康中君

[摘 要]同課異構(gòu)是比較好的一種教研形式，反思同課異構(gòu)活動，能提高教師的教學(xué)、科研能力。

[關(guān)鍵詞]同課異構(gòu);等比數(shù)列;前[n]項和

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2022）05-0008-03

一、課例呈現(xiàn)

第一位教師的教學(xué)簡況：

1.復(fù)習(xí)回顧

（1）等比數(shù)列的定義;

（2）等比數(shù)列的通項公式。

2.情境引入

引入有關(guān)古印度舍罕王與宰相西薩·班·達(dá)依爾的國際象棋故事。

引導(dǎo)學(xué)生分析問題，發(fā)現(xiàn)問題：

由于棋盤每一格的麥粒數(shù)都是前一格的2倍，共有64格，則每一格所放的麥粒數(shù)依次為[1， 2， ] [22， …， 263]，[S64=1+2+22+…+263] 。這個算式的結(jié)果是多少呢？

3.知識講解

探究等比數(shù)列的前[n]項和公式。

4.典例精講

[例1]（1）求下列等比數(shù)列的前8項和。

① [12，14，18，…];? ?② [a1=27]，[a9=1243]，[q<0]。

（2）欣賞詩詞，解答問題。

遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，

共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？

（3）求[1+a+a2+…+an]（[a≠0]）。

5.小結(jié)

等比數(shù)列的前[n]項和公式。

方法：錯位相減法。

第一步，等式兩邊同乘公比。

第二步，錯位、作差。

第三步，化簡得結(jié)論。

6.作業(yè)布置

已知[Sn]是等比數(shù)列[an]的前[n]項和，[S4=5S2]，求[a3a8a25]的值。

第二位教師的教學(xué)簡況：

1.新課引入

（文字?jǐn)⑹鐾瑯拥膰H象棋故事）

問題1：國王能實現(xiàn)他的諾言嗎？

追問：上述問題本質(zhì)上是屬于數(shù)列中的什么問題？（數(shù)列求和，等比數(shù)列的前[n]項和）

2.概念形成

問題2：在解決等差數(shù)列的前[n]項和問題時，通過什么方法來實現(xiàn)運算方式的轉(zhuǎn)化？最后運算簡化到什么程度？

問題3：求等比數(shù)列的前[n]項和時，你希望通過運算方式的轉(zhuǎn)化后把運算簡化到什么程度呢？

簡化到只要給出首項 [a1]，末項[an] 或者公比[q]，以及項數(shù)[n]，即可求和。

問題4：求等比數(shù)列的前[n]項和時，你能否找到一種方法來轉(zhuǎn)化運算方式，從而簡化運算？

追問1：等式右邊求和運算困難的原因是什么？（省略號的存在，項太多）

追問2：等式右邊的項太多，怎樣才能使其變少？（轉(zhuǎn)化運算方式，消項）

追問3：觀察等式右邊，任意相鄰兩項之間有什么關(guān)系？（前一項乘以[q]得后一項）

追問4：只要找到相同的項作差就能消項，怎樣才能找到相同的項？

3.概念深化

問題5：在消項的過程中，等式兩邊必須乘以公比[q]嗎？（可同乘以[1q]）

問題6：等比數(shù)列前[n]項和[Sn]與前[n-1]項和[Sn-1]有什么關(guān)系？

[Sn=a1+qSn-1=a1+q（Sn-an）]。

[a2a1=a3a1=…=anan-1q]，[a2+a3+…+ana1+a2+…+an-1=Sn-a1Sn-an=q]。

等比數(shù)列的前[n]項和公式：

[Sn=na1 （q=1），a1（1-qn）1-q=a1-an q1-q （q≠1）。]

[Sn=a1（1-qn）1-q （q≠1）]

[Sn=a1-an q1-q（q≠1）]

問題7：你能通過等比數(shù)列的前[n]項和公式求出國王應(yīng)該賞賜的麥粒數(shù)嗎？

注意：

（1）[q=1]與[q≠1]兩種情況;

（2）公式[Sn=a1（1-qn）1-q=a1-qan1-q]有4個量;

（3）[n]是項數(shù)而非指數(shù)。

4.應(yīng)用探索

[例1]同第一位教師應(yīng)用的例1。

[例2]某商場今年銷售計算機(jī)5000臺。如果平均每年的銷售量比上一年的銷售量增加10%，那么從今年起，大約幾年可使總銷售量達(dá)到30 000臺？（結(jié)果保留到個位）

[例3]如圖1，為了估計函數(shù)[y=9-x2]在第一象限的圖像與[x]軸，[y]軸圍成的區(qū)域的面積[X]，把[x]軸上的區(qū)域[0， 3]分成[n]等分，從各分點作[y]軸的平行線與函數(shù)圖像相交，再從各交點向左作[x]軸的平行線，構(gòu)成（[n-1]） 個矩形，下面的程序用來計算這（[n-1]）個矩形的面積的和[S]。

（1）程序中的AN， SUM分別表示什么？為什么？

（AN表示第k個矩形的面積;SUM表示前k個矩形的面積的和。）

（2）請根據(jù)程序分別計算當(dāng)[n= 6， 11， 16]時，各個矩形的面積的和。

5.小結(jié)

問題8：這節(jié)課主要學(xué)習(xí)了什么內(nèi)容？

（1）“錯位相減法”在簡化運算時的操作方法;

（2）用“錯位相減法”推導(dǎo)出等比數(shù)列的前[n]項和公式;

（3）等比數(shù)列的前[n]項和公式的兩種形式;

（4）計算機(jī)循環(huán)結(jié)構(gòu)可用于數(shù)列描述，也可用于數(shù)列求和;

（5）數(shù)學(xué)方程思想，無限逼近的思想。

二、課例對比

（一）課堂結(jié)構(gòu)相同

兩位教師都是采用“情境引入課題、推導(dǎo)公式、應(yīng)用知識、課堂小結(jié)、布置作業(yè)”這樣的教學(xué)流程。作為常規(guī)課例展示，這樣的安排沒有特別出彩，中規(guī)中矩。學(xué)生能在情境中抽象出數(shù)學(xué)概念，積累從具體到抽象的活動經(jīng)驗。情境引入后的問題分析，可以認(rèn)為是發(fā)現(xiàn)問題，[S64=1+2+22+…+263]這個算式的結(jié)果是多少？是提出問題，推導(dǎo)結(jié)果的過程是分析問題，得到求和公式再回歸問題本身是解決問題。這里展示了“四能”要求，對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一種示范。用故事引入，可能是很多教師的首選。但是，從“能運用等差數(shù)列 、等比數(shù)列解決簡單的實際問題和數(shù)學(xué)問題，感受數(shù)學(xué)模型的現(xiàn)實意義與應(yīng)用”來看，也可以選擇如儲蓄方面的例子。

（二）內(nèi)容大同小異

兩位教師在教材內(nèi)容選擇上基本相同，只是對例題的使用思考不同。第一位教師只選擇了例1，第二位教師選擇了例1，一句話帶過例2，重點探究例3。新課標(biāo)要求“領(lǐng)會教材的編寫意圖及編寫特點，體悟教材的呈現(xiàn)方式、教學(xué)價值及評價功能，在此基礎(chǔ)上，根據(jù)不同的內(nèi)容、學(xué)習(xí)任務(wù)和課型，結(jié)合自身特點和學(xué)生學(xué)習(xí)行為及現(xiàn)狀的差異性，對教材進(jìn)行有必要的重構(gòu)”。結(jié)合學(xué)生實際，本節(jié)課在推導(dǎo)公式之后，注重求和公式的應(yīng)用，結(jié)合等比數(shù)列通項公式，扎實進(jìn)行基本量的計算才是重點要做的工作。例3對數(shù)列求和有體現(xiàn)，但并非等比數(shù)列求和;例3的呈現(xiàn)包含了程序，這是學(xué)生沒有接觸過的內(nèi)容，因此對例3的使用要有變化;例3展示了求曲邊三角形面積的一種思想——極限思想，高一學(xué)生理解有難度，需要教師想辦法展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識、方法和思想與實踐應(yīng)用的緊密聯(lián)系。根據(jù)新課標(biāo)“在教學(xué)中要充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)來源于實際、應(yīng)用于實際，突出數(shù)學(xué)的綜合性和應(yīng)用性”。如果不用例3，而用例2會更好。

（三）措施基本相同

兩位教師都使用課件，都有學(xué)生動手、師生互動。在公式的推導(dǎo)過程中，第一位教師使用了視頻，學(xué)生通過觀看視頻進(jìn)行學(xué)習(xí)，有新奇性。為了直觀展示例3中[n]的變化發(fā)現(xiàn)面積特點，第二位教師用了一個圖形程序。新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)，課堂要充分有效地運用圖表、模型等教具、學(xué)具，增加直觀性，根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)需要適度使用現(xiàn)代教育技術(shù)，提高課堂教學(xué)效率。在學(xué)法方面，引導(dǎo)學(xué)生主動思考、積極提問和實踐探究，促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識，兩位教師都做得很好，都詳細(xì)講解了例1的第②小題。筆者認(rèn)為還是要求學(xué)生自己完成或合作完成比較好。

（四）教學(xué)過程有差別

兩位教師的課堂結(jié)構(gòu)、教學(xué)內(nèi)容選擇基本相同，教學(xué)過程有差別，主要反映在課堂推進(jìn)方面，這里只對比公式的推導(dǎo)。第一位教師基本是教材的原裝呈現(xiàn)，在樹立“用教材教而不是教教材”觀念方面做得不夠。第二位教師通過問題2到問題6以及4個追問使得概念的生成、公式的推導(dǎo)非常精彩。這樣顯然有利于促進(jìn)學(xué)生善于觀察、大膽猜想、嚴(yán)密思考，形成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，有利于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

要提升學(xué)生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，教師就要在教材的基礎(chǔ)上，挖掘素材內(nèi)涵，從多角度、多層次進(jìn)行觀察、思考，無論是解決問題的多種方法展示，還是展示解決問題的思維方式，都要精心設(shè)計。設(shè)問、追問也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法、思維方式和思維習(xí)慣的好方式，第二位教師在這些方面做得比較好。

（五）目標(biāo)達(dá)成有異

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》對“等比數(shù)列”做了如下描述：

（1）通過生活實例，理解等比數(shù)列的概念和通項公式的意義。

（2）探索并掌握等比數(shù)列前[n]項和公式，理解等比數(shù)列的通項公式與前[n]項和公式的關(guān)系。

（3）能在具體的問題情境中發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，并解決問題。

（4）體會等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系。

從“探索并掌握等比數(shù)列前[n]項和公式”來看，兩位教師都探索了公式的推導(dǎo)，學(xué)生掌握等比數(shù)列前[n]項和公式的應(yīng)用，也有例題、練習(xí)和作業(yè)支撐。第一位教師用了“燈塔”一例，既應(yīng)用了等比數(shù)列前[n]項和公式，又是對中華文化的一次展示，可以培養(yǎng)學(xué)生的文化自信，非常不錯。但是第一位教師沒有深層次展示等比數(shù)列的通項公式與前[n]項和公式的關(guān)系，第二位教師在這方面就做得很好。數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)。第二位教師通過多種轉(zhuǎn)化推導(dǎo)出等比數(shù)列前[n]項和公式，很好地突破了本節(jié)的難點，增加了思維量，對學(xué)生理性思維的培養(yǎng)有極大的幫助。相比較而言，第一位教師在數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)方面稍顯不足。

三、教學(xué)反思

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》中指出，情境創(chuàng)設(shè)和問題設(shè)計要有利于發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng);數(shù)學(xué)文化應(yīng)融入數(shù)學(xué)教學(xué)活動;既要重視教，又要重視學(xué)，促進(jìn)學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí);重視信息技術(shù)的運用，實現(xiàn)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合?！端拇ㄊ∑胀ǜ咧袛?shù)學(xué)學(xué)科課堂教學(xué)基本要求》明確要求融入思想方法。要做到這些，教師要深入領(lǐng)悟課程標(biāo)準(zhǔn)，積極積累數(shù)學(xué)素材，采眾家之長為己所用。

認(rèn)真?zhèn)湔n是確保課堂教學(xué)成功的首要環(huán)節(jié)。備課要思考：預(yù)習(xí)什么內(nèi)容？預(yù)習(xí)時做哪些題目？要達(dá)到什么預(yù)習(xí)效果？如何確定教學(xué)目標(biāo)？采用什么樣的學(xué)法和教法？如何有效實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)？引入情境如何有效提出問題？如何體現(xiàn)數(shù)學(xué)來源于實際生活？如何包含數(shù)學(xué)文化？如何體現(xiàn)數(shù)學(xué)的核心價值？要開展什么教學(xué)活動，這些活動如何體現(xiàn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)？要培養(yǎng)哪些核心素養(yǎng)，如何落實這些核心素養(yǎng)？如何組織語言精練表達(dá)？教學(xué)內(nèi)容的選擇怎樣符合學(xué)生實際？如何實現(xiàn)知識應(yīng)用？如何體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法？采用什么方式檢查學(xué)習(xí)效果？如何優(yōu)化作業(yè)設(shè)計？如何進(jìn)行學(xué)困生輔導(dǎo)？怎樣實施課堂評價與課后評價？

總之，在育人方式改革的浪潮中，我們還在路上。

[? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?]

[1]? 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.

（責(zé)任編輯 黃桂堅）