摘要：等差、等比數(shù)列能夠與數(shù)學(xué)其它知識(shí)點(diǎn)有效融合，成為高考的熱門考點(diǎn).因此，需要注重等差、等比數(shù)列性質(zhì)在試題中的綜合應(yīng)用，理解等差、等比數(shù)列中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法，深化學(xué)生對(duì)于等差、等比數(shù)列性質(zhì)的理解，提高有關(guān)試題的解題效率.

關(guān)鍵詞：數(shù)列問(wèn)題；數(shù)列性質(zhì)；綜合應(yīng)用

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2022）28-0083-03

收稿日期：2022-07-05

作者簡(jiǎn)介：樊永文（1980.8-），男，甘肅省民樂(lè)人，本科，中學(xué)高級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

近年高考數(shù)學(xué)試題中，關(guān)于等差、等比數(shù)列性質(zhì)的綜合應(yīng)用是一個(gè)考查的熱點(diǎn)內(nèi)容，我們應(yīng)引起足夠重視.基于此，本文特歸類舉例加以說(shuō)明，希望能夠幫助同學(xué)們掌握一些常用的解題方法，進(jìn)一步提高處理等差、等比數(shù)列綜合問(wèn)題的解題能力.

1 考查等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)的綜合應(yīng)用

例1已知b是a，c的等比中項(xiàng)，x是a，b的等差中項(xiàng)，y是b，c的等差中項(xiàng)，則ax+cy的值是．

解析由題設(shè)，得b2=ac，①2x=a+b，②2y=b+c，③

又注意到所求式子與b無(wú)關(guān)，從而應(yīng)設(shè)法消去b.

因?yàn)橛散诘胋=2x-a，

由③得b=2y-c，

所以將之代入①可得

2x-a2y-c=ac.即4xy-2ay-2cx=0.

所以ax+cy=2..

評(píng)注一般地，a，b，c成等差數(shù)列b是a，c的等差中項(xiàng)2b=a+c； a，b，c成等比數(shù)列b是a，c的等比中項(xiàng)b2=ac（其中a，b，c都不為零）.

2 考查兩個(gè)等差或兩個(gè)等比數(shù)列的交匯問(wèn)題

例2（1）在等差數(shù)列an中，a1=5，前n項(xiàng)和為Sn.若數(shù)列1an也是等差數(shù)列，則Sn=；

（2）在等比數(shù)列an中，a1=2，前n項(xiàng)和為Sn.若數(shù)列an+1也是等比數(shù)列，則Sn=．

解析（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則

1a1=15，1a2=15+d，1a3=15+2d，

由1an是等差數(shù)列，得

25+d=15+15+2d.解得d=0.

故所求Sn=na1=5n.

（2）設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則

a1+1=3，a2+1=2q+1，a3+1=2q2+1.

所以由an+1是等比數(shù)列，得

a2+12=a1+1a3+1.即2q+12=32q2+1.

解得q=1.

故所求Sn=na1=2n.

評(píng)注類似分析，可得如下一般性結(jié)論：

①設(shè)an是等差數(shù)列，且公差為d，若kank≠0也是等差數(shù)列，則d=0；

②設(shè)an是等比數(shù)列，且公比為q，若an+cc≠0也是等比數(shù)列，則q=1.

3 以等差數(shù)列為背景，設(shè)置等比數(shù)列問(wèn)題

例3在等差數(shù)列an中，公差d≠0，a2是a1與a4的等比中項(xiàng).已知數(shù)列a1，a3，ak1，ak2，…，akn，…成等比數(shù)列，求數(shù)列kn的通項(xiàng)kn.

解法1

因?yàn)閍22=a1a4，

所以a1+d2=a1a1+3d.所以d2=a1d.

又公差d≠0，

所以d=a1.

所以an=a1+n-1d=nd.

從而，由題設(shè)得數(shù)列d，3d，k1d，k2d，…，knd，…是等比數(shù)列.

所以knd=d·3ddn+1=d·3n+1.

又注意到d≠0，故可得所求kn=3n+1.

解法2同解法1，先求得a1=d，

從而有a3a1=a1+2da1=3dd=3.

注意到“akn”既是等差數(shù)列an中的第kn項(xiàng)，又是等比數(shù)列a1，a3，ak1，ak2，…，akn，…中的第n+2項(xiàng)，

所以akn=a1+kn-1d=a1·a3a1n+1.

所以kn·d=d·3n+1.

又注意到d≠0，故可得所求kn=3n+1.

評(píng)注上述兩種解法的區(qū)別在于：前者先明確所給等比數(shù)列的各項(xiàng)，再運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；后者則是考慮akn在兩個(gè)數(shù)列中的不同位置，并靈活運(yùn)用等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行綜合分析.

4 考查等差數(shù)列與等比數(shù)列交錯(cuò)接龍

例4對(duì)于數(shù)列a1，a2，…，ak，ak+1，…，a2k，a2k+1，…而言，若a1，a2，…，ak是以d1為公差的等差數(shù)列；ak，ak+1，…，a2k是以q1為公比的等比數(shù)列；a2k，a2k+1，…，a3k是以d2為公差的等差數(shù)列；a3k，a3k+1，…，a4k是以q2為公比的等比數(shù)列，…，我們就稱該數(shù)列為等差、等比數(shù)列交錯(cuò)接龍.現(xiàn)已知a1=-3，d1=1，k=6，q1=3，d2=-2，q2=13，d3=2729，q3=5，求a34.

解析

因?yàn)閿?shù)列a1，a2，…，a6是以a1=-3為首項(xiàng)，且以d1=1為公差的等差數(shù)列，所以可得a6=-3+5×1=2.

于是，由數(shù)列a6，a7，…，a12是以q1=3為公比的等比數(shù)列，得a12=a6·q6=2×36.

由數(shù)列a12，a13，…，a18是以d2=-2為公差的等差數(shù)列，可得a18=a12+6d2=2×36+6×-2=2×36-12.

由數(shù)列a18，a19，…，a24是以q2=13為公比的等比數(shù)列，可得a24=a18·q62=2×36-12×136=2-12729.

由數(shù)列a24，a25，…，a30是以d3=2729為公差的等差數(shù)列，可得a30=a24+6d3=2-12729+6×2729=2.

故由數(shù)列a30，a31，…，a36是以q3=5為公比的等比數(shù)列，即得所求a34=a30·q43=2×54=1250.

評(píng)注在具體情景下，多次反復(fù)運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，是本題順利求解的關(guān)鍵所在.整體看，本題設(shè)計(jì)較好，情景新穎，不僅考查了學(xué)生的閱讀理解能力，而且也考查了學(xué)生在新情景下靈活運(yùn)用所學(xué)等差、等比數(shù)列知識(shí)分析、解決問(wèn)題的實(shí)際能力.

5 以行與列的形式，考查等差數(shù)列和等比數(shù)列通項(xiàng)公式的活用

例5如圖1，n2n≥4個(gè)正數(shù)排成n行n列方陣，其中每行的數(shù)都組成等差數(shù)列，每列的數(shù)都組成等比數(shù)列，且所有的公比相等，a24=1，a42=18，a43=316.

（1）求公比q的值；

（2）求a4k；

（3）求ann；

（4）求a11+a22+…+ann.

a11a12a13a14…a1na21a22a23a24…a2na31a32a33a34…a3na41a42a43a44…a4n………………an1an2an3an4…ann

解析（1）因?yàn)榈?行的數(shù)組成等差數(shù)列，所以a44=2a43-a42=2×316-18=14.

于是，由第4列的數(shù)組成等比數(shù)列，得

a44=a24·q2，即14=1·q2.

又易知q>0，從而解得q=12.

（2）因?yàn)榈?行的數(shù)組成等差數(shù)列，

所以a4k=a42+k-2·a43-a42

=18+k-2·316-18=k16.

（3）因?yàn)橛桑?）知a4n=n16.

又因?yàn)榈趎列的數(shù)組成公比為12的等比數(shù)列，

所以ann=a4n·qn-4=n16·12n-4=n2n.

（4）根據(jù)（3）可知

a11+a22+…+ann=12+222+…+n2n.

令S=12+222+…+n2n， ④

則可得12S=122+223+…+n2n+1.⑤

由④-⑤，得

12S=12-12n·121-12-n2n+1=1-n+22n+1.

所以S=2-n+22n.

評(píng)注（1）本題以“方陣”為載體，考查了在新情景下學(xué)生靈活運(yùn)用等差、等比數(shù)列知識(shí)處理問(wèn)題的能力，而解題的關(guān)鍵就是利用等差、等比數(shù)列推廣的通項(xiàng)公式及錯(cuò)位相減法.

（2）根據(jù)等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，很容易證得推廣的通項(xiàng)公式：

①若an是等差數(shù)列，則an=am+n-md；

②若an是等比數(shù)列，則an=am·qn-m.

綜上，處理有關(guān)等差、等比數(shù)列性質(zhì)的綜合運(yùn)用問(wèn)題，首先要認(rèn)真審題，看清題目已知條件；其次，要能夠?qū)⒌炔睢⒌缺葦?shù)列的性質(zhì)在解題中加以靈活、準(zhǔn)確運(yùn)用.顯然，通過(guò)上述的歸類剖析，可幫助我們進(jìn)一步

熟練掌握等差、等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)，進(jìn)而提高對(duì)新情景的適應(yīng)能力以及對(duì)相關(guān)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力，進(jìn)一步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

［1］郭啟華.高中數(shù)學(xué)數(shù)列的解題常規(guī)方法探討[J].考試周刊，2018（25）：67-68.

[2] 王惠清.高中數(shù)學(xué)數(shù)列試題解題技巧探究[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（高中版），2018（05）：27-28.