刁懷濤

[摘? 要] 運(yùn)算力是“運(yùn)算技能”和“數(shù)學(xué)思維”的融合。在小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)中，教師要借助生活性模型、遷移性模型、和諧性模型和符號(hào)性模型，來(lái)助推學(xué)生的運(yùn)算理解，強(qiáng)化學(xué)生的運(yùn)算關(guān)聯(lián)，增強(qiáng)學(xué)生的運(yùn)算直覺(jué)，培育學(xué)生的運(yùn)算理性。建立“直觀模型”，能有效地提升學(xué)生的運(yùn)算力，發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)。

[關(guān)鍵詞] 直觀模型;運(yùn)算力;數(shù)學(xué)思維

運(yùn)算力是小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力的重要組成部分，是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)形成的根基。著名教育心理學(xué)家林崇德先生認(rèn)為學(xué)生的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)有三個(gè)方面，即運(yùn)算力、邏輯思維力和空間想象力。所謂運(yùn)算力，是指“學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的概念、法則、公式、定理等進(jìn)行運(yùn)算過(guò)程中所表現(xiàn)的能力”。運(yùn)算力是“運(yùn)算技能”和“數(shù)學(xué)思維”的融合[1]。運(yùn)算力不僅僅是指學(xué)生運(yùn)算得對(duì)，更是指學(xué)生能選擇合適的、合理的運(yùn)算方法，采用相應(yīng)的運(yùn)算策略、運(yùn)算路徑等。

一、生活性模型：助推學(xué)生的運(yùn)算理解

過(guò)去，對(duì)于運(yùn)算這一部分內(nèi)容的教學(xué)，很多教師都采用這樣的一種模式——“多練”。大量的、重復(fù)的、機(jī)械的練習(xí)，讓學(xué)生在運(yùn)算過(guò)程中往往“知其然而不知其所以然”。一個(gè)學(xué)生運(yùn)算能力的高低，就是這位學(xué)生運(yùn)算速度、運(yùn)算熟練程度的高低。在這樣的運(yùn)算過(guò)程中，運(yùn)算成為一種程序，學(xué)生異化為運(yùn)行程序的機(jī)器。“又對(duì)又快”成為衡量學(xué)生運(yùn)算能力高低的標(biāo)識(shí)。但學(xué)生不是機(jī)械地執(zhí)行運(yùn)算命令的機(jī)器，而是有著思維、想象的人。在高強(qiáng)度、高密度的運(yùn)算訓(xùn)練中，學(xué)生的主體性被遺忘了。

數(shù)學(xué)學(xué)科中的運(yùn)算教學(xué)，其目的不是將學(xué)生培養(yǎng)成運(yùn)算的機(jī)器，而是要通過(guò)具體的運(yùn)算，來(lái)激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，催生學(xué)生的數(shù)學(xué)想象。那么，如何讓學(xué)生在運(yùn)算過(guò)程當(dāng)中“思維在場(chǎng)”“想象在場(chǎng)”“創(chuàng)新在場(chǎng)”呢？一個(gè)重要的策略就是要讓學(xué)生經(jīng)歷運(yùn)算的過(guò)程，而不是直奔運(yùn)算的結(jié)果。運(yùn)算的過(guò)程，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，應(yīng)當(dāng)是活生生的。在運(yùn)算教學(xué)中，教師不僅要聚焦于運(yùn)算的法則等陳述性知識(shí)，更要聚焦于運(yùn)算的算理等程序性知識(shí)。算理等程序性知識(shí)，應(yīng)當(dāng)是運(yùn)算的原始形態(tài)的知識(shí)、過(guò)程形態(tài)的知識(shí)。原始形態(tài)的算理能激發(fā)學(xué)生“火熱的思考”。在運(yùn)算教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生將教材中的“學(xué)術(shù)形態(tài)的知識(shí)”轉(zhuǎn)變?yōu)椤敖逃螒B(tài)的知識(shí)”。轉(zhuǎn)變的路徑很多，其中一條重要的路徑就是借助于學(xué)生日常生活中的“模型直觀”。所謂“生活性模型”，是指“以學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)等做的模型”。這樣的“生活性模型”，一方面貼合學(xué)生的認(rèn)知，另一方面切中數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)。比如教學(xué)“減法的性質(zhì)”中的“a-b-c=a-（b+c）”時(shí)，筆者就運(yùn)用學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)啟發(fā)他們：你有一盒餅干，共有a塊，先吃了b塊，又吃了c塊，還剩多少塊？可以怎樣計(jì)算？借助于這種生活化的經(jīng)驗(yàn)，幫助學(xué)生理解“減法的性質(zhì)”中蘊(yùn)含的算理。同時(shí)，將這一性質(zhì)用學(xué)生的“生活性模型”來(lái)建構(gòu)，就讓學(xué)生對(duì)原本抽象化的運(yùn)算性質(zhì)有了形象化的理解。這樣的一種理解能被學(xué)生固定在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)中，成為一種“生活性模型直觀”。

“生活性模型直觀”是學(xué)生經(jīng)驗(yàn)中的直觀，是學(xué)生經(jīng)常遭遇的一種直觀。該直觀易被學(xué)生接受，因而其所蘊(yùn)含的算理也就能為學(xué)生理解、認(rèn)同。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師對(duì)于一些運(yùn)算不能采用“灌輸”“告訴”的方式進(jìn)行教學(xué)，而應(yīng)當(dāng)在“生活性模型直觀”中，讓學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解。唯有這樣的學(xué)習(xí)，才是真性的學(xué)習(xí)。

二、遷移性模型：強(qiáng)化學(xué)生的運(yùn)算關(guān)聯(lián)

數(shù)學(xué)中的運(yùn)算是非常豐富的，它有各種各樣的類(lèi)型，這些類(lèi)型本身就是一個(gè)個(gè)模型。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要善于將一個(gè)個(gè)有關(guān)聯(lián)的運(yùn)算模型聯(lián)系起來(lái)，從而促進(jìn)學(xué)生對(duì)運(yùn)算模型的建構(gòu)。如果說(shuō)一個(gè)個(gè)具體的運(yùn)算模型是小模型（子模型），那么由一個(gè)個(gè)小模型組合起來(lái)的運(yùn)算模型應(yīng)該就是“大模型”。相比較而言，“大模型”的建構(gòu)要求學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算獲得更為深刻、更為本質(zhì)，有更強(qiáng)關(guān)聯(lián)性的理解。建構(gòu)數(shù)學(xué)運(yùn)算“大模型”，能有效地發(fā)展學(xué)生的高階認(rèn)知、高階思維。

我們?nèi)绾我龑?dǎo)學(xué)生借助于一個(gè)個(gè)數(shù)學(xué)運(yùn)算的“小模型”建構(gòu)數(shù)學(xué)運(yùn)算的“大模型”呢？其中一個(gè)重要的策略就是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行運(yùn)算的遷移。筆者將這樣的運(yùn)算“大模型”稱為“遷移性模型”。遷移性模型要求教師積極地通過(guò)教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生運(yùn)算的同化與順應(yīng)。為此，教師在教學(xué)中要善于找準(zhǔn)一個(gè)個(gè)數(shù)學(xué)運(yùn)算模型之間的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，這些關(guān)聯(lián)點(diǎn)就是數(shù)學(xué)運(yùn)算“大模型”的建構(gòu)點(diǎn)、生長(zhǎng)點(diǎn)、生成點(diǎn)、生發(fā)點(diǎn)。建構(gòu)數(shù)學(xué)運(yùn)算“大模型”，有助于學(xué)生在運(yùn)算過(guò)程中合理、靈活地運(yùn)用運(yùn)算法則解決相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。比如教學(xué)“整數(shù)加減法”時(shí)，教師通常會(huì)借助計(jì)數(shù)器，來(lái)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)只有相同數(shù)位上的數(shù)才能相加的內(nèi)在道理，也就是“數(shù)位對(duì)齊（末位對(duì)齊）、滿十進(jìn)一”的算理。這個(gè)時(shí)候運(yùn)算模型建構(gòu)依托的就是一種“物質(zhì)直觀”模型，有一種“物以類(lèi)聚”的思想。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生學(xué)習(xí)“小數(shù)的加減法的法則”時(shí)，教師就可以依托“整數(shù)加減法法則”模型，讓學(xué)生在對(duì)“整數(shù)加減法法則”進(jìn)行回顧的基礎(chǔ)上，抓住“小數(shù)點(diǎn)”這樣一個(gè)“牛鼻子”，自主思考、探究、建構(gòu)“小數(shù)加減法法則”。在這個(gè)過(guò)程中，教師還可以將“整數(shù)加減法法則模型”與“小數(shù)加減法法則模型”進(jìn)行比較，從而讓學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)到，盡管“整數(shù)加減法法則模型”與“小數(shù)加減法法則模型”形態(tài)不一，但其本質(zhì)是一致的。如此，在引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)“同（異）分母分?jǐn)?shù)加減法法則”時(shí)，教師就可以依托“整數(shù)加減法法則”和“小數(shù)加減法法則”，引導(dǎo)學(xué)生回顧、猜想、驗(yàn)證，并進(jìn)行比較、概括，從而建構(gòu)更大的“數(shù)的加減法”的法則模型，這就是“只有計(jì)數(shù)單位相同才能直接相加減”。這樣的運(yùn)算模型建構(gòu)過(guò)程，就是“遷移性模型”的建構(gòu)過(guò)程。

相比較于直觀性模型的建構(gòu)，遷移性模型的建構(gòu)更具有一種內(nèi)在的意義，更有助于深化學(xué)生的認(rèn)知，讓學(xué)生把握運(yùn)算的本質(zhì)。通過(guò)遷移性模型的建構(gòu)，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、認(rèn)知層次不斷提升。如在上述教學(xué)中，學(xué)生能從“數(shù)位對(duì)齊”“小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊”以及“分?jǐn)?shù)單位相同”中抽象、概括出更上位的法則。在遷移性模型的建構(gòu)中，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得到提升。

三、和諧性模型：增強(qiáng)學(xué)生的運(yùn)算直覺(jué)

學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力與學(xué)生的“數(shù)感”是密切相關(guān)的。所謂“數(shù)感”，通俗地說(shuō)就是指“對(duì)數(shù)的一種感覺(jué)”。它和語(yǔ)文學(xué)科中的“語(yǔ)感”、音樂(lè)學(xué)科中的“樂(lè)感”一樣，是學(xué)生學(xué)習(xí)的一種內(nèi)在性的學(xué)科品質(zhì)。好的“數(shù)感”能催生學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺(jué)，能讓學(xué)生迸發(fā)一種數(shù)學(xué)靈感，能引發(fā)學(xué)生豐富的數(shù)學(xué)想象[2]。作為教師，在數(shù)學(xué)教學(xué)中要培養(yǎng)學(xué)生的“數(shù)感”，優(yōu)化學(xué)生的“數(shù)感”。通過(guò)激發(fā)學(xué)生的“數(shù)感”，增強(qiáng)學(xué)生的運(yùn)算直覺(jué)。數(shù)學(xué)的直覺(jué)不是一種常規(guī)的運(yùn)算，而是一種跳躍式的思維。

培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的路徑很多，其中一條重要的路徑是通過(guò)數(shù)學(xué)之美、數(shù)學(xué)之和諧來(lái)引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)運(yùn)算模型。在學(xué)生的運(yùn)算過(guò)程中，“美學(xué)的觀念”發(fā)揮著重要的作用。一些學(xué)生在運(yùn)算的過(guò)程中，能感受、體驗(yàn)到運(yùn)算的簡(jiǎn)潔之美、靈動(dòng)之美。比如低年級(jí)的整數(shù)加減法中的“湊十法”“湊整法”等是一種整體性的和諧數(shù)感的體現(xiàn);中年級(jí)的估算是對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的界域的一種敏銳的把握;高年級(jí)在進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算時(shí)，學(xué)生靈活地調(diào)用相應(yīng)的運(yùn)算律，采用相應(yīng)的簡(jiǎn)便運(yùn)算方法，就是一種運(yùn)算策略的敏銳選擇。這里，筆者以小學(xué)階段學(xué)生最難掌握的“乘法分配律”的教學(xué)為例。“乘法分配律”的表征、應(yīng)用有正向和逆向之分?！俺朔ǚ峙渎伞钡慕虒W(xué)從根本上說(shuō)有兩個(gè)方面：一是“乘法分配律”的算理形成;二是“乘法分配律”的結(jié)構(gòu)性應(yīng)用。對(duì)于“乘法分配律”的算理形成，教師可以采用“生活性模型”建構(gòu)的策略，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)知;對(duì)于“乘法分配律”的算法結(jié)構(gòu)性應(yīng)用，教師就應(yīng)當(dāng)充分應(yīng)用“和諧性模型”，激發(fā)學(xué)生對(duì)美的認(rèn)知心理。如筆者在教學(xué)中，出示了一些開(kāi)放性習(xí)題，諸如“（125+25）×4=125×4+□×4”“32×4+68×4=（□+□）×4”“138×8-□×8=（138-□）×8”，等等。這樣的開(kāi)放性習(xí)題具有一種召喚作用，能喚醒學(xué)生內(nèi)在的“乘法分配律”心理圖式，促使學(xué)生積極應(yīng)用“乘法分配律”。在這個(gè)過(guò)程中，有學(xué)生還構(gòu)建了兩個(gè)等寬的長(zhǎng)方形，通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方式來(lái)建構(gòu)乘法的分配律。乘法分配律成為一種“和諧性模型”，并且喚醒、激活了學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)。如有學(xué)生認(rèn)為，“以前所學(xué)的兩位數(shù)乘三位數(shù)就是利用乘法分配律”;有學(xué)生認(rèn)為，“相遇問(wèn)題的基本模型建構(gòu)利用了乘法分配律”;有學(xué)生認(rèn)為，“基本的工程問(wèn)題模型建構(gòu)利用了乘法分配律”;等等。正是將“乘法分配律”看成了一種“和諧性模型”，才讓學(xué)生的“乘法分配律”的學(xué)習(xí)過(guò)程顯現(xiàn)出如此的魅力。

“和諧性模型”，激發(fā)了學(xué)生的數(shù)感，增強(qiáng)了學(xué)生的運(yùn)算直覺(jué)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，缺乏數(shù)學(xué)直覺(jué)參與的運(yùn)算是不完整的。數(shù)學(xué)直覺(jué)是一種非常規(guī)思維，數(shù)學(xué)直覺(jué)往往會(huì)超越數(shù)學(xué)的法則，能掙脫法則、定理等束縛，產(chǎn)生一種類(lèi)似于頓悟的本能的思維、感覺(jué)或想象。充分利用“和諧性模型”，能有效地彌合數(shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)學(xué)直覺(jué)之間的裂痕。

四、符號(hào)性模型：引領(lǐng)學(xué)生的理性思考

“數(shù)學(xué)，從根本上來(lái)說(shuō)是邏輯加符號(hào)”。（羅素語(yǔ)）在小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷算法的建構(gòu)過(guò)程，從而讓學(xué)生理解算理。經(jīng)歷算法的建構(gòu)，也就是要引導(dǎo)學(xué)生將與數(shù)學(xué)相關(guān)的問(wèn)題數(shù)學(xué)化，并用抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)表征。數(shù)學(xué)符號(hào)集中體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容的簡(jiǎn)約性、符號(hào)化等特點(diǎn)。在數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)地建構(gòu)、創(chuàng)造符號(hào)模型，從而催生學(xué)生的理性化思考。

比如教學(xué)“有余數(shù)的除法”這部分內(nèi)容時(shí)，筆者就利用學(xué)生喜聞樂(lè)見(jiàn)的游戲方式，讓學(xué)生開(kāi)展游戲活動(dòng)，在活動(dòng)中建構(gòu)“商”“余數(shù)”等概念，并體會(huì)、感悟“余數(shù)”和“除數(shù)”之間的關(guān)系。在活動(dòng)開(kāi)始時(shí)，筆者用一種類(lèi)似于小朋友“分卡片”的方式，從“1張1張地分”到“2張2張地分”，從“2張2張地分”到“3張3張地分”，進(jìn)而走向“更多張一起分”。在不斷地嘗試分卡片的過(guò)程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，只要剩余的卡片的張數(shù)（余數(shù)）比小朋友的人數(shù)（除數(shù)）多，就可以繼續(xù)平均分。只有當(dāng)剩余的卡片的張數(shù)（余數(shù)）比小朋友的人數(shù)（除數(shù)）少，該活動(dòng)才不能繼續(xù)，因?yàn)槊恳粋€(gè)人都不夠分1張了。于是，一種“余數(shù)必須比除數(shù)小”“除數(shù)必須比余數(shù)大”的重要的“有余數(shù)除法”算理，就這樣被學(xué)生所建構(gòu)、所理解。同時(shí)，這種數(shù)學(xué)化活動(dòng)，增進(jìn)了學(xué)生的數(shù)感，讓學(xué)生漸漸地學(xué)會(huì)“一下子就能看出商是幾”的本領(lǐng)。因?yàn)樵诓粩嗟亍胺挚ㄆ被顒?dòng)中，學(xué)生分卡片的速度顯著提升。學(xué)生分卡片速度的提升，充分體現(xiàn)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)除法運(yùn)算中的“商”的概念、“余數(shù)”的概念的理解，充分體現(xiàn)了學(xué)生對(duì)除法運(yùn)算中的“商”與“余數(shù)”關(guān)系的把握，充分助推了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)除法運(yùn)算中的“商”和“余數(shù)”的應(yīng)用。在這樣的活動(dòng)基礎(chǔ)上，筆者引導(dǎo)學(xué)生用自己的方式來(lái)表征“有余數(shù)的除法”的運(yùn)算過(guò)程。于是，有學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖表征，有學(xué)生用字母表征，有學(xué)生用圖形表征，等等。通過(guò)表征，學(xué)生建立了“有余數(shù)的除法”的符號(hào)化模型，即“a÷b=c…d（d

運(yùn)算這部分內(nèi)容對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)是比較枯燥的。如何化枯燥為有趣？一個(gè)重要的方法就是要引領(lǐng)學(xué)生建構(gòu)各種數(shù)學(xué)模型。借助各種數(shù)學(xué)模型，深化學(xué)生的算理理解，強(qiáng)化數(shù)學(xué)運(yùn)算的關(guān)聯(lián)，增強(qiáng)學(xué)生的運(yùn)算直覺(jué)，引領(lǐng)學(xué)生的理性思考等。尤其是要引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)過(guò)程，展現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算的“原始形態(tài)”。建構(gòu)直觀模型，能有效地提升學(xué)生的運(yùn)算力，發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生自然能感受到數(shù)學(xué)運(yùn)算所散發(fā)的魅力。

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