楊曄

[摘 要]數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)將模型思想的培養(yǎng)分學(xué)段逐步推進(jìn)，小學(xué)階段重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)模型意識(shí)的滲透。模型意識(shí)是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)表征的一種意識(shí)形態(tài)，更是數(shù)學(xué)輸出的一種語(yǔ)言表達(dá)。從建模教學(xué)淡化的歸因分析展開(kāi)思考，在實(shí)踐中探索如何進(jìn)行建模教學(xué)。

[關(guān)鍵詞]模型意識(shí);數(shù)學(xué)建模;核心素養(yǎng)

[中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2022）20-0044-03

數(shù)學(xué)模型可以理解為“用格式化的語(yǔ)言概括地表征所研究對(duì)象的特征及其關(guān)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”。如果用一張圖來(lái)表示數(shù)學(xué)的元素，你就會(huì)看到很多公式、符號(hào)、圖形，其實(shí)這就是數(shù)學(xué)模型。換言之，數(shù)學(xué)模型就是數(shù)學(xué)外顯的語(yǔ)言?？v觀數(shù)學(xué)的研究，都是對(duì)數(shù)學(xué)模型建立的探索，從猜想到結(jié)論，從發(fā)現(xiàn)到運(yùn)用，數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)能力都在這一過(guò)程中充分展現(xiàn)。小學(xué)階段，教師主要是培養(yǎng)學(xué)生的模型意識(shí)，通過(guò)建模教學(xué)，讓學(xué)生感受到很多生活問(wèn)題都可以用數(shù)學(xué)模型進(jìn)行表達(dá)和解釋，從而更深刻地認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系。

一、建模教學(xué)淡化的歸因分析

筆者在對(duì)數(shù)學(xué)建模進(jìn)行研究前，和部分?jǐn)?shù)學(xué)教師關(guān)于“建?！苯虒W(xué)進(jìn)行了討論，發(fā)現(xiàn)大家普遍對(duì)建模概念的理解比較模糊，在課堂上很少讓學(xué)生從這個(gè)角度進(jìn)行研究。這是為什么呢？

1.站高看低，忽略模型意識(shí)的滲透

從知識(shí)的維度看，小學(xué)數(shù)學(xué)課堂簡(jiǎn)單且顯而易見(jiàn)，如“一共”用加法計(jì)算，“平均分”用除法計(jì)算，大家也普遍認(rèn)為“建模”是數(shù)學(xué)高追求下的產(chǎn)物，小學(xué)階段的學(xué)生只需吸收和運(yùn)用。從能力的維度分析，小學(xué)生還處于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的初始階段，他們未有很強(qiáng)的能力去發(fā)現(xiàn)大家已經(jīng)認(rèn)識(shí)到的問(wèn)題，無(wú)須在此進(jìn)行深挖。從培養(yǎng)核心素養(yǎng)的維度想，模型思想很難在一些課堂中體現(xiàn)，也不易產(chǎn)生成果，而其他素養(yǎng)更加直白，更容易被挖掘和塑造。從教師自身看，我們是數(shù)學(xué)知識(shí)的傳遞者，并非數(shù)學(xué)知識(shí)的研究者，我們需要做的是將已有的知識(shí)教給學(xué)生，從而完成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的不斷賡續(xù)，建模是從無(wú)到有的過(guò)程，既然已有，自然無(wú)須反復(fù)強(qiáng)化。當(dāng)大家站在巨人的肩膀上來(lái)俯瞰小學(xué)數(shù)學(xué)時(shí)，模型意識(shí)自然就被忽略了。

2.舍遠(yuǎn)求近，忽略模型結(jié)構(gòu)的價(jià)值

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，從概念的角度剖析，無(wú)論是“數(shù)量關(guān)系”還是“空間形式”，最后的呈現(xiàn)都依賴于模型。而模型的建立，必然需要很多其他素養(yǎng)的介入，如數(shù)感、空間觀念等。當(dāng)教師都聚焦于這些時(shí)，就容易忽略模型結(jié)構(gòu)本身的價(jià)值。教師普遍在糾結(jié)：這些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)公式很多學(xué)生都已經(jīng)會(huì)了，還有必要讓他們?nèi)ニ伎歼@些是怎樣來(lái)的嗎？跟小學(xué)生談數(shù)學(xué)建模，太難太深了，這如同數(shù)學(xué)的創(chuàng)造，我們難以駕馭。這是制約數(shù)學(xué)建模教學(xué)的問(wèn)題之一。但教師忽略了一個(gè)重點(diǎn)，那就是如果學(xué)生在小學(xué)階段沒(méi)有形成數(shù)學(xué)模型的意識(shí)，那么在后面的學(xué)習(xí)中將如何有更多數(shù)學(xué)的創(chuàng)造呢？高斯在10歲時(shí)能將1加到100的和用等差數(shù)列模型求解出來(lái)，這就是建立和運(yùn)用模型的智慧。當(dāng)代的小學(xué)生同樣可以通過(guò)教師的精心教學(xué)，對(duì)一些常見(jiàn)的問(wèn)題加以思考形成數(shù)學(xué)模型，為將來(lái)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)服務(wù)。

3.思弱用強(qiáng)，忽略模型內(nèi)涵的寬泛

抽象、推理、建模是數(shù)學(xué)能力的三大核心，抽象和推理都是為模型的建立服務(wù)的，通過(guò)三者的融通，能提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的水平。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)的是模型思想，指出學(xué)生初步形成模型思想是為提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識(shí)服務(wù)，起媒介作用。因此教師會(huì)跳過(guò)模型思想的形成，去重點(diǎn)研究數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，從而忽略模型內(nèi)涵的寬泛，將過(guò)程中的思考和模型建立弱化，將具體的運(yùn)用放大為教學(xué)的核心。同時(shí)，強(qiáng)烈的“質(zhì)量觀”讓教師更關(guān)注問(wèn)題的解決，將已有的模型通過(guò)簡(jiǎn)化變?yōu)橐锥姆绞絺鬟_(dá)給學(xué)生，在更多的問(wèn)題解決中獲得質(zhì)量提升的成就感。

二、培養(yǎng)模型意識(shí)的實(shí)踐探索

模型意識(shí)是一種表達(dá)思維，模型是反映外部事物聯(lián)系和規(guī)律的方式。在教學(xué)時(shí)滲透模型意識(shí)，學(xué)生才能逐步形成建模觀念，最后形成建模能力。

1.智用抽象推理，放慢建模過(guò)程

史寧中教授將對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展影響最大的三種思想“抽象、推理、模型”用下圖來(lái)表示。

通過(guò)這幅圖，我們可以清晰地認(rèn)識(shí)到模型思想指向核心素養(yǎng)，數(shù)學(xué)建模指向“四能”的發(fā)展，素養(yǎng)與能力相輔相成，是同一目標(biāo)的不同表達(dá)。抽象和推理推動(dòng)數(shù)學(xué)模型的形成，將整個(gè)數(shù)學(xué)研究以閉環(huán)的姿態(tài)向前推進(jìn)。從這個(gè)視角可以看出，數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)離不開(kāi)數(shù)學(xué)建模，建立模型是目標(biāo)，應(yīng)用模型是發(fā)展。其他的核心素養(yǎng)都是模型思想形成之路上的輔助工具和生成元素，因?yàn)閷?duì)模型進(jìn)行探究，才讓數(shù)學(xué)變得更加豐潤(rùn)和充滿魅力。有時(shí)，模型的建立只源于一種靈感或是瞬間的感悟，但求解模型的過(guò)程往往很漫長(zhǎng)，也正是因?yàn)槁L(zhǎng)，才讓數(shù)學(xué)如大樹(shù)般，生長(zhǎng)出了枝丫。這種“漫長(zhǎng)”是一種嚴(yán)謹(jǐn)，更是一種方向的指引。課堂中，教師也應(yīng)該放慢建模的過(guò)程，讓學(xué)生在探究中體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂(lè)。

如蘇教版教材四年級(jí)下冊(cè)“加法交換律”的教學(xué)，學(xué)生根據(jù)例題已經(jīng)抽象出加法交換律的模型，然后要驗(yàn)證模型的正確性。

出示活動(dòng)任務(wù)：

驗(yàn)證猜想“交換兩個(gè)加數(shù)的位置，和不變”。

想一想：用什么方法驗(yàn)證？

寫(xiě)一寫(xiě)：記錄你的驗(yàn)證過(guò)程。

說(shuō)一說(shuō)：根據(jù)過(guò)程先自己組織語(yǔ)言說(shuō)一說(shuō)，再進(jìn)行全班交流。

呈現(xiàn)學(xué)生資源：

層次一：學(xué)生用舉例的方式進(jìn)行驗(yàn)證，其中包含整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)、較大的數(shù)等算式的驗(yàn)證過(guò)程。（多個(gè)資源）

層次二：學(xué)生通過(guò)畫(huà)線段圖進(jìn)行驗(yàn)證，并在圖中標(biāo)出具體的數(shù)值，線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的位置相同。（一個(gè)資源）

層次三：同樣畫(huà)線段圖進(jìn)行驗(yàn)證，但是在線段圖上用字母表示數(shù)值。（一個(gè)資源）

教師講解時(shí)重點(diǎn)對(duì)用線段圖驗(yàn)證的學(xué)生進(jìn)行追問(wèn)，讓學(xué)生說(shuō)明想法，并在三種驗(yàn)證方法結(jié)束后提問(wèn)有沒(méi)有遇到反例。當(dāng)學(xué)生匯總沒(méi)有反例后下結(jié)論，強(qiáng)調(diào)加法交換律的文字表達(dá)和字母表達(dá)。

通過(guò)上面的教學(xué)環(huán)節(jié)可以發(fā)現(xiàn)驗(yàn)證模型的過(guò)程其實(shí)很慢，并不是通過(guò)幾個(gè)例證就能加以肯定，而是通過(guò)三個(gè)層次不斷遞進(jìn)肯定的。層次一的數(shù)值舉例驗(yàn)證關(guān)注不同種類的數(shù)，呈現(xiàn)較為豐富的資源。圖形表征是學(xué)生從合情推理轉(zhuǎn)向演繹推理的過(guò)渡，更是模型思想的核心，需要學(xué)生有較強(qiáng)的推理能力。層次二正是學(xué)生的理性萌芽向?qū)哟稳缭降淖詈梅鎏?。層次三拋開(kāi)數(shù)值的局限，直接抽象出字母模型，讓學(xué)生的思維進(jìn)一步走向嚴(yán)謹(jǐn)和深刻。最后通過(guò)“有沒(méi)有反例”來(lái)逆向完善學(xué)生的建模過(guò)程，幫助學(xué)生在“慢”推理和抽象中，形成正確的數(shù)學(xué)探究行為，養(yǎng)成嚴(yán)密的邏輯思維。這不僅僅是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)，更是對(duì)他們數(shù)學(xué)思維的完善。后面加法結(jié)合律的證明也再次體現(xiàn)了這種“慢”的價(jià)值，通過(guò)舉例的方式進(jìn)行驗(yàn)證的學(xué)生人數(shù)明顯降低，但資源卻非常豐富，他們綜合考慮了數(shù)的種類，更多的學(xué)生傾向于用線段圖驗(yàn)證，模型的建立有了蓬勃的生長(zhǎng)。小學(xué)數(shù)學(xué)課堂有時(shí)看似很稚嫩，一年級(jí)時(shí)要用一節(jié)課的時(shí)間教學(xué)生在幼兒園就明白的“加”，這用教嗎？其實(shí)這教的不是知識(shí)本身，而是數(shù)學(xué)思想的滲透、數(shù)學(xué)思維的塑造、數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)。建模是培養(yǎng)素養(yǎng)的催化劑和腳手架，需要通過(guò)“慢”教模型的過(guò)程來(lái)逐步形成。

2.關(guān)注思維節(jié)點(diǎn)，抓實(shí)培養(yǎng)契機(jī)

從數(shù)學(xué)語(yǔ)言的角度縱觀學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程，其實(shí)是在掌握一個(gè)個(gè)數(shù)學(xué)模型。每節(jié)課也都有培養(yǎng)的重心，如果關(guān)注的素養(yǎng)過(guò)多，很容易將數(shù)學(xué)課堂做成“大鍋飯”，反而失去其“色香味”。模型意識(shí)的培養(yǎng)可以抓住關(guān)鍵的思維節(jié)點(diǎn)，強(qiáng)化基礎(chǔ)模型，延展變化模型，讓學(xué)生感受到模型之間的聯(lián)系，找到共性，為其縱向發(fā)展夯實(shí)根基。

如蘇教版教材六年級(jí)上冊(cè)的“分?jǐn)?shù)乘整數(shù)”教學(xué)。教學(xué)時(shí)，教師先通過(guò)問(wèn)題“導(dǎo)彈方陣每列4輛導(dǎo)彈裝甲車(chē)，有3列，每輛上有4枚導(dǎo)彈，一共有多少枚導(dǎo)彈？”與“解放軍每步都走0.75米，10步能走多少米？如果走n步呢？”，幫助學(xué)生復(fù)習(xí)整數(shù)乘法和小數(shù)乘整數(shù)模型，喚醒學(xué)生“乘法是加法簡(jiǎn)便運(yùn)算”的經(jīng)驗(yàn)。接著出示例題，學(xué)生列出[310]×3或[310+310+310]兩道分?jǐn)?shù)算式，分析兩種算式列法，提出學(xué)習(xí)模型：分?jǐn)?shù)與整數(shù)相乘的乘法。

如何在教學(xué)時(shí)使探究過(guò)程有層級(jí)地逐步推進(jìn)？首先，學(xué)生自主探究分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的計(jì)算方法，抽象出“分?jǐn)?shù)與整數(shù)相乘，用分?jǐn)?shù)的分子與整數(shù)相乘得到積的分子，分母不變”的計(jì)算模型。其次，拋出另一個(gè)分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的乘法算式，出示[79]×4，讓學(xué)生將它轉(zhuǎn)化為加法算式驗(yàn)證結(jié)果是否是[289]。最后，讓學(xué)生意識(shí)到列舉的繁雜性和不完整性，從而想到用[ba]×n來(lái)代表分?jǐn)?shù)乘整數(shù)并加以證明。

本課的基礎(chǔ)模型是乘法，變化模型是整數(shù)乘整數(shù)、小數(shù)乘整數(shù)，分?jǐn)?shù)乘整數(shù)是在小數(shù)乘整數(shù)的基礎(chǔ)上延伸的，是對(duì)乘法模型的再次豐富。在這個(gè)思維節(jié)點(diǎn)上，關(guān)注乘法模型的解決方法，不僅可以突出模型的共性，還能將模型的創(chuàng)造過(guò)程進(jìn)行充分的展現(xiàn)，為后面分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)做鋪墊。同時(shí)，我們也發(fā)現(xiàn)建模教學(xué)可以將學(xué)生點(diǎn)狀的思維系統(tǒng)化，合并成類，形成深刻的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)后，乘法模型就會(huì)合并成最終結(jié)構(gòu)：分子相乘作分子，分母相乘作分母。這一模型也可用于解釋整數(shù)乘法和小數(shù)乘法，這就是模型探究的魅力，它是有層級(jí)地逐步推進(jìn)，從而系統(tǒng)化、完整化。學(xué)生抓住思維節(jié)點(diǎn)進(jìn)行探究，可以夯實(shí)模型意識(shí)，感悟數(shù)學(xué)模型的高度概括性，達(dá)成數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)的精準(zhǔn)性。

3.強(qiáng)化模型本質(zhì)，靈活辨析應(yīng)用

建模是一個(gè)閉環(huán)的過(guò)程，從問(wèn)題出發(fā)，建立模型、求證模型，而后讓模型作用于實(shí)際問(wèn)題。數(shù)學(xué)本身是對(duì)問(wèn)題不斷求解的過(guò)程，模型是解決問(wèn)題的媒介。如何運(yùn)用好模型，這不僅僅是教學(xué)的另一重點(diǎn)，更涉及學(xué)生對(duì)模型的理解與辨析。筆者在教學(xué)中經(jīng)常發(fā)現(xiàn)，當(dāng)只出現(xiàn)一種模型時(shí)，學(xué)生對(duì)其運(yùn)用都非常熟練，錯(cuò)誤也非常少，但當(dāng)模型多了之后，學(xué)生就容易混淆，結(jié)構(gòu)錯(cuò)亂化。如何處理好模型的運(yùn)用，提煉模型本質(zhì)，這是課堂上不可或缺的環(huán)節(jié)。

（1）注重問(wèn)題對(duì)比，在辨析中不斷明確

小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)是在不同的思維區(qū)域內(nèi)打“地基”。這時(shí)候?qū)W生學(xué)習(xí)的知識(shí)是分散的，還未形成關(guān)聯(lián)，因而在提煉模型時(shí)，學(xué)生會(huì)因?yàn)閱?wèn)題結(jié)構(gòu)的不清晰而出現(xiàn)錯(cuò)誤。教師在處理該問(wèn)題時(shí)，應(yīng)該抓住這一學(xué)習(xí)特點(diǎn)和思維特性，將問(wèn)題進(jìn)行對(duì)比，明辨模型結(jié)構(gòu)的區(qū)別，從而不斷提升學(xué)生對(duì)模型的運(yùn)用能力。如對(duì)于長(zhǎng)方形周長(zhǎng)和面積的計(jì)算，學(xué)生經(jīng)常會(huì)混淆周長(zhǎng)計(jì)算模型和面積計(jì)算模型。在教學(xué)面積計(jì)算模型時(shí)，教師應(yīng)該先復(fù)習(xí)周長(zhǎng)計(jì)算模型，讓學(xué)生意識(shí)到周長(zhǎng)和面積是兩個(gè)不同的概念。部分教師會(huì)忽略這一點(diǎn)，因?yàn)橹荛L(zhǎng)和面積的教學(xué)時(shí)間相差較遠(yuǎn)。筆者在面積的教學(xué)中設(shè)計(jì)了三個(gè)對(duì)比：課前對(duì)比，發(fā)現(xiàn)周長(zhǎng)和面積的區(qū)別，通過(guò)周長(zhǎng)計(jì)算公式激發(fā)學(xué)生探究面積公式的欲望;課中對(duì)比，推導(dǎo)出面積公式后，讓學(xué)生辨別其與周長(zhǎng)公式的區(qū)別;課末對(duì)比，利用題組練習(xí)使學(xué)生對(duì)周長(zhǎng)和面積兩個(gè)概念的認(rèn)識(shí)更深刻。運(yùn)用對(duì)比手法，幫助學(xué)生在模型提煉中明確，在模型運(yùn)用中思辨，提升模型意識(shí)培養(yǎng)速率。

（2）抓實(shí)問(wèn)題本質(zhì)，在理解中合理運(yùn)用

筆者清晰地認(rèn)識(shí)到，學(xué)生模型意識(shí)的養(yǎng)成并非一朝一夕之事，他們對(duì)知識(shí)的掌握是一個(gè)漸進(jìn)的過(guò)程。教師在關(guān)注學(xué)生運(yùn)用模型的同時(shí)，還要幫助學(xué)生理解，只有建立在明白基礎(chǔ)上的解決才是學(xué)習(xí)本身的追求。很多時(shí)候?qū)W生對(duì)模型的運(yùn)用過(guò)于機(jī)械，“正確”的背后留下了思維定式的“暗瘡”，待時(shí)機(jī)成熟就會(huì)爆發(fā)。在教學(xué)時(shí)，教師要關(guān)注學(xué)生對(duì)問(wèn)題的理解和對(duì)本質(zhì)的把握，只有如此，學(xué)生才能在模型的運(yùn)用中更加靈活。例如四年級(jí)上學(xué)期教學(xué)用連除或先乘再除解決歸一問(wèn)題時(shí)，其實(shí)很多學(xué)生都已經(jīng)掌握了解決問(wèn)題的模型，在運(yùn)用中也沒(méi)有出錯(cuò)，但他們真的理解了模型嗎？教學(xué)時(shí)，教師一定要抓實(shí)學(xué)生對(duì)問(wèn)題的理解，說(shuō)明每一步算的是什么，只有說(shuō)得清理得順，才是真的掌握了模型。如一年級(jí)學(xué)生在解決“媽媽有10個(gè)蘋(píng)果，比小明多5個(gè)蘋(píng)果，小明有幾個(gè)蘋(píng)果？”時(shí)，常會(huì)計(jì)算成“10+5”，這其實(shí)就是對(duì)“求比一個(gè)數(shù)多幾”模型的掌握不夠清晰，未真正理解多和少的本質(zhì)。教師作為知識(shí)的傳遞者，學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者，要幫學(xué)生從小形成正確的模型應(yīng)用意識(shí)，如此，學(xué)生才能在不斷變化的數(shù)學(xué)問(wèn)題中合理運(yùn)用，形成素養(yǎng)。

讓學(xué)生自己創(chuàng)造出已有的數(shù)學(xué)模型，不僅可以增強(qiáng)成就感，還能在創(chuàng)造的過(guò)程中綜合運(yùn)用已有的數(shù)學(xué)能力，提升自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。因此，進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的研究，應(yīng)在過(guò)程的放慢中抓實(shí)思維節(jié)點(diǎn)，強(qiáng)化模型本質(zhì)，提升能力、進(jìn)階思想、賡續(xù)思維，讓數(shù)學(xué)語(yǔ)言展現(xiàn)其獨(dú)特的魅力。

[本文系江蘇省重點(diǎn)資助課題“小學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力培養(yǎng)的教學(xué)課例研究”（課題號(hào)：C-a/2020/02/01）階段性成果。]

（責(zé)編 吳美玲）