摘要：弗賴(lài)登塔爾的《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》一書(shū)中，最基本的觀點(diǎn)可以概括為：通過(guò)再創(chuàng)造落實(shí)“有層次的系統(tǒng)化”，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一正確的方法。這是由人類(lèi)不同于動(dòng)物的本性以及數(shù)學(xué)的特性所決定的。再創(chuàng)造包括四個(gè)層次：通過(guò)具體的案例（問(wèn)題）感悟數(shù)學(xué)的性質(zhì)、關(guān)系與規(guī)律（原理）;將原理應(yīng)用于較復(fù)雜的情境;局部組織形成邏輯結(jié)構(gòu);整體組織形成公理體系。弗賴(lài)登塔爾的三個(gè)觀點(diǎn)對(duì)再創(chuàng)造的教學(xué)落實(shí)很重要：教材是教學(xué)法的顛倒;用數(shù)學(xué)化方法組織一個(gè)領(lǐng)域;發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題也是再創(chuàng)造。

關(guān)鍵詞：弗賴(lài)登塔爾;《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》;再創(chuàng)造;學(xué)習(xí)過(guò)程層次

荷蘭著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家弗賴(lài)登塔爾的數(shù)學(xué)教育思想集中體現(xiàn)在《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》一書(shū)中。該書(shū)中最有影響力的兩個(gè)觀點(diǎn)是：數(shù)學(xué)是系統(tǒng)化了的常識(shí)（數(shù)學(xué)觀）;學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一正確的方法是實(shí)行“再創(chuàng)造”（數(shù)學(xué)教學(xué)觀）。前文已經(jīng)談了“數(shù)學(xué)是系統(tǒng)化了的常識(shí)”的內(nèi)涵及教育意義。①落實(shí)“有層次的系統(tǒng)化”的根本途徑是再創(chuàng)造，它為何是“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一正確的方法”？它的內(nèi)涵與具體表現(xiàn)是什么？它在數(shù)學(xué)教學(xué)中如何落實(shí)？本文通過(guò)梳理、解讀《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》一書(shū)中比較零散和晦澀的論述來(lái)回答。

一、倡導(dǎo)“再創(chuàng)造”是人類(lèi)以及數(shù)學(xué)的特性所決定的

人類(lèi)歷史上，真正的創(chuàng)造與創(chuàng)新都非常困難，因?yàn)椤白怨乓詠?lái)，傳統(tǒng)是人類(lèi)社會(huì)的凝

①劉加霞.“數(shù)學(xué)是系統(tǒng)化了的常識(shí)”的內(nèi)涵及教育意義——《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》一書(shū)觀點(diǎn)評(píng)述之一[J].教育研究與評(píng)論，2022（3）：105-109.

固劑，法律、階級(jí)、風(fēng)俗、習(xí)慣都凌駕于人類(lèi)之上。實(shí)際上對(duì)抗傳統(tǒng)是危險(xiǎn)的”①。但是，“將文化遺產(chǎn)作為現(xiàn)成的材料原封不動(dòng)地傳授給青年人，這種做法太危險(xiǎn)了。我們的教育應(yīng)當(dāng)為青年人創(chuàng)造機(jī)會(huì)，讓他們通過(guò)自己的活動(dòng)獲得文化遺產(chǎn)，同時(shí)，應(yīng)該讓他們學(xué)會(huì)自信，相信自己在學(xué)習(xí)過(guò)程中可以充分地施展自己的才能”②。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)也是這樣，必須通過(guò)數(shù)學(xué)活動(dòng)（做數(shù)學(xué)）或者再創(chuàng)造。這是由人類(lèi)不同于動(dòng)物的本性以及數(shù)學(xué)的特性所決定的。

（一）人類(lèi)必須且有能力進(jìn)行主動(dòng)學(xué)習(xí)

不像其他生物那樣具有比較完備的天賦本能（例如，出生不久即可行走、覓食），人類(lèi)一生下來(lái)非常孤立無(wú)助。“大自然賜給動(dòng)物以即刻必需的本能，賜給人類(lèi)的卻是一個(gè)機(jī)會(huì)與任務(wù)：獲得遺產(chǎn)并且占有它?！雹廴祟?lèi)因?yàn)闆](méi)有這種本能而需要學(xué)習(xí)許多體力與智力活動(dòng)，這是人的本性：在接受與拒絕之間進(jìn)行自由的選擇，選擇之后就能有目的、積極主動(dòng)地學(xué)習(xí)。人類(lèi)的學(xué)習(xí)是一個(gè)緩慢的過(guò)程，是能動(dòng)地進(jìn)行建構(gòu)的過(guò)程，不能采用任何方法來(lái)強(qiáng)迫它。通過(guò)再創(chuàng)造來(lái)學(xué)習(xí)是人的本性使然。

（二）信息源的廣泛性打破了教師的權(quán)威歷史上，印刷術(shù)的出現(xiàn)防止了再一次自我封閉的惡性循環(huán)（手寫(xiě)本永遠(yuǎn)不能像印刷品那樣方便地傳播知識(shí)與科學(xué)），使書(shū)籍等材料接替了教師的權(quán)威。④而在互聯(lián)網(wǎng)、信息技術(shù)時(shí)代，信息源的廣泛性更是打破了教師的“知識(shí)霸主”地位，教師不再擁有不可侵犯的教條，學(xué)生也不再是仰師傅鼻息的徒弟。在一個(gè)小組中，沒(méi)有天生的權(quán)威，只有自然涌現(xiàn)出來(lái)的最成熟者，成為首席。科學(xué)不是教出來(lái)的，也不是學(xué)出來(lái)的，而是創(chuàng)造出來(lái)的。⑤學(xué)習(xí)不再是單一地接受教師的講解，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容與方式必須轉(zhuǎn)變。

（三）數(shù)學(xué)的“模式化”比“模式”更重要

數(shù)學(xué)是關(guān)于算法、模式、策略的科學(xué)。較低層次的算法通過(guò)再創(chuàng)造而獲得是最有效的，其他較高層次的內(nèi)容更應(yīng)該通過(guò)再創(chuàng)造來(lái)獲得。程式化（模式化），即制造模式，比模式（本身）更為重要?！翱上覀儧](méi)有有意識(shí)地去了解我們大多數(shù)的模式，看來(lái)這對(duì)教學(xué)是不利的，其實(shí)這也有有利的一面。因?yàn)槲覀儧](méi)有有意識(shí)地去了解，所以我們就不能將模式作為現(xiàn)成的東西有意識(shí)地教給學(xué)生，模式只能隱含在我們的程式化中。可以明確教授的只有程式化，而不是模式。”⑥

例如，不少小學(xué)教師對(duì)一些數(shù)學(xué)知識(shí)背后的原理、規(guī)律不清楚，反而無(wú)意地給學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)原理、規(guī)律的時(shí)空，而不是“告知式”地把原理、規(guī)律作為“現(xiàn)成的數(shù)學(xué)”教給學(xué)生。教師對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)“知道得少”未必是壞事，只要有真誠(chéng)、開(kāi)放的心，就能夠與學(xué)生“同等待遇、公平地”去探究發(fā)現(xiàn)。但這需要教師有先進(jìn)的學(xué)習(xí)觀，敢于給學(xué)生自主探究發(fā)現(xiàn)的時(shí)空與腳手架。

隨著人們思維的成熟，所占有的知識(shí)材料會(huì)愈來(lái)愈有密切的聯(lián)系，從而可以自成體系而不必硬去記住。“很多知識(shí)會(huì)被忘記，是被達(dá)到頂峰的人踢掉了梯子?！敝挥薪?jīng)歷再創(chuàng)造，學(xué)生才有可能成為“達(dá)到頂峰的人”。只有親身的經(jīng)歷和感受，才是再創(chuàng)造的動(dòng)力。

二、“再創(chuàng)造”的含義及層次表現(xiàn)

弗賴(lài)登塔爾在《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》一書(shū)中追述了蘇格拉底的“產(chǎn)婆術(shù)”、夸美紐斯的“大教學(xué)論”的主要觀點(diǎn)。雖然夸美紐斯提出“學(xué)生不僅通過(guò)語(yǔ)言，而且通過(guò)完整地感覺(jué)現(xiàn)實(shí)來(lái)學(xué)習(xí)”，但他還是強(qiáng)調(diào)教師“教”的重要

①②③④⑤⑥弗賴(lài)登塔爾作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)[M].陳昌平，唐瑞芬，等編譯.上海：上海教育出版社，1995：53，58，59，55，55，380。

性并提出“教的最好方法是演示”，弗賴(lài)登塔爾在此基礎(chǔ)上提出“學(xué)的最好方法是做”①。在弗賴(lài)登塔爾的論述中，再創(chuàng)造、數(shù)學(xué)化與做數(shù)學(xué)這三個(gè)術(shù)語(yǔ)的內(nèi)涵基本一致?！皩?shù)學(xué)作為一種活動(dòng)來(lái)進(jìn)行解釋和分析，建立在這一基礎(chǔ)上的教學(xué)方法，我稱(chēng)之為再創(chuàng)造方法，這個(gè)觀念在許多地方或遲或早地獨(dú)立形成?！雹陔m然人們普遍認(rèn)可再創(chuàng)造，但在實(shí)踐中真正做到的卻不多，首先是概念理解的問(wèn)題，即再創(chuàng)造到底指什么。

（一）基于學(xué)習(xí)層次理論的再創(chuàng)造

數(shù)學(xué)教育不應(yīng)該把現(xiàn)成的數(shù)學(xué)定義、性質(zhì)與規(guī)律等內(nèi)容強(qiáng)加給學(xué)生，學(xué)習(xí)這些內(nèi)容時(shí)必須含有創(chuàng)造的側(cè)面。這并非客觀意義上的創(chuàng)造，而是主觀意義上的創(chuàng)造，即從學(xué)生學(xué)習(xí)的視角看是創(chuàng)造，所以叫再創(chuàng)造。實(shí)際上，“數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)也并非像書(shū)架上陳列的書(shū)那樣一成不變，而是每天都在變化，那為什么學(xué)生就應(yīng)該學(xué)木乃伊式的數(shù)學(xué)呢”③。對(duì)學(xué)生和數(shù)學(xué)家應(yīng)該同樣看待，讓他們擁有同樣的權(quán)利，那就是通過(guò)再創(chuàng)造來(lái)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，而不是因襲和效仿。

弗賴(lài)登塔爾還明確指出：再創(chuàng)造不僅僅指發(fā)現(xiàn)或再發(fā)現(xiàn)?！白钍刮覠赖氖牵瑢?duì)于再創(chuàng)造這個(gè)概念，大多數(shù)都作了太狹隘、太膚淺的解釋?！雹芩鶕?jù)范·希爾夫婦提出的“學(xué)習(xí)過(guò)程的層次”理論，以完全歸納法為例，闡述了學(xué)習(xí)過(guò)程的四個(gè)層次：首先必須有例子以迫使學(xué)生發(fā)現(xiàn)完全歸納法，通過(guò)特殊例子，學(xué)生認(rèn)識(shí)到普遍的原理;隨后又將其用于更復(fù)雜的情況;在掌握原理的基礎(chǔ)上，才能在教師的幫助下進(jìn)行系統(tǒng)的闡述;最后在公理化方面有一些親身體驗(yàn)的話(huà)，才能進(jìn)入皮亞諾公理的軌道。⑤

學(xué)習(xí)的不同層次中都有再創(chuàng)造行為。在第一層次上，將直觀、具體的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題（范例）轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題并解決，初步感悟一般的方法與原理;在第二層次上，將所獲得的原理應(yīng)用于新的更復(fù)雜的情境，不只是更換或代入“數(shù)值”;在第三層次上，建立聯(lián)系，形成局部的有邏輯的結(jié)構(gòu);在第四層次上，形成嚴(yán)謹(jǐn)、演繹的整體性結(jié)構(gòu)體系。弗賴(lài)登塔爾特別強(qiáng)調(diào)，“舉出新的案例”也是“再創(chuàng)造”的重要表現(xiàn)，例子比一般證明更能說(shuō)服人，只有領(lǐng)會(huì)具體例子的人，才會(huì)理解一般證明。⑥

弗賴(lài)登塔爾將前兩個(gè)層次的再創(chuàng)造稱(chēng)為“水平數(shù)學(xué)化（解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題）”，后兩個(gè)稱(chēng)為“垂直數(shù)學(xué)化（數(shù)學(xué)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)化）”。

（二）高層次的再創(chuàng)造是一種“組織”

垂直數(shù)學(xué)化是高水平的再創(chuàng)造，其重要表現(xiàn)是局部組織與整體組織——可以說(shuō)，再創(chuàng)造主要表現(xiàn)為組織化、結(jié)構(gòu)化。尤其是局部組織在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中無(wú)處不在，經(jīng)過(guò)局部組織形成更一般的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是再創(chuàng)造的典型表現(xiàn)。整體組織的最高水平是公理化（有數(shù)學(xué)家甚至認(rèn)為只有經(jīng)過(guò)公理化形成演繹結(jié)構(gòu)體系的內(nèi)容才能稱(chēng)為“數(shù)學(xué)”。不過(guò)，這樣的觀點(diǎn)并不適合學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)）。

例如，在自然數(shù)范圍內(nèi)，加、減、乘、除是四種不同的運(yùn)算，加法和乘法滿(mǎn)足封閉性，減法與除法則不具有封閉性。能否重新組織數(shù)學(xué)內(nèi)容，使減法與除法也具有封閉性呢？于是，人們“定義”了負(fù)數(shù)、有理數(shù)，從自然數(shù)擴(kuò)充到整數(shù)、有理數(shù)數(shù)域。而且，數(shù)域擴(kuò)充后，減法也是加法，即減一個(gè)數(shù)等于加這個(gè)數(shù)的相反數(shù);除法也是乘法，即除以一個(gè)數(shù)等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)?？梢?jiàn)，重新組織后，加法、乘法是更基本的運(yùn)算。進(jìn)一步說(shuō)，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》特別強(qiáng)調(diào)的數(shù)與運(yùn)算的一致性，實(shí)際上也是一種“組織與再組織”的結(jié)果，其根

①②③④⑤⑥弗賴(lài)登塔爾.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)[M].陳昌平，唐瑞芬，等編譯.上海：上海教育出版社，1995：102-103，111，122，112，113，370.

本是數(shù)學(xué)概念之間的“聯(lián)系”。

類(lèi)似地，不考慮圖形的長(zhǎng)度與角度的可比性，只考慮直線(xiàn)性與平行性，則得到仿射幾何;不考慮平行性，只保持直線(xiàn)性，就得到射影幾何;再進(jìn)一步，直線(xiàn)性作為結(jié)構(gòu)的性質(zhì)也被去掉，空間就簡(jiǎn)化成了拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。從歐氏幾何到拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，也是再創(chuàng)造過(guò)程，是在結(jié)構(gòu)化數(shù)學(xué)。①

經(jīng)過(guò)再創(chuàng)造的重新組織，數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)系更為簡(jiǎn)潔與統(tǒng)一。而數(shù)學(xué)體系內(nèi)部的和諧統(tǒng)一也能夠促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展。

（三）再創(chuàng)造需要從低層次到高層次發(fā)展再創(chuàng)造一般都是由低層次到高層次的，不能顛倒，不能將形式化、結(jié)構(gòu)化的內(nèi)容作為現(xiàn)成的數(shù)學(xué)“教或傳遞”給學(xué)生。同時(shí)，各層次間也具有一定的不連續(xù)性，即某些學(xué)生的學(xué)習(xí)曲線(xiàn)具有跳躍性，不同的學(xué)生學(xué)習(xí)同樣的內(nèi)容時(shí)可能處于不同的層次。

最低層次的再創(chuàng)造是不可缺少的，但一定是“暫時(shí)的”。例如，在最低層次上，借助操練以獲得算法的自動(dòng)化是必要的②，但不能像過(guò)去那樣被夸大。只有到了下一個(gè)層次，學(xué)生才會(huì)進(jìn)行反思，并分析最低層次中的組織方法，這時(shí)，才開(kāi)始有了點(diǎn)數(shù)學(xué)味道，雖然也還是最微不足道的形式，但不再是“開(kāi)玩笑”了。③不給學(xué)生提供進(jìn)入高層次的機(jī)會(huì)，就會(huì)使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)停頓甚至退化。教師要設(shè)計(jì)一些教學(xué)手段，讓學(xué)生從低層次到達(dá)高層次。

進(jìn)入較高層次后，較低層次的活動(dòng)就成為分析的對(duì)象。在第一層次上，有具體的問(wèn)題或案例支撐，便于學(xué)生做數(shù)學(xué)，感知并體驗(yàn)其中蘊(yùn)含的性質(zhì)、關(guān)系與規(guī)律;在第二層次上，將前一個(gè)層次感悟的性質(zhì)、關(guān)系與規(guī)律進(jìn)行運(yùn)用，運(yùn)用的過(guò)程也是再認(rèn)識(shí)的過(guò)程;在第三層次上，前兩個(gè)層次的問(wèn)題、案例以及感悟的性質(zhì)、關(guān)系與規(guī)律被有意識(shí)地“局部地組織”成一個(gè)原理;第四層次的水平最高，是將前面的性質(zhì)、關(guān)系與規(guī)律從公理化角度“再組織”，以得到一般化的結(jié)論，形成公理體系。

三、有助于數(shù)學(xué)教學(xué)中落實(shí)“再創(chuàng)造”的三個(gè)觀點(diǎn)

再創(chuàng)造在數(shù)學(xué)教學(xué)中的落實(shí)也不容易，因?yàn)榻逃鳛橐环N人類(lèi)活動(dòng)，是非常復(fù)雜的，是一個(gè)從理想到現(xiàn)實(shí)、從要求到完成的長(zhǎng)期過(guò)程，需要循序漸進(jìn)。弗賴(lài)登塔爾的下述三個(gè)觀點(diǎn)值得借鑒。

（一）教材是教學(xué)法的顛倒

弗賴(lài)登塔爾有一個(gè)著名的論斷：教材是教學(xué)法的顛倒。④他在本書(shū)的序言中明確寫(xiě)道：“像樂(lè)章的序曲一樣，序言通常是最后寫(xiě)的，把它放在本書(shū)的最前面，這是一種寫(xiě)作風(fēng)格的反映。數(shù)學(xué)著作或數(shù)學(xué)教科書(shū)也是這樣，先呈現(xiàn)數(shù)學(xué)思考的結(jié)果。特別是對(duì)一些關(guān)鍵性的定義，它們其實(shí)是結(jié)構(gòu)的最終筆觸，卻總被擺在最前面?！边@也就意味著，教學(xué)不是讓學(xué)生記憶掌握教材上的結(jié)論或結(jié)果等事實(shí)性知識(shí)，而要將其“顛倒過(guò)來(lái)”，“設(shè)想你當(dāng)時(shí)已經(jīng)有了現(xiàn)在的知識(shí)，你將是怎樣發(fā)現(xiàn)那些成果的”，“學(xué)生怎樣才能把他要學(xué)的知識(shí)‘再創(chuàng)造出來(lái)”⑤。

例如，“兩組對(duì)邊分別平行”“兩組對(duì)邊分別相等”“一組對(duì)邊平行且相等”“對(duì)角線(xiàn)互相平分”“兩組對(duì)角分別相等”等關(guān)于平行四邊形的論斷，哪個(gè)作為定義？哪些作為判定定

①弗賴(lài)登塔爾.數(shù)學(xué)教育再探——在中國(guó)的講學(xué)[M].劉意竹，楊剛，等譯.上海：上海教育出版社，1999：131.

②③⑤弗賴(lài)登塔爾.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)[M].陳昌平，唐瑞芬，等編譯.上海：上海教育出版社，1995：131，118，序言1。

④傳統(tǒng)教材確實(shí)較少呈現(xiàn)某些概念、原理和某些問(wèn)題是如何被探究、被解決的，但我國(guó)當(dāng)下的數(shù)學(xué)教材則盡可能呈現(xiàn)出這個(gè)“過(guò)程”。當(dāng)然，由于學(xué)生的思維、經(jīng)驗(yàn)是多樣化的，實(shí)際教學(xué)中學(xué)生的探究發(fā)現(xiàn)過(guò)程遠(yuǎn)比教材上呈現(xiàn)的豐富，“教材是教學(xué)法的顛倒”仍成立。

理？這些命題是否都是等價(jià)的？這些問(wèn)題都可以讓學(xué)生“自由探究”。一旦確定哪個(gè)作為定義后，其他命題都可以由定義出發(fā)經(jīng)由邏輯推導(dǎo)得到，都可以重新局部組織形成一個(gè)演繹體系。讓學(xué)生探究，自主“下定義”“推性質(zhì)”，比教師“教定義”“教性質(zhì)”更合適，因?yàn)榍罢呤窃賱?chuàng)造。

（二）用數(shù)學(xué)化方法組織一個(gè)領(lǐng)域

毫無(wú)疑問(wèn)，學(xué)生的再創(chuàng)造（數(shù)學(xué)化）從最低的層次開(kāi)始，也就是先對(duì)非數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行數(shù)學(xué)化，以保證數(shù)學(xué)的應(yīng)用性。但是，不能把數(shù)學(xué)化“狹隘化”，即將其理解成最低層次的活動(dòng)，而要進(jìn)到下一個(gè)層次，即至少能對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行局部的組織（整體地組織則常常要求過(guò)高）。例如，最時(shí)髦的提法就是為現(xiàn)實(shí)中某個(gè)微小而孤立的片段——所謂的“情境”進(jìn)行數(shù)學(xué)化，也即為情境建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型①，但這只是第一層次的數(shù)學(xué)化，“建立聯(lián)系、構(gòu)建結(jié)構(gòu)，形成局部組織”才是更需要關(guān)注的再創(chuàng)造的手段。

例如，對(duì)事物某些屬性的度量所形成的度量體系，也經(jīng)歷了組織與再組織的過(guò)程。最先學(xué)習(xí)的是一維空間的度量，即長(zhǎng)度，然后是二維、三維空間的度量，即面積、體積。將這三者組織起來(lái)可以發(fā)現(xiàn)，其具有共同的結(jié)構(gòu)，即度量單位、度量單位的個(gè)數(shù);同時(shí)滿(mǎn)足某些共同的性質(zhì)，即運(yùn)動(dòng)不變性、合同性、有限可加性、自反性與傳遞性等。進(jìn)一步組織可以發(fā)現(xiàn)，角度與常見(jiàn)的量（時(shí)間、人民幣、質(zhì)量等）也具有前述結(jié)構(gòu)和性質(zhì)（但限于學(xué)生的知識(shí)與思維水平，后者的學(xué)習(xí)目標(biāo)要求不同）。再進(jìn)一步，甚至可以得出“自然科學(xué)的本質(zhì)在于‘可度量，人文科學(xué)則‘難度量”等哲學(xué)觀點(diǎn)。

“用數(shù)學(xué)化方法組織一個(gè)領(lǐng)域”是保證實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)整體結(jié)構(gòu)的廣闊途徑，并非“金字塔的塔尖”。當(dāng)然，組織到何種程度，還需要討論。情境與模型、問(wèn)題與求解這些活動(dòng)作為必不可少的局部組織手段是重要的，但它們都應(yīng)該服從于總的方法。

（三）發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題也是再創(chuàng)造

再創(chuàng)造不只體現(xiàn)在解決問(wèn)題上，從情境中發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題也是再創(chuàng)造。發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題大致可以分為三個(gè)階段：一是分析現(xiàn)實(shí)情境要素的關(guān)系與結(jié)構(gòu)，進(jìn)行抽象概括，將現(xiàn)實(shí)疑問(wèn)變成結(jié)構(gòu)不太良好的數(shù)學(xué)疑問(wèn)——這是水平數(shù)學(xué)化的主要內(nèi)容;二是通過(guò)初步的數(shù)學(xué)推理和運(yùn)算，將數(shù)學(xué)疑問(wèn)進(jìn)一步明確，提出更為一般化、結(jié)構(gòu)良好的數(shù)學(xué)問(wèn)題;三是隨著數(shù)學(xué)思考的持續(xù)和深入，問(wèn)題中的關(guān)系結(jié)構(gòu)越來(lái)越清晰、明確，于是大膽提出猜想并加以證實(shí)。發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)疑問(wèn)、問(wèn)題和猜想，是數(shù)學(xué)化水平越來(lái)越高的過(guò)程。在這一過(guò)程中，學(xué)生能把要學(xué)習(xí)的知識(shí)，在教師的引導(dǎo)和幫助下，發(fā)現(xiàn)并創(chuàng)造出來(lái)。

總之，正如弗賴(lài)登塔爾所說(shuō)，我們無(wú)法知道今天教給兒童的題材（即內(nèi)容），是否就是他們未來(lái)需要的，但是我們可以教給兒童更為寶貴的東西，不是特定的題材，而是如何去掌握題材②，也就是“授之以漁”。當(dāng)下，浪漫而激進(jìn)的兒童和青少年要求更為個(gè)性化的教學(xué)，我們也要更加注重培養(yǎng)他們的創(chuàng)造性。因此，“要讓他們像數(shù)學(xué)家那樣閱讀文獻(xiàn)，自由地再創(chuàng)造，使之具備正確的態(tài)度并掌握正確的方法，會(huì)在學(xué)習(xí)過(guò)程中進(jìn)行循序漸進(jìn)的再創(chuàng)造”③。

①②③弗賴(lài)登塔爾.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)[M].陳昌平，唐瑞芬，等編譯.上海：上海教育出版社，1995：124，59，151。