李慧麗

［摘? 要］ 數(shù)學(xué)教學(xué)是關(guān)于數(shù)學(xué)思維的教學(xué)，數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)關(guān)乎著學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提升. 在實際教學(xué)中，教師應(yīng)采用各種多元化的教學(xué)手段來激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，誘發(fā)學(xué)生深度思考，通過各種數(shù)學(xué)化的過程來發(fā)展數(shù)學(xué)思維，落實學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)學(xué)思維；數(shù)學(xué)化；核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)思維在“教”與“學(xué)”中的價值是不言而喻的，它是解決數(shù)學(xué)問題的根本策略. 好的數(shù)學(xué)思維可以更科學(xué)地、有效地指導(dǎo)數(shù)學(xué)實踐活動，促進學(xué)生可持續(xù)發(fā)展能力的提升. 對于數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)是一個長期且復(fù)雜的過程，應(yīng)貫穿數(shù)學(xué)教學(xué)始終，滲透數(shù)學(xué)教學(xué)的每個角落，通過具有豐富數(shù)學(xué)思維的數(shù)學(xué)教學(xué)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)思維理性地思考問題，從而學(xué)會學(xué)習(xí). 值得注意的是，數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)是難以靠“灌輸”來實現(xiàn)的，其更多的是一種感悟、經(jīng)驗、能力，是一個長期積累、不斷提升的過程. 筆者根據(jù)教學(xué)實踐，探尋鍛煉數(shù)學(xué)思維的有效途徑，現(xiàn)將探尋過程分享給大家，僅供參考！

[?] 經(jīng)歷過程，品味思想

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，若想發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，就要充分展現(xiàn)學(xué)生的思維過程，引導(dǎo)學(xué)生在過程中去發(fā)現(xiàn)、去探索、去品味，讓學(xué)生的思維在實踐活動中得到鍛煉和提升. 在解題教學(xué)中，教師要為學(xué)生提供一個自由展示的舞臺，展示解題思路形成和實施的整個過程，以此悟出數(shù)學(xué)解題的思維活動方式.

例1 已知函數(shù)f（x）=alnx+x2（a為實常數(shù)），若a>0，且對任意的x，x∈［1，e］都有f（

x）-f（

x）≤

-，求實數(shù)a的取值范圍.

解題前，教師讓學(xué)生思考這樣兩個問題：①f（x）的單調(diào)性如何？②題中的絕對值符號如何處理？

學(xué)生獨立思考后，師生共同交流，完善解答：當(dāng)a>0時，f（x）在x∈［1，e］上是增函數(shù)，又y=是減函數(shù)，不妨設(shè)1≤x≤x≤e，則f（

x）-f（

x）≤

-等價于f（x）-f（x）≤-，即f（x）+≤f（x）+. 故原題等價于函數(shù)h（x）=f（x）+在x∈［1，e］上是減函數(shù)，所以h′（x）=+2x-≤0恒成立，即a≤-2x2在x∈［1，e］上恒成立. 因為y=-2x2在x∈［1，e］上是減函數(shù)，所以a≤-2e2，又a>0，所以a∈ .

在教學(xué)中，教師拋出問題誘發(fā)學(xué)生深入思考，從而避免簡單的模仿，引導(dǎo)學(xué)生探尋問題的本質(zhì)，讓學(xué)生體驗“構(gòu)造新函數(shù)”方法之妙的同時，感受探索的樂趣，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性. 而且通過探索不斷擴充學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)方法和解題經(jīng)驗，有效發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

[?] 借助概念，領(lǐng)悟抽象

在概念教學(xué)中，教師應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷概念形成、發(fā)展的過程，領(lǐng)悟抽象化數(shù)學(xué)思維方法，以此培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力. 在教學(xué)中，為了呈現(xiàn)概念形成和發(fā)現(xiàn)的過程，教師可以有針對性地設(shè)計問題情境，用數(shù)學(xué)問題推動教學(xué)進程，用數(shù)學(xué)問題誘發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思考，用數(shù)學(xué)問題促進學(xué)生思維能力提升.

例2 探究二項式定理.

為了讓學(xué)生更好地體驗數(shù)學(xué)知識的形成過程，教師創(chuàng)設(shè)了如下問題：

問題1：（a+b）（c+d）的展開式有多少項？有無同類項？

（利用分步計數(shù)原理得到其展開式有4項，即ac，ad，bc，bd，無同類項）

問題2：（a+b）（a+b）的原始展開式有幾項？有幾項同類項？

（原始展開式有4項，即a2，ab，ab，b2，有2項同類項，即（a+b）（a+b）=a2+2ab+b2）

問題3：（a+b）（a+b）（a+b）的原始展開式有幾項？合并后是哪幾項？

（原始展開式有8項，合并后為（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3）

問題4：不用計算，猜一猜（a+b）（a+b）（a+b）（a+b）的原始展開式有幾項.

（通過對比分析讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)原始展開式有16項，逐漸發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律）

問題5：你能準(zhǔn)確快速地寫出（a+b）·（a+b）（a+b）（a+b）的原始展開式嗎？合并后又有哪些項呢？

問題6：（a+b）（a+b）（a+b）（a+b）的原始展開式中一定有a3b這一項嗎？完成哪件事可以得到這一項呢？

問題7：a3b共有多少個呢？你是如何得到的呢？

（引導(dǎo)學(xué)生從4個（a+b）的乘積中，取1個b和3個a的乘積個數(shù)，這樣C的出現(xiàn)也就水到渠成了）

問題8：該項的個數(shù)與其系數(shù)有何關(guān)系？

（經(jīng)過驗證容易發(fā)現(xiàn)該項的個數(shù)恰好為其系數(shù)，由此清晰地感受到其中確有同類項的存在）

問題9：（a+b）n合并后的展開式中，an-rbr的系數(shù)是多少？

問題10：如何輕松、準(zhǔn)確、快速地寫出（a+b）n合并后的展開式呢？

（經(jīng)歷以上探究活動，規(guī)律已經(jīng)涌現(xiàn)，通過總結(jié)歸納，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)定理）

通過對比分析讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)（a+b）n展開式的項數(shù)共有n+1項，系數(shù)分別為組合數(shù)C，C，…，C，…，C，由此通過觀察、對比、抽象，讓學(xué)生體驗到數(shù)學(xué)知識的形成過程，促進學(xué)生數(shù)學(xué)分析能力和數(shù)學(xué)抽象能力的提升.

只有具有良好的概括能力才能將前后所學(xué)的知識串聯(lián)起來，從而形成完整的認(rèn)知體系，避免因為知識漏洞而影響學(xué)生遷移能力的提升. 學(xué)生抽象概括能力的培養(yǎng)往往需要經(jīng)歷一個長期的過程，教師要為學(xué)生營造一個平等的、和諧的學(xué)習(xí)氛圍，引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、去概況，切身體驗數(shù)學(xué)的抽象之美.

[?] 探尋美學(xué)，培養(yǎng)直覺

數(shù)學(xué)知識是一種傳承，更是一種創(chuàng)新，而創(chuàng)新離不開直覺思維，因此教學(xué)中教師應(yīng)重視學(xué)生直覺思維的培養(yǎng). 表面上看直覺思維具有一定的主觀性，但是其與學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗、知識儲備、思考習(xí)慣息息相關(guān). 培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維能力有助于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的提升，有助于學(xué)生創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力的發(fā)展，其在教學(xué)中有著重要的意義和作用. 在日常教學(xué)中，教師要鼓勵學(xué)生從直覺的角度去觀察、分析，直至解決問題，以此借助直覺更好地感知數(shù)學(xué)、體驗數(shù)學(xué).

對于中心對稱、軸對稱這些名詞，學(xué)生并不陌生，其所體現(xiàn)的是一種美，即對稱美. 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，因追求速度和容量，課堂上往往忽視了對數(shù)學(xué)美的研究. 為了改變這一現(xiàn)狀，教師可以開展一些探究活動，讓學(xué)生在探究中發(fā)現(xiàn)知識、發(fā)現(xiàn)美，從而在傳承的基礎(chǔ)上，創(chuàng)新性地看待問題，提升學(xué)習(xí)的積極性. 例如，為了讓學(xué)生體驗函數(shù)圖像的中心對稱之美，教師安排學(xué)生探究“函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于點P（a，b）成中心對稱圖形”的充要條件，學(xué)生借助化歸轉(zhuǎn)化思想進行探究可得其充要條件為“函數(shù)y=f（x+a）-b是奇函數(shù)”. 在該命題的啟發(fā)下，引導(dǎo)學(xué)生解決更多關(guān)于中心對稱的問題，讓學(xué)生感受探究的樂趣.

例3 求函數(shù)h（x）=log2圖像對稱中心的坐標(biāo).

在以上思路的啟發(fā)下，學(xué)生給出了解題過程：

設(shè)函數(shù)h（x）=log圖像的對稱中心為P（a，b），根據(jù)以上探究結(jié)果可知y=h（x+a）-b是奇函數(shù). 設(shè)f（x）=h（x+a）-b，則f（x）=log-b，即f（x）=log-b. 由不等式>0的解集關(guān)于原點對稱，得a=2. 此時f（x）=log-b，x∈（-2，2）. 任取x∈（-2，2），由f（-x）+f（x）=0，得b=1，所以函數(shù)h（x）=log2圖像對稱中心的坐標(biāo)是（2，1）.

在日常教學(xué)中，要少一些簡單的模仿和灌輸，多給學(xué)生一些想象的空間，鼓勵學(xué)生去對比、去聯(lián)想，以此在直覺運用中體驗數(shù)學(xué)的內(nèi)在美.

[?] 聯(lián)系生活，拓展升華

在應(yīng)試教育的束縛下，似乎一切學(xué)習(xí)活動都以提高學(xué)生成績?yōu)槌霭l(fā)點，這樣的教學(xué)是低效的、消極的. 為了讓學(xué)生更好地體驗數(shù)學(xué)、掌握數(shù)學(xué)，激發(fā)學(xué)生的積極情感，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從生活實際出發(fā)，讓學(xué)生切身體驗數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，以此提高學(xué)習(xí)品質(zhì)，提高數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性. 為了讓學(xué)生更好地“用數(shù)學(xué)”，教師常常引入一些實際應(yīng)用問題，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度分析和解決問題，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.

例4 如圖1所示，現(xiàn)有一片邊長為1（單位：百米）的正方形空地ABCD，中間部分MNK是一片池塘，池塘邊緣的曲線段MN為函數(shù)y=

≤x≤

的圖像，另外兩個邊緣MK，NK分別為平行于CD和BC的直線段. 為了進一步美化這片空地，計劃在這片空地上修一條直路l（寬不計）. 直路l將該片空地分成兩部分，且直路l與曲線段MN相切于點P. 記點P到邊AD的距離為t，f（t）表示在直線l左下部分的面積.

（1）求f（t）的解析式；

（2）求面積S=f（t）的最大值.

學(xué)生面對應(yīng)用問題時容易出現(xiàn)畏難情緒，尤其是面對動態(tài)變化的問題時更顯得束手無策. 為了讓學(xué)生能夠有所突破，在求解例4時，當(dāng)學(xué)生獨立思考后，由教師組織學(xué)生進行小組交流，以此厘清問題的來龍去脈. 學(xué)生積極討論，認(rèn)為確定直路l左下部分的形狀是解題的關(guān)鍵. 有的學(xué)生認(rèn)為這個形狀應(yīng)該是三角形，有的學(xué)生認(rèn)為是四邊形，還有學(xué)生說是五邊形，這樣借助分歧誘發(fā)學(xué)生深度思考，通過積極的討論、探索，使問題逐漸清晰.

學(xué)生解答：（1）因為y=，所以y′= -，所以過點P的切線方程為y-= -（x-t），即y=-x+. 令x=0，得y=. 令y=0，得x=2t. 所以切線與x軸相交于點E（2t，0），與y軸相交于點F0

，.

通過2t，分別與1的比較可確定直路l左下部分為直角三角形或直角梯形. 分析可解得f（t）=

2t-t2

，≤

t<，

，≤t

≤，

，

≤.

（2）當(dāng)≤t<時，f（t）=2t-t2= -

t-2+<；當(dāng)

-22+<. 所以S=.

這樣通過實際問題的解決能有效培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性，讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的真正價值，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

總之，在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的道路上，教師應(yīng)為學(xué)生創(chuàng)設(shè)適宜的問題環(huán)境，善于采用多元化的教學(xué)手段激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)熱情，提高學(xué)生參與積極性，并在參與中提煉知識背后蘊含的數(shù)學(xué)本質(zhì)，從而讓學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)、掌握數(shù)學(xué)，提升學(xué)生的思維品質(zhì).