呂德榮

摘? 要：解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)方法研究幾何圖形中所蘊(yùn)含的性質(zhì)和規(guī)律. 以“圓錐曲線定值問(wèn)題”的教學(xué)為載體，通過(guò)問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的教學(xué)方式，引導(dǎo)學(xué)生分析圓錐曲線的幾何特征，提高學(xué)生的解析幾何運(yùn)算能力，進(jìn)行解題規(guī)律的提煉與數(shù)學(xué)思想的升華，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：圓錐曲線;定值問(wèn)題;幾何轉(zhuǎn)化

一、引言

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）中要求解析幾何重點(diǎn)提升學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng);要求學(xué)生能夠掌握平面解析幾何解決問(wèn)題的基本過(guò)程，根據(jù)具體問(wèn)題情境的特點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)幾何問(wèn)題和圖形的特點(diǎn)用代數(shù)語(yǔ)言把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，根據(jù)對(duì)幾何問(wèn)題的分析探索解決問(wèn)題的思路，運(yùn)用代數(shù)方法得出結(jié)論，給出代數(shù)結(jié)論合理的幾何解釋解決幾何問(wèn)題. 同時(shí)，《標(biāo)準(zhǔn)》也提出了教師要加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)，幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，敢于質(zhì)疑、善于思考，理解概念、把握本質(zhì)，數(shù)形結(jié)合、明晰算理，厘清知識(shí)的來(lái)龍去脈，建立知識(shí)之間的關(guān)聯(lián).

章建躍博士在文獻(xiàn)[2]中談到，“四基”“四能”只有通過(guò)“思維過(guò)程的教學(xué)”才能得到落實(shí). 這個(gè)“過(guò)程”是學(xué)生在教師啟發(fā)下積極主動(dòng)地理解數(shù)學(xué)知識(shí)的思維過(guò)程，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)也只有在這樣的過(guò)程中才得以實(shí)現(xiàn). 因此，我們特別注重以數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程為載體，以恰時(shí)、恰點(diǎn)的問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生的思維活動(dòng)，努力使學(xué)生經(jīng)歷研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的基本過(guò)程，在過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.

解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)的方法研究幾何圖形中所蘊(yùn)含的性質(zhì)和規(guī)律，解析幾何綜合問(wèn)題對(duì)學(xué)生的能力要求較高. 在高考備考中要著重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，讓學(xué)生在解題過(guò)程中重視對(duì)幾何關(guān)系的深入研究，深入挖掘題目中的幾何條件，探究運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中所蘊(yùn)含的幾何特征. 要讓學(xué)生依據(jù)題目中的幾何關(guān)系，通過(guò)代數(shù)運(yùn)算實(shí)現(xiàn)對(duì)圖形中幾何關(guān)系的探究，從而形成正確的求解思路. 在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維習(xí)慣的過(guò)程中，問(wèn)題的引導(dǎo)和驅(qū)動(dòng)非常重要.《標(biāo)準(zhǔn)》倡導(dǎo)教師要運(yùn)用適當(dāng)?shù)膯?wèn)題串幫助學(xué)生探究新知，突破學(xué)習(xí)障礙. 基于學(xué)情，在解題的各個(gè)環(huán)節(jié)，在學(xué)生需要處和思維的深刻處精心設(shè)計(jì)問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)師生之間的深度對(duì)話，充分暴露師生解題的思維過(guò)程，教給學(xué)生遇到解題障礙時(shí)應(yīng)該怎么想，努力說(shuō)明每個(gè)念頭都是自然的、合理的. 問(wèn)題的設(shè)計(jì)要問(wèn)在理解題意處、問(wèn)在思路探究處、問(wèn)在思維障礙處、問(wèn)在回顧反思處. 針對(duì)解析幾何綜合問(wèn)題的特點(diǎn)，通過(guò)一系列問(wèn)題的設(shè)計(jì)，完成對(duì)題目的幾何特征進(jìn)行代數(shù)表達(dá)的分析，從而幫助學(xué)生在關(guān)鍵步驟、容易“卡殼”的步驟展示思維過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣.

解決解析幾何問(wèn)題面臨的困難之一就是煩瑣、復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算. 在解題過(guò)程中，許多學(xué)生因?yàn)椴荒茼樌M(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算而導(dǎo)致解題半途而廢. 課堂上和復(fù)習(xí)過(guò)程中，教師要舍得花費(fèi)時(shí)間與學(xué)生共同經(jīng)歷分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的全過(guò)程，向?qū)W生闡述每一步計(jì)算的算理，提醒學(xué)生注意每一個(gè)運(yùn)算細(xì)節(jié)，教給學(xué)生重要的代數(shù)變換方法和必備的計(jì)算技巧，促進(jìn)學(xué)生運(yùn)算能力的發(fā)展，使學(xué)生感悟“理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，選擇原則方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果”的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的內(nèi)涵與實(shí)際價(jià)值.

2021年11月19日，筆者有幸參加了一場(chǎng)以“利用幾何圖形建立直觀? 通過(guò)代數(shù)運(yùn)算刻畫規(guī)律”為主題的教研活動(dòng)，活動(dòng)圍繞“高三年級(jí)圓錐曲線復(fù)習(xí)課”展開研討. 研討過(guò)程中，筆者上了一節(jié)“圓錐曲線定值問(wèn)題”公開課，得到了與會(huì)專家的一致好評(píng). 本文以這節(jié)課為例，談?wù)勅绾瓮ㄟ^(guò)問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，實(shí)現(xiàn)對(duì)研究對(duì)象幾何特征和解析幾何運(yùn)算特點(diǎn)的分析. 在這一過(guò)程中，需要教師重視引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題規(guī)律的提煉與數(shù)學(xué)思想的升華.

二、課堂實(shí)錄

環(huán)節(jié)1：復(fù)習(xí)回顧，鋪墊引入;創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題.

問(wèn)題1：上節(jié)課我們研究了橢圓中斜率積為定值的問(wèn)題，探究過(guò)程是按照什么思路展開的？得到了什么結(jié)論？用到了哪些運(yùn)算方法？

師生活動(dòng)：上節(jié)課的學(xué)習(xí)已經(jīng)從定點(diǎn)問(wèn)題的研究過(guò)渡到了橢圓中斜率積為定值的問(wèn)題，教師與學(xué)生一起推導(dǎo)了定值結(jié)論，共同回顧，進(jìn)行研究思路、參數(shù)引入和運(yùn)算處理方法的梳理. 這節(jié)課主要探究定值問(wèn)題，讓學(xué)生對(duì)研究過(guò)的定值問(wèn)題進(jìn)行回顧. 引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出引例1.

引例1：已知橢圓[C： x2a2+y2b2=1 a>b>0]的上、下頂點(diǎn)為[A，B]，點(diǎn)[P]為橢圓[C]上異于點(diǎn)[A，B]的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線[PA，PB]的斜率分別為[k1，k2]，試探究[k1k2]是否為定值.

學(xué)生給出解答如下.

由題設(shè)，知[A0，b，B0，-b].

設(shè)[Px0，y0]，則[x0≠0].

所以直線[PA]的斜率為[k1=y0-bx0]，直線[PB]的斜率為[k2=y0+bx0].

因?yàn)辄c(diǎn)[P]在橢圓上，

所以[x02a2+y02b2=1 x0≠0].

從而有[k1k2=y0-bx0 · y0+bx0=y02-b2x02=b2-b2a2x02-b2x02=][-b2a2]，為定值.

追問(wèn)1：如果把橢圓的上、下頂點(diǎn)為[A，B]，換成左、右頂點(diǎn)為[A，B]，結(jié)果如何呢？

師生活動(dòng)：重現(xiàn)之前研究過(guò)程的細(xì)節(jié)，讓學(xué)生理解上個(gè)課時(shí)給出橢圓中斜率積為定值的邏輯的合理性.

橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)是橢圓的基礎(chǔ)幾何性質(zhì)，學(xué)生很自然能夠產(chǎn)生這樣的探究想法，也保障了研究的完整性和嚴(yán)密性.

追問(wèn)2：這里的點(diǎn)[A，B]都是橢圓的頂點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱. 那么，橢圓上任意關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)是否都有同樣的性質(zhì)呢？

師生活動(dòng)：教師帶著學(xué)生整理，按照從特殊到一般的規(guī)律，把普適性的研究成果進(jìn)行重申. 強(qiáng)調(diào)運(yùn)算方法——點(diǎn)差法. 引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出引例2.

引例2：已知橢圓[C： x2a2+y2b2=1 a>b>0]，動(dòng)直線[y=kx]與橢圓交于[A，B]兩點(diǎn)，點(diǎn)[P]為橢圓[C]上異于點(diǎn)[A，B]的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線[PA，PB]的斜率分別為[k1，k2]，試探究[k1k2]是否為定值.

追問(wèn)3：上述問(wèn)題探討的性質(zhì)類似于圓的直徑所對(duì)的圓周角是直角，如圖1所示. 圓還具備什么重要性質(zhì)？

師生互動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生從定值[-b2a2]的結(jié)構(gòu)入手，聯(lián)系圓的幾何性質(zhì)——直徑所對(duì)的圓周角是直角，讓學(xué)生意識(shí)到直徑所在的直線在運(yùn)動(dòng)，直徑所對(duì)的圓弧上的點(diǎn)也在運(yùn)動(dòng)，而它們形成的角度卻是定值. 通過(guò)類比圓的性質(zhì)，讓學(xué)生感悟“動(dòng)中不動(dòng)是為定”的辯證思想，體會(huì)動(dòng)與靜的完美統(tǒng)一，同時(shí)聯(lián)想圓的其他重要性質(zhì)——垂徑定理.

追問(wèn)4：圓的一個(gè)重要結(jié)論是垂徑定理（圓的弦中點(diǎn)和圓心連線與圓的弦互相垂直），如圖2所示. 橢圓中是否也有類似的性質(zhì)與結(jié)論呢？

師生互動(dòng)：學(xué)生回顧探究思路，口述了結(jié)論的成立，并用“點(diǎn)差法”證明了結(jié)論. 學(xué)生說(shuō)出引例3.

引例3：已知橢圓[C： x2a2+y2b2=1 a>b>0]，直線[l]不過(guò)原點(diǎn)[O]且不平行于坐標(biāo)軸，直線[l]與[C]有兩個(gè)交點(diǎn)[A，B]，線段[AB]的中點(diǎn)為[M]. 直線[OM]的斜率與直線[l]的斜率分別為[k1，k2]，試探究[k1k2]是否為定值.

教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這三個(gè)引例進(jìn)行如下分析：引例1（動(dòng)點(diǎn)[P]）[→]引例2（動(dòng)點(diǎn)[P]，動(dòng)直線[y=kx]，動(dòng)直線產(chǎn)生的點(diǎn)有關(guān)聯(lián)）[→]引例3（動(dòng)點(diǎn)[P]，動(dòng)直線，中點(diǎn)等更多幾何情境），選擇參數(shù)時(shí)也會(huì)相應(yīng)變化.

環(huán)節(jié)2：典例探究.

問(wèn)題2：受問(wèn)題1研究過(guò)程的啟發(fā)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)的因素變化，引起變化的量越多參數(shù)也越多，對(duì)幾何問(wèn)題代數(shù)化表達(dá)的過(guò)程也會(huì)越來(lái)越復(fù)雜. 如何正確地表達(dá)幾何量？如何選擇合理的參數(shù)簡(jiǎn)化運(yùn)算？

通過(guò)下面的例子進(jìn)一步探討.

例1? 如圖3，已知橢圓[C： x24+y2=1]，設(shè)點(diǎn)[M]為橢圓上位于第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，[A，B]分別為橢圓的左頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)，直線[MB]與[x]軸交于點(diǎn)[C]，直線[MA]與[y]軸交于點(diǎn)[D]. 求證：四邊形[ABCD]的面積為定值.

師生活動(dòng)：教師給出典型例題，引導(dǎo)學(xué)生讀題、結(jié)合圖形審題.

追問(wèn)1：解析幾何表達(dá)多邊形面積有哪些方法？

追問(wèn)2：四邊形[ABCD]有什么特征？怎么表達(dá)面積合適？

追問(wèn)3：如何求[AC， BD]？哪些點(diǎn)確定？哪些點(diǎn)變化？

追問(wèn)4：點(diǎn)[C，D]的運(yùn)動(dòng)變化是由什么因素引起的？

追問(wèn)5：變化是由點(diǎn)[M]引起的，那么如何設(shè)參數(shù)？

師生活動(dòng)：學(xué)生總結(jié)多邊形面積的一般表示法. 學(xué)生能夠想到三角形面積公式[S=12l1l2sinα]，四邊形的面積通過(guò)三角形來(lái)轉(zhuǎn)化. 學(xué)生表述完，教師進(jìn)行歸納梳理. 學(xué)生發(fā)現(xiàn)四邊形[ABCD]的對(duì)角線互相垂直，通過(guò)對(duì)角線求解四邊形的面積，得[S四邊形ABCD=12ACBD]. 點(diǎn)[A，B]確定，點(diǎn)[C，D]在運(yùn)動(dòng)變化，變換是由點(diǎn)[M]的運(yùn)動(dòng)引起的，直接設(shè)點(diǎn)[Mm，n]. 這樣就可以表示直線[AM]和直線[BM]的方程，從而求出點(diǎn)[C]和點(diǎn)[D]的坐標(biāo). 學(xué)生自主完成后，教師巡堂，投影展示答案. 對(duì)解析幾何多邊形面積的常規(guī)表述進(jìn)行梳理，并讓學(xué)生進(jìn)行規(guī)律總結(jié). 通過(guò)對(duì)例1的解題思路的分析，把學(xué)生解題過(guò)程中遇到的思維疑點(diǎn)和難點(diǎn)逐一解決. 學(xué)生把這些問(wèn)題都解決了，剩下的就交給運(yùn)算了，教師鼓勵(lì)學(xué)生大膽計(jì)算、敢于計(jì)算. 在巡堂過(guò)程中，教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生完成得好的，進(jìn)行投影展示，同時(shí)通過(guò)PPT給予解答.

環(huán)節(jié)3：探究交流.

問(wèn)題3：如果問(wèn)題情境發(fā)生變化，運(yùn)動(dòng)變化的因素變得復(fù)雜，甚至研究的問(wèn)題都變得陌生了，我們又該如何轉(zhuǎn)化？如何引入?yún)?shù)進(jìn)行求解？

例2? 已知拋物線[C：x2=4y]的焦點(diǎn)為[F]，過(guò)點(diǎn)[F]作兩條互相垂直的直線[l1，l2]，[l1]與[C]交于[M，N]兩點(diǎn)，[l2]與直線[y=-1]交于點(diǎn)[P]，判斷[∠PMN+∠PNM]是否為定值. 若是，求出其值;若不是，說(shuō)明理由.

師生活動(dòng)：教師給出探究例題，引導(dǎo)學(xué)生讀題、審題，自己畫出圖形.

追問(wèn)1：例2研究的目標(biāo)是什么？可以怎么轉(zhuǎn)化？

追問(wèn)2：轉(zhuǎn)化之后依然是角度，表達(dá)角度有哪些方法？哪個(gè)比較合適？

追問(wèn)3：如果上述方法研究起來(lái)依然有困難，可以從哪方面入手？

追問(wèn)4：特殊情況是什么？

追問(wèn)5：特殊情況得出結(jié)論是[PM⊥PN]，一般情況如何證明？

追問(wèn)6：通過(guò)向量或者斜率證明，都需要點(diǎn)[M，N]，[P]的坐標(biāo)，怎么得到這些點(diǎn)的坐標(biāo)？哪些點(diǎn)是運(yùn)動(dòng)的？運(yùn)動(dòng)是怎么引起的？

追問(wèn)7：運(yùn)動(dòng)變化的關(guān)鍵是直線，那么如何設(shè)參數(shù)？

師生活動(dòng)：學(xué)生可以想到[∠PMN+∠PNM=π-∠MPN]，把雙變量轉(zhuǎn)化為單變量，再研究[∠MPN]. 學(xué)生口頭總結(jié)了表達(dá)角度可以考慮三角函數(shù)，如正切（斜率）、正弦或余弦，還可以用向量. 學(xué)生表述完，教師進(jìn)行歸納梳理. 學(xué)生感覺(jué)即便有一些角度的表達(dá)方式，對(duì)于研究例2依然有困難. 教師引導(dǎo)學(xué)生從特殊情況入手，讓學(xué)生求出特殊情況下的結(jié)論，然后證明一般情況. 學(xué)生已有證明垂直能夠轉(zhuǎn)化為斜率或向量數(shù)量積為0的認(rèn)知基礎(chǔ)，教師引導(dǎo)學(xué)生分析需要點(diǎn)[M，N，P]的坐標(biāo)，而點(diǎn)[M]，[N，P]的運(yùn)動(dòng)是由直線的運(yùn)動(dòng)引起的，從而引入?yún)?shù)、聯(lián)立求解. 學(xué)生自主完成后，教師巡堂，投影展示答案. 教師對(duì)角度這個(gè)幾何量的“代數(shù)化”梳理可以幫助學(xué)生形成知識(shí)體系，使學(xué)生以后再遇到合適的情境時(shí)不至于束手無(wú)策. 遇到棘手的問(wèn)題時(shí)，利用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊圖形等）可以將盲目的探索問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有方向、有目標(biāo)的一般性證明題，有利于找到解決問(wèn)題的突破口. 對(duì)于參數(shù)的選擇，讓學(xué)生從源頭分析，并進(jìn)行判斷. 在巡堂過(guò)程中，教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生完成得好的，進(jìn)行投影展示，同時(shí)通過(guò)PPT給出解答.

環(huán)節(jié)4：探究運(yùn)用.

問(wèn)題4：例1是只有一個(gè)點(diǎn)的變化引起圖象的變化，我們?cè)O(shè)點(diǎn)的坐標(biāo);例2是兩條互相關(guān)聯(lián)的直線引起圖象變化，我們?cè)O(shè)某條直線的斜率. 如果引起運(yùn)動(dòng)變化的因素增多，幾何情境也變得更加復(fù)雜，我們又該如何處理呢？

例3? 點(diǎn)[M]的軌跡為[C：x2-y216=1 x≥1]，設(shè)點(diǎn)[T]在直線[x=12]上，過(guò)點(diǎn)[T]的兩條直線分別交[C]于[A，B]兩點(diǎn)和[P，Q]兩點(diǎn)，且[TATB=TPTQ]，求直線[AB]的斜率與直線[PQ]的斜率之和.

師生活動(dòng)：按照由淺入深，從“動(dòng)”因素少到“動(dòng)”因素多的思路，逐層探究. 教師給出探究例題，引導(dǎo)學(xué)生讀題、審題，自己畫出圖形.

追問(wèn)1：例3探討的斜率是我們熟悉的幾何量，那么具體條件給的是什么幾何量？一般怎么轉(zhuǎn)化？

追問(wèn)2：坐標(biāo)等價(jià)轉(zhuǎn)化，具體怎么表達(dá)呢？

追問(wèn)3：這個(gè)問(wèn)題中變化的幾何量有哪些？這一變化是由哪些量的變化引起的？

追問(wèn)4：直線[AB，PQ]有沒(méi)有關(guān)聯(lián)？根據(jù)這些變化的量，可以怎么引進(jìn)參數(shù)呢？

追問(wèn)5：如何得到與點(diǎn)[A，B]的橫坐標(biāo)有關(guān)的運(yùn)算結(jié)構(gòu)？

師生活動(dòng)：學(xué)生通過(guò)審題發(fā)現(xiàn)條件是長(zhǎng)度乘積，由長(zhǎng)度的表達(dá)想到了兩點(diǎn)間的距離公式和弦長(zhǎng)公式. 學(xué)生表述完，教師進(jìn)行歸納梳理. 對(duì)于該例具體的表達(dá)，學(xué)生習(xí)慣了弦長(zhǎng)公式，直接設(shè)[Ax1，y1，Bx2，y2]，則[TATB=1+k21x1-12x2-12]. 通過(guò)追問(wèn)，學(xué)生意識(shí)到這個(gè)情境中變化的幾何量較多，點(diǎn)[T]和直線[AB，PQ]都在運(yùn)動(dòng)變化，直線[AB，PQ]除了都過(guò)點(diǎn)[T]外沒(méi)有別的關(guān)聯(lián)，所以點(diǎn)[T]的坐標(biāo)和直線[AB，PQ]的斜率都要引入?yún)?shù). 我們?cè)O(shè)點(diǎn)[T12，t]，則直線[AB]的方程為[y-t=k1x-12]，直線[PQ]的方程為[y-t=k2x-12]. 要得到與點(diǎn)[A，B]的橫坐標(biāo)有關(guān)的運(yùn)算結(jié)構(gòu)，聯(lián)立方程，得[y=k1x+t-12k1，16x2-y2=16，] 消去[y]，整理可得. 給學(xué)生充裕的時(shí)間運(yùn)算，教師巡堂觀察探究情況，讓學(xué)生在黑板上板書. 通過(guò)學(xué)生的表達(dá)，教師幫助學(xué)生梳理，可以用兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式、平行線間的距離公式、弦長(zhǎng)公式、“化斜為直”坐標(biāo)法等. 層層遞進(jìn)引導(dǎo)學(xué)生意識(shí)到定值問(wèn)題的本質(zhì)就是解析幾何中的某些幾何量（直線的斜率、圖形的面積、角的度數(shù)、線段的長(zhǎng)度等）的大小或某些代數(shù)表達(dá)式的值等與題目中的參數(shù)無(wú)關(guān). 要善于運(yùn)用辯證的觀點(diǎn)思考和分析問(wèn)題，在動(dòng)點(diǎn)的“變”中尋求值的“不變”，選定適合題設(shè)的參數(shù)，用題目中的已知量和參變量表示題中涉及的定義、方程和幾何性質(zhì)，再用根與系數(shù)的關(guān)系導(dǎo)出所求定值所需要的表達(dá)式，并將其代入定值的表達(dá)式，化簡(jiǎn)、整理求出結(jié)果. 學(xué)生在黑板上板書，可以把運(yùn)算環(huán)節(jié)展示出來(lái)，增強(qiáng)學(xué)生運(yùn)算的信心. 然后教師通過(guò)PPT給出解答.

環(huán)節(jié)5：歸納總結(jié)，反思提升.

問(wèn)題5：（1）根據(jù)上面的解題過(guò)程，能否總結(jié)定值問(wèn)題的解決策略有哪些？

（2）根據(jù)上面的解題過(guò)程，能否總結(jié)定值問(wèn)題的常見類型有哪些？

（3）在研究定值問(wèn)題的過(guò)程中，我們采用了怎樣的探究過(guò)程與方法？

師生活動(dòng)：學(xué)生總結(jié)出了定值問(wèn)題的解決策略. 特殊法，從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)定值與變量無(wú)關(guān);直接法，直接推理、計(jì)算，并在推理、計(jì)算的過(guò)程中消去參數(shù)，從而得到定值. 由于黑板上有板書，學(xué)生能歸納出定值問(wèn)題常見的類型有直線的斜率、圖形的面積、角的度數(shù)和線段的長(zhǎng)度，能說(shuō)出這些幾何量常見的代數(shù)轉(zhuǎn)化方法. 對(duì)于探究方法，學(xué)生能說(shuō)出特殊與一般、轉(zhuǎn)化與化歸，教師補(bǔ)充了數(shù)形結(jié)合思想，引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出在解決問(wèn)題的過(guò)程中提高了推理論證能力和運(yùn)算求解能力.

三、回顧與反思

1. 教學(xué)內(nèi)容的安排

整節(jié)課中，教師一直在滲透分析幾何因素的思想，希望啟發(fā)學(xué)生在面對(duì)綜合性解析幾何問(wèn)題時(shí)，對(duì)圖形中定與不定的因素有具體的把握與分析，能夠感受圖形中幾何要素的生成過(guò)程. 只有對(duì)幾何要素的生成過(guò)程進(jìn)行了分析，才能對(duì)參數(shù)的選取做出準(zhǔn)確的判斷. 引例中的橢圓斜率積定值問(wèn)題，是本節(jié)課之前學(xué)生在解決選擇題和填空題時(shí)遇到過(guò)的情境，教師在講解過(guò)程中已經(jīng)滲透了定值結(jié)論. 本節(jié)課再?gòu)念惐葓A、邏輯梳理的角度層層深入地進(jìn)行梳理和分析. 學(xué)生體會(huì)了橢圓定值問(wèn)題這種由淺入深的邏輯過(guò)程和參變量的選取原則. 再把問(wèn)題推廣到一般的綜合性問(wèn)題，而不只是局限于橢圓中的斜率積背景.

后面三道例題的選取考慮到了三種曲線的全面性和常見幾何要素代數(shù)化的典型性.

例1的情境是橢圓中的四邊形的面積問(wèn)題，橢圓是解析幾何綜合問(wèn)題中最常見的圖形. 無(wú)論是基本幾何性質(zhì)的掌握程度，還是畫圖的熟練度，學(xué)生都是不錯(cuò)的. 該題中條件的幾何要素不復(fù)雜，目標(biāo)是研究四邊形的面積，學(xué)生也能轉(zhuǎn)化. 這里為了優(yōu)化運(yùn)算，利用四邊形兩條對(duì)角線互相垂直，通過(guò)對(duì)角線乘積的一半來(lái)求四邊形的面積. 這也是四邊形面積求解中常見的類型.

例2的情境是拋物線中的角度問(wèn)題，雖然學(xué)生在以前的學(xué)習(xí)過(guò)程中接觸拋物線綜合問(wèn)題的機(jī)會(huì)不如橢圓多，但是拋物線畫圖容易，而且對(duì)其幾何性質(zhì)的研究非常透徹，學(xué)生在心理上是不害怕的. 條件中運(yùn)動(dòng)變化的幾何要素也不多，但是目標(biāo)情境——角度相對(duì)比較陌生. 這里要讓學(xué)生形成轉(zhuǎn)化與化歸的意識(shí)，結(jié)合圖形至少可以先把兩個(gè)角度的研究轉(zhuǎn)化為一個(gè)角度的研究，然后再聯(lián)想角度常見的轉(zhuǎn)化方案，看是否可行，如果都不可行，還可以如何解決. 在矛盾沖突中產(chǎn)生從特殊情況入手的念頭，從而通過(guò)特殊情況下為直角來(lái)簡(jiǎn)化一般情況下的證明.

例3的情境是雙曲線中的長(zhǎng)度乘積問(wèn)題，對(duì)學(xué)生而言是最為陌生的，畫圖不如前兩種熟練，長(zhǎng)度乘積在心理上會(huì)讓人覺(jué)得復(fù)雜、難算，但是目標(biāo)是研究斜率，是學(xué)生熟悉的部分. 條件中運(yùn)動(dòng)變化的因素變多了，面對(duì)多運(yùn)動(dòng)變化因素的情境，讓學(xué)生心理上不要產(chǎn)生畏懼感. 解決該例的關(guān)鍵是找到長(zhǎng)度乘積的適當(dāng)轉(zhuǎn)化方式，讓學(xué)生熟悉“化斜為直”的長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化方式.

課堂小結(jié)部分讓學(xué)生對(duì)定值處理策略、常見幾何要素轉(zhuǎn)化方法和數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行條理化的梳理.

2. 教學(xué)方法的選擇

問(wèn)題引領(lǐng)，教師主導(dǎo)，生“動(dòng)”課堂. 要讓課堂上學(xué)生的“動(dòng)”有目標(biāo)、有邏輯順序，教師就要設(shè)置好一系列問(wèn)題. 教師設(shè)置好了問(wèn)題和追問(wèn)，學(xué)生就有了思考與討論的載體，本節(jié)課正是借助這些問(wèn)題串來(lái)推進(jìn)教學(xué)的. 問(wèn)題1及其追問(wèn)，回顧橢圓中斜率積定值問(wèn)題的研究思路，讓學(xué)生體會(huì)幾何因素逐漸變多的層次感，也從聯(lián)系的角度與圓進(jìn)行類比研究. 問(wèn)題2及其追問(wèn)，提出一個(gè)情境簡(jiǎn)單的問(wèn)題，完成這道例題的幾何條件的分析，并幫助學(xué)生梳理多邊形面積的常見轉(zhuǎn)化方式. 問(wèn)題3及其追問(wèn)，對(duì)于幾何情境變得復(fù)雜時(shí)，如何分析幾何條件，如何轉(zhuǎn)化問(wèn)題，示范了“特殊探路，一般證明”的過(guò)程，也幫助學(xué)生梳理角度問(wèn)題的常見轉(zhuǎn)化方式. 問(wèn)題4及其追問(wèn)，幾何情境變得更加復(fù)雜了，幾何問(wèn)題更加陌生了，教會(huì)學(xué)生如何進(jìn)行幾何條件的分析和轉(zhuǎn)化，如何合理地設(shè)參、用參、消參，得出定值，同時(shí)梳理和歸納長(zhǎng)度問(wèn)題的常見轉(zhuǎn)化方式. 問(wèn)題5的三個(gè)小問(wèn)題完成了對(duì)本節(jié)課定值處理策略、常見幾何要素轉(zhuǎn)化方法和數(shù)學(xué)思想方法的小結(jié).

在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中，通過(guò)這些問(wèn)題串的設(shè)計(jì)，突出了對(duì)研究對(duì)象幾何特征的分析. 解析幾何是用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題，但教學(xué)中要注意代數(shù)運(yùn)算與幾何直觀的相互為用. 因?yàn)檠芯繉?duì)象是幾何圖形，所以把握所研究對(duì)象的幾何特征、明確面臨的幾何問(wèn)題，這是首要的一步，然后才是用代數(shù)方法去研究. 上課過(guò)程中讓學(xué)生畫圖，結(jié)合圖形思考代數(shù)表征，思考要解決的代數(shù)問(wèn)題的特點(diǎn)，真正做到數(shù)形結(jié)合.

同時(shí)，注重對(duì)解析幾何運(yùn)算特點(diǎn)的分析. 解析幾何中的運(yùn)算是建立在幾何背景下的代數(shù)運(yùn)算，所以先用幾何眼光觀察，分析清楚幾何圖形的要素及其基本關(guān)系，再用代數(shù)語(yǔ)言表達(dá)，而且在運(yùn)算中時(shí)刻注意圖形的幾何特征及圖形間的關(guān)系來(lái)簡(jiǎn)化運(yùn)算，這是突破運(yùn)算難點(diǎn)的關(guān)鍵舉措. 在解析幾何教學(xué)中，提高學(xué)生的運(yùn)算能力不能僅從代數(shù)角度入手，還要努力提高學(xué)生的幾何圖形分析能力，也就是要在數(shù)形結(jié)合上下工夫. 學(xué)生的計(jì)算能力，很大程度上決定了解析幾何的解題效率. 要讓學(xué)生意識(shí)到簡(jiǎn)化運(yùn)算結(jié)構(gòu)、優(yōu)化運(yùn)算方案在解析幾何解題中的重要性. 同時(shí)，通過(guò)不斷成功的過(guò)程體驗(yàn)讓學(xué)生建立起運(yùn)算的信心和克服困難結(jié)構(gòu)式的勇氣.

3. 教學(xué)媒體的選用

問(wèn)題、引例及三道例題的呈現(xiàn)都由教師事先準(zhǔn)備好，在課堂上通過(guò)PPT顯示在屏幕上，這樣學(xué)生在解題過(guò)程中能夠清楚地看到所有問(wèn)題. 但是因?yàn)閳?chǎng)地限制，黑板書寫效果不佳，學(xué)生前面的做題展示都是通過(guò)投影設(shè)備實(shí)現(xiàn)的，相對(duì)于上臺(tái)板書，未能更多地反映學(xué)生的思維過(guò)程. 雖然啟用了活動(dòng)黑板讓學(xué)生上臺(tái)對(duì)例3進(jìn)行板書，但是還是可以有更多的教師板書過(guò)程，并在板書過(guò)程中反復(fù)強(qiáng)調(diào)書寫運(yùn)算的規(guī)范性，相信效果會(huì)更好.

4. 值得改進(jìn)的地方

學(xué)而知不足，思而得遠(yuǎn)慮. 教學(xué)本身是一門遺憾的藝術(shù)，本節(jié)課還存在一些需要改進(jìn)的地方.

（1）對(duì)于例1，當(dāng)我們分析清楚研究對(duì)象的幾何特征后，分析出在所有的條件中能夠建立起等量關(guān)系的只有點(diǎn)[M]在橢圓上這一個(gè)條件. 因此，不管怎么設(shè)“坐標(biāo)”，都應(yīng)該在情理之中，沒(méi)有必要將問(wèn)題的解答按照某一個(gè)模式來(lái)固定，也沒(méi)有必要糾結(jié)到底引進(jìn)哪個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)作為“參數(shù)”，設(shè)點(diǎn)[Mm，n]和設(shè)點(diǎn)[Cm，0，][D0，n]都是可行的.

當(dāng)然，解決“定點(diǎn)、定值”問(wèn)題的常用思路往往是從特殊情形入手. 如果從特殊情形入手，可以取[M1， 32]，則有[C4-23，0，D0， 33]，從而求得四邊形的面積;再證明這個(gè)定值與變量無(wú)關(guān).

（2）對(duì)于例3中的條件[TATB=TPTQ]，由圓冪定理可知[A，B，P，Q]四點(diǎn)共圓，這是不變的. 這就是對(duì)代數(shù)表達(dá)式[TATB=TPTQ]的幾何因素的分析，所以可以從二次曲線系方程表示為圓的條件（不含[xy]項(xiàng)）入手進(jìn)行解答，同樣可以得到[k1+k2=0]. 由此可見，認(rèn)真解讀條件的幾何特征非常重要.

（3）沒(méi)有重視教材的使用. 如果對(duì)教材進(jìn)行深入挖掘，也能從教材中看似簡(jiǎn)單的題目中挖掘出很多與圓錐曲線定值問(wèn)題有關(guān)的問(wèn)題來(lái).

（4）受教學(xué)設(shè)備所限，沒(méi)能充分展示學(xué)生的運(yùn)算過(guò)程，對(duì)于運(yùn)算表達(dá)規(guī)范的學(xué)生的解法只進(jìn)行了投影展示，沒(méi)有讓學(xué)生談?wù)勈侨绾巫龅降模瑳](méi)有用“放大鏡”再細(xì)化這些運(yùn)算過(guò)程的關(guān)鍵點(diǎn). 為了強(qiáng)調(diào)規(guī)范表達(dá)，應(yīng)該盡量帶領(lǐng)學(xué)生完成運(yùn)算. 高三復(fù)習(xí)的一個(gè)基本要求是要重視思維的邏輯性和表達(dá)的規(guī)范性. 不能因?yàn)檫\(yùn)算煩瑣就只分析解題過(guò)程，然后直接用多媒體展示運(yùn)算過(guò)程得出結(jié)論，教師要起到指引和示范的作用. 上課書寫示范盡量不要使用PPT，而是自己板書，不然過(guò)程的呈現(xiàn)效果會(huì)減弱. 因此，教師需要在今后教學(xué)中注意書寫表達(dá)和格式要求.

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