陳杰

【摘要】如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考和數(shù)學(xué)思維能力，是應(yīng)試教育向素質(zhì)教育的一個(gè)重要轉(zhuǎn)變。本文圍繞中考備考，結(jié)合典型例題，側(cè)重以數(shù)形結(jié)合思想、分類思想、轉(zhuǎn)化思想等三種數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題為例，闡述對(duì)數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行歸納總結(jié)的重要性。

【關(guān)鍵詞】中考備考;數(shù)學(xué)思想方法;歸納總結(jié)

有一種現(xiàn)象，不少的教師可能都深有感觸——學(xué)生聽(tīng)教師講解時(shí)是一聽(tīng)就懂，但自己獨(dú)立解決問(wèn)題時(shí)卻是一做就錯(cuò)。很多學(xué)生以為是練習(xí)不夠的緣故，于是不斷反復(fù)循環(huán)練習(xí)，付出大量的時(shí)間和精力進(jìn)行題海戰(zhàn)，但收效甚微?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在對(duì)初中階段的教學(xué)建議中要求，“對(duì)于重要的數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)體現(xiàn)螺旋上升的、不斷深化的過(guò)程，不宜集中體現(xiàn)”。這就要求教師在實(shí)際的教學(xué)過(guò)程中不斷發(fā)現(xiàn)、總結(jié)、歸納、滲透數(shù)學(xué)思想方法。新課程理念告訴我們：“數(shù)學(xué)教學(xué)不僅是簡(jiǎn)單的知識(shí)傳授，更重要的是學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)，使學(xué)生數(shù)學(xué)式地思考?！睌?shù)學(xué)思想方法如轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類思想、函數(shù)思想、方程思想等是數(shù)學(xué)學(xué)科的靈魂和精髓，是把知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，是解題規(guī)律的歸納總結(jié)，是達(dá)到觸類旁通、擺脫題海的有效之路，是促進(jìn)問(wèn)題解決的“利器”。因此，在教學(xué)活動(dòng)中，教師需要注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)思維方法的歸納和總結(jié)，切實(shí)提升學(xué)生的思維能力。如此才能使學(xué)生真正脫離“題海戰(zhàn)”的惡性循環(huán)，提高學(xué)習(xí)效率。下面，筆者結(jié)合中考備考，對(duì)中考數(shù)學(xué)中重點(diǎn)考察的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行歸納和總結(jié)，目的在于拋磚引玉，為師生的數(shù)學(xué)中考備考帶來(lái)一些啟發(fā)和思考，使中考備考更有針對(duì)性。

一、數(shù)形結(jié)合思想

1.中考熱點(diǎn)分析

數(shù)形結(jié)合思想是根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題中的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其數(shù)量關(guān)系，又揭示其幾何意義，使數(shù)量關(guān)系和幾何圖形巧妙結(jié)合起來(lái)，并充分利用這種結(jié)合，探求解決問(wèn)題的思路，使問(wèn)題得以解決的思想方法，其實(shí)質(zhì)是數(shù)與形之間的相互轉(zhuǎn)化。

例1（2021年·廣州）：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的點(diǎn)A在函數(shù)（x>0）的圖象上，點(diǎn)C在函數(shù)（x<0）的圖像上，若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（ ）。

2.思路分析

從代數(shù)的角度分析，點(diǎn)A在圖像上，可設(shè)A，欲求點(diǎn)A坐標(biāo)，需要結(jié)合題目的其它條件，設(shè)法用含m的代數(shù)式表示點(diǎn)C的坐標(biāo)。本題的難點(diǎn)在于用含m的式子表示點(diǎn)C的坐標(biāo)，這就需要探究點(diǎn)A、C間的相互聯(lián)系。

從幾何的角度分析，利用反比例系數(shù)K的幾何意義，S△COE=×|-4|=2，S△AOD=

×1=，又可證△COE∽△OAD，故∴，，由A得C;至此，尚不能求解出m。這時(shí)，需要設(shè)法結(jié)合其它條件進(jìn)一步找出A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)的聯(lián)系，建立等量關(guān)系，求解m;結(jié)合矩形OABC，AB=CO，故EO=xA-xB，即，解得或-4;因m>0，故，即A。

解題過(guò)程如下：

解：如圖，作AD⊥x軸于D，CE⊥x軸于E，

∵四邊形OABC是矩形，

∴∠AOC=90°，

∴∠AOD+∠COE=90°，

∵∠AOD+∠OAD=90°，

∴∠COE=∠OAD，

∵∠CEO=∠ODA，

∴△COE∽△OAD，

∴.

∵S△COE=×|-4|=2，S△AOD=×1=，

∴，

∴OE=2AD，CE=2OD，

設(shè)A（m>0），

∴C，

∴OE=0-（﹣）=，

∵點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為﹣，

∴m-（﹣）=，

整理得2m2+7m-4=0，

∴m1=，m2=-4（舍去），

經(jīng)檢驗(yàn)，m=是方程的解，

∴A（，2），

故選A.

3.歸納總結(jié)

本題重點(diǎn)考查數(shù)形結(jié)合思想，既要分析圖形的幾何特征：反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義和矩形的性質(zhì)，又要從代數(shù)角度分析反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征及點(diǎn)與點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，通過(guò)建立等量關(guān)系，解方程求出點(diǎn)A坐標(biāo)，其中表示出點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵。代數(shù)和幾何有機(jī)結(jié)合，相互配合，綜合性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的綜合能力有較高要求。

二、分類思想

1.中考熱點(diǎn)分析

分類思想指的是如果一個(gè)命題的題設(shè)或結(jié)論具有不確定性，有多種可能情況，難以統(tǒng)一解答，就需要根據(jù)可能出現(xiàn)的情況分類加以討論，最后綜合歸納出問(wèn)題的答案。分類討論思想是中考的熱點(diǎn)，試題綜合性較強(qiáng)，能全面考察學(xué)生的思維能力、邏輯分析能力和探索問(wèn)題能力。

例2：已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=（x-a）2+3-a2，當(dāng)1≤x≤3時(shí)，函數(shù)有最小值2a，則a的值為_(kāi)________。

2.思路分析

函數(shù)對(duì)稱軸為直線x=a，若x取值范圍是全體實(shí)數(shù)，此時(shí)當(dāng)x=a時(shí)，ymin=3-a2;當(dāng)xa時(shí)，y隨x增大而增大;本題中x的取值范圍1≤x≤3，由于對(duì)稱軸x=a位置的不確定性，導(dǎo)致當(dāng)1≤x≤3時(shí)函數(shù)y的增減性及最小值也有不確定性，因此需要就對(duì)稱軸x=a的位置進(jìn)行分類討論：當(dāng)對(duì)稱軸x=a≤1時(shí)（如圖1），y隨x增大而增大，此時(shí)當(dāng)x=1時(shí)y有最小值;當(dāng)對(duì)稱軸1≤x=a≤3時(shí)（如圖2），此時(shí)當(dāng)x=a時(shí)，y有最小值;當(dāng)對(duì)稱軸x=a≥3時(shí)（如圖3），y隨x的增大而減小，此時(shí)當(dāng)x=3時(shí)，y有最小值。

解：分類討論

（1）當(dāng)對(duì)稱軸x=a≤1時(shí)（如圖1），y隨x增大而增大，此時(shí)當(dāng)x=1時(shí)ymin=（1-a）2+3-a2=2a，解得a=1滿足a≤1，符合題意;

（2）當(dāng)對(duì)稱軸1≤x=a≤3時(shí)（如圖2），此時(shí)當(dāng)x=a時(shí)ymin=3-a2=2a，解得a=1或-3，其中a=1滿足1≤a≤3，故此時(shí)a=1;

（3）當(dāng)對(duì)稱軸x=a≥3時(shí)（如圖3），y隨x的增大而減小，此時(shí)當(dāng)x=3時(shí)，ymin=（3-a）2+3-a2=2a，解得a=，與a≥3矛盾，舍去;綜上所述，a=1。

3.歸納總結(jié)

本題重點(diǎn)考察函數(shù)的增減性;二次函數(shù)對(duì)稱軸兩側(cè)的增減性不同，由于對(duì)稱軸x=a位置的不確定性，對(duì)于1≤x≤3，y取最小值的x也有不確定性，有三種可能：x=1，或x=3，或x=a，所以需要分類討論。

三、轉(zhuǎn)化思想

1.中考熱點(diǎn)分析

轉(zhuǎn)化思想是指在解決問(wèn)題的過(guò)程中，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，化“未知”為“已知”，化“陌生”為“熟悉”，化“復(fù)雜”為“簡(jiǎn)單”，其核心是將有待解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已解決的問(wèn)題，以便利用已有的結(jié)論解決問(wèn)題。如，解方程時(shí)將“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”、“高次”轉(zhuǎn)化為“低次”、“分式方程”轉(zhuǎn)化為“整式方程”;將“多邊形”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“三角形”等均是轉(zhuǎn)化思想的集中體現(xiàn)。

例3：如圖，已知拋物線y=-x2+2x+3與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于B、C兩點(diǎn)，連接AC。

（1）求直線AC的解析式;

（2）點(diǎn)P為直線AC上方拋物線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AC于點(diǎn)D，當(dāng)線段PD最長(zhǎng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。

2.思路分析

（1）分別令x=0，y=0，求得A（0，3）、B（-1，0）、C（3，0）;由待定系數(shù)法可得直線AC解析式y(tǒng)=-x+3;

（2）P在拋物線上，可設(shè)點(diǎn)P（P，-P2+2P+3）;欲求線段PD最值，須設(shè)法用含p的代數(shù)式表示PD，此時(shí)突破難度較大?？煽紤]轉(zhuǎn)化思想，化難為易，把求PD最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為其它易求問(wèn)題。

思路1：轉(zhuǎn)化為面積問(wèn)題（如圖4）

把PD看成△ACP的高，由于線段AC為定值，，PD最大S△ACP面積最大。因此，求PD最大值可轉(zhuǎn)化為求S△ACP最大值。利用割補(bǔ)法把△ACP割成△ACE、△PCE兩個(gè)易求三角形的面積，求出S△ACP的表達(dá)式，再求最值。

思路2：轉(zhuǎn)化為交點(diǎn)問(wèn)題（如圖5）

過(guò)點(diǎn)P作直線PE∥AC，由于平行線間距離處處相等，因此PD最大直線PE與拋物線僅有一個(gè)交點(diǎn)P;把求點(diǎn)P坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為求直線PE與拋物線的交點(diǎn)問(wèn)題處理。

思路3：轉(zhuǎn)化為其它線段的最值（如圖6）

設(shè)點(diǎn)P（P，-P2+2P+3），直接用含P的代數(shù)式表示PD困難較大，設(shè)法轉(zhuǎn)化成與PD有聯(lián)系的易求線段（平行x軸或y軸的線段）處理。

過(guò)點(diǎn)P作直線PF∥x軸交直線AC于點(diǎn)F，易證△AOC∽△PDF，故，其中OA=3，AC=為定值，關(guān)鍵是表示出PF。由于PF∥x軸，P（P，-P2+2P+3），可設(shè)F（x，-P2+2P+3），又點(diǎn)F在直線AC：y=-x+3上，故F（P2-2P，-P2+2P+3），PF=xP-xF=P-（P2-2P）=-P2+3P，，最后求含p的二次函數(shù)最值。

解題過(guò)程如下：

解：點(diǎn)P在拋物線y=-x2+2x+3上，可設(shè)點(diǎn)P（P，-P2+2P+3）.

解法1：轉(zhuǎn)化為面積問(wèn)題（如圖4）

過(guò)點(diǎn)P作直線PE∥y軸交直線AC于點(diǎn)E，則E（P-P+3），故PE=yP-yE=-P2+2P+3-（-P+3）=-P2+3P，因此S△ACP=S△APE+S△CPE=PE（xC-xA）=（-p2+3P）=-P2+P，故當(dāng)p=時(shí)，S△ACP最大值=，此時(shí).

解法2：轉(zhuǎn)化為交點(diǎn)問(wèn)題（如圖5）

解：過(guò)點(diǎn)P作直線PE∥AC，因?yàn)槠叫芯€間距離處處相等，故當(dāng)直線PE與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)P時(shí)，PD有最大值;因?yàn)镻E∥AC，且yAC=-x+3，故可設(shè)直線PE的解析式為yPE=-x+m，聯(lián)立方程組，故-x+m=-x2+2x+3，整理得x2-3x+m-3=0，因?yàn)橹本€與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，故△=（-3）2-4（m-3）=0，解得m=，此時(shí)x1=x2=，故.

解法3：轉(zhuǎn)化為其它線段求最值（如圖6）

解：過(guò)點(diǎn)P（P，-P2+2P+3），作直線PF∥x軸交直線AC于點(diǎn)F，因?yàn)椤螾FD=∠ACO，∠PDF=∠AOC，故△AOC∽

△PDF，故;易得OA=3，AC=，由于PF∥x軸，P（P，

-P2+2P+3），可設(shè)F（x，-P2+2p+3），又點(diǎn)F在直線AC：y=-x+3上，故F（P2-2P，-P2+

2P+3），PF=xP-xF=P-（P2-2P）=-P2+3P，，故當(dāng)p=時(shí)，PD有最大值，此時(shí).

3.歸納總結(jié)

本題重點(diǎn)考察學(xué)生利用轉(zhuǎn)化思想靈活解決問(wèn)題的應(yīng)變能力，全面考察了學(xué)生的邏輯分析能力，既要會(huì)利用點(diǎn)與點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為線段長(zhǎng)，也要會(huì)化難為易：把不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積或把難求線段轉(zhuǎn)化為易求線段或把求線段問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)圖像交點(diǎn)，方法手段靈活多樣。

中考試題十分注重對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考察，特別是突出考察數(shù)學(xué)能力的綜合性問(wèn)題，其解決策略都蘊(yùn)含著重要的數(shù)學(xué)思想方法，往往需要多種方法深度融合，你中有我、我中有你，對(duì)學(xué)生的綜合能力有很高的要求。因此，在解題過(guò)程中，我們需要善于對(duì)題目背后的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行消化、歸納和總結(jié)，做到舉一反三、觸類旁通，不斷提升解決問(wèn)題的能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]王林全.現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育研究概論[M].廣東高等教育出版社，2005.

[2]數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研制組.全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀[M].北京師范大學(xué)出版社，2003.

[3]韓曉榮.幾種重要的數(shù)學(xué)思想方法[OL].https：//wenku.so.com/d/86b9cff0aa19c3f7360644963cf36bd5.

責(zé)任編輯? 楊? 杰