倪 黎，茹 凱，顏寶平

“數(shù)學(xué)建?！焙诵乃仞B(yǎng)試題分析與命題探索

倪 黎，茹 凱，顏寶平

（銅仁學(xué)院 大數(shù)據(jù)學(xué)院，貴州 銅仁 554300）

高考數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)測(cè)評(píng)研究中“數(shù)學(xué)建?！彼仞B(yǎng)考查相對(duì)薄弱．用案例分析法對(duì)2016—2021年高考數(shù)學(xué)試卷中考查“數(shù)學(xué)建模”核心素養(yǎng)的試題從分值特征、題型特征、背景特征、模型特征、素養(yǎng)特征、階段特征6個(gè)角度進(jìn)行系統(tǒng)分析，從縱向（難度層次性）和橫向（素養(yǎng)綜合性）兩個(gè)方向探索命題的多樣性．研究表明：高考命題時(shí)應(yīng)注意“題型靈活性與階段差異性結(jié)合，改變難度層次性；背景豐富性與模型廣泛性結(jié)合，實(shí)現(xiàn)素養(yǎng)綜合性”．

數(shù)學(xué)建模；核心素養(yǎng)；試題分析；命題；案例分析法

1 問(wèn)題提出

普通高中培養(yǎng)目標(biāo)指明，要進(jìn)一步提升學(xué)生綜合素質(zhì)，著力發(fā)展核心素養(yǎng)[1]，但不同角度的高考數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)測(cè)評(píng)研究均反映出一個(gè)共性：各核心素養(yǎng)以及具體表現(xiàn)的考查分布不均衡，其中對(duì)“數(shù)學(xué)建?！焙诵乃仞B(yǎng)的考查較少，甚至沒(méi)有考[2-6]．由此產(chǎn)生了一個(gè)亟待解決的問(wèn)題：“加強(qiáng)命題技術(shù)研究，全面考察學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)．”[3]這一現(xiàn)象在最新的2020年高考測(cè)評(píng)中依然存在，“加強(qiáng)命題技術(shù)研究，全面落實(shí)學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)的考查”[6]再次被提出來(lái)．

數(shù)學(xué)建模在中學(xué)階段的重要性日益突出，但專(zhuān)門(mén)針對(duì)“數(shù)學(xué)建?！焙诵乃仞B(yǎng)試題的研究較少，更多的是綜合研究六大核心素養(yǎng)時(shí)涉及數(shù)學(xué)建模[2-7]，或是其它視角下的分析與數(shù)學(xué)建模有關(guān)[8-11]．特別地，文[12]從分布特征、背景特征、模型特征3個(gè)方面，研究了2013—2017年全國(guó)卷中體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模思想的試題；文[13]剖析了2019年高考數(shù)學(xué)中考查數(shù)學(xué)建模的7類(lèi)模型．

受以上論文啟發(fā)，并注意到已有研究很少以數(shù)學(xué)建模為主線(xiàn)進(jìn)行跨年度跨試卷的多角度比較，而高考數(shù)學(xué)真題凝結(jié)了命題人的智慧可反復(fù)挖掘，同時(shí)又存在“數(shù)學(xué)建?！焙诵乃仞B(yǎng)考查薄弱現(xiàn)象，很有必要繼續(xù)探索其命題多樣性．

2 研究思路

2.1 樣本選取

每年更新的高考試題能靈敏地反映國(guó)家意志帶來(lái)的變化，這使得高考處于教育改革的前線(xiàn)．2014年9月，國(guó)務(wù)院頒布了《關(guān)于深化考試招生制度改革的實(shí)施意見(jiàn)》，這是恢復(fù)高考以來(lái)最系統(tǒng)、最全面、最深刻的高考改革，為此教育部考試中心2016年探索構(gòu)建高考評(píng)價(jià)體系，從頂層設(shè)計(jì)回答“為什么考、考什么、怎么考”的考試本源性問(wèn)題[14]．此外，中國(guó)學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)研究成果于2016年9月正式發(fā)布，隨后“數(shù)學(xué)建?！背霈F(xiàn)在教育部2018年1月制定的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中，成為數(shù)學(xué)學(xué)科的六大核心素養(yǎng)之一．

考慮到上述時(shí)代背景深刻影響著近幾年高考，每年的高考真題也是除教材外的重要學(xué)習(xí)資源，故選取2016—2021年31個(gè)?。ㄗ灾螀^(qū)、直轄市）高考數(shù)學(xué)84套試卷，研究其中考查“數(shù)學(xué)建?！焙诵乃仞B(yǎng)的202道試題，涉及81套試卷．由于數(shù)學(xué)建模是對(duì)實(shí)現(xiàn)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問(wèn)題的素養(yǎng)[1]，因此，試題是否來(lái)源于現(xiàn)實(shí)問(wèn)題是入選樣本的關(guān)鍵依據(jù)．

2.2 研究方法

針對(duì)試題樣本，采用定量分析與定性分析法，結(jié)合案例分析法，從分值特征、題型特征、背景特征、模型特征、素養(yǎng)特征、階段特征6個(gè)角度進(jìn)行試題分析，觀(guān)察現(xiàn)有高考真題特點(diǎn)，了解命題現(xiàn)狀，在真題中學(xué)習(xí)并探索命題多樣性．

為表述簡(jiǎn)便，除特別注明外，后文研究的試題均指近6年高考數(shù)學(xué)真題．

3 試題分析

3.1 分值特征

“數(shù)學(xué)建模”核心素養(yǎng)試題在試卷中所占比重可以反映高考對(duì)數(shù)學(xué)建模的重視情況（見(jiàn)表1），2016—2017年平均比重為12.8%，2018—2021年平均比重為12.9%，且2016年未考查數(shù)學(xué)建模的試卷，此后加強(qiáng)了考查．說(shuō)明高考試題一直重視對(duì)數(shù)學(xué)建模思想的考查，2017版新課標(biāo)頒布后重視度穩(wěn)步提高．據(jù)此推測(cè)，在“五育并舉”和“加強(qiáng)應(yīng)用型、創(chuàng)新型人才培養(yǎng)”的呼吁下，“數(shù)學(xué)建?！焙诵乃仞B(yǎng)試題的比重還會(huì)加大．

表1 “數(shù)學(xué)建模”核心素養(yǎng)試題分值特征

近6年，38套全國(guó)卷全部考查了“數(shù)學(xué)建?！焙诵乃仞B(yǎng)，分值平均比重15.3%，46套地方卷中有43套考查了“數(shù)學(xué)建?！焙诵乃仞B(yǎng)，分值平均比重10.7%，說(shuō)明全國(guó)卷比地方卷重視程度更高．其中2020年新高考Ⅰ、Ⅱ卷考查題量最多且分值最高，比重均為24.7%，是考查“數(shù)學(xué)建?！焙诵乃仞B(yǎng)的典型試卷．

3.2 題型特征

高考數(shù)學(xué)試卷的題型可以分為小題和大題兩大類(lèi)，小題包含填空題、單項(xiàng)選擇題、多項(xiàng)選擇題等，大題是指解答題．分析每套試卷的題型特征，可以從宏觀(guān)上了解現(xiàn)有命題特點(diǎn)．

經(jīng)統(tǒng)計(jì)（見(jiàn)表2），發(fā)現(xiàn)“數(shù)學(xué)建?！焙诵乃仞B(yǎng)試題涵蓋了高考數(shù)學(xué)的所有題型，試卷中大題搭配小題模式有63套（77.8%），是主流命題形式，“1大5小”首次出現(xiàn)在2020年新高考全國(guó)Ⅰ、Ⅱ卷中．2020年新高考全國(guó)Ⅱ卷第9題首次以多項(xiàng)選擇題考查“數(shù)學(xué)建?！焙诵乃仞B(yǎng)，2020年北京卷填空題第15題可以看作是不定項(xiàng)選擇題的雛形．另外，2021年1月的八省聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷中已經(jīng)出現(xiàn)了“2大2小”，說(shuō)明“多大多小”題型特征可以實(shí)踐．

表2 “數(shù)學(xué)建模”核心素養(yǎng)試題題型特征

3.3 背景特征

數(shù)學(xué)試題與不同背景結(jié)合形成不同的實(shí)際問(wèn)題，近6年高考數(shù)學(xué)考查“數(shù)學(xué)建?！焙诵乃仞B(yǎng)的202道試題，涉及生活生產(chǎn)、音樂(lè)建筑、天文地理、歷史文化、生態(tài)環(huán)境、生物實(shí)驗(yàn)、交通運(yùn)輸、醫(yī)療衛(wèi)生等背景，顯示了數(shù)學(xué)廣泛的應(yīng)用性．表3從學(xué)生校園生活角度統(tǒng)計(jì)，將問(wèn)題背景屬于校園生活的視為“內(nèi)”，校園外的視為“外”；又從時(shí)間層面統(tǒng)計(jì)，將當(dāng)代視為“今”，當(dāng)代之前視為“古”．

表3 “數(shù)學(xué)建模”核心素養(yǎng)試題背景特征

校園是學(xué)生生活的主要場(chǎng)所，受到了特別關(guān)注（33.7%），能觸動(dòng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決身邊問(wèn)題的興趣和信心．校外世界更加豐富多彩（66.3%），無(wú)論是居民用水問(wèn)題，還是新藥療效比較，部分問(wèn)題來(lái)源于科學(xué)研究，具有學(xué)術(shù)價(jià)值．從時(shí)間上看，試題背景既兼顧了古籍、古跡等古文化中的數(shù)學(xué)元素與數(shù)學(xué)視角（7.4%），更突出了時(shí)代特點(diǎn)（92.6%）．如2016年的節(jié)約用水，2017年的共享單車(chē)，2018年的新農(nóng)村建設(shè)，2019年的嫦娥四號(hào)探月工程，2020年的新冠肺炎疫情，2021年的北京冬奧會(huì)志愿者培訓(xùn)，不勝枚舉．彰顯了高考評(píng)價(jià)體系的“立德樹(shù)人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)”核心立場(chǎng)，形成了問(wèn)題背景與數(shù)學(xué)知識(shí)合力育人效果，發(fā)揮了高考數(shù)學(xué)的育人價(jià)值．

考查“數(shù)學(xué)建模”核心素養(yǎng)的試題，由近及遠(yuǎn)、從古至今勾勒出一幅精彩世界的圖景，給學(xué)生提供了“未出校園、心懷天下”的窗口，也為師生從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題打開(kāi)了思路，具有教學(xué)價(jià)值．

3.4 模型特征

實(shí)際問(wèn)題與不同數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)合形成不同的數(shù)學(xué)模型，按照建立模型的主要數(shù)學(xué)方法（或所屬數(shù)學(xué)分支）[15]進(jìn)行分類(lèi)統(tǒng)計(jì)，得到表4．

表4 “數(shù)學(xué)建模”核心素養(yǎng)試題模型特征

概率統(tǒng)計(jì)模型是體現(xiàn)“數(shù)學(xué)建?！焙诵乃仞B(yǎng)的主力軍（62.9%），考查從未間斷，覆蓋全國(guó)卷和地方卷，涉及所有題型且解答題較多（60道）．全國(guó)卷與地方卷近6年都在考幾何模型（11.9%），其中江蘇卷（2016—2020年）貢獻(xiàn)最多，獨(dú)具特色，代表性強(qiáng)．剩下7類(lèi)模型的考查相對(duì)較少（25.2%），其中解答題只有5道，考查不穩(wěn)定，不夠重視．

考查“數(shù)學(xué)建模”核心素養(yǎng)的試題，為數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用提供了示范，學(xué)生可以由此見(jiàn)識(shí)同一模型在不同實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，以及不同模型在同一背景中的應(yīng)用，再次凸顯數(shù)學(xué)強(qiáng)大的應(yīng)用性．這些眼界與體悟猶如一粒粒種子，等待著在未來(lái)解決各行各業(yè)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中生根發(fā)芽、開(kāi)花結(jié)果，有利于激發(fā)學(xué)生解決廣闊世界中復(fù)雜問(wèn)題的內(nèi)生動(dòng)力和立志打牢數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的堅(jiān)定決心．

3.5 素養(yǎng)特征

數(shù)學(xué)學(xué)科的六大核心素養(yǎng)，是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀(guān)的綜合體現(xiàn)，它們之間既相對(duì)獨(dú)立、又相互交融，是一個(gè)有機(jī)的整體[1]．在近6年高考數(shù)學(xué)考查“數(shù)學(xué)建?！焙诵乃仞B(yǎng)的試題中，普遍存在同時(shí)考查其它核心素養(yǎng)的現(xiàn)象，統(tǒng)計(jì)結(jié)果可通過(guò)雷達(dá)圖直觀(guān)展示（見(jiàn)圖1），又從另一個(gè)角度，統(tǒng)計(jì)了每道試題中包含“數(shù)學(xué)建?！痹趦?nèi)的核心素養(yǎng)考查個(gè)數(shù)（見(jiàn)圖2）．

圖1 “數(shù)學(xué)建?！焙诵乃仞B(yǎng)試題素養(yǎng)分布

圖2 “數(shù)學(xué)建?！焙诵乃仞B(yǎng)試題素養(yǎng)考查

由圖1可知，近6年高考“數(shù)學(xué)建?！焙诵乃仞B(yǎng)試題遍及六大核心素養(yǎng)，體現(xiàn)了高考評(píng)價(jià)體系的“核心價(jià)值、學(xué)科素養(yǎng)”考查目標(biāo)．圖2表明，所有試題都考查了包含“數(shù)學(xué)建?！痹趦?nèi)的多個(gè)核心素養(yǎng)，說(shuō)明“數(shù)學(xué)建?！睂?duì)其它核心素養(yǎng)的依賴(lài)程度強(qiáng)，與已有研究結(jié)果一致[16]．

考查“數(shù)學(xué)建模”核心素養(yǎng)的試題，對(duì)六大核心素養(yǎng)的考查具有較強(qiáng)的綜合性，在考查“數(shù)學(xué)建?！焙诵乃仞B(yǎng)的同時(shí)，還能兼顧其它核心素養(yǎng)，反之則不然．值得加大考查力度，這正是緩解試卷中各核心素養(yǎng)考查不均衡狀況的有效途徑．

3.6 階段特征

不少研究已對(duì)數(shù)學(xué)建模階段進(jìn)行了很成熟的劃分[17]，受此啟發(fā)，注意到考查“數(shù)學(xué)建模”核心素養(yǎng)的試題有別于一般意義下的數(shù)學(xué)建模，為此，針對(duì)試題特點(diǎn)，用上游問(wèn)題、中游問(wèn)題和下游問(wèn)題來(lái)進(jìn)行區(qū)分比較，見(jiàn)表5．

表5 “數(shù)學(xué)建?！焙诵乃仞B(yǎng)試題建模階段劃分

這3個(gè)建模階段可簡(jiǎn)稱(chēng)為“上游”“中游”“下游”，與數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的基本過(guò)程[1]之間的關(guān)系見(jiàn)圖3．

圖3 數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的基本過(guò)程與建模階段

統(tǒng)計(jì)近6年高考“數(shù)學(xué)建?！焙诵乃仞B(yǎng)試題的建模階段（見(jiàn)圖4）發(fā)現(xiàn)：不同階段的試題比重不平衡，以中下游為主（97.0%），中游居多（80.7%），上游最少（3.0%）．中下游（196道）覆蓋了所有題型，分值高、背景廣；上游（6道）只涉及單項(xiàng)選擇題和填空題，除去2道文理科試卷同題，只有4道代表性試題．

圖4 “數(shù)學(xué)建模”核心素養(yǎng)試題建模階段

下游的特點(diǎn)是模型已經(jīng)建立，主要考查模型的應(yīng)用，易于學(xué)生入手．對(duì)于尚未學(xué)習(xí)的復(fù)雜模型，也可以讓學(xué)生應(yīng)用模型解釋或解決實(shí)際問(wèn)題．如某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)的Logistic模型（2020年全國(guó)Ⅲ卷文、理科第4題），該題還顯現(xiàn)了數(shù)學(xué)在疫情防控中活躍的身影；又如新、舊設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)比較問(wèn)題（2021年全國(guó)乙卷文、理科第17題）．

中游的主要任務(wù)是建立、求解、檢驗(yàn)?zāi)Ｐ停攸c(diǎn)考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，是數(shù)學(xué)建模的核心環(huán)節(jié)，需要不斷強(qiáng)化訓(xùn)練，因而考查比重最多．傳統(tǒng)應(yīng)用題主要處于中游，中游可以自然延伸到下游、追溯到上游．

上游源于“在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題”[1]，不過(guò)呈現(xiàn)在試題中的都是命題人發(fā)現(xiàn)并提出的問(wèn)題，重點(diǎn)考查分析問(wèn)題的建模準(zhǔn)備階段，靠近中游，目前的4道考題難度不大．但在問(wèn)題提出之前的混沌狀態(tài)，或許只是大千世界的平凡現(xiàn)象，如啤酒與尿布，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，已經(jīng)是在培養(yǎng)學(xué)生跨學(xué)科創(chuàng)新的高階思維了．由于上游不涉及模型求解，更復(fù)雜問(wèn)題的初始分析階段也能在此考查．因此，上游可考查的范圍最廣，也最難．

考查“數(shù)學(xué)建?！焙诵乃仞B(yǎng)的試題，展現(xiàn)了不同的建模階段．無(wú)論是往上游方向回溯、還是往下游方向推進(jìn)，都將面臨未知的困難與挑戰(zhàn)，需要注重知識(shí)儲(chǔ)備、經(jīng)驗(yàn)積累，更需要勇于探索的精神、攻堅(jiān)克難的毅力，還需要一定的洞察力、想象力[15]，能很好地磨礪學(xué)生意志、培養(yǎng)創(chuàng)新精神．

4 命題探索

2020年1月，教育部考試中心正式發(fā)布了《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》，告別了高考考試大綱，該評(píng)價(jià)體系由“一核”“四層”“四翼”組成，“四翼”回答了“怎么考”的問(wèn)題，給出了高考考查要求：基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性．另外，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量水平二是高考的要求，也是數(shù)學(xué)高考的命題依據(jù)[1]．

“數(shù)學(xué)建模”本身就是能夠承載基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性的有效載體，下面針對(duì)高考數(shù)學(xué)試卷中“數(shù)學(xué)建?！焙诵乃仞B(yǎng)考查薄弱現(xiàn)象，從縱向（難度層次性）和橫向（素養(yǎng)綜合性）兩個(gè)方向，探索命題多樣性．

4.1 題型靈活性與階段差異性相結(jié)合以改變難度層次性

探索縱向命題時(shí)，先不考慮橫向的變化．

4.1.1 題型靈活性

下面以一道高考真題為母題，進(jìn)行封閉式和開(kāi)放式子題改編．

案例1（2020年全國(guó)Ⅰ卷文、理科第5題）某校一個(gè)課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率和溫度（單位：℃）的關(guān)系，在20個(gè)不同的溫度條件下進(jìn)行種子的發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(x,y) (=1, 2,…, 20)得到下面的散點(diǎn)圖：

由此散點(diǎn)圖，在10℃～40℃之間，下面4個(gè)回歸方程類(lèi)型中最適宜作為發(fā)芽率和溫度的回歸方程類(lèi)型是（ ）

A．=+B．=+2

C．=+eD．=+ln

這是一道考查學(xué)生觀(guān)察散點(diǎn)圖、建立非線(xiàn)性回歸模型的問(wèn)題，以選擇題形式巧妙地“減少運(yùn)算量，增加思維量”[18]．該題事先設(shè)計(jì)好了標(biāo)準(zhǔn)答案，是一道常見(jiàn)的封閉式問(wèn)題．在學(xué)生明白這類(lèi)模型求解原理的前提下，相比于套公式進(jìn)行復(fù)雜的計(jì)算，能從中察覺(jué)出散點(diǎn)圖與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，發(fā)現(xiàn)隱藏在數(shù)據(jù)背后的規(guī)律并將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，更考驗(yàn)學(xué)生的思維過(guò)程與創(chuàng)新意識(shí)．通過(guò)題型的靈活變化能實(shí)現(xiàn)命題多樣性，下面給出變式子題．

變式1 改為單項(xiàng)選擇題．（封閉式）

為研究某作物種子的發(fā)芽率，下列哪項(xiàng)因素是最重要的？給出種子的價(jià)格、種子的重量、種子的直徑等次要因素，以此來(lái)考查數(shù)學(xué)建模中假設(shè)的合理性．

變式2 改為多項(xiàng)選擇題．（封閉式）

考慮到該題直接改為多項(xiàng)選擇效果不好，嘗試換個(gè)角度．比如，某校一個(gè)課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率，計(jì)劃在不同的溫度條件下做種子的發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，需搜集哪些數(shù)據(jù)進(jìn)行有效分析？可以給出實(shí)驗(yàn)次數(shù)、種子樣本量、實(shí)驗(yàn)日期、實(shí)驗(yàn)人數(shù)等干擾選項(xiàng)，考查學(xué)生能否在較多數(shù)據(jù)中抓住主要矛盾，選取合適的指標(biāo)變量．此時(shí)也可以直接改為不定項(xiàng)選擇題．

變式3 改為填空題．（封閉式）

將該題直接改為填空題，缺少了選項(xiàng)部分的提示，難度增大了．

為“逐漸減少選擇題、填空題數(shù)量”[1]，還可以改編為解答題．

變式4 改為解答題．（封閉式）

題干補(bǔ)充具體數(shù)據(jù)，要求學(xué)生建立并求解發(fā)芽率和溫度的回歸方程，也可以進(jìn)一步要求學(xué)生求出發(fā)芽率最高的溫度是多少．這種改編能更全面地考查建立與求解模型，但計(jì)算量較大．

除了封閉式問(wèn)題的改編，也可以“以開(kāi)放式問(wèn)題打破定勢(shì)思維”[9]．在相同觀(guān)點(diǎn)下，舉例開(kāi)放；在共同結(jié)論下，條件開(kāi)放；對(duì)同一問(wèn)題，研究方法開(kāi)放；對(duì)同一問(wèn)題，思維層次開(kāi)放[10]．從而“改變相對(duì)固化的試題形式，增強(qiáng)試題開(kāi)放性，減少死記硬背和‘機(jī)械刷題’現(xiàn)象”[19]．

變式5 改為解答題．（開(kāi)放式）

題干直接給出發(fā)芽率和溫度的多個(gè)回歸方程，至少包含對(duì)數(shù)回歸方程，用統(tǒng)計(jì)表（或統(tǒng)計(jì)圖）給出數(shù)據(jù)，甚至給出常用軟件（如Excel）的回歸分析結(jié)果，由學(xué)生來(lái)比較模型的優(yōu)劣，并給出理由，然后運(yùn)用模型．這種改編借鑒了2018年全國(guó)Ⅱ卷文、理科第18題的命題手法，能讓學(xué)生“多想一點(diǎn)，少算一點(diǎn)”．

以上改編仍屬于結(jié)構(gòu)良好問(wèn)題，條件不多不少．當(dāng)一個(gè)好的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題被發(fā)現(xiàn)并提出來(lái)以后，學(xué)生真正去建模解決問(wèn)題時(shí)，往往面臨數(shù)據(jù)缺失、難以繼續(xù)或數(shù)據(jù)過(guò)多無(wú)從下手的困境，這是建模中較難的一個(gè)環(huán)節(jié)，卻又是平常教學(xué)中很少涉及的．結(jié)構(gòu)良好問(wèn)題在日常學(xué)習(xí)與訓(xùn)練中不可或缺，但結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題更接近真實(shí)世界，能考查學(xué)生思維的系統(tǒng)性、靈活性、深刻性、創(chuàng)造性[20]．下面嘗試減少條件或增加已知，改編為結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題．

變式6 改為填空題．（開(kāi)放式）

某作物種子的發(fā)芽實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)整理如下，從中任選兩個(gè)條件補(bǔ)充到下面問(wèn)題中，若回歸方程存在，則寫(xiě)出表達(dá)式；若不存在，則說(shuō)明理由．

條件指標(biāo)數(shù)據(jù) ①發(fā)芽率y（略） ②溫度x1（略） ③水分x2（略） ④氧氣x3（略） ⑤光線(xiàn)x4（略）

問(wèn)題：寫(xiě)出研究種子發(fā)芽率效果最好的回歸方程．

該題重在考查學(xué)生能否選取合適的指標(biāo)變量，構(gòu)造理論回歸模型．發(fā)芽率為因變量，如果所選自變量的取值不變，則不能建立回歸模型．也可以給出4張圖：

① 發(fā)芽率與溫度1的散點(diǎn)圖（略），

② 發(fā)芽率與水分2的散點(diǎn)圖（略），

③ 發(fā)芽率與氧氣3的散點(diǎn)圖（略），

④發(fā)芽率與光線(xiàn)4的散點(diǎn)圖（略）．

讓學(xué)生任選一個(gè)條件，寫(xiě)出研究種子發(fā)芽率的回歸方程．散點(diǎn)圖中可能存在相關(guān)關(guān)系不明顯的情況，考查學(xué)生能否從散點(diǎn)圖中捕捉到合適的函數(shù)關(guān)系．該題借鑒了2020年新高考全國(guó)Ⅰ卷第17題的命題手法，屬于條件不足情況．

“數(shù)學(xué)建?！焙诵乃仞B(yǎng)水平二要求，“能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言，表述數(shù)學(xué)建模過(guò)程中的問(wèn)題以及解決問(wèn)題的過(guò)程和結(jié)果，形成研究報(bào)告，展示研究成果”[1]．但數(shù)學(xué)考試中考查研究報(bào)告難度大，考慮在附加題、選做題中嘗試．

變式7 改為解答題．（開(kāi)放式）

給出真實(shí)的包含某作物種子發(fā)芽率的學(xué)生實(shí)驗(yàn)報(bào)告，記錄了未加工的信息和數(shù)據(jù)，存在多余的信息和用不上的數(shù)據(jù)，屬于條件冗余的結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題．仿照語(yǔ)文“話(huà)題作文”模式，由學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、建立模型、求解模型、檢驗(yàn)結(jié)果、最終解決實(shí)際問(wèn)題，并按數(shù)學(xué)建模的基本過(guò)程寫(xiě)成結(jié)構(gòu)式論文，形成研究報(bào)告．

這樣能讓學(xué)生經(jīng)歷較完整的數(shù)學(xué)建模過(guò)程，即從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)、提出問(wèn)題，分析、解決問(wèn)題，還能綜合考查假設(shè)的合理性、建模的創(chuàng)造性、結(jié)果的正確性和表述的清晰性．但也帶來(lái)了新問(wèn)題，如學(xué)生答題時(shí)間增加、閱卷難度增大、是否適合納入封閉式考場(chǎng)考試、未考查到學(xué)生自主收集數(shù)據(jù)等．

題型的靈活改編，能通過(guò)考查角度的改變，從封閉式問(wèn)題過(guò)渡到開(kāi)放式問(wèn)題；也能通過(guò)題干條件的增減，從結(jié)構(gòu)良好問(wèn)題過(guò)渡到結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題．并且這種改編是可逆的，見(jiàn)圖5．

圖5 “數(shù)學(xué)建?！焙诵乃仞B(yǎng)縱向命題探索：題型靈活性

4.1.2 階段差異性

數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)是對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問(wèn)題的過(guò)程[1]．針對(duì)同一個(gè)問(wèn)題，往下游方向可推進(jìn)問(wèn)題的解決，往上游方向可回溯問(wèn)題的源頭．以案例1建立回歸模型的一般過(guò)程為例，通過(guò)移動(dòng)建模階段，能改編出新的試題，見(jiàn)圖6．

圖6 “數(shù)學(xué)建?！焙诵乃仞B(yǎng)縱向命題探索

案例1還未建立模型，重在通過(guò)觀(guān)察圖形趨勢(shì)來(lái)構(gòu)造理論模型，但無(wú)需求解模型，主要處于問(wèn)題分析階段，屬于上游．需要說(shuō)明的是，圖6用虛線(xiàn)劃分的界限并非涇渭分明．變式1、變式2、變式3、變式6、變式7仍處于上游，但由于在上游的具體位置存在差異，且考查的綜合程度不同，和案例1相比難度均發(fā)生了變化．

變式1重點(diǎn)考查學(xué)生能否忽略次要因素、找準(zhǔn)主要因素，而從給出合理的假設(shè)．變式1可以看作是案例1往上游方向回溯得到的子題，并且跳過(guò)了收集整理數(shù)據(jù)、設(shè)置指標(biāo)變量這兩個(gè)相鄰的建模環(huán)節(jié)，這種改編方法可以稱(chēng)為跳躍回溯．反之，案例1可以看作變式1往下游方向推進(jìn)得到，也跳過(guò)了相鄰的建模環(huán)節(jié)，這種改編方法可以稱(chēng)為跳躍推進(jìn)，見(jiàn)圖7．

圖7 回溯與推進(jìn)示意圖

變式2考查設(shè)置指標(biāo)變量環(huán)節(jié)，可由案例1跳躍回溯得到，同時(shí)也是變式1往下游方向自然順延的結(jié)果，于是變式2也可以由變式1改編得到，這種改編方法可以稱(chēng)為連續(xù)推進(jìn)，反之，變式2連續(xù)回溯可以改編成變式1，見(jiàn)圖7．變式3、變式6與案例1相比沒(méi)有改變建模階段；變式7將案例1跳躍回溯到了實(shí)際情境環(huán)節(jié)，解決過(guò)程跨越上中下游3個(gè)階段，更確切地說(shuō)，這是一道中上游問(wèn)題．

變式4還未建立模型，主要處于模型求解階段，屬于中游，可以看作是案例1的連續(xù)推進(jìn)．變式5已經(jīng)建立模型，主要處于模型應(yīng)用階段，屬于下游，可以看作是案例1的跳躍推進(jìn)．

處于任意階段的母題，都可以回溯或推進(jìn)到其它階段，形成子題，往上游回溯時(shí)，還能夠?qū)?yīng)用題回譯成數(shù)學(xué)建模問(wèn)題[21]．建模階段的微調(diào)與題型的靈活變化，可以有效調(diào)節(jié)試題難度．

4.2 背景豐富性與模型廣泛性相結(jié)合以實(shí)現(xiàn)素養(yǎng)綜合性

探索橫向命題時(shí)，暫不討論縱向的變化．

4.2.1 背景豐富性

在命題中，選擇合適的問(wèn)題情境是考查數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要載體[1]．創(chuàng)設(shè)新情境能顯著增加背景豐富性．從學(xué)生的角度可以把問(wèn)題情境分為熟悉情境和陌生情境，改編試題時(shí)，可將母題遷移到關(guān)聯(lián)情境或其它情境．關(guān)聯(lián)情境與其它情境僅相對(duì)于母題而言，既有可能是熟悉情境，也有可能是陌生情境，見(jiàn)圖8．

圖8 “數(shù)學(xué)建?！焙诵乃仞B(yǎng)橫向命題探索

將案例1遷移到關(guān)聯(lián)情境，可以形成新的變式子題．

變式8 改為火龍果種子發(fā)芽率問(wèn)題．（關(guān)聯(lián)情境）

紅皮紅肉、紅皮白肉及黃皮白肉火龍果均具有較高的經(jīng)濟(jì)價(jià)值，某科研團(tuán)隊(duì)為研究這3種火龍果的萌芽差異進(jìn)行了發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，記錄了14天的發(fā)芽數(shù)據(jù)，并將種子發(fā)芽率和時(shí)間（單位：天）整理得到下圖[22]：

下面4個(gè)回歸方程類(lèi)型中最適宜作為紅皮紅肉火龍果種子發(fā)芽率和時(shí)間的回歸方程類(lèi)型是（ ）

A．=+B．=+2

C．=+eD．=+ln

變式9 改為火龍果幼苗種類(lèi)判別問(wèn)題．（關(guān)聯(lián)情境）

某科研團(tuán)隊(duì)在研究火龍果幼苗形態(tài)實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，紅皮紅肉、紅皮白肉及黃皮白肉3種火龍果幼苗移栽后第60天，幼苗鮮重（單位：mg）、幼苗長(zhǎng)度（單位：mm）、根總長(zhǎng)度（單位：mm）存在顯著差異[22]，其均值可構(gòu)成幼苗形態(tài)3維坐標(biāo)(1,1,1)、(2,2,2)、(3,3,3)（數(shù)據(jù)略）．現(xiàn)有一株同批次的火龍果幼苗不慎遺落了品種標(biāo)簽，測(cè)得其幼苗形態(tài)3維坐標(biāo)為(,,)（數(shù)據(jù)略），請(qǐng)你合理判斷此幼苗最有可能是這3種火龍果中的哪一種．

除了對(duì)熟悉情境遷移再利用，還可以將原問(wèn)題推廣到其它情境，“以陌生情境打造問(wèn)題空間”實(shí)現(xiàn)背景創(chuàng)新[9]．

變式10 改為最優(yōu)退休年齡問(wèn)題．（其它情境）

延遲退休政策對(duì)于維持我國(guó)現(xiàn)收現(xiàn)付制統(tǒng)籌賬戶(hù)的平衡有著重要的作用，有學(xué)者研究發(fā)現(xiàn)，最優(yōu)退休年齡與預(yù)期壽命、經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)速度、入職年齡正相關(guān)，且受預(yù)期壽命影響最大[23]．現(xiàn)忽略其它因素，根據(jù)下表數(shù)據(jù)[23]：

預(yù)期壽命73.6476.3478.0079.4380.00 最優(yōu)退休年齡59.6762.3363.9765.3865.94

僅考慮預(yù)期壽命與最優(yōu)退休年齡的關(guān)系，最適宜的回歸方程類(lèi)型為（ ）

A．=+B．=+2

C．=+eD．=+ln

變式11 改為公共圖書(shū)館超效率得分問(wèn)題．（其它情境）

有學(xué)者利用我國(guó)31個(gè)省份公共圖書(shū)館數(shù)據(jù)，分析公共圖書(shū)館投入產(chǎn)出效率．研究發(fā)現(xiàn)，地區(qū)人口規(guī)模1、地區(qū)經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平2、地區(qū)居民收入水平3、地區(qū)居民高等教育程度4對(duì)公共圖書(shū)館效率都有正向的作用，并建立了關(guān)于公共圖書(shū)館超效率得分的回歸模型[24]：

=0.0890+0.01471+0.04872+0.13203+0.01404．

已知A省與B省2020年的人口規(guī)模、經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平、居民收入水平和居民高等教育程度情況（數(shù)據(jù)略），試比較這兩個(gè)省份2020年的公共圖書(shū)館超效率得分．

向關(guān)聯(lián)情境遷移時(shí)，可以由校外向校內(nèi)遷移，如2019年北京卷理科第17題便對(duì)2018年全國(guó)Ⅲ卷理科第8題的情境進(jìn)行了遷移，從“某群體成員移動(dòng)支付使用情況”遷移到了“學(xué)生兩種移動(dòng)支付方式使用情況”；也可以由校內(nèi)向校外遷移，如變式8、變式9；還可以向?qū)α⒚孢w移，如垃圾分類(lèi)宣傳（2020年全國(guó)Ⅱ卷理科第14題），反過(guò)來(lái)從數(shù)據(jù)上說(shuō)明垃圾不分類(lèi)所造成的環(huán)境污染和資源浪費(fèi)情況，能獲得新問(wèn)題．向其它情境遷移時(shí)，可以對(duì)已有研究成果進(jìn)行改編，如變式10、變式11；也可以把社會(huì)時(shí)事作為命題素材，如延遲退休政策（變式10）、2020年第七次全國(guó)人口普查等．不同的背景能夠產(chǎn)生同一類(lèi)問(wèn)題，同一個(gè)背景可以產(chǎn)生不同的問(wèn)題，由此形成包羅萬(wàn)象的實(shí)際背景，可以開(kāi)闊學(xué)生視野．

4.2.2 模型廣泛性

數(shù)學(xué)具有高度的抽象性，因而解決問(wèn)題的關(guān)鍵，既不在于題型的多變，也不在于建模階段的不同，更不在于問(wèn)題背景的千差萬(wàn)別，而在于學(xué)生是否深刻掌握試題所考查的數(shù)學(xué)知識(shí)、透徹理解其中的思想方法，才能以不變應(yīng)萬(wàn)變，即“注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)、通性通法，淡化解題技巧”[1]，也即高考評(píng)價(jià)體系的“關(guān)鍵能力、必備知識(shí)”考查目標(biāo)．

變式8、變式10、變式11與案例1相比，雖然問(wèn)題背景各不相同，本質(zhì)上卻仍是在考查回歸模型．變式11中的多元線(xiàn)性回歸模型對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)較為陌生，但讀懂題意后，只需代值計(jì)算比較大小，可以看作是比較三元一次多項(xiàng)式的值．變式9與變式8改編自同一背景，但考查角度不同導(dǎo)致所用的數(shù)學(xué)方法也不同，變式9考查了空間幾何中兩點(diǎn)間的距離公式，以及應(yīng)用統(tǒng)計(jì)初步，可歸為幾何模型．

“數(shù)學(xué)建?！焙诵乃仞B(yǎng)水平二要求，“能夠選擇合適的數(shù)學(xué)模型表達(dá)所要解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題”[1]．?dāng)?shù)學(xué)方法的選取依托于對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題考查的目的，高考中涉及的數(shù)學(xué)模型主要是學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)能夠建立并求解的初等模型，但也出現(xiàn)過(guò)學(xué)生還無(wú)法建立的模型，如Logistic模型．高考數(shù)學(xué)中來(lái)自科研成果簡(jiǎn)化的試題，拓寬了數(shù)學(xué)模型的廣度，可以讓學(xué)生深刻地“接觸”到數(shù)學(xué)的應(yīng)用，見(jiàn)識(shí)研究人員是怎么用數(shù)學(xué)的，從而心生向往，學(xué)習(xí)科學(xué)家那樣“數(shù)學(xué)地思維”，這也是科研成果反哺教學(xué)一線(xiàn)的一種形式．因此，值得向?qū)W生大力引介經(jīng)典模型，尤其是學(xué)者在各領(lǐng)域科研中常用到的數(shù)學(xué)模型，以及在解決新問(wèn)題時(shí)改進(jìn)后的模型．對(duì)于其中簡(jiǎn)單的模型，可以全面考查建模與求解過(guò)程，如變式8、變式9、變式10；復(fù)雜的模型，可以在介紹完背景后直接給出模型，降低難度，從模型應(yīng)用或模型性質(zhì)分析等其它角度進(jìn)行考查，如變式11．

不同問(wèn)題背景與數(shù)學(xué)模型，自帶不同的核心素養(yǎng)．例如幾何問(wèn)題在考查“數(shù)學(xué)建模”核心素養(yǎng)的同時(shí)，往往也能考查“直觀(guān)想象”核心素養(yǎng)，而統(tǒng)計(jì)模型能自然兼顧“數(shù)據(jù)分析”核心素養(yǎng)．在同一道試題中，增加知識(shí)點(diǎn)，能同時(shí)加強(qiáng)知識(shí)和素養(yǎng)考查的綜合性．比如2021年新高考Ⅱ卷第21題，在概率統(tǒng)計(jì)模型中設(shè)計(jì)了方程最小正實(shí)根的判別．試題的綜合性越強(qiáng)，能考查到的核心素養(yǎng)也會(huì)越多．

綜上，橫向的變化擴(kuò)大了數(shù)學(xué)的應(yīng)用領(lǐng)域，縱向的變化讓數(shù)學(xué)的考查變得靈動(dòng)起來(lái)．命題時(shí)，從橫向上，可以先確定問(wèn)題背景及題目立意，再尋求恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法，也可以先確定數(shù)學(xué)模型，再選取合適的現(xiàn)實(shí)背景；從縱向上，可以根據(jù)考查目的先確定具體的建模階段，再考慮所設(shè)問(wèn)題與不同題型的適配度，并靈活調(diào)整．為實(shí)現(xiàn)“數(shù)學(xué)建?！焙诵乃仞B(yǎng)命題多樣性，從這兩個(gè)方向進(jìn)行改編，能由母題衍生出眾多子題．對(duì)于前文給定的一道母題——案例1，變式1至變式7是縱向衍生的子題，變式8、變式10是橫向衍生的子題，變式9、變式11是縱橫交錯(cuò)衍生的子題．

5 反思總結(jié)

前面分析了近6年高考真題，從“數(shù)學(xué)建?！焙诵乃仞B(yǎng)命題多樣性角度進(jìn)行了探索，分別從縱向和橫向給出了命題建議，以母題為原點(diǎn)，縱橫交錯(cuò)，寓生動(dòng)數(shù)學(xué)于精彩世界．更進(jìn)一步，可以參考學(xué)科核心素養(yǎng)評(píng)價(jià)框架[25]和改進(jìn)后的雙向細(xì)目表[26]，對(duì)每道題定位并注明標(biāo)簽，形成試題庫(kù)．組卷前，既需要從宏觀(guān)層面考慮各知識(shí)點(diǎn)、核心素養(yǎng)、題型等內(nèi)容的比例分配，整套試卷的難易程度，適合的題目序號(hào)；也需要從微觀(guān)層面打磨題目的科學(xué)性、精煉性、創(chuàng)新性、公平性．為提高數(shù)學(xué)命題質(zhì)量，還可以博采眾長(zhǎng)，從國(guó)外試題的命題技術(shù)[7，18]中汲取靈感，并采取科學(xué)的評(píng)價(jià)方法[27–44]．

“數(shù)學(xué)建?！焙诵乃仞B(yǎng)的獨(dú)特性，使一道好題目能夠有利于啟示學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀(guān)察世界，有利于啟迪學(xué)生用數(shù)學(xué)思維思考世界，有利于啟發(fā)學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界；同時(shí)還具有良好的教學(xué)價(jià)值、科研價(jià)值、育人價(jià)值．“教育意味著一棵樹(shù)搖動(dòng)另一棵樹(shù)，一朵云推動(dòng)另一朵云，一個(gè)靈魂喚醒另一個(gè)靈魂．”正是命題人先在數(shù)學(xué)世界里關(guān)注著現(xiàn)實(shí)應(yīng)用、在紛繁現(xiàn)象里洞察出數(shù)學(xué)本質(zhì)，并期許學(xué)生能通過(guò)數(shù)學(xué)看到精彩世界、透過(guò)現(xiàn)象感知生動(dòng)數(shù)學(xué)，在搖動(dòng)、推動(dòng)與喚醒中，呈現(xiàn)出了“培根鑄魂、啟智潤(rùn)心”的好題目．而這也是“數(shù)學(xué)建?！焙诵乃仞B(yǎng)試題承擔(dān)的使命．

數(shù)學(xué)教育作為一個(gè)跨學(xué)科領(lǐng)域，理應(yīng)以跨學(xué)科視角進(jìn)行研究，例如，從社會(huì)文化視角研究數(shù)學(xué)建模教學(xué)的社會(huì)性．社會(huì)性是教學(xué)的根本屬性[39]，數(shù)學(xué)建模教學(xué)是一種浸染在社會(huì)情境中的集體性活動(dòng)，數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)也是在社會(huì)活動(dòng)中完成的．過(guò)去一味強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)模型的構(gòu)造或許是數(shù)學(xué)建模教學(xué)難以深化的重要原因，相較于數(shù)學(xué)模型的構(gòu)造來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)建模最為關(guān)鍵的環(huán)節(jié)是將真實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題．從教學(xué)的社會(huì)性來(lái)看，詮釋學(xué)生數(shù)學(xué)建模的過(guò)程化表現(xiàn)是未來(lái)數(shù)學(xué)建模教學(xué)研究的應(yīng)然方向．從社會(huì)文化視角分析數(shù)學(xué)建模教學(xué)中，學(xué)生理解情境、提出假設(shè)、識(shí)別變量、建立模型、論證方案等環(huán)節(jié)的表現(xiàn)與問(wèn)題，探討數(shù)學(xué)建模中學(xué)生話(huà)語(yǔ)互動(dòng)呈現(xiàn)的特征以及這些特征是如何促進(jìn)學(xué)生完成數(shù)學(xué)建模任務(wù)的．同時(shí)，課程是教學(xué)社會(huì)性的內(nèi)隱表達(dá)，課程與教學(xué)的社會(huì)互動(dòng)關(guān)系決定著教師對(duì)課程的解讀和學(xué)生對(duì)課程的理解．例如，數(shù)學(xué)教科書(shū)中呈現(xiàn)的真實(shí)性問(wèn)題，需要經(jīng)過(guò)教師和學(xué)生的改造或意義添加后，才可以轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)建模問(wèn)題，這就需要從社會(huì)文化視角探討教師和學(xué)生使用教科書(shū)的過(guò)程，教師對(duì)課程內(nèi)容的選擇與加工為學(xué)生提供了很好的數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)．

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Test Analysis and Proposition Exploration of “Mathematical Modeling” Core Literacy

NI Li, RU Kai, YAN Bao-ping

(School of Data Science, Tongren University, Guizhou Tongren 554300, China)

The “mathematical modeling” literacy test is relatively weak in the evaluation of the core literacy of mathematics in the college entrance examination. Using the case analysis method, this paper systematically analyzes the test questions of the core literacy of “mathematical modeling” in the 2016––2021 college entrance examination mathematics papers from six perspectives: score characteristics, question type characteristics, background characteristics, model characteristics, literacy characteristics, and stage characteristics. Finally, this paper proposes that the diversity of propositions should be explored from vertical (level of difficulty) and horizontal (comprehensive literacy) directions. The results show that: in the proposition of the college entrance examination, attention should be paid to “the combination of the flexibility of the question types and the difference of the stages to change the level of difficulty; the combination of the richness of background and the extensiveness of the model to realize the comprehensiveness of literacy”.

mathematical modeling; core literacy; test analysis; proposition; case analysis

2021–11–19

2021年貴州省教育科學(xué)規(guī)劃課題——核心素養(yǎng)視閾下我國(guó)西部地區(qū)初中數(shù)學(xué)建模教學(xué)的理論邏輯和實(shí)踐路徑研究（2021B166）；貴州省區(qū)域一流建設(shè)培育學(xué)科——教育學(xué)（黔教科研發(fā)〔2017〕85號(hào)）；2016年貴州省本科教學(xué)工程項(xiàng)目——卓越數(shù)學(xué)教師培養(yǎng)計(jì)劃（2016SJZYRC001）

倪黎（1989—），女，貴州松桃人，副教授，碩士，主要從事數(shù)學(xué)教育研究．茹凱為本文通訊作者．

G632.4

A

1004–9894（2022）02–0069–08

倪黎，茹凱，顏寶平．“數(shù)學(xué)建?！焙诵乃仞B(yǎng)試題分析與命題探索[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2022，31（2）：69-76．

[責(zé)任編校：陳漢君、張楠]