季葉紅

[摘? 要] 尺規(guī)作圖在中考試題中較為常見，同時(shí)尺規(guī)作圖有著獨(dú)特的教學(xué)價(jià)值，不僅可以鞏固學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)作圖過程是思維與實(shí)踐的結(jié)合，有助于提升學(xué)生的思維能力. 文章解讀了尺規(guī)作圖，并結(jié)合實(shí)際開展問題探究，深入感悟，提出了幾點(diǎn)建議.

[關(guān)鍵詞] 尺規(guī)作圖;實(shí)踐;角平分線;垂直平分線

問題解讀

尺規(guī)作圖是中考的高頻考點(diǎn)，能夠全方位考查學(xué)生的能力，即閱讀理解能力、作圖實(shí)踐能力、知識(shí)應(yīng)用能力，以及邏輯思維能力. 問題設(shè)計(jì)特點(diǎn)鮮明，要求學(xué)生利用尺規(guī)來繪制圖形，從根本上可歸為作角的平分線、垂直平分線、全等三角形、構(gòu)建特殊線段長(zhǎng)等，掌握基本的作圖方法是關(guān)鍵.

近幾年在實(shí)際考查時(shí)將作圖實(shí)踐與計(jì)算推理、開放設(shè)計(jì)相結(jié)合，提升了問題的綜合性，要求探究學(xué)習(xí)要深刻理解作圖的方法原理，挖掘問題本質(zhì);準(zhǔn)確定位考點(diǎn)，構(gòu)建作圖思路;結(jié)合圖形特性開展推理，確保作圖“有理”，分析“有據(jù)”.

探究剖析

尺規(guī)作圖綜合題的類型較為眾多，解析過程需要充分閱讀題干信息，把握作圖的關(guān)鍵，在此基礎(chǔ)上分析作圖思路，下面筆者結(jié)合實(shí)例深入探究，分步剖析作圖過程.

1. 類型一：數(shù)軸作圖，數(shù)值比較

例1 （2021年江蘇省鹽城市中考卷第21題）如圖1所示，A是數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)a的點(diǎn).

（1）用直尺和圓規(guī)在數(shù)軸上作出表示實(shí)數(shù)的點(diǎn)P（保留作圖痕跡，不寫作法）;

（2）利用數(shù)軸比較和a的大小，并說明理由.

分析：本題的難點(diǎn)是作圖表示的點(diǎn)，作圖的關(guān)鍵是確定的線段長(zhǎng)，然后利用圓規(guī)畫弧定點(diǎn)到數(shù)軸上. 比較和a的大小只需觀察在數(shù)軸上的位置關(guān)系即可.

過程剖析：（1）第一步——線長(zhǎng)構(gòu)建

以表示1的點(diǎn)為圓心，單位長(zhǎng)為半徑作圓，利用線段的垂直平分線作出高，則可以構(gòu)建直角邊為1的等腰直角三角形，由勾股定理可知斜邊長(zhǎng)為，從而完成線長(zhǎng)構(gòu)建，見圖2中的虛線.

第二步——數(shù)值定位

以點(diǎn)O為圓心，線長(zhǎng)（虛線）為半徑畫弧，與數(shù)軸正半軸的交點(diǎn)就為點(diǎn)P，如圖2所示.

（2）由于點(diǎn)A位于點(diǎn)P的右側(cè)，故a>.

解后總結(jié)：對(duì)于數(shù)軸上特殊值點(diǎn)的確定問題，通常先作直角三角形，利用勾股定理來構(gòu)建特殊值的線段長(zhǎng);然后結(jié)合圓的性質(zhì)，通過畫弧來實(shí)現(xiàn)等線段轉(zhuǎn)化.

2. 類型二：綜合作圖，函數(shù)求值

例2（2021年江蘇省無錫市中考卷第24題）如圖3所示，已知銳角三角形ABC中，AC=BC.

（1）請(qǐng)?jiān)趫D3①中用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：作∠ACB的平分線CD;作△ABC的外接圓☉O（不寫作法，保留作圖痕跡）;

（2）在（1）的條件下，若AB=，☉O的半徑為5，則sinB=______. （如需畫草圖，請(qǐng)使用圖3②）

分析：本題中作圖要注意△ABC為等腰三角形，（1）問需要作角平分線，屬于基礎(chǔ)作圖，而作△ABC的外接圓☉O，則需要確定△ABC的外心，而外心是三角形三條垂直平分線的交點(diǎn). 在本題目中CD為AB的垂直平分線，只需再作另一邊的垂直平分線即可. （2）問求sinB，可將其放在直角三角形中，結(jié)合圓半徑、AB長(zhǎng)求線段比例即可.

過程剖析：（1）第一步——作角平分線

利用尺規(guī)作∠ACB的角平分線CD，與AB的交點(diǎn)設(shè)為E，實(shí)則CD也是AB的垂直平分線（如圖4所示）;

第二步——作垂直平分線

利用尺規(guī)作線段AC的垂直平分線，與CD的交點(diǎn)就為三角形的外心（三角形任意兩邊垂直平分線的交點(diǎn)為外心），也是三角形外接圓的圓心（如圖4所示）.

第三步——作外接圓☉O

以點(diǎn)O為半徑，AO長(zhǎng)為半徑畫圓即可（圓心O到三角形頂點(diǎn)的距離均相等），如圖4所示.

（2）在Rt△AEO中，已知AO=5，AE=AB=，由勾股定理可得OE==，所以CE=EO+OC=. 在Rt△CEB中使用勾股定理，可得BC==8，所以sinB==.

解后總結(jié)：上述解析的關(guān)鍵是理解三角形的外心為對(duì)應(yīng)外接圓的圓心，“垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端距離相等”是作圖構(gòu)建的基礎(chǔ). 而在實(shí)際求解時(shí)無須作三邊的垂直平分線，利用兩線定交點(diǎn)即可完成.

3. 類型三：畫弧定點(diǎn)，構(gòu)形分析

例3（2021年江蘇省常州市中考卷第23題）如圖5所示，B，F(xiàn)，C，E是直線l上的四點(diǎn)，AB∥DE，AB=DE，BF=CE.

（1）求證：△ABC≌△DEF;

（2）將△ABC沿直線l翻折得到△A′BC.

①用直尺和圓規(guī)在圖中作出△A′BC（保留作圖痕跡，不要求寫作法）;

②連接A′D，則直線A′D與l的位置關(guān)系是______.

分析：下面主要探究第（2）問尺規(guī)作圖及位置關(guān)系分析，作△A′BC與△ABC關(guān)于直線l對(duì)稱，故為全等關(guān)系，只需確定點(diǎn)A′的位置即可，而點(diǎn)A′由A′B和A′C的長(zhǎng)度限制，即到點(diǎn)B和點(diǎn)C的距離是一定的，故可利用圓規(guī)作圓弧來確定.

過程剖析：①第一步——定線段AB畫弧

以點(diǎn)B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧，則該弧上各點(diǎn)到點(diǎn)B的距離均等于AB長(zhǎng);

第二步——定線段AC畫弧

以點(diǎn)C為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫弧，則該弧上各點(diǎn)到點(diǎn)C的距離均等于AC長(zhǎng);

第三步——交點(diǎn)定點(diǎn)A′

顯然兩弧的交點(diǎn)到點(diǎn)B和點(diǎn)C的距離分別等于AB和AC，就為滿足條件的點(diǎn)，即點(diǎn)A′.

②過點(diǎn)A′作A′M⊥l，過點(diǎn)D 作DN⊥l，如圖6所示，根據(jù)上述作圖過程可知△A′BC≌△ABC≌△DEF，從而可知A′M=DN，且兩線平行，所以四邊形A′MND為平行四邊形，所以A′D∥l.

解后總結(jié)：上述實(shí)則是通過作圖構(gòu)建全等三角形，故需要滿足兩邊對(duì)應(yīng)相等，可采用兩段畫弧相交定點(diǎn)的方式. 該種方式也可用于構(gòu)建不同位置的全等三角形，即首先任意定量一條線段，確定三角形其中兩個(gè)頂點(diǎn)，然后兩端畫弧確定第三個(gè)頂點(diǎn).

4. 類型四：作圖設(shè)計(jì)，開放思維

例4（2021年江蘇省無錫市中考卷第24題）如圖7所示，已知P是☉O外一點(diǎn). 用兩種不同的方法過點(diǎn)P作☉O的一條切線. 要求：

（1）用直尺和圓規(guī)作圖;

（2）保留作圖的痕跡，寫出必要的文字說明.

分析：本題為開放型的作圖題，要過點(diǎn)P作圓的切線，把握核心特性，若切點(diǎn)為Q，則∠PQO=90°，作圖時(shí)可立足直角三角形的特征——斜邊中點(diǎn)到切點(diǎn)的距離等于斜邊的一半.

過程剖析：

方法1——垂直平分線+畫弧定點(diǎn)

第一步——作PO的垂直平分線

連接PO，作OP的垂直平分線，與OP的交點(diǎn)設(shè)為A，則點(diǎn)A為OP的中點(diǎn);

第二步——畫弧定切點(diǎn)，連切線

以點(diǎn)A為圓心，PA長(zhǎng)為半徑畫弧，與☉O的交點(diǎn)就為切點(diǎn)Q，連接PQ，就為滿足條件的切線（AP=AO=AQ），如圖8所示.

方法2——等腰三角形+角平分線+畫弧定點(diǎn)

第一步——作等腰三角形

作以O(shè)P為底邊的等腰三角形BPO;

第二步——作中點(diǎn)A

作出∠OBP的角平分線，與OP的交點(diǎn)為A（AB就為PO的垂直平分線，AP=AO）

第三步——畫弧定切點(diǎn)，連切線

以點(diǎn)A為圓心，PA長(zhǎng)為半徑畫弧，交☉O于點(diǎn)Q，連接PQ，就為滿足條件的切線（AP=AO=AQ），如圖9所示.

解后總結(jié)：上述作圖的核心是作三線段相等，故圍繞垂直平分線、角平分線和畫弧來組合設(shè)計(jì)方案. 作圖設(shè)計(jì)為開放型問題，往往設(shè)定幾何特性，作圖的過程方法不唯一，但作圖過程要立足定理、思路清晰.

感悟建議

尺規(guī)作圖是數(shù)學(xué)文化中的璀璨明珠，直觀地呈現(xiàn)了幾何的圖形魅力，作圖過程可以充分反映學(xué)生的思維，可全面考查學(xué)生的定理理解、實(shí)際操作能力及創(chuàng)新意識(shí). 教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生，積累作圖經(jīng)驗(yàn)，理解作圖原理，故筆者提出以下幾點(diǎn)建議.

1. 掌握基本作圖，積累作圖經(jīng)驗(yàn)

從上述典例探究中可知，眾多基本作圖方法是破解綜合題的關(guān)鍵，故教學(xué)探究中教師要引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)基本的作圖方法，結(jié)合具體問題積累經(jīng)驗(yàn). 如常見的作角平分線、垂直平分線、兩段畫弧定交點(diǎn)等.

2. 幾何知識(shí)分析，理解作圖原理

作圖過程中隱含了幾何的知識(shí)定理，正是在幾何定理的支持下完成了作圖構(gòu)建，因此學(xué)生只有理解作圖原理才能從根本上掌握作圖方法. 教學(xué)中教師可從基本作圖方法入手，引導(dǎo)學(xué)生利用幾何知識(shí)分析方法原理，如垂直平分線作圖原理是兩段弧的交點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等.

3. 挖掘問題本質(zhì)，激活創(chuàng)新思維

尺規(guī)作圖綜合題的破解過程，需要挖掘問題本質(zhì)，準(zhǔn)確定位根本特性. 如上述例4作切線，構(gòu)建直角三角形斜邊中點(diǎn)到頂點(diǎn)的線段關(guān)系，并基于該特性構(gòu)建了兩種作圖方案. 教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生透視問題，把握本質(zhì)，給學(xué)生留足思考空間，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維.

4. 培養(yǎng)邏輯思維，提升核心素養(yǎng)

尺規(guī)作圖過程中的嚴(yán)謹(jǐn)性、邏輯性十分突出，是邏輯推理與合情推理的融合，教師在尺規(guī)作圖教學(xué)中要注重培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)思考的習(xí)慣，提高學(xué)生的邏輯推理能力. 同時(shí)教師要滲透圖形變化、數(shù)形結(jié)合等思想，將提升學(xué)生的核心素養(yǎng)作為教學(xué)根本.