李雅

[摘? 要] 為了更好地培養(yǎng)和提升學生的核心素養(yǎng)，教師不僅要弄清核心素養(yǎng)的內涵，而且要理清數(shù)學知識中蘊含哪些核心素養(yǎng)，只有這樣才能設計出有利于培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的教學策略，以此深化學生理解，促進學生全面發(fā)展. 文章以“定值問題”為例，在問題的驅動下，引導學生通過類比推理抽象出一般結論，同時在運用結論和構造圖形的基礎上培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng)，以此促進學生學習能力、思維能力、數(shù)學應用能力等綜合能力全面提升.

[關鍵詞] 核心素養(yǎng);問題;綜合能力

在高中數(shù)學教學中，大多數(shù)教師依然側重結論教學，滿足“奇特”的性質推廣，忽視過程的探究，從而使得學生對過程所蘊含的思想方法的認識不夠充分，不僅影響到了數(shù)學應用，而且不利于學生數(shù)學抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng)的培養(yǎng). “定值問題”不僅揭示了圓錐曲線的幾何本質，而且體現(xiàn)了動中有靜的辯證思想;它不僅是高考的熱門考點，也是培養(yǎng)學生探究能力和思維品質的重要素材. 若在教學中能夠合理開發(fā)利用，將有助于提升學生的核心素養(yǎng). 筆者以“定值問題”為例，以“問題”為驅動力，帶領學生共同探究蘊含其中的有趣結論，以此提升學生的數(shù)學應用能力，培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng).

[?]借助類比推理，誘發(fā)學生深度思考

利用類比推理有助于打破思維定式帶來的負面影響，有助于發(fā)現(xiàn)學生的數(shù)學思維，有助于引發(fā)學生深度思考，其是培養(yǎng)學生邏輯推理能力的重要舉措之一. 教學中，將相似或相關的內容合理進行類比，引導學生經(jīng)歷由特殊到特殊或由特殊到一般的過程，有助于學生更好地把握知識之間的區(qū)別與聯(lián)系，從而加深學生對知識之間內在聯(lián)系的理解，有助于學生認知體系的建構與完善. 教學中切勿直接將結論拋給學生就急于應用，那樣只能將學生培養(yǎng)成解題的“工具”，不利于提升學生的數(shù)學素養(yǎng).

案例1 探究“橢圓斜率之積為定值”.

師：如圖1所示，已知AB為圓O的直徑，點P為圓O上的任意一點（異于點A，B），連接PA，PB，試問k·k是否為定值？為什么？

圓是學生較為熟悉的內容，以圓為問題的切入點更易于引起學生共鳴. 問題給出后，學生很快就根據(jù)“直徑所對的圓周角為直角”這一性質得出k·k= -1，即k·k為定值，定值是一個常數(shù).

師：如果將“圓”改為“橢圓”，你能給出完整的問題表述并加以證明嗎？（學生思考片刻后都躍躍欲試地想要表達自己的想法）

生2：如圖2所示，已知橢圓+=1（a>b>0），點A，B分別為橢圓的左、右兩個頂點，點P為橢圓上任意一點（異于點A，B），連接PA，PB，試問k·k是否為定值？為什么？

師：表述得非常準確，那么該問題如何求解呢？（與圓相比，橢圓略顯復雜，教師預留一定的時間讓學生獨立思考）

生3：設點P的坐標為（x，y），則+=1，再利用斜率公式化簡消元易得k·k=-.

師：你們是否得出了與生3同樣的結論呢？（學生紛紛點頭）

師：很好！看來大家都已經(jīng)靈活掌握了證明的方法，不過點A，B一定要是橢圓的左、右兩個頂點嗎？如果是上、下兩個頂點是否能夠得出同樣的結論呢？（問題給出后，學生開始積極地進行驗證）

生4：經(jīng)過驗證發(fā)現(xiàn)，當A，B為橢圓的上、下兩個頂點時，該結論依然成立，即k·k=-.

師：很好，如果將該問題繼續(xù)拓展，轉化為一般性問題，你認為點A，B還可以如何變化呢？

生5：點A，B為中心弦AB的兩個頂點.

師：分析得非常好，探究過程在這里就不再重復了，請同學們課下進行驗證. 這樣我們從特殊出發(fā)，通過推理驗證發(fā)現(xiàn)了問題的一般規(guī)律，這是推理公式、證明結論常用的研究方法. 通過探究容易發(fā)現(xiàn)，雖然點P為動點，但k·k卻是定值，在變化中蘊含著不變的規(guī)律，這正是學習數(shù)學的有趣之處.

師：如果繼續(xù)探究這個問題，你認為接下來該如何進行擴展呢？

生6：接下來我們可以將橢圓換成雙曲線.

師：很好，對于這一類圓錐曲線有很多相似之處，限于課堂時間有效，解決這個問題請同學們課下完成.

這樣從學生熟悉的“圓”入手，通過類比聯(lián)想使問題由特殊向一般轉化，發(fā)現(xiàn)一類問題的性質，有效地培養(yǎng)了學生的邏輯思維能力. 教學中，在學生基本明晰證明方案的基礎上，教師并沒有急于給出結論，而是預留一定的時間讓學生通過動手實踐親身推理驗證，以此借助類比聯(lián)想讓學生再“跳一跳”，從而深化學生的思維，引導學生總結出了一類問題的變化規(guī)律，進而培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng).

[?]運用結論，培養(yǎng)學生數(shù)形結合意識

數(shù)形結合思想是重要的數(shù)學思想方法之一，若“數(shù)”與“形”能夠巧妙地結合在一起，不僅可以提高學生的解題效率，而且可以優(yōu)化解題過程，尤其解答幾何問題時，數(shù)形結合思想顯得尤為重要. 解析幾何中的基本思想就是用代數(shù)方法來解決幾何圖形問題的，這樣對幾何圖形的認識與理解自然就是解決代數(shù)問題的關鍵.

案例2 如圖3所示，已知點A，B分別為橢圓+=1的左、右兩個頂點，點P為橢圓上任意一點（異于A，B兩點），直線AP，BP分別交直線l：x=4于M，N兩點，求線段MN的最小值.

師：觀察圖3，結合案例1，你能夠得到什么？

生7：k·k=-=-.

師：很好，該圖形符合案例1中的探究條件，因此結合基本圖形可以得到對應的代數(shù)式. 本題要求線段MN的最小值，則先要求M，N的坐標，那么求解時如何選擇參數(shù)能夠更方便、更快捷呢？

生8：可以將直線PA或PB的斜率作為參數(shù).

師：說一說你的想法.

生8：若設PA的斜率為k，由題意可知點A（-2，0），則直線PA的方程為y=k（x+2），令x=4，可求得點M的坐標;又k·k=-=-，故直線PB的斜率為-，同理可以求出點N的坐標. 這樣求線段MN的長時可以根據(jù)兩點的距離公式得到關于k的表達式，問題自然就迎刃而解了.

師：很好，思路清晰，運算過程簡潔，參數(shù)選擇適當，很好地利用了案例1的結論，可見生8對基本圖形已經(jīng)掌握得非常嫻熟了，值得表揚.

生9：我剛剛解題沒有選擇斜率作為參數(shù)，選擇的是點P的坐標. 以點P的坐標為參數(shù)，根據(jù)兩點式容易得到直線PA，PB的方程，接下來與生8的解答過程基本相同.

師：很好，大家可以順著兩位同學的思路“解一解”，比較一下優(yōu)劣.

生10：將斜率作為參數(shù)的運算更簡潔，求解更方便.

師：確實，因為生8在解題時很好地應用了圖形的特性，從而使解題更加方便. 在研究解析幾何問題時，如果能將“數(shù)”與“形”緊密地聯(lián)系在一起，往往可以得到事半功倍的效果.

解析幾何問題是被公認的難點問題，除“難”在思路外，運算也相對復雜，需要學生具備一定的運算技能和運算技巧. 解決解析幾何問題時不僅要考慮思維難度，還要考慮運算量. 解題時要引導學生提升思維的高度，降低運算的難度，以此優(yōu)化運算程序，提高解題效率.

[?]探究問題本質，激發(fā)學生創(chuàng)造力

若想提高學生解決問題的能力，單憑簡單地強化解題方法、解題技巧是遠遠不夠的，更多的要引導學生理解并掌握問題的本質，提高思維的敏銳性，激發(fā)學生的創(chuàng)造性.

案例3 如圖4所示，已知點M

，-1為橢圓+=1內一點，M為弦AB的中點，求弦AB所在的直線方程.

師：對比案例1，觀察圖4，圖4中是否有滿足條件的基本圖形呢？

生齊聲答：沒有.

師：那么是否能構造出以上的基本圖形呢？

生11：如圖5所示，連接AO并延長AO交橢圓于點C，連接BC，則k·k= -.

師：很好，基本圖形構造好了，如果能夠求出k的斜率，結合點M的坐標，即可求得直線AB的方程，那么如何求k呢？

生12：這個很簡單，如圖4所示，連接OM，根據(jù)已知可得OM為△ABC的中位線，則OM∥BC. 又k=-2，于是有k=，進而求得直線AB的方程為2x-8y-9=0.

師：很好，這樣我們通過構造基本圖形順利地建立起了等量關系，使問題迎刃而解，可見同學們對基本圖形已經(jīng)了如指掌了. 其實在很多題目中，基本圖形并不會直接給出來的，往往需要后面不斷地嘗試、試探，因此解題時要勇于嘗試，發(fā)揮動手實踐的優(yōu)勢，以此挖掘出問題的本質，提升解題效率.

縱觀歷年高考，圓錐曲線問題一直是高考的熱門考點，尤其對于“定值問題”更是考核的重中之重，要想讓學生將此類問題學懂學會，靠單一的“題?！睆娀遣粔虻? 教學中教師要循序漸進地通過引導讓學生認清問題的本質，認清何為偶然現(xiàn)象，何為必然結果，如何將特殊推廣至一般，從而提升學生的邏輯推理和邏輯演繹能力，提高學生的數(shù)學素養(yǎng).

總之，教師要認識到培養(yǎng)和提升學生的核心素養(yǎng)并不是一蹴而就的事情，因此教學中需要教師有足夠的耐心，不僅要將知識理解到位，而且要理解學生、理解教學，只有這樣才能在教學中給出科學的指導，在講授知識的同時，才能讓學生掌握蘊含其中的數(shù)學思想方法，以此提高學生的核心素養(yǎng). 值得注意的是，教師在教學過程中要充分發(fā)揮引領作用，在問題的驅動下讓學生學會思考、學會提問、學會學習，強化學生的問題意識，促進學生解決問題的能力全面提升.