顧予恒 盧依婷

摘? 要：通過對(duì)人教A版新教材中四個(gè)問題學(xué)生作答情況的統(tǒng)計(jì)分析，發(fā)現(xiàn)看似尋常的教學(xué)內(nèi)容背后深藏著許多值得思考的問題. 精心研究教材，立足學(xué)情，重視課堂生成，用原生態(tài)的學(xué)情反饋來破除很多教師心目中的“想當(dāng)然”，是提升教師教學(xué)水平的有效手段.

關(guān)鍵詞：不等式;不等關(guān)系;數(shù)學(xué)表達(dá);學(xué)情統(tǒng)計(jì)

一、緣起

在浙江省杭州市高中數(shù)學(xué)新教材課堂教學(xué)研究展示活動(dòng)中，浙江省杭州第十四中學(xué)的一位教師進(jìn)行了人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“教材”）必修第一冊(cè)“等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)（第1課時(shí)）”的教學(xué)展示. 在課后的評(píng)課環(huán)節(jié)，點(diǎn)評(píng)嘉賓章建躍博士在肯定了整節(jié)課的教學(xué)之余，出人意料地向與會(huì)教師提出了幾個(gè)問題：教材中的問題1容易嗎？學(xué)生真的做得很好嗎？這部分內(nèi)容的教學(xué)應(yīng)不應(yīng)該一筆帶過？

這三個(gè)“靈魂”拷問使筆者陷入了深思，在大多數(shù)教師看來非常平常的問題會(huì)有怎樣的精彩呢？為此，筆者在自己的兩個(gè)教學(xué)班教學(xué)這部分內(nèi)容時(shí)，有意識(shí)地放慢了教學(xué)節(jié)奏，讓每位學(xué)生都認(rèn)真完成了問題1中的四個(gè)問題，并回收了學(xué)生解答的內(nèi)容. 通過整理兩個(gè)教學(xué)班（共計(jì)84人）的解答情況，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生的解答并非千篇一律，不同的答案體現(xiàn)了學(xué)生不同的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，現(xiàn)將具體分析呈現(xiàn)，與同仁們探討.

二、問題呈現(xiàn)

問題：（源自教材第37頁）你能用不等式或不等式組表示下列問題中的不等關(guān)系嗎？

（1）某路段限速40 km / h;

（2）某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量[f]應(yīng)不少于2.5%，蛋白質(zhì)的含量[p]應(yīng)不少于2.3%;

（3）三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊;

（4）連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短.

不等式是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中不等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，故不等式概念的抽象應(yīng)該經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)中的不等關(guān)系到數(shù)學(xué)中的不等關(guān)系的過程. 因此，本節(jié)課要讓學(xué)生經(jīng)歷從具體實(shí)例的屬性分析到不同實(shí)例共同屬性的歸納，再概括到一般的不等關(guān)系中去，進(jìn)而獲得不等式概念的過程. 教材通過上述四個(gè)問題，闡釋了如何用不等式或不等式組表示不等關(guān)系，選取的背景既有現(xiàn)實(shí)問題，又有數(shù)學(xué)問題，能夠讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.

三、結(jié)果呈現(xiàn)

對(duì)于這四個(gè)看似簡(jiǎn)單的問題，學(xué)生給出的解答卻是五花八門，除了正確答案外，有些解答可能是表述不完善，有些解答甚至是錯(cuò)誤的. 各題的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下. 因表格中呈現(xiàn)的是學(xué)生的真實(shí)解答情況，故正確表達(dá)與錯(cuò)誤表達(dá)皆有.

第（1）題解答情況，如表1所示.

對(duì)于第（1）題，有42.86%的學(xué)生的解答結(jié)果為[v≤40 km / h.] 一方面，說明學(xué)生具備了一定的不等式基礎(chǔ)，抓住了“限速”一詞中反映的不等關(guān)系（≤）;另一方面，80%的學(xué)生刻畫的不等關(guān)系中依然帶著單位，說明學(xué)生從現(xiàn)實(shí)問題到數(shù)學(xué)表達(dá)的抽象過程不完全. 同時(shí)，有53%的學(xué)生忽視了現(xiàn)實(shí)問題中研究對(duì)象（車速）的屬性特征，沒有寫下界. 有19%的學(xué)生考慮到了下界，但認(rèn)為速度可以取到0，這部分學(xué)生認(rèn)為，該情境描述的對(duì)象是汽車，停在該路段也是可以的. 但事實(shí)上，限速只對(duì)行駛中的車輛有意義，所以大于0更合理.

通過對(duì)這個(gè)問題的答題情況進(jìn)行分析，筆者認(rèn)為不等關(guān)系來源于現(xiàn)實(shí)問題，因此在教學(xué)時(shí)教師需要注意引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)對(duì)現(xiàn)實(shí)問題中文字描述的理解，除了要抓住字面的不等關(guān)系外，還要明確研究對(duì)象的屬性特征. 當(dāng)然，也可以鼓勵(lì)學(xué)生查閱交通法規(guī)中對(duì)限速的專業(yè)界定來打消疑慮.

第（2）題解答情況，如表2所示.

對(duì)于第（2）題，73%的學(xué)生給出的答案與教材一致，但也存在幾名學(xué)生有了第（1）題的經(jīng)驗(yàn)，認(rèn)為此處也需要考慮上界. 根據(jù)題中文字描述，可以發(fā)現(xiàn)其中還隱含了[f+p≤100%]的前提條件，因此，筆者贊同這部分學(xué)生的想法，將答案寫成[f≥2.5%，p≥2.3%，f+p≤100%]似乎更加完美. 而學(xué)生給出的不等式組[2.5%≤f≤97.7%，2.3%≤p≤97.5%] 中其實(shí)已經(jīng)蘊(yùn)含了解不等式的過程.

第（3）題解答情況，如表3所示.

對(duì)于第（3）題，接近一半的學(xué)生與教材答案一致，有超過40%的學(xué)生采用了更完整的寫法，教材對(duì)此在邊框中提出了問題“你能寫出其他的可能情況嗎？”這體現(xiàn)了這部分學(xué)生思維的縝密性. 還有個(gè)別學(xué)生沒有用字母[a，b，c]來表示三角形的三邊，甚至用漢字加不等號(hào)來表述，說明他們還不具備對(duì)現(xiàn)實(shí)問題中的對(duì)象進(jìn)行符號(hào)化處理的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

第（4）題解答情況，如表4所示.

第（4）題的難度最大，對(duì)此學(xué)生給出的解答情況也最豐富，充分體現(xiàn)了學(xué)生不同層次的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

解答1：學(xué)生只能用文字語言加不等號(hào)進(jìn)行表達(dá)，停留在“含不等號(hào)的式子”層面對(duì)不等關(guān)系進(jìn)行表達(dá)，沒有數(shù)學(xué)的符號(hào)化過程.

解答2：仿照第（3）題的寫法，對(duì)目標(biāo)進(jìn)行了符號(hào)化處理，也是正確答案.

解答3 ～ 解答5：都引入了圖形，借助數(shù)形結(jié)合，用不等式刻畫幾何圖形中的數(shù)量關(guān)系.

解答6：不僅有圖形說明，而且引入了變量[a，] 有了變化的觀點(diǎn).

解答7和解答8：不僅運(yùn)用集合語言描述了線段和點(diǎn)兩種不同的對(duì)象，而且運(yùn)用邏輯語言刻畫了不等關(guān)系，呈現(xiàn)了“最短”這一概念.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中指出，在高中數(shù)學(xué)課程中，集合是刻畫一類事物的語言和工具. 學(xué)生學(xué)會(huì)用集合語言簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確地表述數(shù)學(xué)的研究對(duì)象、問題和結(jié)果是數(shù)學(xué)的基本要求. 在這里，學(xué)生將集合語言運(yùn)用得淋漓盡致，顯然達(dá)到了很高的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)水平，也充分體現(xiàn)了在不等式章節(jié)之前學(xué)習(xí)集合語言的重要性.

還有一部分學(xué)生提出，教材中的答案限定了點(diǎn)[E]是直線[AB]上不同于點(diǎn)[D]的任意一點(diǎn)，于是答案為[CD<CE.] 如果限定點(diǎn)[E]是直線[AB]上任意一點(diǎn)，那么答案就可以寫成[CD≤CE，] 這樣更能體現(xiàn)最短的垂線段能夠取到，即關(guān)注到等號(hào)成立的條件. 對(duì)于學(xué)生的這一點(diǎn)建議，筆者給予了充分的肯定，數(shù)學(xué)的教與學(xué)都不唯教材論，敢于對(duì)教材內(nèi)容提出疑問是批判性思維的體現(xiàn).

湊巧地，在2021年浙江省杭州市的中考試卷中，筆者發(fā)現(xiàn)了一道和第（4）題相關(guān)的試題.

題目? 如圖5，設(shè)點(diǎn)[P]是直線[l]外一點(diǎn)，[PQ⊥l]， 垂足為點(diǎn)[Q]，點(diǎn)[T]是直線[l]上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接[PT，] 則（? ? ）.

（A）[PT≥2PQ] （B）[PT≤2PQ]

（C）[PT≥PQ] （D）[PT≤PQ]

這次調(diào)研的學(xué)生恰巧在中考中做過這道試題，而且當(dāng)時(shí)的正確率非常高，那么為什么還會(huì)有近50%的學(xué)生無法正確表達(dá)第（4）題呢？課后，筆者對(duì)未寫出正確結(jié)果的學(xué)生進(jìn)行了訪談，很大一部分學(xué)生表示知道題目的意思，但是不知道怎么寫，沒有想到通過圖形來表述. 究其原因，中考試題的選項(xiàng)已經(jīng)給出了不等式的形式，考查的要求是學(xué)生能夠理解不等式的含義即可，而第（4）題則需要學(xué)生自己用數(shù)學(xué)語言去描述問題，正好擊中了學(xué)生抽象化表達(dá)能力薄弱的軟肋.

從前面的分析不難發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)學(xué)生可以較好地完成從現(xiàn)實(shí)問題中提取不等關(guān)系的任務(wù)，具備了用數(shù)學(xué)眼光觀察世界的能力，但用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言來表達(dá)和交流的能力比較欠缺. 而教材中設(shè)置預(yù)備知識(shí)章節(jié)的目的之一就是讓學(xué)生學(xué)習(xí)如何用數(shù)學(xué)語言來表述，用新的觀點(diǎn)來看待與分析，積累數(shù)學(xué)抽象的經(jīng)驗(yàn)，從而提升數(shù)學(xué)語言表達(dá)的抽象水平，提升數(shù)學(xué)思想.

四、后測(cè)反饋

在學(xué)習(xí)不等式的內(nèi)容之后，筆者又安排了一道測(cè)試題來了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況.

測(cè)試題? 為了保護(hù)一座古橋[OA，] 規(guī)劃建造一座新橋[BC，] 同時(shí)設(shè)立一個(gè)圓形保護(hù)區(qū). 規(guī)劃要求：新橋[BC]與河岸[AB]垂直;保護(hù)區(qū)的邊界為圓心[M]在線段[OA]上，并與[BC]相切的圓，且古橋兩端[O]和[A]到圓上任意一點(diǎn)的距離均不少于80 m. 經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)[A]位于點(diǎn)[O]正北方60 m處，點(diǎn)[C]位于點(diǎn)[O]正東方170 m處（[OC]為河岸），[∠BCO=60°. °]

試根據(jù)題中所給的信息，畫出符合題意的圖形，用不等式或不等式組表示問題中的不等關(guān)系，并據(jù)此確定圓心[M]的大致位置.

通過分析學(xué)生上交的作業(yè)，筆者發(fā)現(xiàn)結(jié)果大致可以分為五個(gè)層次，反映了學(xué)生不同的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)表達(dá)和數(shù)學(xué)建模水平.

層次一：作出圖形（如圖6），實(shí)現(xiàn)對(duì)現(xiàn)實(shí)問題的圖形化處理.

層次二：設(shè)保護(hù)區(qū)圓[M]的半徑為[r，OM=d，] 實(shí)現(xiàn)研究對(duì)象的符號(hào)化.

層次三：將古橋兩端[O]和[A]到圓上任意一點(diǎn)的距離均不少于80 m中的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等式，學(xué)生寫法主要為[PA≥80，OP≥80，0≤OM≤60.]

層次四：結(jié)合圖6，利用平面幾何知識(shí)將題干中的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等式組[PAmin=PM-AM≥80，POmin=PM-OM≥800≤OM≤60，，] 即[r-60-d≥80，r-d≥80，0≤d≤60.]

層次五：如圖7，作[ND⊥OC]于點(diǎn)[D，] 作[ME⊥ND]于點(diǎn)[E，] 則[MN=r，NE=r2，OD=ME=3r2，ND=NE+][ED=r2+d，DC=OC-OD=170-3r2.] 由[3DC=ND，]得[3170-3r2=r2+d.] 化簡(jiǎn)得[r=853-d2.] 代入[r-60-d≥80，r-d≥80，0≤d≤60，] 解得[d≥280-1703，d≤1703-1603，0≤d≤60，] 即[0≤d≤][1703-1603.]

由于題干中給出了“作圖”“不等式表示”等提示，因此大部分學(xué)生可以較好地完成前三個(gè)層次的要求. 高一學(xué)生能達(dá)到層次五的雖然不多，但相信隨著高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的推進(jìn)，學(xué)生的數(shù)學(xué)分析和數(shù)學(xué)建模能力將逐步加強(qiáng)，最終實(shí)現(xiàn)在會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界的基礎(chǔ)上，會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界、會(huì)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界.

五、教學(xué)反思

1. 精心研究教材，立足兩類學(xué)情

通過本案例的研究，我們可以發(fā)現(xiàn)許多教學(xué)內(nèi)容并不是想象中的那樣簡(jiǎn)單. 而教材中看似尋常的內(nèi)容中也藏著許多可以挖掘的寶藏. 我們的日常教學(xué)需要精心研究教材，在備課時(shí)要基于學(xué)情，充分考慮知識(shí)學(xué)情和學(xué)習(xí)學(xué)情. 例如，不等式這一內(nèi)容，在初中和高中都有涉及，但學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)和目的卻不相同，教師在備課時(shí)就需要明確. 不等式是重要的數(shù)學(xué)工具，它是刻畫廣泛存在于數(shù)學(xué)內(nèi)外的不等關(guān)系的基礎(chǔ)，為學(xué)生高中階段的學(xué)習(xí)做好了工具上的準(zhǔn)備. 而數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)和用數(shù)學(xué)語言表達(dá)的能力較弱則是步入高中的新生的基本學(xué)情. 本節(jié)課學(xué)生反饋的情況表明，他們對(duì)不同語言的表征方式的切換并不自如，利用文字可以表達(dá)的內(nèi)容，用數(shù)學(xué)符號(hào)表示就會(huì)陷入困境. 因此，在高中階段，教師需要通過教學(xué)提升學(xué)生相應(yīng)的能力.

2. 重視課堂生成，關(guān)注學(xué)生反饋

教學(xué)要避免過多地“想當(dāng)然”，最好的解決方法就是重視課堂生成，關(guān)注學(xué)生真實(shí)的情況反饋. 例如，新概念課就可以是學(xué)生的主場(chǎng)，教師應(yīng)放慢教學(xué)速度，敢于放手，讓學(xué)生充分暴露自己對(duì)新知識(shí)的所思所想. 同時(shí)，教師要用心整理學(xué)情反饋，并根據(jù)具體情況進(jìn)行分析. 正如本案例這樣的平時(shí)教學(xué)中我們不在意的細(xì)節(jié)，通過認(rèn)真梳理學(xué)生的解答情況，會(huì)有很多有趣的發(fā)現(xiàn)，真正做到用學(xué)生原生態(tài)的學(xué)情反饋來破除很多教師心目中的“想當(dāng)然”. 學(xué)生真實(shí)的想法，哪怕是錯(cuò)誤，都是最寶貴的教學(xué)資源，讓教師可以了解學(xué)生會(huì)怎樣想，而不再僅僅關(guān)注學(xué)生該怎樣想. 通過分析認(rèn)知偏差產(chǎn)生的原因，并提出糾正的措施和對(duì)策，是教師提升課堂教學(xué)質(zhì)量的有效手段之一.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部制定. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]章建躍. 核心素養(yǎng)立意的高中數(shù)學(xué)課程教材教法研究[M]. 上海：華東師范大學(xué)出版社，2021.