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        一次同課異構(gòu)教研活動的思考

        2022-04-21 07:16:53康中君
        關(guān)鍵詞:等比數(shù)列同課異構(gòu)

        康中君

        [摘 要]同課異構(gòu)是比較好的一種教研形式,反思同課異構(gòu)活動,能提高教師的教學(xué)、科研能力。

        [關(guān)鍵詞]同課異構(gòu);等比數(shù)列;前[n]項(xiàng)和

        [中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058(2022)05-0008-03

        一、課例呈現(xiàn)

        第一位教師的教學(xué)簡況:

        1.復(fù)習(xí)回顧

        (1)等比數(shù)列的定義;

        (2)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式。

        2.情境引入

        引入有關(guān)古印度舍罕王與宰相西薩·班·達(dá)依爾的國際象棋故事。

        引導(dǎo)學(xué)生分析問題,發(fā)現(xiàn)問題:

        由于棋盤每一格的麥粒數(shù)都是前一格的2倍,共有64格,則每一格所放的麥粒數(shù)依次為[1, 2, ] [22, …, 263],[S64=1+2+22+…+263] 。這個(gè)算式的結(jié)果是多少呢?

        3.知識講解

        探究等比數(shù)列的前[n]項(xiàng)和公式。

        4.典例精講

        [例1](1)求下列等比數(shù)列的前8項(xiàng)和。

        ① [12,14,18,…];? ?② [a1=27],[a9=1243],[q<0]。

        (2)欣賞詩詞,解答問題。

        遠(yuǎn)望巍巍塔七層,紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增,

        共燈三百八十一,請問尖頭幾盞燈?

        (3)求[1+a+a2+…+an]([a≠0])。

        5.小結(jié)

        等比數(shù)列的前[n]項(xiàng)和公式。

        方法:錯(cuò)位相減法。

        第一步,等式兩邊同乘公比。

        第二步,錯(cuò)位、作差。

        第三步,化簡得結(jié)論。

        6.作業(yè)布置

        已知[Sn]是等比數(shù)列[an]的前[n]項(xiàng)和,[S4=5S2],求[a3a8a25]的值。

        第二位教師的教學(xué)簡況:

        1.新課引入

        (文字?jǐn)⑹鐾瑯拥膰H象棋故事)

        問題1:國王能實(shí)現(xiàn)他的諾言嗎?

        追問:上述問題本質(zhì)上是屬于數(shù)列中的什么問題?(數(shù)列求和,等比數(shù)列的前[n]項(xiàng)和)

        2.概念形成

        問題2:在解決等差數(shù)列的前[n]項(xiàng)和問題時(shí),通過什么方法來實(shí)現(xiàn)運(yùn)算方式的轉(zhuǎn)化?最后運(yùn)算簡化到什么程度?

        問題3:求等比數(shù)列的前[n]項(xiàng)和時(shí),你希望通過運(yùn)算方式的轉(zhuǎn)化后把運(yùn)算簡化到什么程度呢?

        簡化到只要給出首項(xiàng) [a1],末項(xiàng)[an] 或者公比[q],以及項(xiàng)數(shù)[n],即可求和。

        問題4:求等比數(shù)列的前[n]項(xiàng)和時(shí),你能否找到一種方法來轉(zhuǎn)化運(yùn)算方式,從而簡化運(yùn)算?

        追問1:等式右邊求和運(yùn)算困難的原因是什么?(省略號的存在,項(xiàng)太多)

        追問2:等式右邊的項(xiàng)太多,怎樣才能使其變少?(轉(zhuǎn)化運(yùn)算方式,消項(xiàng))

        追問3:觀察等式右邊,任意相鄰兩項(xiàng)之間有什么關(guān)系?(前一項(xiàng)乘以[q]得后一項(xiàng))

        追問4:只要找到相同的項(xiàng)作差就能消項(xiàng),怎樣才能找到相同的項(xiàng)?

        3.概念深化

        問題5:在消項(xiàng)的過程中,等式兩邊必須乘以公比[q]嗎?(可同乘以[1q])

        問題6:等比數(shù)列前[n]項(xiàng)和[Sn]與前[n-1]項(xiàng)和[Sn-1]有什么關(guān)系?

        [Sn=a1+qSn-1=a1+q(Sn-an)]。

        [a2a1=a3a1=…=anan-1q],[a2+a3+…+ana1+a2+…+an-1=Sn-a1Sn-an=q]。

        等比數(shù)列的前[n]項(xiàng)和公式:

        [Sn=na1 (q=1),a1(1-qn)1-q=a1-an q1-q (q≠1)。]

        [Sn=a1(1-qn)1-q (q≠1)]

        [Sn=a1-an q1-q(q≠1)]

        問題7:你能通過等比數(shù)列的前[n]項(xiàng)和公式求出國王應(yīng)該賞賜的麥粒數(shù)嗎?

        注意:

        (1)[q=1]與[q≠1]兩種情況;

        (2)公式[Sn=a1(1-qn)1-q=a1-qan1-q]有4個(gè)量;

        (3)[n]是項(xiàng)數(shù)而非指數(shù)。

        4.應(yīng)用探索

        [例1]同第一位教師應(yīng)用的例1。

        [例2]某商場今年銷售計(jì)算機(jī)5000臺。如果平均每年的銷售量比上一年的銷售量增加10%,那么從今年起,大約幾年可使總銷售量達(dá)到30 000臺?(結(jié)果保留到個(gè)位)

        [例3]如圖1,為了估計(jì)函數(shù)[y=9-x2]在第一象限的圖像與[x]軸,[y]軸圍成的區(qū)域的面積[X],把[x]軸上的區(qū)域[0, 3]分成[n]等分,從各分點(diǎn)作[y]軸的平行線與函數(shù)圖像相交,再從各交點(diǎn)向左作[x]軸的平行線,構(gòu)成([n-1]) 個(gè)矩形,下面的程序用來計(jì)算這([n-1])個(gè)矩形的面積的和[S]。

        (1)程序中的AN, SUM分別表示什么?為什么?

        (AN表示第k個(gè)矩形的面積;SUM表示前k個(gè)矩形的面積的和。)

        (2)請根據(jù)程序分別計(jì)算當(dāng)[n= 6, 11, 16]時(shí),各個(gè)矩形的面積的和。

        5.小結(jié)

        問題8:這節(jié)課主要學(xué)習(xí)了什么內(nèi)容?

        (1)“錯(cuò)位相減法”在簡化運(yùn)算時(shí)的操作方法;

        (2)用“錯(cuò)位相減法”推導(dǎo)出等比數(shù)列的前[n]項(xiàng)和公式;

        (3)等比數(shù)列的前[n]項(xiàng)和公式的兩種形式;

        (4)計(jì)算機(jī)循環(huán)結(jié)構(gòu)可用于數(shù)列描述,也可用于數(shù)列求和;

        (5)數(shù)學(xué)方程思想,無限逼近的思想。

        二、課例對比

        (一)課堂結(jié)構(gòu)相同

        兩位教師都是采用“情境引入課題、推導(dǎo)公式、應(yīng)用知識、課堂小結(jié)、布置作業(yè)”這樣的教學(xué)流程。作為常規(guī)課例展示,這樣的安排沒有特別出彩,中規(guī)中矩。學(xué)生能在情境中抽象出數(shù)學(xué)概念,積累從具體到抽象的活動經(jīng)驗(yàn)。情境引入后的問題分析,可以認(rèn)為是發(fā)現(xiàn)問題,[S64=1+2+22+…+263]這個(gè)算式的結(jié)果是多少?是提出問題,推導(dǎo)結(jié)果的過程是分析問題,得到求和公式再回歸問題本身是解決問題。這里展示了“四能”要求,對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一種示范。用故事引入,可能是很多教師的首選。但是,從“能運(yùn)用等差數(shù)列 、等比數(shù)列解決簡單的實(shí)際問題和數(shù)學(xué)問題,感受數(shù)學(xué)模型的現(xiàn)實(shí)意義與應(yīng)用”來看,也可以選擇如儲蓄方面的例子。

        (二)內(nèi)容大同小異

        兩位教師在教材內(nèi)容選擇上基本相同,只是對例題的使用思考不同。第一位教師只選擇了例1,第二位教師選擇了例1,一句話帶過例2,重點(diǎn)探究例3。新課標(biāo)要求“領(lǐng)會教材的編寫意圖及編寫特點(diǎn),體悟教材的呈現(xiàn)方式、教學(xué)價(jià)值及評價(jià)功能,在此基礎(chǔ)上,根據(jù)不同的內(nèi)容、學(xué)習(xí)任務(wù)和課型,結(jié)合自身特點(diǎn)和學(xué)生學(xué)習(xí)行為及現(xiàn)狀的差異性,對教材進(jìn)行有必要的重構(gòu)”。結(jié)合學(xué)生實(shí)際,本節(jié)課在推導(dǎo)公式之后,注重求和公式的應(yīng)用,結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式,扎實(shí)進(jìn)行基本量的計(jì)算才是重點(diǎn)要做的工作。例3對數(shù)列求和有體現(xiàn),但并非等比數(shù)列求和;例3的呈現(xiàn)包含了程序,這是學(xué)生沒有接觸過的內(nèi)容,因此對例3的使用要有變化;例3展示了求曲邊三角形面積的一種思想——極限思想,高一學(xué)生理解有難度,需要教師想辦法展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識、方法和思想與實(shí)踐應(yīng)用的緊密聯(lián)系。根據(jù)新課標(biāo)“在教學(xué)中要充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)來源于實(shí)際、應(yīng)用于實(shí)際,突出數(shù)學(xué)的綜合性和應(yīng)用性”。如果不用例3,而用例2會更好。

        (三)措施基本相同

        兩位教師都使用課件,都有學(xué)生動手、師生互動。在公式的推導(dǎo)過程中,第一位教師使用了視頻,學(xué)生通過觀看視頻進(jìn)行學(xué)習(xí),有新奇性。為了直觀展示例3中[n]的變化發(fā)現(xiàn)面積特點(diǎn),第二位教師用了一個(gè)圖形程序。新課標(biāo)強(qiáng)調(diào),課堂要充分有效地運(yùn)用圖表、模型等教具、學(xué)具,增加直觀性,根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)需要適度使用現(xiàn)代教育技術(shù),提高課堂教學(xué)效率。在學(xué)法方面,引導(dǎo)學(xué)生主動思考、積極提問和實(shí)踐探究,促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展,激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識,兩位教師都做得很好,都詳細(xì)講解了例1的第②小題。筆者認(rèn)為還是要求學(xué)生自己完成或合作完成比較好。

        (四)教學(xué)過程有差別

        兩位教師的課堂結(jié)構(gòu)、教學(xué)內(nèi)容選擇基本相同,教學(xué)過程有差別,主要反映在課堂推進(jìn)方面,這里只對比公式的推導(dǎo)。第一位教師基本是教材的原裝呈現(xiàn),在樹立“用教材教而不是教教材”觀念方面做得不夠。第二位教師通過問題2到問題6以及4個(gè)追問使得概念的生成、公式的推導(dǎo)非常精彩。這樣顯然有利于促進(jìn)學(xué)生善于觀察、大膽猜想、嚴(yán)密思考,形成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣,有利于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

        要提升學(xué)生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng),教師就要在教材的基礎(chǔ)上,挖掘素材內(nèi)涵,從多角度、多層次進(jìn)行觀察、思考,無論是解決問題的多種方法展示,還是展示解決問題的思維方式,都要精心設(shè)計(jì)。設(shè)問、追問也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法、思維方式和思維習(xí)慣的好方式,第二位教師在這些方面做得比較好。

        (五)目標(biāo)達(dá)成有異

        《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》對“等比數(shù)列”做了如下描述:

        (1)通過生活實(shí)例,理解等比數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式的意義。

        (2)探索并掌握等比數(shù)列前[n]項(xiàng)和公式,理解等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前[n]項(xiàng)和公式的關(guān)系。

        (3)能在具體的問題情境中發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系,并解決問題。

        (4)體會等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系。

        從“探索并掌握等比數(shù)列前[n]項(xiàng)和公式”來看,兩位教師都探索了公式的推導(dǎo),學(xué)生掌握等比數(shù)列前[n]項(xiàng)和公式的應(yīng)用,也有例題、練習(xí)和作業(yè)支撐。第一位教師用了“燈塔”一例,既應(yīng)用了等比數(shù)列前[n]項(xiàng)和公式,又是對中華文化的一次展示,可以培養(yǎng)學(xué)生的文化自信,非常不錯(cuò)。但是第一位教師沒有深層次展示等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前[n]項(xiàng)和公式的關(guān)系,第二位教師在這方面就做得很好。數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)。第二位教師通過多種轉(zhuǎn)化推導(dǎo)出等比數(shù)列前[n]項(xiàng)和公式,很好地突破了本節(jié)的難點(diǎn),增加了思維量,對學(xué)生理性思維的培養(yǎng)有極大的幫助。相比較而言,第一位教師在數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)方面稍顯不足。

        三、教學(xué)反思

        《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》中指出,情境創(chuàng)設(shè)和問題設(shè)計(jì)要有利于發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng);數(shù)學(xué)文化應(yīng)融入數(shù)學(xué)教學(xué)活動;既要重視教,又要重視學(xué),促進(jìn)學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí);重視信息技術(shù)的運(yùn)用,實(shí)現(xiàn)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合。《四川省普通高中數(shù)學(xué)學(xué)科課堂教學(xué)基本要求》明確要求融入思想方法。要做到這些,教師要深入領(lǐng)悟課程標(biāo)準(zhǔn),積極積累數(shù)學(xué)素材,采眾家之長為己所用。

        認(rèn)真?zhèn)湔n是確保課堂教學(xué)成功的首要環(huán)節(jié)。備課要思考:預(yù)習(xí)什么內(nèi)容?預(yù)習(xí)時(shí)做哪些題目?要達(dá)到什么預(yù)習(xí)效果?如何確定教學(xué)目標(biāo)?采用什么樣的學(xué)法和教法?如何有效實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)?引入情境如何有效提出問題?如何體現(xiàn)數(shù)學(xué)來源于實(shí)際生活?如何包含數(shù)學(xué)文化?如何體現(xiàn)數(shù)學(xué)的核心價(jià)值?要開展什么教學(xué)活動,這些活動如何體現(xiàn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)?要培養(yǎng)哪些核心素養(yǎng),如何落實(shí)這些核心素養(yǎng)?如何組織語言精練表達(dá)?教學(xué)內(nèi)容的選擇怎樣符合學(xué)生實(shí)際?如何實(shí)現(xiàn)知識應(yīng)用?如何體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法?采用什么方式檢查學(xué)習(xí)效果?如何優(yōu)化作業(yè)設(shè)計(jì)?如何進(jìn)行學(xué)困生輔導(dǎo)?怎樣實(shí)施課堂評價(jià)與課后評價(jià)?

        總之,在育人方式改革的浪潮中,我們還在路上。

        [? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?]

        [1]? 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)[M].北京:人民教育出版社,2020.

        (責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān))

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