黎斌

[摘 要]模型思想是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一。作為一種基本的數(shù)學(xué)思想方法，模型思想可廣泛應(yīng)用于多種現(xiàn)實情境，解決許多實際數(shù)學(xué)問題，具有很高的價值。 模型思想的構(gòu)建是一個循序漸進的過程，在教學(xué)中要從學(xué)生的實際出發(fā)，結(jié)合學(xué)生的年齡特點逐步滲透，讓學(xué)生從生活情境中抽象出數(shù)學(xué)模型，在建模、用模過程中感受模型思想的作用與價值。

[關(guān)鍵詞]模型思想;小學(xué)數(shù)學(xué);建模

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2022）05-0096-03

模型思想是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一。課程標準指出，模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等來表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義。培養(yǎng)模型思想，就是要讓學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系，探尋數(shù)學(xué)問題中的變化規(guī)律。學(xué)生的學(xué)習(xí)是從簡單到復(fù)雜、從具體到抽象的，學(xué)生在此過程中逐步積累經(jīng)驗，養(yǎng)成運用模型思想去思考的習(xí)慣。模型思想作為一種基本的數(shù)學(xué)思想方法，可廣泛應(yīng)用于多種現(xiàn)實情境，解決許多實際的數(shù)學(xué)問題。數(shù)學(xué)模型在小學(xué)數(shù)學(xué)中隨處可見，公式、數(shù)量關(guān)系式、方程、不等式等都是重要的數(shù)學(xué)模型，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的過程，實際上就是理解、把握和運用數(shù)學(xué)模型的過程。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要結(jié)合學(xué)生學(xué)習(xí)特點及認知規(guī)律，有意識地培養(yǎng)學(xué)生的模型思想，促進學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展。

一、結(jié)合年齡特點，讓學(xué)生初步形成建模意識

模型思想需要教師在教學(xué)中向?qū)W生逐步滲透。學(xué)生的學(xué)習(xí)過程是一個從簡單到復(fù)雜、從具體到抽象的過程，教學(xué)中，教師要從學(xué)生的實際出發(fā)，結(jié)合學(xué)生的年齡特點和不同學(xué)段的要求逐步滲透。

1.第一學(xué)段：聯(lián)系生活實際，抽象基本的數(shù)和圖形，初步滲透模型思想

第一學(xué)段的學(xué)生，思維以具體形象思維為主，并向初步的抽象邏輯思維發(fā)展，對概念、數(shù)量關(guān)系的學(xué)習(xí)需要借助具體實例和直觀特征。教師要從學(xué)生熟悉的生活情境中出發(fā)， 引導(dǎo)學(xué)生在情境中觀察、發(fā)現(xiàn)、提出問題，并在問題情境中解決問題，即從具體的生活情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，并用數(shù)學(xué)符號表示其中的簡單現(xiàn)象。

如一年級教學(xué)“3+2=5”時使用的情境中有小松鼠，教師讓學(xué)生用圓片或小棒等實物代替小松鼠，將這個問題擺一擺、說一說。學(xué)生能夠說出“左邊有3只小松鼠，右邊有2只小松鼠，一共有5只小松鼠”和“左邊擺3個圓片（或3根小棒），右邊擺2個圓片（或2根小棒），合起來可以用‘3+2=5’來表示”。之后，教師再進一步讓學(xué)生說一說2、3、5分別表示什么。最后，教師讓學(xué)生說說在生活中“3+2=5”還可以表示什么。有的學(xué)生說“草地上原來有3只小鳥，又飛來2只，一共有5只小鳥”，還有的說“我有3支藍色的筆，2支紅色的筆，一共有5支筆”……這樣的教學(xué)設(shè)計是根據(jù)低年級學(xué)生的特點，從具體、形象的實例開始，再借助操作將知識內(nèi)化和強化，最后通過發(fā)散思維和聯(lián)系思維加以擴展和推廣，賦予“3+2=5”更多的模型意義，初步滲透了模型思想。

2.第二學(xué)段：結(jié)合具體問題，抽象為更一般的模式，發(fā)展模型思想

第二學(xué)段，隨著年齡的增長，學(xué)生的思維水平和理解能力有了很大的提高，學(xué)生的思維由形象思維向抽象思維過渡。在這個學(xué)段，教師可以通過一些具體的問題引導(dǎo)學(xué)生觀察分析、對比總結(jié)。

如教學(xué)人教版五年級上冊“用字母表示數(shù)”時，教師可以創(chuàng)設(shè)魔術(shù)情境，讓學(xué)生置身在具體的情境中解決問題。

師：向盒子中放進1顆星星，能變出來5顆星星;向盒子中放進3顆星星，能變出來7顆星星;向盒子中放進10顆星星，能變出來14顆星星。向盒子中放進25顆星星，能變出來幾顆星星？

[學(xué)生回答：25+4=29（顆）]

師：放進任意顆星星時，有什么辦法可以表示放進和變出的星星數(shù)量？

生：我們經(jīng)過思考、討論、交流，找到了如下關(guān)系。

放進？顆? ? ? ? ? 變出？顆

m? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n

d? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?c

x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?x+4

……? ? ? ? ? ? ? ? ? ……

教師引導(dǎo)學(xué)生觀察和辨析數(shù)量關(guān)系的正確性，再抽象出放進與變出的星星數(shù)量之間的關(guān)系式“x+4”。這個式子不僅能表示放進、變出的星星數(shù)量，而且能清楚看出變出的星星數(shù)量與放進的星星數(shù)量的關(guān)系。

高年級學(xué)生通過觀察分析，不僅能在腦中形成圖形公式，還會用字母表示運算定律和數(shù)量關(guān)系，比如乘法交換率、乘法分配率等，還有單價、數(shù)量、總價之間的關(guān)系。教師要有意識地引導(dǎo)學(xué)生運用、活用這些模型解決問題。如問題“一列復(fù)興號動車行駛速度為a千米/時，那么它0.5小時行駛的路程為（? ? ）千米，行駛1200千米用時為（? ? ）小時”。教師可以引導(dǎo)學(xué)生理解題中字母所表示的量，再用含有字母的式子表示數(shù)量關(guān)系或一個量，然后利用路程、時間、速度三者之間的數(shù)量關(guān)系模型，寫出表示題目中要求的路程和時間的關(guān)系式。讓學(xué)生經(jīng)歷運用數(shù)學(xué)知識分析數(shù)量關(guān)系和運用數(shù)學(xué)模型解決問題的過程就是模型思想發(fā)展的過程，可以很好地促進學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。

二、結(jié)合實際教學(xué)，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過程

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個再創(chuàng)造、再發(fā)現(xiàn)的過程，教學(xué)中，教師要為學(xué)生提供自主探索和合作交流的時間與空間，讓學(xué)生經(jīng)歷“觀察—分析與處理—抽象—檢驗與修改”的過程，從結(jié)構(gòu)化的現(xiàn)實情境中推導(dǎo)出數(shù)學(xué)模型，在解決實際數(shù)學(xué)問題中完成對數(shù)學(xué)模型的解釋與應(yīng)用。

在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，認識概念、掌握運算、探尋規(guī)律等，都是學(xué)生主動獲取知識、建立數(shù)學(xué)模型的過程。教師應(yīng)讓學(xué)生從具體問題出發(fā)，經(jīng)歷抽象、分析、比較、歸納、驗證等建模過程（如下圖）。

[抽象][分析][驗證][歸納][比較][具體情境][數(shù)學(xué)問題][數(shù)量關(guān)系][方案][優(yōu)化（合理性）][列表（多樣性）]

具體方法以人教版教材四年級“租船問題”的教學(xué)為例。

1.結(jié)合實際情境，選擇合適的建模點

租船問題：“一共有32人，每條小船租金為24元，每條大船租金為30元，大船限乘6人，小船限乘4人。怎樣租船最省錢？”教師引導(dǎo)學(xué)生找出問題中的數(shù)學(xué)信息，抓住“怎樣租船最省錢”這個關(guān)鍵問題分析數(shù)量關(guān)系，羅列出各種可能的方案，為建模打下基礎(chǔ)。

2.充分經(jīng)歷從“境”到“?！钡某橄筮^程

數(shù)學(xué)建模可以讓學(xué)生聯(lián)系數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界，用數(shù)學(xué)的眼光去看問題。讓學(xué)生充分經(jīng)歷從“境”到“?！钡某橄筮^程，這是模型思想的關(guān)鍵和重點。在租船問題中，學(xué)生羅列出幾種租船的方案后，分析比較各方案，圍繞關(guān)鍵問題“怎樣租船最省錢”，在調(diào)整、比較、推測中找到解決租船問題的一般方法：①先計算哪種船的人均租金更便宜;②假設(shè)所有人都乘坐人均租金更便宜的船，如果正好坐滿，無空座，那么這種租法最省錢;③如果沒坐滿，就調(diào)整方案，盡可能使得人均租金便宜，同時盡量做到讓船坐滿。學(xué)生通過計算、交流、對比、調(diào)整，得出最省錢的方案。學(xué)生從具體情境中，理解并掌握怎樣租船最省錢，體會實現(xiàn)最優(yōu)化的方法就是一次從“境”到“模”的建模過程。

3.在實踐中驗證模型

建立模型只是一種解決問題的手段，更重要的是驗證這個模型是否有科學(xué)性、邏輯性，能否解決實際問題，能否形成新的理論、做出新的預(yù)測。因此，在驗證環(huán)節(jié)，教師既要引導(dǎo)學(xué)生利用列舉、排除、檢驗等方法，運用數(shù)學(xué)模型去實踐和解決實際問題，也要對解決的問題做出科學(xué)合理的闡述和解釋。例如建立了租船問題的解題模型后，可以通過兩次人數(shù)調(diào)整去驗證模型，第一次把總?cè)藬?shù)從32人調(diào)整為43人，第二次可以讓學(xué)生自己假設(shè)人數(shù)，看能否應(yīng)用之前的方法去解決問題、解釋關(guān)系。

三、結(jié)合問題解決，發(fā)展學(xué)生模型思想

數(shù)學(xué)是極為抽象的學(xué)科，學(xué)習(xí)中需要學(xué)生的理解與創(chuàng)造，而構(gòu)建模型是在掌握數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)上對知識進行應(yīng)用與創(chuàng)造。要想讓學(xué)生掌握模型思想，就要讓學(xué)生運用所建立的數(shù)學(xué)模型解決實際生活中的問題，使他們感受到模型的實際作用。

1.在解決問題中運用模型思想，讓學(xué)生體會建模的實用性

當學(xué)生具備了一定的模型意識，并且掌握了建模的方法后，教師要讓學(xué)生從模型走向生活，運用數(shù)學(xué)模型來解決生活中的問題，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用價值，體驗到所學(xué)知識的用處，這樣能促進學(xué)生對知識的深刻理解，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)實踐的能力和靈活運用知識的能力，實現(xiàn)知行合一。

在解決問題的過程中運用模型思想，一方面體現(xiàn)在基本題、變式題、拓展題中。如教學(xué)“圓的面積計算”，在學(xué)生經(jīng)歷了猜測（如猜測圓可以轉(zhuǎn)換成學(xué)過的什么圖形）、探究（如動手操作、交流、討論）、總結(jié)（如概括出圓的面積計算公式）、練習(xí)（如運用公式解決基本問題）后，教師可以設(shè)計拓展題：把一只羊拴在一塊長8米、寬6米的長方形草地上，拴羊的繩子長2米，那么這只羊能吃到多大面積的草？要使羊吃到的草的面積最小，應(yīng)該將羊拴到這塊長方形草地的什么位置？這個問題能調(diào)動學(xué)生的多種感官，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、思考、猜測、估計、操作等具體的學(xué)習(xí)活動，在解決實際問題過程中搜集大量的信息，并從中剔除無用信息留下有用信息，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，最后運用數(shù)學(xué)模型解決問題。

另一方面體現(xiàn)在生活中的實踐作業(yè)，學(xué)生在實際生活中應(yīng)用數(shù)學(xué)，了解數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系。如教學(xué)“比例的知識”時，教師可以設(shè)計實踐活動：在不把旗桿放倒的情況下測量旗桿的長度。這一活動的設(shè)計與學(xué)生的生活相結(jié)合，能讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系，促使學(xué)生結(jié)合學(xué)習(xí)的內(nèi)容自主尋找解決問題的方法，經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型的過程，在求出結(jié)果后回到現(xiàn)實情境中檢驗結(jié)果的合理性。

2.在問題解決中鞏固模型思想，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維

問題解決是學(xué)生應(yīng)該具備的基本能力，它包含從數(shù)學(xué)的角度去發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題。從某種程度上來講，問題解決就是數(shù)學(xué)建模的教學(xué)，讓學(xué)生在無意識的狀態(tài)下經(jīng)歷建模的過程，經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進行解釋應(yīng)用的過程。如俞正強老師執(zhí)教的“植樹問題”一課中，俞老師先引導(dǎo)學(xué)生理解了點和段的關(guān)系及植樹要植在點上，再用問題“植樹人把樹種在點上，我們生活中還有什么事也是做在點上”引導(dǎo)學(xué)生，學(xué)生立馬就能從生活中找出例子，如在桌子上每隔一段距離放一個水杯，馬路邊每隔一段距離有一盞路燈，這種有價值的問題既能拓展學(xué)生的思維，又能發(fā)展學(xué)生的模型思想。隨后俞老師還補充了“高速公路上每隔十幾千米設(shè)一個服務(wù)區(qū)是不是植樹問題”“某班級每年選一次班長是不是植樹問題”等問題，讓學(xué)生的認知層層推進，思維得到發(fā)展。接著俞老師提出“在一條100米的小路一邊種樹，每隔5米種一棵，一共要種多少棵樹”這個問題，讓學(xué)生在開放的情境中理解生活中的實際問題，建立兩端都種、只種一端、兩端都不種等模型，再說出生活中的實例，讓學(xué)生進一步理解這個模型與平均分有關(guān)。學(xué)生在推進式的問題解決過程中探尋出數(shù)學(xué)問題的變化規(guī)律，發(fā)展模型思想。

總之，模型思想的滲透是多方位的。模型思想的感悟應(yīng)該蘊含在概念、命題、公式、法則的教學(xué)之中，并且要與數(shù)感、符號意識、空間觀念等數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)相結(jié)合。在具體的教學(xué)實踐中，教師要多措并舉，逐步培養(yǎng)學(xué)生的模型思想，讓學(xué)生形成良好的思維習(xí)慣和運用數(shù)學(xué)的能力，使模型思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中得到更為廣泛的應(yīng)用。

（責編 楊偲培）