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        從“直觀判斷”到“邏輯論證”

        2022-05-30 08:02:58吳紅英
        關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)能力

        吳紅英

        [摘? 要] 數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課是鞏固階段性學(xué)習(xí)成果、提升數(shù)學(xué)能力的重要課型,在復(fù)習(xí)課中,教師要通過引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行合理猜想、邏輯推理、理性論證,讓學(xué)生由感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí),提升學(xué)生的學(xué)科綜合素養(yǎng).

        [關(guān)鍵詞] 直觀判斷;邏輯論證;數(shù)學(xué)能力

        數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課一直是教師較難把握的一類課型,如何提升復(fù)習(xí)效果,避免“炒冷飯”,讓復(fù)習(xí)課上出新意,上出特點(diǎn),是他們一直研究的課題.復(fù)習(xí)課沒有固定的教材和習(xí)題,也沒有新鮮的素材,教師要通過自己的知識(shí)體系和理解認(rèn)識(shí)進(jìn)行教學(xué),幫助學(xué)生進(jìn)行階段性的復(fù)習(xí)鞏固,提高解題能力,構(gòu)建知識(shí)體系. 在實(shí)際教學(xué)中,有些教師的復(fù)習(xí)課只是把知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行羅列,然后通過講題完成復(fù)習(xí),學(xué)生往往只是得到了零散的知識(shí)和會(huì)做幾道題,那么這一階段需要掌握哪些數(shù)學(xué)方法,體會(huì)什么數(shù)學(xué)思想,學(xué)生無法感受到. 為此,筆者在復(fù)習(xí)全等三角形一課時(shí),從數(shù)學(xué)猜想開始,引導(dǎo)學(xué)生一步步探索數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生過程.

        課堂實(shí)錄

        1. 課堂導(dǎo)入

        播放視頻《有趣的方塊》,視頻內(nèi)容介紹:

        (1)一個(gè)長方形由24塊木塊組成.

        (2)第一步,將左上方的一個(gè)木塊拿掉,并將右斜方梯形形狀的木塊移出來.

        (3)第二步,移動(dòng)左邊的豎側(cè)方塊放到右斜方向空出的位置.

        (4)第三步,將第一步拿掉的梯形形狀木塊放回左側(cè).

        (5)經(jīng)過移動(dòng)變化之后的圖形仍然是一個(gè)長方形.

        (6)拿掉一個(gè)木塊,為什么還是一個(gè)長方形呢?

        視頻連續(xù)滾動(dòng)播放,教室里很安靜,學(xué)生默默觀看. 當(dāng)?shù)谌椴シ沤Y(jié)束時(shí),學(xué)生開始討論. 有學(xué)生說:好神奇,為什么拿掉一塊木塊,圖形還是沒有改變呢?這時(shí)有個(gè)學(xué)生說,如果繼續(xù)再按照這個(gè)步驟做一次,圖形還是不變嗎?如果這樣,那木塊永遠(yuǎn)不會(huì)少嗎?學(xué)生哈哈大笑. 過了一會(huì)兒,有一位男生又站了起來,這個(gè)圖形還是有變化的,它的面積好像變小了. 學(xué)生們紛紛動(dòng)手嘗試,確認(rèn)了這名學(xué)生的想法.

        師:現(xiàn)在我們用幾何畫板來演示一下,看一看到底是什么情況.

        幾何畫板展示(如圖1所示)完,學(xué)生看得更清楚了,這個(gè)長方形的長變了.

        師:這個(gè)神奇的視頻告訴我們,有時(shí)候“眼見不一定為實(shí)”,數(shù)學(xué)需要用證據(jù)來說話,所以有時(shí)還需要借助工具以及數(shù)學(xué)知識(shí)來幫助我們?nèi)プC明.

        2. 圖形探究

        師:老師會(huì)一種神奇的證明方法,可以證明任意一個(gè)三角形都是等腰三角形或是一個(gè)等邊三角形.

        生:不可能.

        師:那我們拭目以待吧.

        案例1 如圖2所示,畫一個(gè)三角形ABC,作∠BAC的角平分線AO,作BC邊上的中垂線DO,兩條線相交于點(diǎn)O,嘗試證明AB和AC相等.

        生1:由AO是∠BAC的角平分線,所以∠BAO和∠CAO相等,由于OD是BC邊上的中垂線,所以O(shè)B和OC相等. 由△BAO和△CAO相似,可以證明AB和AC相等.

        師:同學(xué)們,這位同學(xué)分析得對嗎?

        生2:我認(rèn)為是錯(cuò)的,因?yàn)檫@個(gè)三角形全等的判定依據(jù)是錯(cuò)的.

        師:那么你有什么辦法可以證明AB和AC相等嗎?

        學(xué)生們開始自己思考,自己作圖并討論.

        生3:我是通過作輔助線證明的,如圖3所示,過點(diǎn)O作OE垂直于AB,OF垂直于AC,垂足分別為E和F,這樣可以證明AE和AF相等.

        師:怎么證明呢?

        生4:由于AO是∠BAC的角平分線,所以∠EAO和∠FAO相等,因?yàn)镺E垂直于AB,OF垂直于AC,所以∠AEO和∠AFO相等,都為直角. 在△AEO和△AFO中,∠EAO和∠FAO相等,∠AEO和∠AFO相等,因?yàn)閮蓚€(gè)三角形全等,所以AE和AF相等.

        師:很好,那么接下來怎么才能證明AB和AC相等呢?

        學(xué)生異口同聲地說,證明EB和FC相等.

        師:那么誰來展示一下呢?

        生5:因?yàn)镺D是BC邊上的中垂線,所以O(shè)B和OC相等,因?yàn)镺E垂直于AB,OF垂直于AC,所以∠OEB和∠OFC相等,并且都為直角. 在直角三角形BEO和直角三角形CFO中,OE和OF相等,OB和OC相等. 因?yàn)橹苯侨切蜝EO和直角三角形CFO全等,所以BE和CF相等. 由AE加BE的和等于AB,AF加FC的和等于AC,所以AB和AC相等.

        經(jīng)過學(xué)生們的思考和討論,教師與他們一起復(fù)習(xí)了判定全等三角形的方法,學(xué)生們紛紛表示懷疑,難道真的任意一個(gè)三角形都是等腰三角形嗎?可是這不可能??!

        師:大家一定會(huì)覺得很奇怪吧!那同學(xué)們再討論思考一下,看看是什么問題導(dǎo)致的呢?

        生6:老師,我仔細(xì)觀察了剛才的證明是正確的,只有一種可能就是圖有問題.

        學(xué)生紛紛恍然大悟,肯定問題在這里.學(xué)生還紛紛提出了自己的意見,有的說是角平分線的問題,也有的說是中垂線的問題,還有的認(rèn)為是中垂線和角平分線的交點(diǎn)問題.

        師:既然同學(xué)們覺得老師的圖畫得有問題,那么同學(xué)們嘗試一下,能畫出一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的圖形嗎?

        3. 操作實(shí)踐

        學(xué)生紛紛拿出作圖工具開始嘗試,教師進(jìn)行巡課和指導(dǎo).

        步驟:先任意作一個(gè)三角形,再作BC邊上的中垂線和∠BAC的角平分線.

        學(xué)生經(jīng)過自己的實(shí)踐操作,發(fā)現(xiàn)∠BAC的角平分線和BC邊上的中垂線的交點(diǎn)不是像課件上顯示的在△ABC的內(nèi)部,而是在三角形的外部.

        學(xué)生通過自己的實(shí)踐操作,發(fā)現(xiàn)原來問題就在作圖上面.看到這個(gè)結(jié)果,學(xué)生終于長舒了一口氣.

        師:經(jīng)過剛才的實(shí)驗(yàn),我們是否可以總結(jié)這樣一個(gè)定理,三角形任意邊的中垂線與這條邊所對的角平分線的交點(diǎn)一定在三角形的外面.

        (學(xué)生陷入了思考)

        生7:老師,我覺得不一定,我們只畫了一種三角形,三角形分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形,我們必須把每一種都試一下,才能確定剛才的判斷能不能成立.

        師:好的,那么下面大家分小組進(jìn)行討論和交流一下.

        生8:我們經(jīng)過討論,覺得這個(gè)判斷是對的,課前的證明是不可能的.

        4. 推理論證

        學(xué)生覺得今天的學(xué)習(xí)已經(jīng)告一段落了,教師繼續(xù)追問.

        師:剛才我們只是通過作圖發(fā)現(xiàn)了結(jié)論,但是數(shù)學(xué)問題我們還需要進(jìn)行理論證明,如何證明我們的這個(gè)結(jié)論是正確的呢?

        教室里的氛圍又安靜下來,學(xué)生紛紛覺得無從下手.

        師:看來這個(gè)問題把大家難倒了,如果無法直接證明,我們是否可以換一個(gè)角度來解決呢?

        生9:我們可以假設(shè)交點(diǎn)在三角形的內(nèi)部,如圖4所示,如果是等邊三角形,那么角平分線和對邊中垂線的交點(diǎn)就在三角形的內(nèi)部,反之則交點(diǎn)在外部.

        (學(xué)生紛紛表示贊同)

        師:大家覺得他的證明沒有問題嗎?

        學(xué)生又開始疑惑了,難道還有問題嗎?

        生10:我覺得這個(gè)圖有問題,如果是等邊三角形的話,那么這個(gè)角的角平分線和對邊中垂線的交點(diǎn)應(yīng)該是重合的,沒有交點(diǎn). 同樣等腰三角形也有三線合一的性質(zhì),因此,當(dāng)一個(gè)三角形是等腰三角形時(shí),頂角的角平分線和底邊中垂線也是沒有交點(diǎn)的,當(dāng)三角形不是等腰三角形時(shí),則滿足交點(diǎn)在三角形的外部.

        (學(xué)生不由自主地發(fā)出了感嘆聲)

        師:這節(jié)課同學(xué)們沖破了錯(cuò)誤的理論的重重迷霧,撥云見日,最終獲得了正確的答案,在這個(gè)過程中,我們不僅學(xué)會(huì)了作圖,復(fù)習(xí)了全等三角形的相關(guān)知識(shí),而且也認(rèn)識(shí)到許多直觀的現(xiàn)象不一定是正確的,要用科學(xué)的理論進(jìn)行驗(yàn)證,多思多辨.

        反思總結(jié)

        1. 從直觀觀察到邏輯論證,培養(yǎng)科學(xué)的態(tài)度

        科學(xué)的理性精神可以幫助學(xué)生更加客觀理性地看待世界,在數(shù)學(xué)課堂中,學(xué)生可以通過觀察、實(shí)踐、思考、內(nèi)化逐漸形成思考問題的方法和態(tài)度. 本課中教師從一個(gè)有趣的問題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入復(fù)習(xí),讓學(xué)生初步認(rèn)識(shí)直觀觀察的弊端和引入理論證明的必要性. 從最初的感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí),學(xué)生完成了思維的飛躍,培養(yǎng)了科學(xué)的態(tài)度.

        2. 巧妙設(shè)計(jì)增加課堂趣味,提升復(fù)習(xí)效果

        復(fù)習(xí)課不像新授課那樣有新鮮感,如何調(diào)動(dòng)學(xué)生的興趣是教學(xué)中的難點(diǎn),因此教師需要在教學(xué)設(shè)計(jì)上下功夫. 教學(xué)中教師要改變講得多、總結(jié)歸納少,讓學(xué)生做得多、思考少的現(xiàn)象. 數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課要從學(xué)生發(fā)展的角度,提升學(xué)生的綜合素養(yǎng). 教師要通過巧妙的設(shè)計(jì),使不同層次的學(xué)生都能有所發(fā)展,從感性的認(rèn)識(shí)升華到認(rèn)識(shí)的感悟,提升復(fù)習(xí)課的有效性.

        總之,有效的復(fù)習(xí)課能幫助學(xué)生建構(gòu)知識(shí)體系,滲透數(shù)學(xué)思想,提煉數(shù)學(xué)方法. 教師要為學(xué)生創(chuàng)設(shè)思維空間,鼓勵(lì)學(xué)生盡情探究,充分發(fā)展. 復(fù)習(xí)課的教學(xué)要始終以學(xué)生為主體,從“學(xué)”的角度進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì),只有關(guān)注學(xué)習(xí)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn),才能達(dá)成復(fù)習(xí)的效果,提升學(xué)生的綜合素質(zhì).

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