摘要：廣大中小學(xué)數(shù)學(xué)教育工作者，特別是一線教師，可以由《張景中教育數(shù)學(xué)文選》一書獲得很多方面的重要啟示，包括：數(shù)學(xué)教育的主要價(jià)值是提供智力上的滿足（好玩、有趣）以及思維的訓(xùn)練;小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)滲透函數(shù)、數(shù)形結(jié)合、寓理于算等數(shù)學(xué)思想;落實(shí)數(shù)學(xué)教學(xué)工作的創(chuàng)造性應(yīng)該整體研究學(xué)科分支，建構(gòu)“平易直觀的概念，簡(jiǎn)單明快的邏輯結(jié)構(gòu)，通用有力的解題方法”。

關(guān)鍵詞：張景中;數(shù)學(xué)教育價(jià)值;數(shù)學(xué)思想;教育數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)再創(chuàng)造

華東師范大學(xué)出版社于2021年出版的《張景中教育數(shù)學(xué)文選》，是《當(dāng)代中國數(shù)學(xué)教育名家文選》叢書中的一部。盡管其主要內(nèi)容超出了小學(xué)數(shù)學(xué)的范圍，甚至部分內(nèi)容超出了中學(xué)數(shù)學(xué)的范圍，廣大中小學(xué)數(shù)學(xué)教育工作者，特別是一線教師，仍可由這一著作獲得很多方面的重要啟示。以下從三個(gè)方面談?wù)劰P者閱讀這一著作的感受和體會(huì)。

一、 數(shù)學(xué)教育的主要價(jià)值

無論中小學(xué)學(xué)生，還是中小學(xué)數(shù)學(xué)教師，都應(yīng)當(dāng)認(rèn)真思考一個(gè)問題：我們?yōu)槭裁磻?yīng)當(dāng)學(xué)（教）數(shù)學(xué)？也即：我們應(yīng)當(dāng)如何認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)（教育）的價(jià)值？因?yàn)?，明確了數(shù)學(xué)的重要性，我們才能在學(xué)（教）數(shù)學(xué)時(shí)表現(xiàn)出更大的自覺性。應(yīng)當(dāng)指明的是，筆者在此有意識(shí)地沒有使用“數(shù)學(xué)究竟有什么用”這樣一個(gè)表達(dá)方式。因?yàn)?，在?dāng)前的語境下，這往往會(huì)導(dǎo)致一個(gè)后果：將人們的思考引向乃至完全局限于數(shù)學(xué)在日常生活與工作中的應(yīng)用。

再者，作為數(shù)學(xué)教師，如果我們所想的僅僅是如何讓自己的學(xué)生在各類考試，特別是升學(xué)考試中取得較好的成績(jī)，那么，相應(yīng)的做法即使不應(yīng)被簡(jiǎn)單地斥責(zé)為“誤人子弟”，至少也應(yīng)被看成具有很大的局限性。因?yàn)?，我們顯然不能將應(yīng)試看成教育工作的主要目標(biāo)。對(duì)此，相信讀者可在以下兩位教師的闡述中獲得更深的感悟與認(rèn)識(shí)。

一是陳立軍老師的經(jīng)歷與感悟：剛畢業(yè)那會(huì)兒，哪里懂教育，只知道“考考考，老師的法寶;分分分，學(xué)生的命根”，并將此視為教育教學(xué)的準(zhǔn)則和方向，起早貪黑地陪讀，口若懸河地灌輸，苦口婆心地勸誡，整天把學(xué)生逼進(jìn)題海，只為學(xué)生考個(gè)好分?jǐn)?shù)……可當(dāng)領(lǐng)導(dǎo)、同事的鮮花掌聲涌來，卻沒有幾個(gè)學(xué)生感恩我的付出。學(xué)生的“冷血”讓我深刻反?。何揖蜑榱粟A得這一“佳績(jī)”嗎？如果給學(xué)生的只是分?jǐn)?shù)，那叫教育嗎？

因此，在教育的“速成”與“養(yǎng)成”之間我選擇“養(yǎng)成”，與其大量“刷題”，不如陪學(xué)生讀一本書;在教學(xué)的“外鑠”與“內(nèi)化”之間我追求“內(nèi)化”，少強(qiáng)迫，多引導(dǎo)，讓學(xué)生在自我教育中成長(zhǎng);在教育的“有用”與“無用”之間我更鐘情于“無用”，班級(jí)的審美教育、底線教育、陽光教育等活動(dòng)開展貫穿每學(xué)期。我知道，教孩子三年，就要考慮孩子30年的成長(zhǎng)與發(fā)展。陳立軍.陪學(xué)生遇見美好的自己[J].人民教育，2020（5）：7879。二是陳大偉老師的思考與認(rèn)識(shí)：“你為什么要當(dāng)教師？”才當(dāng)教師的時(shí)候，我可能只是想以此謀生。隨著時(shí)間的推移，現(xiàn)在的我愿意這樣回答：“我當(dāng)教師，是想讓一些人有所改變?！?/p>

“你準(zhǔn)備當(dāng)什么樣的教師？”這是為自己的教育人生確立方向和目標(biāo)。我的回答是：準(zhǔn)備成為當(dāng)下學(xué)生不那么討厭、若干年后學(xué)生還樂于談?wù)摰慕處煛夷芟氲健白罾寺氖隆?，就是在教師生活中有一些超越和?chuàng)造，一路上收藏點(diǎn)點(diǎn)滴滴的創(chuàng)造，退休以后坐在搖椅上跟自己的子孫們慢慢聊。千萬不要在別人問起自己的教師生活時(shí)，什么也說不出來。陳大偉.當(dāng)教師，需要想好幾個(gè)問題[J].教育研究與評(píng)論，2021（5）：125。那么，究竟什么是數(shù)學(xué)教育的主要價(jià)值呢？對(duì)此，應(yīng)當(dāng)說已經(jīng)有了很多的論述。比如，1959年，華羅庚先生在《人民日?qǐng)?bào)》發(fā)表的《大哉數(shù)學(xué)之為用》就是討論這個(gè)問題的十分著名的一篇文章;后來，還有由王梓坤先生執(zhí)筆、以“中國科學(xué)院數(shù)學(xué)物理學(xué)部”為名發(fā)表的文章《今日數(shù)學(xué)及其應(yīng)用》。與此相比較，美國著名數(shù)學(xué)史家M.克萊因的以下論述則可說涉及了更多的方面，更可說從一個(gè)不同的角度極大地開闊了人們的視野：“音樂能激發(fā)或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動(dòng)人心弦，哲學(xué)使人獲得智慧，科技可以改善物質(zhì)生活，但數(shù)學(xué)能提供以上一切?！?/p>

這里，特別需要提及一個(gè)廣受數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛好者認(rèn)可的觀點(diǎn)：數(shù)學(xué)主要地應(yīng)被看成一種心智活動(dòng)，它帶給人們的也就主要是智力上的滿足。比如，數(shù)學(xué)家洛克哈特說道：“我們談的是一個(gè)完全天真及愉悅的人類心智活動(dòng)——與自己心智的對(duì)話。數(shù)學(xué)不需要乏味的勤奮或技術(shù)上的借口，它超越所有的世俗考量。數(shù)學(xué)的價(jià)值在于它好玩、有趣，并帶給我們很大的歡樂?！雹?保羅·洛克哈特.一個(gè)數(shù)學(xué)家的嘆息——如何讓孩子好奇、想學(xué)習(xí)、走進(jìn)美麗的數(shù)學(xué)世界[M].高翠霜，譯.上海：上海社會(huì)科學(xué)院出版社，2019：132，35?！斑@就是數(shù)學(xué)的外貌和感覺。數(shù)學(xué)家的藝術(shù)就像這樣：對(duì)于我們想象的創(chuàng)造物提出簡(jiǎn)單而直接的問題，然后制作出令人滿意又美麗的解釋。沒有其他事物能達(dá)到如此純粹的概念世界;如此令人著迷、充滿趣味……”②

當(dāng)然，如果我們只會(huì)引用別人的論述，而沒有任何真切的感受，那么，不僅自己會(huì)感到缺乏底氣，也一定會(huì)讓人感到空洞乏味。正因?yàn)榇耍鳛閿?shù)學(xué)教師，我們就應(yīng)認(rèn)真地嘗試一下：看看自己對(duì)此能否作出解讀，或者舉出哪怕是最簡(jiǎn)單的一個(gè)實(shí)例。

以下是《張景中教育數(shù)學(xué)文選》中的一些相關(guān)論述：

首先是張景中先生對(duì)“您能談?wù)剶?shù)學(xué)好玩在什么地方嗎？”這一問題的回答：“我覺得數(shù)學(xué)好玩是因?yàn)閿?shù)學(xué)非常理性，首先在學(xué)習(xí)和研究的過程中，數(shù)學(xué)能夠讓人感覺到解放……數(shù)學(xué)能夠讓很多原來不行的東西都變得行了。剛開始學(xué)數(shù)學(xué)時(shí)，有一些清規(guī)戒律，隨著我們不斷地往下學(xué)，這種清規(guī)戒律就不斷地被打破，使人一次又一次地感覺到解放。比如，原來負(fù)數(shù)是不能開方的，后來經(jīng)過一定的發(fā)展，負(fù)數(shù)就能夠開方了。再如，原來只是有窮個(gè)數(shù)相加，后來無窮個(gè)數(shù)也可以相加。在這個(gè)逐漸學(xué)習(xí)的過程中，你就會(huì)感覺數(shù)學(xué)的清規(guī)戒律越來越少……由此你可以看到，數(shù)學(xué)里面無禁區(qū)。你只要想做的都可以做到，原來沒有規(guī)定的你也可以規(guī)定，原來他是這樣定義的你可以那樣定義，這讓我感覺到了解放?！雹堍?張景中.張景中教育數(shù)學(xué)文選[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2021：590，590591，591。

其次是張景中先生對(duì)“您覺得哪些是大多數(shù)中小學(xué)生能夠感受、體驗(yàn)到數(shù)學(xué)好玩的地方？”這一問題的回答：“我想應(yīng)該是力量感。數(shù)學(xué)是很有力量的。因?yàn)橛袝r(shí)候，你只需要學(xué)一個(gè)小時(shí)，解決問題的力量跟以前就大不相同了。比如，在小學(xué)里，那種很難的應(yīng)用題……學(xué)生拿回去，自己不會(huì)，家長(zhǎng)也不會(huì)，解起來很困難。到后來，學(xué)了代數(shù)，列個(gè)方程就可以解出來了。你越不斷學(xué)習(xí)，就越會(huì)覺得數(shù)學(xué)給人帶來的力量簡(jiǎn)直是不可想象的……很多問題的解決方法都是世界上許許多多愛動(dòng)腦筋的人想了很久，終于想出來的。這種方法是前人經(jīng)過幾百年才探索出來的，如果你學(xué)會(huì)了，那么你就在一節(jié)課里前進(jìn)了幾百年……這種原創(chuàng)性的問題，我們?cè)跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中、在數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)幾乎每個(gè)星期都會(huì)遇到，而且自己在解題時(shí)，也會(huì)創(chuàng)造出新的東西來。所以，如果老師在教學(xué)時(shí)也能帶給學(xué)生一種力量感，經(jīng)常讓學(xué)生體會(huì)到昨天還不會(huì)的問題今天就會(huì)了，那么，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的看法就會(huì)不同了?！雹?/p>

最后是張景中先生對(duì)“除了感覺到解放和力量，您覺得數(shù)學(xué)還能讓我們感覺到什么呢？”這一問題的回答：“數(shù)學(xué)還能讓人感覺到震撼……這說明了數(shù)學(xué)給人帶來的好處，表面上看不出什么的事情，它的背后卻隱藏著一定的規(guī)律。再如，假定全班有50個(gè)學(xué)生，如果你問有沒有兩個(gè)人的生日是同一天的，回答幾乎都是有的。我們可以用概率進(jìn)行推斷，這種情況發(fā)生的可能性在97%以上，而且可以馬上算出來……”⑤

顯然，以上論述也為我們更好地理解“數(shù)學(xué)好玩”（或“數(shù)學(xué)帶給人們的主要是智力上的滿足”）等在現(xiàn)實(shí)中經(jīng)?？梢月牐矗┑降挠^點(diǎn)提供了直接的啟示：“數(shù)學(xué)的趣味性不在外部，而在它的內(nèi)部。要讓學(xué)生能夠鉆研到里面，體會(huì)到數(shù)學(xué)的趣味性。要做到這些，需要提高老師的水平、教材的水平以及整個(gè)社會(huì)考試的引導(dǎo)。我們現(xiàn)在的考試，要求學(xué)生在一兩個(gè)小時(shí)內(nèi)完成一二十道題目，實(shí)際是讓學(xué)生在有限的時(shí)間內(nèi)解更多的題，而不要做過多的思考。我想這是很不好的。”張景中.張景中教育數(shù)學(xué)文選[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2021：593594。

當(dāng)然，教師除了自己對(duì)此有清楚的認(rèn)識(shí)，特別是真切的感受，還應(yīng)善于將此傳遞給學(xué)生，從而激發(fā)他們更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。以下就是語文教育方面的一個(gè)實(shí)例（希望在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域也能看到更多這樣的范例）：語文自身的魅力，是學(xué)生對(duì)語文產(chǎn)生濃厚興趣的最重要因素……我努力讓第一節(jié)課展現(xiàn)語文的獨(dú)特魅力。

……

“語文里藏著什么呢？”我輕點(diǎn)鼠標(biāo)，屏幕上出現(xiàn)了“語文里有美妙的音樂”幾個(gè)大字。學(xué)生一臉疑惑，而我則開始背誦《聲律啟蒙》的選段：“云對(duì)雨，雪對(duì)風(fēng)，晚照對(duì)晴空……”

誦完，我問學(xué)生是否好聽，他們都說;“好聽，好聽?！蔽覇査麄兪欠裨敢庾约鹤x讀，他們連呼“愿意”。屏幕上的文字一出現(xiàn)，他們就迫不及待地讀了起來，越讀越感受到文字的悅耳。盡管學(xué)生還不太清楚其中的意思，但絲毫不影響他們的誦讀熱情。

……

“語文里除了動(dòng)聽悅耳的音樂，還有什么呢？”隨著我的發(fā)問，“語文里有深深的智慧”出現(xiàn)在屏幕上?！拔乙_始講故事了?！币宦犛泄适?，學(xué)生興奮得不得了，幾乎要?dú)g呼雀躍。

“有一次，美國代表來我們國家訪問，代表團(tuán)里有位官員當(dāng)著周總理的面說：‘中國人很喜歡低著頭走路，而我們美國人卻總是抬著頭走路。此語一出，震驚四座。因?yàn)檎l都聽得出來，這位官員在嘲笑、諷刺中國人。周總理卻不慌不忙，面帶微笑地說：‘這并不奇怪。因?yàn)槲覀冎袊讼矚g走上坡路，而你們美國人喜歡走下坡路。話音剛落，那位官員立即低下了頭，不敢出聲了?！?/p>

學(xué)生聽后哈哈大笑，我朗聲說：“周總理的話就是智慧！學(xué)好語文，你也會(huì)擁有智慧！”……

“語文里還有濃濃的情感。我將要為大家朗讀一篇文章，題目叫《娘，我的瘋子娘》，里面就蘊(yùn)含著濃濃的情意，不信你聽！”……

我讀了起來……讀著，讀著，教室里越來越安靜，到后來幾乎能聽到彼此的呼吸聲……

我的聲音有些哽咽！讀完整篇文章，大家都沉默了。有些學(xué)生眼中閃動(dòng)著晶瑩的淚花。我說：“樹兒的娘對(duì)他的愛讓人十分感動(dòng)！我們每個(gè)人的媽媽都非常偉大。她們的愛讓我們感到溫暖、快樂，誰愿意說說你的媽媽對(duì)你的關(guān)愛？只要說一件事，并講講母愛讓你感覺像什么?！?/p>

……

快要下課了，我總結(jié)道：“語文里有音樂，有智慧，有情感，想必這節(jié)課我們已經(jīng)有所體會(huì)了，但是語文里其實(shí)還有很多有意思、有意味的寶藏，這就有待你們以后自己去尋找、挖掘了?！迸矸?我的第一節(jié)語文課[J].教育研究與評(píng)論，2022（1）：125127。最后，作為對(duì)數(shù)學(xué)教育主要價(jià)值的具體解答，筆者想特別引用《單墫數(shù)學(xué)與教育文選》一書（也屬于《當(dāng)代中國數(shù)學(xué)教育名家文選》叢書）中的一個(gè)觀點(diǎn)：“數(shù)學(xué)對(duì)思維的訓(xùn)練還是有用的，這才是數(shù)學(xué)的最廣泛的‘實(shí)用性，這才是我們要學(xué)數(shù)學(xué)的主要原因。”單墫.單墫數(shù)學(xué)與教育文選[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2021：616。因?yàn)?，與前面提出的“作為一種心智活動(dòng)，數(shù)學(xué)具有‘無用之用、無為之為”這樣的觀點(diǎn)相比較，這顯然是更加合適的一個(gè)提法。

二、 數(shù)學(xué)思想與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

在此，筆者想特別推薦《張景中教育數(shù)學(xué)文選》中的兩篇文章：《感受小學(xué)數(shù)學(xué)思想的力量——寫給小學(xué)數(shù)學(xué)教師們》與《小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究前瞻》。因?yàn)?，這不僅對(duì)我們改進(jìn)教學(xué)有直接的指導(dǎo)意義，也可幫助我們更好地理解什么是真正的“居高臨下”，從而不至于被某些看上去十分高深、實(shí)質(zhì)上卻空洞無物，甚至還有一定誤導(dǎo)作用的“宏大言論”（如“分?jǐn)?shù)的本質(zhì)在于無量綱性”等）所迷惑。

下面，聯(lián)系數(shù)學(xué)教育改革進(jìn)行分析說明。顯然，數(shù)學(xué)教育改革涉及很多的方面。例如，我國新一輪的數(shù)學(xué)課程改革有一個(gè)十分明顯的特點(diǎn)，即對(duì)教學(xué)方法改革的突出強(qiáng)調(diào)。與此相對(duì)照，如果我們所關(guān)注的不只是課堂的教學(xué)，那么也就應(yīng)當(dāng)十分關(guān)注教學(xué)內(nèi)容的選擇。再者，如果說關(guān)于教學(xué)內(nèi)容的選擇仍可被歸屬于教學(xué)中的“顯性方面”，那么，關(guān)于基本教育目標(biāo)的分析顯然就上升到了一個(gè)更高的層次，盡管它從形式上看似乎與日常教學(xué)活動(dòng)有較大的距離。另外，這恐怕也就是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)為什么要專門談及所謂的“核心概念”（現(xiàn)在演變?yōu)椤昂诵乃仞B(yǎng)”，與此密切相關(guān)的還有“重要思想”這樣一個(gè)概念）的主要原因：核心概念（重要思想）在一定程度上可起到橋梁的作用，盡管其準(zhǔn)確界定并不容易。具體地說，作為核心概念，顯然應(yīng)當(dāng)少而精。我們不僅應(yīng)當(dāng)通過全部學(xué)習(xí)內(nèi)容的綜合分析很好地提煉出相應(yīng)的核心概念，從而起到“分清主次，突出重點(diǎn)，以主帶次”的作用，而且應(yīng)當(dāng)由具體的“知識(shí)和技能”上升到“思維和方法”，從而從更高的層面對(duì)實(shí)際教學(xué)起到統(tǒng)領(lǐng)的作用——正因?yàn)榇?，筆者以為，將核心概念分別歸屬于所謂的“三會(huì)”就不很恰當(dāng)，特別是，我們不應(yīng)僅僅關(guān)注這種“向上的聯(lián)系”，也應(yīng)注意分析其與具體教學(xué)內(nèi)容的關(guān)系，即“向下的聯(lián)系”，這樣，我們才能進(jìn)一步談及所謂的“大道理”，包括真正做好“高觀點(diǎn)指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)教學(xué)”。

由此，我們即可很好地理解張景中先生的以下論述：“小學(xué)生的數(shù)學(xué)很初等，很簡(jiǎn)單。盡管簡(jiǎn)單，里面卻蘊(yùn)含了一些深刻的數(shù)學(xué)思想?！雹??張景中.張景中教育數(shù)學(xué)文選[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2021：558，565?！昂瘮?shù)的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、寓理于算的思想……這些思想是可以早期滲透的。早期滲透是引而不發(fā)，是通過具體問題來體現(xiàn)這些思想……學(xué)下去，過三年五年，學(xué)生就體會(huì)到，是數(shù)學(xué)思想的力量。”④

由于對(duì)（小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中）數(shù)形結(jié)合的思想已有眾多的論述，盡管我們也可由張景中先生的相關(guān)論述獲得關(guān)于滲透數(shù)形結(jié)合思想的重要啟示，如讓學(xué)生盡早使用幾何語言等，以下分析還是集中于張景中先生關(guān)于滲透函數(shù)的思想和寓理于算的思想的論述。

首先是關(guān)于滲透函數(shù)的思想的論述：最重要的，首推函數(shù)的思想。

比如說加法，2和3加起來等于5，這個(gè)答案“5”是唯一確定的，寫成數(shù)學(xué)式子就是2+3=5。如果把左端的3變成4，右端的5就變成6;把左端的2變成7，右端的5就變成10。右端的數(shù)被左端的數(shù)唯一確定。在數(shù)學(xué)里，數(shù)量之間的確定性關(guān)系叫作函數(shù)關(guān)系。加法實(shí)際上是一個(gè)函數(shù)，由兩個(gè)數(shù)確定一個(gè)數(shù)，是一個(gè)二元函數(shù)。如果把式子里的第一個(gè)數(shù)‘2固定了，右端的和就被另一個(gè)數(shù)確定，就成了一元函數(shù)。

……

當(dāng)然，不用給小學(xué)生講函數(shù)概念，但老師有了函數(shù)思想，在教學(xué)過程中注意滲透變量和函數(shù)的思想，潛移默化，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的發(fā)展就有好處。

比如學(xué)乘法，九九表總是要背的。“三七二十一”的下一句是“四七二十八”，如果背了上句忘了下句，可以想想21+7=28，就想起來了。這樣用理解幫助記憶，用加法幫助乘法，實(shí)質(zhì)上包含了變量和函數(shù)的思想：3變成4，對(duì)應(yīng)的21就變成28。這里不是把3和4看成孤立的兩個(gè)數(shù)，而是看成一個(gè)變量先后取到的兩個(gè)值。想法雖然簡(jiǎn)單，小學(xué)生往往想不到，要靠老師指點(diǎn)。挖掘九九表里的規(guī)律，把枯燥的死記硬背變成有趣的思考，不僅是教給學(xué)生學(xué)習(xí)方法，也是在滲透變量和函數(shù)的數(shù)學(xué)思想。張景中. 張景中教育數(shù)學(xué)文選[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2021：558559。對(duì)此，筆者想特別提及當(dāng)前國際數(shù)學(xué)教育改革的一個(gè)普遍趨勢(shì)：由主要強(qiáng)調(diào)小學(xué)階段應(yīng)當(dāng)盡早引入某些專門的代數(shù)課程轉(zhuǎn)向大力提倡“早期代數(shù)”，即認(rèn)為小學(xué)算術(shù)教學(xué)應(yīng)當(dāng)很好地滲透代數(shù)思維。

當(dāng)然，這方面工作的一個(gè)必要前提是對(duì)代數(shù)思維的正確理解，特別是，我們不應(yīng)僅僅將其理解成“字母符號(hào)的引入”，包括將此看成直接對(duì)象純形式的操作，也應(yīng)清楚地認(rèn)識(shí)到這樣一點(diǎn)：符號(hào)的引入為我們很好地實(shí)現(xiàn)“一般化”提供了重要的工具。此外，“代數(shù)思維的本質(zhì)并不是對(duì)代數(shù)符號(hào)的使用，而是對(duì)代數(shù)結(jié)構(gòu)與關(guān)系的理解。對(duì)這種結(jié)構(gòu)與關(guān)系的培養(yǎng)，應(yīng)該從小學(xué)一年級(jí)數(shù)與計(jì)算的教學(xué)開始”章勤瓊，麥克斯·斯蒂芬斯.小學(xué)階段“早期代數(shù)思維”的內(nèi)涵及教學(xué)——墨爾本大學(xué)教授麥克斯·斯蒂芬斯訪談錄[J].小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2016（11）：13。。因此，就代數(shù)思維在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透而言，我們還應(yīng)十分重視由“操作性觀念”向“關(guān)系（結(jié)構(gòu)）性觀念”的轉(zhuǎn)變，即應(yīng)將著眼點(diǎn)由如何獲得相應(yīng)的結(jié)果轉(zhuǎn)向?qū)?shù)量關(guān)系，特別是等量關(guān)系的分析。

頗有趣味的是，相關(guān)人士在對(duì)這一觀點(diǎn)進(jìn)行論述時(shí)，所舉出的正是加減法的例子：在小學(xué)低年級(jí)的教學(xué)中，需要特別強(qiáng)調(diào)對(duì)等式的理解……在小學(xué)一年級(jí)時(shí)，經(jīng)常會(huì)讓學(xué)生口算，比如3+4。這里值得注意的是，我們要強(qiáng)調(diào)3+4“等于”7，而不要說“得到”7。因?yàn)檫@里的等號(hào)有兩個(gè)層面的意義：一是計(jì)算結(jié)果，就是我們經(jīng)常說的“得到”;二是表示“相等關(guān)系”。我們?cè)趯W(xué)生剛接觸等號(hào)時(shí)，就要幫助他們建立起對(duì)等號(hào)的這種相等關(guān)系的理解。因此，有時(shí)候，讓一年級(jí)的學(xué)生接觸7=3+4這樣的算式是有必要的，因?yàn)樵谶@樣的算式中，你就沒法將等號(hào)說成“得到”。當(dāng)然，這里也要嘗試讓學(xué)生理解7同樣也等于4+3。3+4=4+3，第一個(gè)加數(shù)增加的時(shí)候，第二個(gè)加數(shù)減少，這兩個(gè)加法算式還是保持相等的。在這之后，可以讓學(xué)生嘗試看兩邊都不止一個(gè)數(shù)的等式，如17+29=16+30……此外，還可以給學(xué)生利用相等關(guān)系判斷正誤的式子。比如，199+59=200+58，148+68=148+70-2，149+68=150+70-3。

……

為了幫助學(xué)生更深入地理解這種相等關(guān)系，下面的例子可能值得考慮。學(xué)校里來了10個(gè)新學(xué)生，但是我們現(xiàn)在不知道男生和女生各有多少人，你能說出有多少個(gè)男生、多少個(gè)女生嗎？可以先讓學(xué)生列出所有的可能性，如9個(gè)男生、1個(gè)女生，6個(gè)男生、4個(gè)女生……然后進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，在所有這些組合中，如果男生減少1個(gè)，女生必然要增加1個(gè)，以保證總?cè)藬?shù)是10個(gè)。這其實(shí)就是保持加法中的相等關(guān)系所需要做的“補(bǔ)償”，也就是中國課程里說的和不變性質(zhì)。在減法中也有相等關(guān)系，不過與加法不同。比如，在讓學(xué)生思考類似“今年小明8歲，哥哥比小明大9歲，15年后哥哥比小明大幾歲”這樣的問題時(shí)，除了要求學(xué)生理清其中的數(shù)量關(guān)系得到正確的答案，更重要的是幫助學(xué)生形成這樣的意識(shí)：減法算式的結(jié)構(gòu)與加法算式不同，當(dāng)被減數(shù)與減數(shù)同時(shí)增加（或減少）相同的數(shù)時(shí)，差是不變的。章勤瓊，麥克斯·斯蒂芬斯.小學(xué)階段“早期代數(shù)思維”的內(nèi)涵及教學(xué)——墨爾本大學(xué)教授麥克斯·斯蒂芬斯訪談錄[J].小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2016（11）：11。顯然，張景中先生的論述與以上論述相比，可以說達(dá)到了更高的層次，即從一個(gè)更高的層面為我們做好小學(xué)算術(shù)教學(xué)指明了一個(gè)新的努力方向。

其次，關(guān)于滲透寓理于算的思想，相對(duì)于一般性理解而言，張景中先生又強(qiáng)調(diào)了“理”和“算”之間的聯(lián)系：小學(xué)里主要學(xué)計(jì)算，不講推理。但是，計(jì)算和推理是相通的。

……

推理是抽象的計(jì)算，計(jì)算是具體的推理……我們可以舉些例子，讓學(xué)生慢慢體會(huì)到所謂推理，本來是計(jì)算;到了熟能生巧的程度，計(jì)算過程可以省略了，還可以得到同樣的結(jié)果，就成了推理。張景中.張景中教育數(shù)學(xué)文選[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2021：563。張景中先生還給出了一些實(shí)例：比如，一個(gè)三角形ABC（如下頁圖1），如果D是底邊AB的中點(diǎn)的話，三角形ACD和三角形CDB的面積就相等。這可以計(jì)算出來：假設(shè)AD=DB=3，三角形的高是4，那么它們的面積都是6。最后可以得出結(jié)論：如果一個(gè)三角形的一條中線將它分成兩個(gè)三角形，那么它們的面積相等。先是計(jì)算得出相等，后來不計(jì)算也知道它們相等，這就由計(jì)算轉(zhuǎn)向推理了。

再比如圖2，上面一個(gè)四邊形ABOC，下面一個(gè)三角形BOC，設(shè)AO=2OD……也就知道了三角形AOB的面積是三角形BOD面積的2倍。當(dāng)然，如果給出具體的數(shù)據(jù)，也是能夠計(jì)算出來的。這樣算過之后，就會(huì)進(jìn)一步推出一般的規(guī)律：四邊形ABOC和三角形BOC的面積比等于線段AO和OD的長(zhǎng)度比，計(jì)算就轉(zhuǎn)化成推理了。② 張景中.張景中教育數(shù)學(xué)文選[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2021：567568，569。

應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)的是，從張景中先生的相關(guān)論述中，我們還可獲得關(guān)于如何提升學(xué)生解決問題能力的重要啟示：我們說數(shù)學(xué)是思維的體操，思維的體操應(yīng)向什么方向引導(dǎo)？怎樣教學(xué)，才能使學(xué)生將來上了大學(xué)后回想起他小學(xué)里學(xué)習(xí)的東西時(shí)，覺得對(duì)他大學(xué)的學(xué)習(xí)還有幫助？能不能引導(dǎo)學(xué)生逐步從常量到變量？……小學(xué)里講了很多應(yīng)用題，這些應(yīng)用題有什么共同點(diǎn)？很多教材都沒有指出。其實(shí)是有共同點(diǎn)的：大量的題目，都涉及一次函數(shù)關(guān)系。

舉一個(gè)雞兔同籠的例子：雞和兔共有12個(gè)頭、34只腳，有多少只雞？學(xué)生只會(huì)想到這些字面的意思，但是數(shù)學(xué)家、老師和教材編寫人員可以想到這樣一個(gè)表：雞（只）1234567891011兔（只）1110987654321總腳數(shù)4644424038363432302826這個(gè)表說明，答案和題目中的某個(gè)數(shù)，有函數(shù)關(guān)系。如果這樣問小學(xué)生：“1只雞對(duì)不對(duì)呀？”“不對(duì)。1只雞和11只兔子共有46只腳，不是34只腳呀！”但是，數(shù)學(xué)家不這樣，數(shù)學(xué)家就會(huì)考慮多少只雞和多少條腿之間的關(guān)系，隨著雞的增加腿的數(shù)目在減少，這是函數(shù)關(guān)系。假設(shè)一個(gè)答案代進(jìn)去不對(duì)，必然可以由某一個(gè)數(shù)檢驗(yàn)出來，不對(duì)的答案和題目中某個(gè)數(shù)之間有個(gè)關(guān)系，知道了這個(gè)關(guān)系，就知道答案往上調(diào)整還是往下調(diào)整，很快就會(huì)得到正確答案。這是個(gè)笨辦法，學(xué)生不理解，以為這個(gè)辦法不好。但這個(gè)辦法有個(gè)特點(diǎn)：幾乎所有的應(yīng)用題都能用它來求解。因?yàn)樾W(xué)應(yīng)用題基本上都是一次函數(shù)。這個(gè)方法從解決具體問題的角度來看是個(gè)笨辦法，但從數(shù)學(xué)觀點(diǎn)來看，是個(gè)高等觀點(diǎn)。學(xué)生掌握了這個(gè)方法，有了這個(gè)觀點(diǎn)，就可以解決各種各樣的應(yīng)用題了。即使是很簡(jiǎn)單的題目，也可以把它由靜態(tài)變成動(dòng)態(tài)。②在張景中先生看來，由以上實(shí)例，我們也可很好地理解“動(dòng)靜結(jié)合”這個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想（解題策略）。當(dāng)然，對(duì)此我們還可圍繞“變與不變”“過程與結(jié)果”“特殊與一般”“整體與局部”等辯證關(guān)系作出自己的分析、理解，包括陳省身先生提出的更高層次的方法論（也是價(jià)值觀）原則：“數(shù)學(xué)可以分為好的數(shù)學(xué)與不好的數(shù)學(xué)，好的數(shù)學(xué)指的是能發(fā)展、能越來越深入、能被廣泛應(yīng)用、互相聯(lián)系的數(shù)學(xué);不好的數(shù)學(xué)則是一些比較孤立的內(nèi)容?！雹?張景中.張景中教育數(shù)學(xué)文選[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2021：565，前言1。——有興趣的讀者還可參照《小學(xué)數(shù)學(xué)教師》2022年第2期發(fā)表的主題為“以數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)發(fā)展‘?dāng)?shù)學(xué)論證”的一組文章，對(duì)我們究竟應(yīng)當(dāng)通過何種渠道或路徑幫助學(xué)生學(xué)會(huì)論證，包括我們是否又應(yīng)特別強(qiáng)調(diào)“活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”在這一方面的重要作用，作出自己的思考，從而認(rèn)識(shí)到堅(jiān)持獨(dú)立思考的重要性，不因?yàn)槊つ孔冯S潮流而不自覺地陷入某種認(rèn)識(shí)的誤區(qū)。

由于函數(shù)的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、寓理于算的思想，都屬于“好的數(shù)學(xué)”，我們就應(yīng)十分重視這些思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透。當(dāng)然，依據(jù)這樣的認(rèn)識(shí)，我們又應(yīng)進(jìn)一步思考：我們是否應(yīng)該將“函數(shù)的思想”與“數(shù)感”“符號(hào)意識(shí)”一起看成數(shù)與代數(shù)教學(xué)最重要的指導(dǎo)思想，乃至將它列入“核心概念”？我們又是否應(yīng)當(dāng)將所謂的“運(yùn)算能力”與“推理能力”合并為“計(jì)算與推理能力”？

三、 教育數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教學(xué)的創(chuàng)造性

閱讀《張景中教育數(shù)學(xué)文選》，顯然繞不開對(duì)其中最重要的概念——“教育數(shù)學(xué)”的理解。因?yàn)椋@個(gè)概念的提出，是張景中先生在數(shù)學(xué)教育方面最重要的貢獻(xiàn);而張景中先生圍繞這個(gè)概念展開的大量的具體的研究，是本書的主要內(nèi)容。

張景中先生認(rèn)為：“所謂教育數(shù)學(xué)，就是為教育的數(shù)學(xué)。改造數(shù)學(xué)使之更適宜于教學(xué)和學(xué)習(xí)，是教育數(shù)學(xué)為自己提出的任務(wù)。為把數(shù)學(xué)變?nèi)菀?，而提出新定義新概念，建立新方法新體系，發(fā)掘新問題新技巧，尋求新思路新趣味。凡此種種，無不是為教育而做數(shù)學(xué)?！雹?/p>

通過對(duì)照比較，我們可以對(duì)此有更好的理解：

其一，正如人們普遍了解的，弗賴登塔爾對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的具體建議是：讓學(xué)生通過“重復(fù)”歷史上的發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。這也就是所謂的“再創(chuàng)造原則”。對(duì)此，弗賴登塔爾做過進(jìn)一步的說明：“創(chuàng)造，照這里的理解，是學(xué)習(xí)過程的若干步驟，這些步驟的重要性在于‘再創(chuàng)造的‘再。”④ 弗賴登塔爾.數(shù)學(xué)教育再探——在中國的講學(xué)[M].劉意竹，楊剛，等譯.上海：上海教育出版社，1999：63，67。“孩子應(yīng)該重復(fù)人類的學(xué)習(xí)過程，但并非它的實(shí)際發(fā)生過程，而是假定人們?cè)谶^去就知道更多的我們現(xiàn)在所知道的東西，那情況會(huì)怎么發(fā)生。”④

顯然，張景中先生所強(qiáng)調(diào)的由“數(shù)學(xué)教育”向“教育數(shù)學(xué)”的轉(zhuǎn)變，事實(shí)上也是一種“再創(chuàng)造”，只是其主體已不是學(xué)生，而是關(guān)注教育的數(shù)學(xué)家。因?yàn)?，這一工作對(duì)學(xué)生而言顯然有較大的難度。這恐怕也就是弗賴登塔爾后來為什么特別強(qiáng)調(diào)“教師指導(dǎo)下的再創(chuàng)造”的主要原因。

其二，就應(yīng)當(dāng)如何認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)教學(xué)工作的創(chuàng)造性而言，筆者曾經(jīng)提過一個(gè)建議：通過自己的分析，使得相應(yīng)的思維活動(dòng)對(duì)學(xué)生而言真正成為“可以理解的、可以學(xué)到手和加以推廣應(yīng)用的”。鄭毓信.數(shù)學(xué)方法論[M].南寧：廣西教育出版社，1991：序言。也正因此，相對(duì)于一般所謂的“數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透”而言，我們應(yīng)更加重視“數(shù)學(xué)史的方法論重建（或理性重建）”。鄭毓信.文化、歷史與數(shù)學(xué)教學(xué)[J].江蘇教育，2021（43）：2327。

進(jìn)而，如果說我們?cè)诖酥饕蔷透鱾€(gè)具體的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行分析的，那么，張景中先生的高明之處就在于由各個(gè)具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容擴(kuò)展到了整個(gè)學(xué)科分支，如“幾何新方法和新體系”“微積分推理體系的新探索”等，乃至如何將相關(guān)的數(shù)學(xué)機(jī)械化思想或理論應(yīng)用于幾何定理的機(jī)器證明。

當(dāng)然，在此仍有一個(gè)理解的過程。下面就以平面幾何領(lǐng)域的“面積法”（該方法還被發(fā)展為“消點(diǎn)法”，應(yīng)用于幾何定理“可讀的”機(jī)器證明）為例，給出筆者的分析，希望能有助于讀者更好地理解張景中先生相關(guān)工作的合理性：

如眾所知，全等三角形在平面幾何研究中具有特別重要的地位，其實(shí)質(zhì)就在于：只需依據(jù)三個(gè)條件（至少一邊），就可推出兩個(gè)三角形全等，從而求得其他的邊或角。盡管這一方法十分有效，但其所要求的仍是一個(gè)很強(qiáng)的條件，也就未必適用于所有的場(chǎng)合。正因?yàn)榇?，我們就?yīng)認(rèn)真地思考一個(gè)問題：能否通過適當(dāng)?shù)販p弱條件，找出更有效的方法？從三角形全等是指兩個(gè)三角形同時(shí)滿足“形狀相似”和“面積相等”這一角度來分析，保留“形狀相似”，放棄“面積相等”，可以自然引入“相似三角形”的概念;而保留“面積相等”，放棄“形狀相似”，則可自然引入“等積形”的概念。

應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)的是，盡管上述思想的產(chǎn)生可以說十分合理，但真正的創(chuàng)造性工作還應(yīng)當(dāng)努力實(shí)現(xiàn)整體性理論的建構(gòu)，特別是“平易直觀的概念，簡(jiǎn)單明快的邏輯結(jié)構(gòu)，有力而通用的解題方法”的建構(gòu)。這也就如張景中先生所指出的：“我國古代數(shù)學(xué)家曾用面積關(guān)系給出勾股定理的多種證明方法。但長(zhǎng)期以來，它僅僅被認(rèn)為是一種特殊的解題技巧。我們?cè)?974年到1994年這20年間，逐步把面積技巧發(fā)展為一般性方法并建立了以面積關(guān)系為邏輯主線的幾何新體系?！雹?張景中.張景中教育數(shù)學(xué)文選[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2021：17，5。

張景中先生從一般的角度總結(jié)了從事相關(guān)工作的三條基本原則（他稱之為“教育數(shù)學(xué)三原理”）：第一，在學(xué)生頭腦里找概念;第二，從概念里產(chǎn)生方法;第三，方法要形成模式。張景中先生還對(duì)其作了具體的說明：學(xué)生頭腦里已有很多知識(shí)印象，它們要和新來的概念起反應(yīng)發(fā)生變化，使新概念格格不入甚至被歪曲。把學(xué)生頭腦里的東西研究一番，利用其中已有的東西加以改造形成有用的概念，是一個(gè)重要手段。這樣，學(xué)生學(xué)起來親切容易。

光有概念不夠，還必須有方法。數(shù)學(xué)的中心是解題，沒有方法怎么解題？從概念里產(chǎn)生方法，就是說有了概念之后，概念要能迅速轉(zhuǎn)化為方法。不能推來推去走過長(zhǎng)長(zhǎng)的邏輯道路，學(xué)生還看不見有趣的題目，摸不到犀利的方法。

方法不能過多，不能零亂，要形成統(tǒng)一的模式。像吃飯一樣，光吃零食不利于腸胃吸收，不利于健康。形成模式，即形成較一般的方法，學(xué)生才會(huì)心里踏實(shí)、信心倍增。

總之，教育數(shù)學(xué)三原理很簡(jiǎn)單，無非是說概念要平易、直觀、親切，邏輯推理展開要迅速、簡(jiǎn)明，方法要通用有力。②由此，張景中先生基于面積概念，提出了兩個(gè)基本的定理。（1） 共邊比例定理：若直線AB與PQ相交于點(diǎn)M，則△PAB△QAB=PMQM（類似于用表示線段的符號(hào)表示線段長(zhǎng)，這里用表示三角形的符號(hào)表示三角形的面積，后同）。（2） 共角比例定理：若△ABC與△A′B′C′中有∠A=∠A′或∠A+∠A′=180°，則△ABC△A′B′C′=AB·ACA′B′·A′C′。

對(duì)此，張景中先生明確指出：“這兩個(gè)定理得來不費(fèi)功夫。由于平凡，兩千多年間無人重視。其實(shí)，它們用處很大。有‘雞刀殺牛之效……教學(xué)實(shí)踐表明，可節(jié)省課時(shí)，提高學(xué)生能力，有多快好省的效果。”張景中.張景中教育數(shù)學(xué)文選[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2021：1920。

運(yùn)用這兩個(gè)定理，很容易證明平面幾何中的眾多結(jié)論——可以免去作輔助線的困難和麻煩。下面試舉兩例。

一是三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)的證明。三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)是指：三角形中任何一個(gè)角的平分線分對(duì)邊所得的兩條線段與這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例。關(guān)于這一性質(zhì)的證明，教材中普遍采用的方法如圖3所示，應(yīng)當(dāng)說并不困難。但是，這一證明的思路是如何得出的？我們又如何能使這一證明對(duì)學(xué)生而言是十分自然的？不可否認(rèn)的是，CE這一輔助線的添加很難想到，就像G.波利亞所說的“從帽子里掏出來的兔子”一樣。

與此相對(duì)照，如果使用上面的兩個(gè)定理，這一性質(zhì)的證明就會(huì)變得十分容易：由于DA是角平分線，依據(jù)共角比例定理，顯然有△ADB△ADC=AD·ABAD·AC=ABAC;依據(jù)共邊比例定理，又可得△ABD△ADC=BDDC;將兩式直接聯(lián)系起來，即可得到ABAC=BDDC。

二是“三角形中線的交點(diǎn)將中線分割成的兩條線段的比為2∶1”的明證。如圖4所示，設(shè)△ABC的兩條中線AM、BN交于點(diǎn)G，依據(jù)共邊比例定理，可得BGGN=△AMB△AMN;因?yàn)镹是邊AC的中點(diǎn)，顯然有△AMN=△CMN=12△AMC;同理可得△AMB=△AMC;所以△AMN=12△AMB，也即△AMB=2△AMN，所以BGGN=△AMB△AMN=2。

因此，靈活運(yùn)用這兩個(gè)定理（尋找共邊模型和共角模型）的面積法可以被看成解決一大類平面幾何問題的一種模式化（通用）方法。進(jìn)而，“教育數(shù)學(xué)三原理”可以被看成如何由“就題論法”上升到“就題論道”的典型實(shí)例。

由此也可看出，張景中先生的教育數(shù)學(xué)重構(gòu)，主要指向的是破解數(shù)學(xué)解題的困難。究其原因，除了學(xué)生通常對(duì)所謂的“知識(shí)理解的困難”缺少直接的感受之外，在張景中先生等很多數(shù)學(xué)家看來，“問題是數(shù)學(xué)的心臟”，數(shù)學(xué)知識(shí)（廣義的，包括陳述性的“知識(shí)”和程序性的“方法”）主要是解決問題的工具（否則，為什么要有或?qū)W這些知識(shí)？），因此，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的困難主要表現(xiàn)為數(shù)學(xué)解題的困難。

在此基礎(chǔ)上，張景中先生進(jìn)一步分析了數(shù)學(xué)解題教學(xué)的“小巧”（題海戰(zhàn)術(shù)，搜集大量問題，分成類型，傳授巧法妙招，以備套用）與“大巧”（強(qiáng)調(diào)基本知識(shí)和技能，關(guān)注一般的解題思考原則）的不足：“小巧”一題一法，固不應(yīng)提倡;“大巧”法無定法，也確實(shí)太難（即使是數(shù)學(xué)家，在自己的專長(zhǎng)領(lǐng)域之外，也未必敢說掌握了“大巧”可參見《張景中教育數(shù)學(xué)文選》第23頁所舉的華羅庚先生一時(shí)間也解不出一個(gè)不很難卻陌生的初等數(shù)學(xué)問題的例子。這個(gè)例子能給我們一個(gè)重要的啟示：數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)脫離對(duì)具體問題與知識(shí)的深入思考與深刻認(rèn)識(shí)，而追求某些“大而無當(dāng)”甚至“虛無縹緲”的核心概念，畢竟我們總不能說華羅庚先生缺少核心素養(yǎng)吧。當(dāng)然，這既說明核心素養(yǎng)的培養(yǎng)離不開對(duì)具體內(nèi)容的深刻認(rèn)識(shí)，離不開對(duì)思想的領(lǐng)悟和對(duì)經(jīng)驗(yàn)的積累，也說明應(yīng)該把核心素養(yǎng)當(dāng)成一種終極的永遠(yuǎn)無法達(dá)到的狀態(tài)。）。從而提出“中巧”說：“所謂中巧，就是能有效解決一類問題的算法或模式……我們用面積法和消點(diǎn)法創(chuàng)造了幾何解題的一類中巧?！薄霸趯W(xué)習(xí)中巧的過程中體驗(yàn)數(shù)學(xué)的思想方法，鍛煉邏輯推理的能力，或能部分地掌握大巧。至于小巧，學(xué)一點(diǎn)也好，但不足為法。”“教育數(shù)學(xué)要研究有效而易學(xué)的解題方法，要提供中巧?！睆埦爸?張景中教育數(shù)學(xué)文選[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2021：2324。

這些論述對(duì)我們?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)，尤其是解題教學(xué)中提升創(chuàng)造性有更加直接的啟示：洞察本質(zhì)，打開思路。同樣地，這里的“中巧”和陳省身先生所說的“好的數(shù)學(xué)”也是相通的。而且，除了“面積法”（“消點(diǎn)法”），中小學(xué)數(shù)學(xué)中已有的基于十進(jìn)位值制記數(shù)法進(jìn)行數(shù)的運(yùn)算（對(duì)此，教師可在適當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)引入其他記數(shù)法，讓學(xué)生對(duì)比感受十進(jìn)位值制記數(shù)法的優(yōu)越性）、利用方程解決四則運(yùn)算應(yīng)用題、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的增減凸凹、利用數(shù)學(xué)歸納法處理與自然數(shù)有關(guān)的命題、利用解析幾何方法（乃至向量方法可參見《張景中教育數(shù)學(xué)文選》中的兩篇文章：《論向量法解幾何問題的基本思路》與《幾何代數(shù)基礎(chǔ)新視角下的初步探討》。）解決平面幾何難題等，其實(shí)都是“中巧”，都是“好的數(shù)學(xué)”。

進(jìn)一步分析，筆者體會(huì)到：無論“相似三角形”，還是“面積方法”，其應(yīng)用都離不開邊的比例關(guān)系，因此，我們就應(yīng)將“比（例）”的概念看成中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中最重要的概念之一——不難想到，這與張景中先生關(guān)于“算術(shù)應(yīng)用題大多與一次函數(shù)密切相關(guān)”的論述也是完全一致的。再者，如果說概念分析可被看成從一個(gè)角度清楚地表明了“聯(lián)系的觀點(diǎn)”的重要性，啟示我們應(yīng)當(dāng)通過整體分析切實(shí)做好“分清主次，突出重點(diǎn)，以主帶次”，那么“面積法”，特別是上述“基本方法”則清楚地表明了“變化的思想”的重要性，因?yàn)椋鼈冎饕际峭ㄟ^將邊與邊之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為面積之間的關(guān)系來解決問題的。又由于“聯(lián)系的觀點(diǎn)”和“變化的思想”都可被看成重要的思維品質(zhì)，總體而言，上述案例就不僅可被看成“在學(xué)習(xí)中巧的過程中體驗(yàn)數(shù)學(xué)的思想方法”的很好實(shí)例，而且清楚地表明這樣一點(diǎn)：相對(duì)于各種具體方法的學(xué)習(xí)，我們應(yīng)當(dāng)更加重視學(xué)生思維品質(zhì)的提升，包括將此看成數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)。顯然，從這一角度，我們也可更好理解“居高臨下”的重要性。（鄭毓信，南京大學(xué)哲學(xué)系，教授，博士生導(dǎo)師。享受國務(wù)院特殊津貼專家，江蘇省文史研究館館員。從事學(xué)術(shù)研究與各類教學(xué)工作50多年，包括中學(xué)、大學(xué)、研究生教育與各類教師培訓(xùn)工作，多次赴英、美等國以及我國港臺(tái)地區(qū)做長(zhǎng)期學(xué)術(shù)訪問或合作研究，赴意大利、荷蘭、德國等國多所著名大學(xué)做專題學(xué)術(shù)講演。出版專著30余部，在國內(nèi)外學(xué)術(shù)刊物上發(fā)表論文近500篇，學(xué)術(shù)成果獲省部級(jí)獎(jiǎng)7次。在數(shù)學(xué)哲學(xué)、數(shù)學(xué)教育、科學(xué)哲學(xué)與科學(xué)教育領(lǐng)域有較大影響。）