2021（2）：17-20。

④參見：余秋雨.中國文化課[M].北京：中國青年出版社，2019。

同的東西，數(shù)學(xué)家看來卻是相同的。3只小雞、3只熊貓、3條恐龍，它們之間的差別可以使生物學(xué)家激動(dòng)不已。但是對于數(shù)學(xué)家來說，無非都是干巴巴的數(shù)字‘3而已。月餅、燒餅、鐵餅，到了數(shù)學(xué)家那里，無非都是圓?！雹儆纱丝梢?，數(shù)學(xué)家的眼光和前述數(shù)學(xué)眼光的概念本質(zhì)上并無二致。數(shù)學(xué)知識(shí)是數(shù)學(xué)家群體創(chuàng)造出來的，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，就是通過知識(shí)學(xué)習(xí)，培養(yǎng)出類似數(shù)學(xué)家的思維方式和思維本領(lǐng)。因此，我們認(rèn)為，學(xué)生要培養(yǎng)的數(shù)學(xué)眼光與數(shù)學(xué)家審視問題時(shí)的眼光，在方向上是一致的，只不過學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光形成是需要慢慢培養(yǎng)的，學(xué)習(xí)過程是漫長的，有高低深淺之分、進(jìn)階路徑差異，不同的人在數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何或統(tǒng)計(jì)與概率領(lǐng)域還有不同。

（三）數(shù)學(xué)眼光的素養(yǎng)對應(yīng)與水平劃分

數(shù)學(xué)“三會(huì)”既是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的終極性凝聚，也是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的積淀后外化。具體地，根據(jù)2022年版課標(biāo)和2017年版課標(biāo)，數(shù)學(xué)“三會(huì)”與各個(gè)學(xué)段的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具體表現(xiàn)的對應(yīng)關(guān)系如表1所示。

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，考慮到義務(wù)教育數(shù)學(xué)常見的領(lǐng)域劃分，數(shù)學(xué)眼光可以分為數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率的領(lǐng)域差異，分別對應(yīng)考察數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系、統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)關(guān)系。因?yàn)閿?shù)學(xué)眼光是用來“觀察現(xiàn)實(shí)世界”的，所以從現(xiàn)實(shí)世界的角度，可以劃分為熟悉的情境、關(guān)聯(lián)的情境和綜合的情境三種水平層級。

（四）數(shù)學(xué)眼光的發(fā)生機(jī)制

數(shù)學(xué)“三會(huì)”不僅和“四基”（基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)）有關(guān)，還與“四能”（發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力）有關(guān)。如果把外部顯性操作和內(nèi)部思維操作都當(dāng)作基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的話，那么它們的大致對應(yīng)關(guān)系可以如表2所示。

數(shù)學(xué)眼光是在長期數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中練就的，需要數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積淀的加持。從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題和提出問題時(shí)，數(shù)學(xué)眼光就發(fā)生了。2022年版課標(biāo)也在“教學(xué)建議”中指出：“要引導(dǎo)學(xué)生在發(fā)現(xiàn)問

①張景中.數(shù)學(xué)家的眼光（典藏版）[M].北京：中國少年兒童出版社，2011：42-43。

題、提出問題的同時(shí)，會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界……”①

以看到蘭州拉面場景想到冪指數(shù)知識(shí)為例，說明數(shù)學(xué)眼光的發(fā)生?？吹嚼娴母鶖?shù)在翻倍，這是一個(gè)數(shù)量關(guān)系模式識(shí)別的過程，于是大腦激活并提取出冪指數(shù)知識(shí)。因此，其中主要涉及既有的基礎(chǔ)知識(shí)和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

（五）數(shù)學(xué)眼光的教育意義

1.重視核心素養(yǎng)理念

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)追求的不應(yīng)該僅僅是冰冷的知識(shí)和量化的成績，實(shí)際上，對于大多數(shù)人來說主要是一種“忘卻”后留下的素養(yǎng)。提出“三會(huì)”理論并倡導(dǎo)數(shù)學(xué)眼光培養(yǎng)，可以改變數(shù)學(xué)高高在上、高不可攀的形象，因?yàn)樵谌粘Ｉ钪芯陀小坝^察出來”的“活的數(shù)學(xué)”。

2.強(qiáng)調(diào)應(yīng)用和創(chuàng)新意識(shí)

提出數(shù)學(xué)眼光的培養(yǎng)目標(biāo)，意在側(cè)重聯(lián)系實(shí)際，強(qiáng)調(diào)學(xué)以致用和創(chuàng)新實(shí)踐，反對死讀書和“刷題”應(yīng)試。比如，2022年版課標(biāo)中有一個(gè)案例：如圖2所示，左邊為1個(gè)紙杯，右邊為6個(gè)疊放在一起的紙杯，要求探究疊放杯子總高度的變化規(guī)律。②要從中直接“看出”函數(shù)來，確實(shí)需要數(shù)學(xué)眼光。設(shè)杯子底部到杯沿底邊高為h（常量），杯沿高為x（常量），杯子個(gè)數(shù)為n（自變量），因此從初中數(shù)學(xué)的角度看，總高度H=h+nx是一次函數(shù);從高中數(shù)學(xué)的角度看，顯然可以把它看作一個(gè)等差數(shù)列（數(shù)列是一類特殊的函數(shù)）。

3.瞄準(zhǔn)數(shù)學(xué)直覺本領(lǐng)

一般認(rèn)為，數(shù)學(xué)思維包括數(shù)學(xué)的邏輯思維、形象思維和直覺思維三種形式。其中，形象思維、直覺思維與數(shù)學(xué)眼光關(guān)系最大。從根本上說，邏輯思維不能帶來新穎創(chuàng)造和重大變革，僅僅是核準(zhǔn)直覺思維的“衛(wèi)生規(guī)則”;而直覺思維與合情推理，則是最富創(chuàng)意的思維形式與數(shù)學(xué)活動(dòng)。數(shù)學(xué)眼光實(shí)際上是人們受過專業(yè)訓(xùn)練后形成的一種學(xué)科思維習(xí)慣和專業(yè)直覺。強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)眼光，實(shí)際上就是強(qiáng)調(diào)這種直覺。仔細(xì)揣摩以下名言，不難體會(huì)直覺的重要性：

“邏輯和直覺各有其必要的作用，兩者缺一不可。唯有邏輯能給我們以可靠性，它是證明的工具;而直覺，則是發(fā)明的工具?！保嫾尤R）

“總應(yīng)要求一個(gè)數(shù)學(xué)主題變成直觀上顯然，才可以認(rèn)為研究到頭了……”（F.克萊因）

“對于基本概念的理解，要變?yōu)橹庇X?！保钫駥帲?/p>

“猜測是一手貨，需優(yōu)先掌握;證明是二手貨，可慢慢修煉。”（林群）

二、數(shù)學(xué)眼光的培養(yǎng)建議

前面已經(jīng)述及數(shù)學(xué)眼光和“四基”“四能”的關(guān)系，數(shù)學(xué)眼光的培養(yǎng)顯然和數(shù)學(xué)知識(shí)的不斷累積有關(guān)，和數(shù)學(xué)思維的反復(fù)實(shí)踐有關(guān)。除此之外，在日常學(xué)習(xí)和教學(xué)中，還應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

（一）重視應(yīng)用舉例

對于學(xué)生學(xué)習(xí)來說，一個(gè)經(jīng)典的有趣案例，勝過一打花哨的蹩腳理論。③鄭毓信先生在提到數(shù)學(xué)教師的基本功時(shí)，把善于舉例作為第一項(xiàng)（其他兩項(xiàng)分別是善于提問、善于比

①②中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：84，178。

③張五常.吾意獨(dú)憐才——五常談教育[M].北京：中信出版社，2010：50-54。

較與優(yōu)化）。數(shù)學(xué)教師應(yīng)該善于通過精彩案例的列舉，進(jìn)行數(shù)學(xué)眼光的培養(yǎng);應(yīng)該善于借助教學(xué)世界的創(chuàng)設(shè)，架設(shè)生活世界和數(shù)學(xué)世界之間的橋梁。①教學(xué)時(shí)，不僅要讓學(xué)生知道某個(gè)現(xiàn)實(shí)案例可以抽象成什么知識(shí)，而且要能反過來，給出相應(yīng)知識(shí)，讓學(xué)生列舉出生活實(shí)例。

以初中三角形的穩(wěn)定性為例，就有自行車撐子停車、空調(diào)外機(jī)安裝固定、攝影器材三腳架支撐、太陽能熱水器結(jié)構(gòu)性焊接等案例。以高中周期性概念為例，就有歷法計(jì)時(shí)、晝夜交換、四季更替、心跳反復(fù)、星期輪回、潮汐漲落、圓周往復(fù)、“離離原上草，一歲一枯榮”等案例。從這個(gè)角度來看，文理交融和學(xué)科交叉是應(yīng)該提倡的。比如，從音樂、美術(shù)和體育等學(xué)科中看到數(shù)學(xué)的內(nèi)涵，顯然也是重要的數(shù)學(xué)眼光。

（二）關(guān)切發(fā)散聯(lián)想

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育強(qiáng)調(diào)演繹推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算，合情推理與數(shù)學(xué)直覺被認(rèn)為是非主流的——再加上數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)建模的被忽視，就存在“掐頭去尾燒中斷”的問題。實(shí)際上，后者是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不可或缺的一個(gè)側(cè)面，應(yīng)該得到同等重視。數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)該多引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散聯(lián)想，促使學(xué)生形成直覺，兼顧非邏輯思維發(fā)散的一面，改變數(shù)學(xué)刻板收斂的形象。

比如，林群院士就曾用吃薄餅等價(jià)于吃油條的例子，形象生動(dòng)地揭示微積分基本原理的內(nèi)涵：吃一定數(shù)量的薄餅（積分，求和）相當(dāng)于吃若干根油條（微分，作差），而被積函數(shù)積分求面積的問題相當(dāng)于原函數(shù)微分三角形中的求高?？此婆c數(shù)學(xué)風(fēng)馬牛不相及的吃早點(diǎn)問題，被輕松風(fēng)趣地解讀成了數(shù)學(xué)命題背后的深刻原理。

又如，我們在編寫有關(guān)教材時(shí)，從以下生活中的多個(gè)案例抽象出變換及其對應(yīng)的矩陣：（1）紋絲不動(dòng)?恒等變換（矩陣）;（2）彈簧拉伸?伸壓變換（矩陣）;（3）風(fēng)車旋轉(zhuǎn)?旋轉(zhuǎn)變換（矩陣）;（4）樹木投影?投影變換（矩陣）;（5）圖像對稱?反射變換（矩陣）;（6）紙牌推移?切變變換（矩陣）。②顯然，這也是數(shù)學(xué)眼光發(fā)散聯(lián)想的具體體現(xiàn)。

（三）倡導(dǎo)數(shù)學(xué)閱讀

數(shù)學(xué)眼光的培養(yǎng)，除了通過教材、通過教師教學(xué)之外，還特別需要注意引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)數(shù)學(xué)課外閱讀，以便擴(kuò)大數(shù)學(xué)視野。數(shù)學(xué)教材好比正餐，當(dāng)然需要重視，但是課外的數(shù)學(xué)科普閱讀、數(shù)學(xué)講座參與乃至數(shù)學(xué)新媒體學(xué)習(xí)等也是重要的學(xué)習(xí)路徑。“汝果欲學(xué)詩，工夫在詩外?！眱H靠數(shù)學(xué)教材學(xué)習(xí)或者數(shù)學(xué)解題，會(huì)窄化數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成，尤其是阻礙“三會(huì)”的培養(yǎng)。很多數(shù)學(xué)歷史、文化、科普方面的閱讀活動(dòng)非常靈動(dòng)活潑，能夠激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，逐漸幫助學(xué)生養(yǎng)成數(shù)學(xué)眼光。

（胡晉賓，江蘇第二師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，編審，博士。主要從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論的教學(xué)及研究等。劉洪璐，南京師范大學(xué)附屬中學(xué)。南京市優(yōu)秀青年教師，曾獲第五屆全國青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課展示活動(dòng)一等獎(jiǎng)。主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)與研究等。）

①羅增儒.數(shù)學(xué)教育視角下的三個(gè)世界和四種數(shù)學(xué)形態(tài)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2019（14）：1。

②胡晉賓，劉洪璐，陳永高，等.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)（選修4-2）：矩陣與變換[M].南京：江蘇鳳凰教育出版社，2008：12-35。