韓金璇，楊澤恒，王彭德

中美高考數(shù)學(xué)試卷比較研究

韓金璇1，2，楊澤恒1，王彭德1

（1．大理大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，云南 大理 671003；2．南開中營小學(xué)，天津 300110）

SAT是美國應(yīng)用廣泛的大學(xué)入學(xué)考試，與中國高考類似，對高中教育有一定引領(lǐng)，分析比較兩者數(shù)學(xué)試題，對中國高中及大學(xué)數(shù)學(xué)教育改革有一定意義．基于全國高考大綱、綜合難度模型、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、PISA測試情境，對SAT Ⅰ、SAT Ⅱ、中國高考數(shù)學(xué)試題進(jìn)行比較，研究發(fā)現(xiàn)：SAT Ⅰ與SAT Ⅱ代數(shù)占比最高，中國幾何占比最高；SAT Ⅰ超六成考查初中知識，SAT Ⅱ部分知識超出中國高考大綱．綜合難度、推理能力等因素中國最難，SAT Ⅰ最易，SAT Ⅱ居中；SAT Ⅰ背景因素難度最大；中國與SAT Ⅰ含參數(shù)難度相近，均高于SAT Ⅱ．?dāng)?shù)學(xué)核心素養(yǎng)考查分布3卷總體一致，直觀想象權(quán)重中國最高．SAT Ⅰ包含PISA的4類情境，中國與SAT Ⅱ未覆蓋PISA所有情境類型．在因材施教、激發(fā)學(xué)生內(nèi)生動力等方面獲得啟示．

綜合難度模型；SAT數(shù)學(xué)；高考數(shù)學(xué)；比較研究

1 問題提出

大學(xué)入學(xué)考試是高中畢業(yè)生獲得大學(xué)入學(xué)資格的重要測試，對中學(xué)教育有重要的引領(lǐng)作用，對高等教育有重要意義．近年來，國際大學(xué)入學(xué)數(shù)學(xué)考試對比研究以試卷難度對比為研究熱點(diǎn)．謝曉川、方浩穎等[1]通過“背景、數(shù)學(xué)認(rèn)知、運(yùn)算、推理、知識含量”5個因素對中國2018年理科數(shù)學(xué)試卷和英國2018年A-level數(shù)學(xué)試卷的難度進(jìn)行比較．武小鵬、張怡[2]在以上5個因素的基礎(chǔ)上，增加了“思維方向、是否含參”兩個因素，對中韓兩國近3年高考數(shù)學(xué)試題進(jìn)行比較．李保臻、石燁[3]進(jìn)一步增加“梯度”因素，比較研究了中國大陸與臺灣地區(qū)高考數(shù)學(xué)試題難度．張玉環(huán)、周俠[4]利用文[2]中難度模型對中法高考數(shù)學(xué)試卷進(jìn)行比較．這些比較研究都基于鮑建生提出的綜合難度模型理論[5]，從因素、權(quán)重系數(shù)等方面改進(jìn)了模型．

SAT（Scholastic Assessment Test）是美國應(yīng)用廣泛的大學(xué)入學(xué)考試，與中國高考均為面向高中畢業(yè)生的選拔性考試．SAT數(shù)學(xué)分為SAT Ⅰ數(shù)學(xué)及SAT Ⅱ數(shù)學(xué)，SAT Ⅰ數(shù)學(xué)重視在真實(shí)情境中解決問題，關(guān)注學(xué)生與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系．SAT Ⅱ數(shù)學(xué)內(nèi)容更廣泛深入，涉及大學(xué)數(shù)學(xué)知識，更重視數(shù)學(xué)綜合能力考查．由于SAT Ⅰ數(shù)學(xué)更具基礎(chǔ)性，考生面更廣，現(xiàn)有研究主要針對SAT Ⅰ數(shù)學(xué)，常將SAT Ⅰ簡稱為SAT進(jìn)行比較研究．

石鳳雪[6]等對SAT的組織形式、招生模式及數(shù)學(xué)命題目進(jìn)行對比．馬瑋[7]、黎郭凱[8]、王奮平[9]、劉思莊[10]選擇SAT及中國高考數(shù)學(xué)不同試卷進(jìn)行了比較．已有研究定性描述較多，整體定量分析少，缺乏對整套試卷全面定量分析．SAT Ⅱ與中國高考數(shù)學(xué)試題的比較也很少．從內(nèi)容、難度、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和PISA問題情境4個視角，同時將SAT Ⅰ、SAT Ⅱ與中國高考數(shù)學(xué)卷進(jìn)行整體比較的研究還未見．從這4個視角定量對SAT Ⅰ、SAT Ⅱ與中國高考數(shù)學(xué)卷進(jìn)行整體比較研究，對中國高考改革及高中教學(xué)有一定借鑒意義．

2 研究對象

選取2018年中國高考理科數(shù)學(xué)全國卷Ⅲ（以下簡稱卷1）、2019年4月SAT Ⅰ數(shù)學(xué)卷（以下簡稱卷2）、2019年5月SAT Ⅱ數(shù)學(xué)卷（以下簡稱卷3）進(jìn)行比較分析．

3 研究過程及討論

3.1 試題內(nèi)容

將中國《2019普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱（理科數(shù)學(xué)）》[11]知識范圍視為高中范圍．由于SAT Ⅰ及SAT Ⅱ涉及初中知識和超出大綱知識，故將知識范圍劃分為初中、高中及超綱．將知識內(nèi)容劃分為3個領(lǐng)域：代數(shù)、幾何、概率與統(tǒng)計(jì)．

對于考查初中知識的題，以《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》[12]為主要依據(jù)標(biāo)注知識點(diǎn)．SAT常考比例，在初中范圍增加了比例．對于考查高中知識題目，以大綱為依據(jù)標(biāo)注知識點(diǎn)．對于超綱知識，分為數(shù)與式、函數(shù)、級數(shù)、行列式4類．例1、例2分別是較為典型初中及超綱試題．

例1 若7(2-5)-2(2-5)=4(+5)，則的值為？（2019年美國SAT Ⅰ數(shù)學(xué)試題第6題）

例2 無窮級數(shù)的通項(xiàng)可表示為

將3份試卷所有試題考查知識點(diǎn)進(jìn)行標(biāo)定，整理和統(tǒng)計(jì)，得到3份試卷知識點(diǎn)分布情況（見表1～3、圖1～2）．

表1 初中范圍知識點(diǎn)分布情況

表2 高中范圍知識點(diǎn)分布情況

表3 超綱范圍知識點(diǎn)分布情況

圖1 3份試卷知識范圍對比

圖2 3份試卷知識領(lǐng)域?qū)Ρ?/p>

由圖1、2可知，中國高考命題嚴(yán)格遵循大綱，沒有僅考查初中知識或超綱試題．SAT Ⅰ試題超六成考查普通人需要掌握的初中重要知識，無超綱內(nèi)容．充分體現(xiàn)SAT Ⅰ面向大眾考生，知識的基礎(chǔ)性占其主導(dǎo)地位，重視學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)意識和適應(yīng)未來大學(xué)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)的考查，不過多考慮試卷的區(qū)分度，這與美國選拔人才的多元化和大學(xué)的普及程度高有一定關(guān)系．SAT Ⅱ試題有11.59%知識點(diǎn)超出中國大綱，如級數(shù)、行列式等，為美國中學(xué)的大學(xué)先修課程內(nèi)容，考查目的是了解學(xué)生高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)達(dá)到的最高水平．?dāng)?shù)學(xué)SAT Ⅱ與SAT Ⅰ相比，更注重學(xué)生學(xué)科專業(yè)能力，名校和對數(shù)學(xué)能力要求高的專業(yè)在錄取學(xué)生時較看重SAT Ⅱ成績．美國中學(xué)開設(shè)了大學(xué)先修課程，學(xué)生由興趣及未來需要自愿選擇，內(nèi)容包括微積分等大學(xué)知識．中國《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（簡稱新課標(biāo)）[13]中選修課程與美國中學(xué)的大學(xué)先修課程定位基本一致，為大學(xué)自主招生提供參考．但由于高考不涉及，教師和學(xué)生并不重視選修課程，高三常專注于復(fù)習(xí)，學(xué)生精力大多浪費(fèi)在過多解題技巧上，忽視了廣泛豐富的新知識學(xué)習(xí)，對優(yōu)秀生的培養(yǎng)不利．

在知識領(lǐng)域分布上，SAT Ⅰ與SAT Ⅱ類似，其代數(shù)、幾何、概率與統(tǒng)計(jì)內(nèi)容權(quán)重依次遞減，代數(shù)占絕大部分內(nèi)容．這與美國中學(xué)數(shù)學(xué)教育弱化立體幾何知識有一定關(guān)系．中國高考更重視幾何的考查，幾何知識占比最高，代數(shù)及概率統(tǒng)計(jì)依次遞減．卷1共16道小題、7道大題，其中8道小題及4道大題考查幾何知識，涉及立體幾何和平面解析幾何，試題內(nèi)容更加多樣，更容易考出深度，實(shí)現(xiàn)選拔功能．

3.2 試題難度

3.2.1 數(shù)學(xué)高考試題綜合難度模型

3.2.2 各因素水平劃分

例3 某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為，各成員的支付方式相互獨(dú)立，設(shè)為該群體的10位成員中使用移動支付的人數(shù)，=2.4，(=4)<(=6)，則=（ ）．（2018年高考理科數(shù)學(xué)全國卷Ⅲ第8題）

A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3

分析：此題屬于生活背景，無參數(shù)，簡單符號運(yùn)算，簡單推理，大于等于3個知識點(diǎn)，順向思維，運(yùn)用水平試題．

A．7 B．8 C．9 D．無法確定

分析：此題屬于科學(xué)背景、無參數(shù)、簡單符號運(yùn)算、簡單推理、單個知識點(diǎn)、順向思維理解水平的試題．

對3份試卷所有題進(jìn)行因素水平劃分，統(tǒng)計(jì)各因素不同水平的考查情況，得到3份試卷各因素水平的比重．

表4 3份試卷水平劃分匯總表

3.2.3 各因素難度

（1）背景因素．

由圖3，卷1與卷3對背景因素考查相似，無背景題目占比最大，均占題目總數(shù)近八成，試題大多就數(shù)學(xué)知識本身展開，表征方式較抽象．卷2接近總數(shù)一半的題目基于生活背景，體現(xiàn)SAT Ⅰ試題背景較豐富，貼近生活．SAT Ⅰ面向大眾考生，更注重?cái)?shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本能力，而解決現(xiàn)實(shí)生活中基本數(shù)學(xué)問題能力是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本能力，較多SAT Ⅰ數(shù)學(xué)試題考查生活情景中解決問題的基本能力．SAT Ⅱ重視數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)高階能力和更深層次數(shù)學(xué)知識的考查，更深層次意味著更抽象，常與生活情景相脫離．中國高考注重選拔人才，出于高區(qū)分度要求，需要考出一定深度．應(yīng)將SAT Ⅰ、SAT Ⅱ兩個方面的特點(diǎn)有機(jī)結(jié)合，正確處理考試深度和難度與基礎(chǔ)和情境的關(guān)系．卷2和卷3科學(xué)背景水平占比均高于卷1，卷2最高，美國兩卷尤其是SAT Ⅰ，更傾向于數(shù)學(xué)圖形與圖象的問題表征方式或與其它學(xué)科的聯(lián)系，而中國高考試題對數(shù)學(xué)圖形圖象的考查偏弱，與其它學(xué)科聯(lián)系不足．?dāng)?shù)學(xué)圖形與圖象是數(shù)學(xué)的語言，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)，進(jìn)而解決問題至關(guān)重要，需要在教學(xué)和考試中引起重視．

圖3 背景因素不同水平變化折線對比

（2）是否含參．

由圖4，卷1與卷2是否含參具有一定程度的一致性，但卷3與前兩者差異較大，無參數(shù)水平占比約為前兩者的1.3倍，占比90%，與SAT Ⅱ相比，中國試題與SAT Ⅰ試題相對更加注重對含參的考查．

圖4 參數(shù)因素不同水平變化折線對比

（3）運(yùn)算水平．

由圖5，運(yùn)算水平在3份試卷中呈現(xiàn)出較大差異．卷1簡單數(shù)值計(jì)算和復(fù)雜數(shù)值計(jì)算水平試題合計(jì)約占試題總數(shù)的四分之一，簡單符號計(jì)算和復(fù)雜符號計(jì)算水平試題合計(jì)約占四分之三，符號計(jì)算使試題計(jì)算難度加大，體現(xiàn)中國試題重視學(xué)生的運(yùn)算能力，考查程度較深．卷2試題的運(yùn)算水平大多停留在簡單數(shù)值計(jì)算，簡單數(shù)值計(jì)算水平試題占比接近八成，約為其余兩卷的4倍．卷3關(guān)于4個水平的比例分布較均衡．中國高考和SAT Ⅰ都呈現(xiàn)復(fù)雜數(shù)值計(jì)算占比小，簡單符號計(jì)算占比最高．

圖5 運(yùn)算因素不同水平變化折線對比

（4）推理能力．

由圖6，簡單推理試題在3份試卷中占比均高于50%，大部分試題利用“通式通法”即可解決，復(fù)雜推理水平試題相對較少，體現(xiàn)試題基礎(chǔ)性是各類考試都需要考慮的方面．卷1推理兩個水平題目占比差距不大，總體較均衡，推理水平難度適中．卷2簡單推理水平占比超八成，復(fù)雜推理水平考查少．卷3兩個水平都居中．由此可見，SAT Ⅰ偏重考查簡單推理，屬于合情推理，與SAT Ⅰ考查目的相符．而中國高考相當(dāng)一部分試題更加側(cè)重于考查復(fù)雜推理，對學(xué)生的邏輯推理能力要求較高．SAT Ⅱ處于兩者之間．

圖6 推理因素不同水平變化折線對比

（5）知識含量．

由圖7，卷2與卷3對知識含量的考查相近，而卷1與其它兩卷有較大差異．卷1知識含量前兩個水平占比相同，其和超過50%，第三個水平占比接近50%．中國高考數(shù)學(xué)既重視基礎(chǔ)試題的考查，也重視綜合應(yīng)用復(fù)雜試題的考查，能夠清晰地劃分學(xué)生掌握知識的能力，體現(xiàn)區(qū)分度．卷2超八成題目屬于單個知識點(diǎn)水平，3個水平試題占比依次遞減，說明大部分美國SAT Ⅰ試題知識含量較單一，較少綜合考查知識的試題，對于難題考查不足，無法確切考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力水平．卷3中3個水平試題數(shù)量也依次遞減，在3份試卷比較中仍處于中間地位．美國兩卷對單個知識點(diǎn)水平的考查占比相近，超過或接近70%．

圖7 知識含量不同水平變化折線對比

（6）思維方向．

由圖8，卷1重視逆向思維的考查，重視學(xué)生對問題的靈活分析與解決．卷2偏重順向思維，解題具有直接性．卷3對于順向思維和逆向思維的考查無明顯差異，兩種水平較均衡，在3份試卷比較中也處于中間地位．

圖8 思維方向不同水平變化折線對比

（7）認(rèn)知水平．

由圖9，卷1認(rèn)知因素3種水平占比基本持平，說明中國高考對于數(shù)學(xué)認(rèn)知的考查較全面，3個水平分布均勻，與美國兩卷相比，分析水平占比最高．卷2理解水平占比近60%，運(yùn)用和分析水平的題目占比依次降低，體現(xiàn)SAT Ⅰ注重基礎(chǔ)，著重考查學(xué)生的基本認(rèn)知．卷3運(yùn)用水平占比最高，超50%，體現(xiàn)SAT Ⅱ重視知識的運(yùn)用，有一定深度．

圖9 認(rèn)知因素不同水平變化折線對比

3.2.4 試卷整體難度

由模型公式計(jì)算出3份試卷各因素綜合難度系數(shù)和整卷綜合難度系數(shù)（見表5），由表5可以得到圖10．

表5 3份試卷不同因素綜合難度系數(shù)及總難度系數(shù)

圖10 各卷不同因素綜合難度系數(shù)雷達(dá)圖

由圖10，背景因素方面，SAT Ⅰ難度較高，中國高考與SAT Ⅱ難度相近，都較低．含參方面，中國高考與SAT Ⅰ難度接近，高于SAT Ⅱ難度．在運(yùn)算水平、推理能力、知識含量、思維方向、認(rèn)識水平上，中國高考均最難，SAT Ⅰ最易，SAT Ⅱ居中．由表5，綜合難度方面，中國高考難度較大，SAT Ⅱ次之，SAT Ⅰ相對容易．中美數(shù)學(xué)教育理念和高考功能很大程度上影響了兩國數(shù)學(xué)考試的命題．基于現(xiàn)行中國高考制度，高考成績完全決定了學(xué)生進(jìn)入怎樣的大學(xué)，為更好地實(shí)現(xiàn)其選拔功能和公平性，中國高考需確保區(qū)分度，因此相當(dāng)一部分試題難度較大．美國教育更注重教育的層次性，既有面向大眾的普通高等教育，又有面向優(yōu)秀生的精英高等教育，不同層次學(xué)生都在自己的定位下有充分的選擇和發(fā)展空間．SAT Ⅰ面向大眾考生，更加重視生活中應(yīng)用數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)能力，確保學(xué)生掌握生活中必備的數(shù)學(xué)技能和大學(xué)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，對于學(xué)生的區(qū)分還可參考其它申請資料．SAT Ⅱ成績是申請美國名校的依據(jù)之一，與SAT Ⅰ相比，難度有所提升，更能檢驗(yàn)出學(xué)生的高階數(shù)學(xué)能力．

3.3 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

依據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》[13]確定的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)內(nèi)涵，對3份試卷試題考查的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)進(jìn)行標(biāo)定．

例5 如圖所示，表示汽車處于靜止?fàn)顟B(tài)時輪胎側(cè)面一點(diǎn)的標(biāo)記．當(dāng)汽車啟動后（輪胎開始旋轉(zhuǎn)），會經(jīng)歷一段時間的加速運(yùn)動．下列哪一選項(xiàng)能夠描述標(biāo)記與地面的距離變化（ ）．（2019年SAT Ⅰ數(shù)學(xué)試題第41題）

分析：該題主要考查函數(shù)圖象與函數(shù)模型應(yīng)用．考生需要想象汽車啟動后標(biāo)記的位置的變化情況，并將以上情境與函數(shù)模型相聯(lián)系，理解情境中時間與距離之間的對應(yīng)法則，推理得出隨著時間的推移標(biāo)記與地面的距離變化情況，最終建立與之相適應(yīng)的函數(shù)模型．解題過程中，考查了直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)．

（1）證明：平面⊥平面；

（2）當(dāng)三棱錐-體積最大時，求：面與面所成二面角的正弦值．

分析：該題綜合考查立體幾何與空間向量方面的知識．第一問，學(xué)生需要回憶面面垂直的判定定理，分析該題的具體條件，結(jié)合線線垂直、線面垂直的知識進(jìn)行推理與證明，考查了數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和邏輯推理核心素養(yǎng)．第二問可通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量知識求解二面角的正弦值，伴隨著運(yùn)算與推理，考查了數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算及邏輯推理核心素養(yǎng)．

統(tǒng)計(jì)各卷考查數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的情況，得出3份試卷核心素養(yǎng)權(quán)重匯總表（見表6）和柱形圖（見圖11）．

表6 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)權(quán)重匯總表

圖11 3份試卷數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)權(quán)重對比

（1）3份試卷權(quán)重最大的都是數(shù)學(xué)運(yùn)算，其次是邏輯推理．新課標(biāo)指出，“數(shù)學(xué)運(yùn)算是解決問題的基本手段”“邏輯推理是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的基本保證”[13]．SAT試題運(yùn)算難度都不大，大量基礎(chǔ)題列出算式作簡單運(yùn)算后即可獲得答案，常常只考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．中國高考試題往往涉及大量且復(fù)雜的運(yùn)算，數(shù)學(xué)運(yùn)算常貫穿整套試卷．

（2）數(shù)學(xué)建模權(quán)重在3份試卷中都較小，相對SAT Ⅰ最大．?dāng)?shù)學(xué)建模素養(yǎng)強(qiáng)調(diào)在現(xiàn)實(shí)情境中發(fā)現(xiàn)、分析及解決問題的能力，其內(nèi)涵表達(dá)出3層含義：一是將現(xiàn)實(shí)問題抽象為數(shù)學(xué)問題，二是用數(shù)學(xué)語言描述現(xiàn)實(shí)問題，三是用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決問題．中國高考數(shù)學(xué)大多數(shù)試題缺乏現(xiàn)實(shí)情境，不滿足數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)內(nèi)涵的第一層含義，因此數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)權(quán)重較低．而SAT Ⅰ數(shù)學(xué)情境豐富多樣，為數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培養(yǎng)提供了很好的情境，這也是SAT Ⅰ數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)占比在3份試卷中最高的原因之一，但其占比和水平仍較低，其試題往往直接給出關(guān)于問題的模型以考查學(xué)生對于模型的認(rèn)知，忽視了學(xué)生獨(dú)立構(gòu)建模型環(huán)節(jié)．

（3）3份試卷對于數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的考查較少．這源于涉及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的概率統(tǒng)計(jì)內(nèi)容在中美高中數(shù)學(xué)教學(xué)中占比都?。谛畔r代，日常生活和工作常面臨數(shù)據(jù)分析的情境，合理分析數(shù)據(jù)至關(guān)重要，為了很好地解決問題，需要有良好的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，應(yīng)當(dāng)加強(qiáng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的考查．

（4）3份試卷對于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)考查權(quán)重較一致，在直觀想象素養(yǎng)考查方面中國較高，這源于中國高考試卷中幾何試題偏多．

（5）3份試卷對6個核心素養(yǎng)考查權(quán)重總體分布基本一致．盡管這6個數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)及內(nèi)涵是中國教育提出，但其反映的數(shù)學(xué)素養(yǎng)及數(shù)學(xué)能力卻是各國數(shù)學(xué)教育都重視的方面．美國2010年頒布的《州共同核心數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)》明確了數(shù)學(xué)素養(yǎng)的基本要義：有問題意識，并能堅(jiān)持不懈地解決問題；抽象、量化地思考；構(gòu)建切實(shí)可行的論證，評判他人的推理；構(gòu)建數(shù)學(xué)模型；策略性地使用工具；關(guān)注精確度；在重復(fù)的推理中，探求并表達(dá)規(guī)律[15]．美國數(shù)學(xué)教育中數(shù)學(xué)素養(yǎng)內(nèi)涵與中國新課標(biāo)中6個數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)內(nèi)涵基本一致，反映的本質(zhì)相同．

3.4 試題情境

在綜合難度模型的比較中，從試題難度角度僅將背景因素分為3個水平，僅有“生活背景”這一水平描述現(xiàn)實(shí)情境．美國SAT試題情境豐富多樣，僅使用“生活背景”進(jìn)行概括不足體現(xiàn)其情境范圍之廣，PISA數(shù)學(xué)重視廣泛豐富的試題情境考查．新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)“考試試題的任務(wù)情境要與社會生產(chǎn)生活、科技發(fā)展緊密相連，增強(qiáng)對學(xué)生綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題能力的考查”[13]．在高考數(shù)學(xué)中引入類似PISA數(shù)學(xué)測試豐富的情境，有利于貫徹新課標(biāo)理念．值得從PISA測試情境分類及內(nèi)涵分析比較中美兩國試卷．

依據(jù)文[16]PISA測試情境分類及內(nèi)涵，對3份試卷的試題情境進(jìn)行劃分，分別得各卷試題情境分布表，進(jìn)而得到3份試卷情境權(quán)重匯總表．

表7 3份試卷情境權(quán)重匯總

（1）科學(xué)情境（含純數(shù)學(xué)情境）在中國高考和SAT Ⅱ中占比都超過85%，其試題多為純數(shù)學(xué)問題，這與兩卷均要考查學(xué)生較高數(shù)學(xué)水平有關(guān)．而SAT Ⅰ重視學(xué)生的數(shù)學(xué)基本能力和水平，重視學(xué)生日常工作生活中應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識和能力，其它3個情境占比接近50%．

（2）SAT Ⅰ對PISA中4種情境類型均有所涉及，而中國高考與SAT Ⅱ未覆蓋所有情境類型．中國高考未涉及“個人情境”；SAT Ⅱ未涉及“職業(yè)情境”，另兩卷的職業(yè)情境占比低于5%．這源于PISA測試主要考查學(xué)生是否具備未來進(jìn)入社會所需知識、技能和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，而中美高考的測試目的與PISA的測試目的不完全相同．

4 研究結(jié)論與啟示

4.1 研究結(jié)論

4.1.1 關(guān)于試題內(nèi)容

在知識領(lǐng)域方面，SAT Ⅰ與SAT Ⅱ類似，代數(shù)知識占絕大部分內(nèi)容，幾何、概率與統(tǒng)計(jì)內(nèi)容依次減少．中國高考更加重視幾何知識的考查，幾何知識占比最高，代數(shù)及概率統(tǒng)計(jì)知識權(quán)重依次遞減．3份試卷對于概率與統(tǒng)計(jì)領(lǐng)域知識的考查均較少．在知識范圍方面，中國高考數(shù)學(xué)試卷沒有只考查初中知識或超綱試題．SAT Ⅰ試卷超過六成考查初中知識，多數(shù)是普通人需要掌握的初中重要知識，無超綱內(nèi)容．SAT Ⅱ試卷有11.59%的知識超出中國高考大綱，均為大學(xué)內(nèi)容．

4.1.2 關(guān)于試題難度

（1）背景方面，中國高考與SAT Ⅱ大多為無背景試題，SAT Ⅰ試題生活背景居多，SAT Ⅰ更偏向于利用數(shù)學(xué)圖形、圖象表征數(shù)學(xué)問題．

（2）含參數(shù)方面，3份試卷均呈現(xiàn)出無參數(shù)試題少于有參數(shù)試題，中國高考與SAT Ⅰ情況相近，而SAT Ⅱ在含參數(shù)的考查上較弱．

（3）運(yùn)算水平方面，3份試卷呈現(xiàn)出較大差異，中國難度最大，運(yùn)算水平大多為符號計(jì)算，SAT Ⅰ試題多停留在簡單數(shù)值計(jì)算水平，難度最小，SAT Ⅱ試題對4個水平的考查較全面均衡．

（4）推理能力方面，SAT Ⅰ簡單推理試題相對偏多，中國高考推理兩個水平考查較均衡，SAT Ⅱ介于其它兩卷之間．

（5）知識含量方面，中國高考既有單一知識點(diǎn)試題，也有綜合應(yīng)用試題，后者較多，美國兩卷整體相近，試題大多知識含量單一，對綜合應(yīng)用試題的考查不足．

（6）思維方向上，中國高考逆向思維試題較多，常間接求解，而SAT Ⅰ順向思維試題偏多，解題具有直接性，SAT Ⅱ情況介于其它兩卷之間．

（7）認(rèn)知因素方面，中國高考對于數(shù)學(xué)認(rèn)知的考查較全面，SAT Ⅰ著重考查學(xué)生的基本認(rèn)知，SAT Ⅱ重視知識在不同情境下的運(yùn)用．

（8）關(guān)于試題綜合難度，中國高考難度較大，SAT Ⅱ次之，SAT Ⅰ相對容易．在背景因素上，SAT Ⅰ難度最大，另兩卷難度相近，均遠(yuǎn)小于SAT Ⅰ．在含參數(shù)方面，中國高考與SAT Ⅰ難度相近，均高于SAT Ⅱ．在運(yùn)算水平、推理能力、思維方向、知識含量及認(rèn)識水平因素上，各因素的難度均為中國高考最難，SAT Ⅰ最易，SAT Ⅱ居中．

4.1.3 關(guān)于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

在每份試卷中數(shù)學(xué)運(yùn)算權(quán)重均最大，邏輯推理次之，數(shù)學(xué)建模及數(shù)據(jù)分析權(quán)重都較小，SAT Ⅰ這兩種核心素養(yǎng)權(quán)重比其它兩卷高．3份試卷數(shù)學(xué)抽象權(quán)重基本一致，直觀想象權(quán)重中國高考最高．3份試卷對各素養(yǎng)考查分布總體情況基本一致，這源于中美兩國數(shù)學(xué)素養(yǎng)的內(nèi)涵基本一致，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)素養(yǎng)的國際化．

4.1.4 關(guān)于試題情境

3份試卷占比最大的均為科學(xué)情境（含純數(shù)學(xué)情境），中國高考與SAT Ⅱ占比都超85%．SAT Ⅰ包含PISA中4種類型情境，與PISA測試中的情境匹配程度最高，較重視對試題情境的考查；中國高考缺失“個人情境”，對學(xué)生實(shí)際生活中解決問題的能力考查不足；SAT Ⅱ缺失“職業(yè)情境”，另兩卷對“職業(yè)情境”的考查都未達(dá)4.5%．

4.2 研究啟示與建議

由于中美兩國文化背景、國情的不同，中國數(shù)學(xué)教育只能部分借鑒美國教育與考試機(jī)制，取其精華，探索出適合中國國情、有中國特色的教學(xué)與高考改革道路．

（1）重視選修課程的學(xué)習(xí)，貫徹因材施教原則．

美國高中數(shù)學(xué)教育較好地設(shè)計(jì)了大學(xué)先修課程，SAT Ⅱ?qū)ζ鋬?nèi)容進(jìn)行了考查，不僅使學(xué)有余力的學(xué)生掌握更深層、更豐富的數(shù)學(xué)知識，促進(jìn)卓越發(fā)展，而且考生能夠通過SAT Ⅱ展示自己的實(shí)力，利于名校對優(yōu)秀生的錄取，利于理工科優(yōu)秀人才選拔．中國新課標(biāo)對選修課程已有較好安排，中共中央、國務(wù)院印發(fā)《深化新時代教育評價改革總體方案》[17]提出有序推進(jìn)選課走班，進(jìn)一步落實(shí)需要各級教育部門具體政策支持和學(xué)校評價的驅(qū)動，也需要高考制度的改革引導(dǎo)，真正落實(shí)不同學(xué)生能獲得不同發(fā)展，彰顯學(xué)生個性．

（2）積極創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)生動力．

SAT Ⅰ數(shù)學(xué)重視問題情境的設(shè)置，情境豐富多樣，覆蓋了日常生活中的諸多情況，縮小了學(xué)生與數(shù)學(xué)的距離，有利于培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)意識和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣．中國高考數(shù)學(xué)應(yīng)適當(dāng)增加試題情境的多樣性，將數(shù)學(xué)融入實(shí)際生活等現(xiàn)實(shí)情境，引導(dǎo)中學(xué)教師在教學(xué)中以學(xué)生的直接經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，積極創(chuàng)設(shè)貼近生活實(shí)際的情境，將思想政治教育元素融入情境和教學(xué)，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的實(shí)用性，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)生動力，發(fā)揮高考數(shù)學(xué)命題的立德樹人和教學(xué)導(dǎo)向功能．

（3）深化高考制度改革，重視學(xué)生綜合素質(zhì)評價．

美國兩卷難度較低，而由于區(qū)分度的要求，中國卷多數(shù)題目均有一定的難度，對學(xué)生的思維水平和知識儲備有較高要求，但相當(dāng)一部分學(xué)生還達(dá)不到這種要求．在針對高考的各種復(fù)習(xí)考試中數(shù)學(xué)成績低，打擊了這些學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，不利于發(fā)揮數(shù)學(xué)教育育人功能．需要通過高考制度的深入改革，將終結(jié)性評價與過程性評價相結(jié)合，重視學(xué)生高中學(xué)業(yè)成績、班級排名、推薦信、課外活動、文體才能等能判斷學(xué)生綜合素質(zhì)的情況，減輕高考數(shù)學(xué)對學(xué)生的心理壓力，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)信心．文[17]提出“逐步轉(zhuǎn)變簡單以考試成績?yōu)槲ㄒ粯?biāo)準(zhǔn)的招生模式”的要求，目前“統(tǒng)一高考”“高中學(xué)業(yè)水平考試”“綜合素質(zhì)評價”的綜合評估大學(xué)招生機(jī)制已在高考改革的探索階段，如何保證其公平性仍是教育必須面對的問題，需要不斷探索加以完善．

（4）加強(qiáng)數(shù)學(xué)建模與數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)考查，提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問題能力．

現(xiàn)實(shí)世界對通過數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)建模解決現(xiàn)實(shí)問題的需求不斷增強(qiáng)，數(shù)據(jù)分析與數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)至關(guān)重要，加強(qiáng)數(shù)學(xué)建模與數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的考查有利于一線教學(xué)對培養(yǎng)學(xué)生在現(xiàn)實(shí)世界發(fā)現(xiàn)問題、分析及解決問題能力的重視．中國高考應(yīng)增加在現(xiàn)實(shí)情境中構(gòu)建模型、分析真實(shí)數(shù)據(jù)的試題．

（5）組織多次考試，科學(xué)設(shè)置自主考試．

針對中國目前高考現(xiàn)狀，每位學(xué)生僅有一次參加高考的機(jī)會，學(xué)生成績存在偶然因素的影響，選拔人才相對不夠科學(xué)[18-21]．美國大學(xué)入學(xué)考試有多種形式，且每種考試有多次參加機(jī)會，學(xué)生有多種選擇充分發(fā)揮其真正水平，弱化一次考試中偶然因素的影響，減輕學(xué)生壓力．此外，為適應(yīng)不同水平學(xué)生對未來大學(xué)專業(yè)和職業(yè)選擇，使優(yōu)秀生能夠發(fā)揮出其水平，在高考的基礎(chǔ)上，可通過大學(xué)自主考試等形式，更多考查選修課程內(nèi)容，使不同水平學(xué)生獲得不同發(fā)展，這方面，新開啟的強(qiáng)基計(jì)劃將有新的嘗試．

[1] 謝曉川，方浩穎，陳楠，等．中英高考數(shù)學(xué)試題比較研究[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2019（10）（上）：12-14．

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[21] 武麗莎，朱立明．高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)：生成機(jī)制與培養(yǎng)路徑[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2021，30（4）：25-29．

Comparative Study of Mathematics Test Papers in College Entrance Examination between China and the United States

HAN Jin-xuan1, 2, YANG Ze-heng1, WANG Peng-de1

(1. Department of Mathematics and Computer, Dali University, Yunnan Dali 671003, China;2. Nankai Zhongying Primary School, Tianjin 300110, China)

SAT is a widely used college entrance examination in the United States. Similar to the Chinese college entrance examination, both of them have certain guidance for senior high school education. It is of certain significance to analyze and compare the mathematics test questions of both of them for the reform of Chinese high school and College Mathematics Education in China. Based on the national college entrance examination syllabus, comprehensive difficulty model, mathematical core literacy and PISA test situation, the comparison of SAT I, SAT II, and Chinese college entrance examination mathematics test questions shows that: SAT I and SAT II have the highest proportion of algebra, and China’s geometry has the highest proportion;SAT I exceeds 60% of the knowledge of junior high schools, and some knowledge of SAT II exceeds the syllabus of China’s college entrance examination. Comprehensive difficulty, reasoning ability and other factors were the most difficult in China, SAT I is the easiest, and SAT II is in the middle; SAT I background factors are the most difficult; China and SAT I are similar in the difficulty of parameters, but they are higher than SAT Ⅱ. The distribution of the three volumes of the core mathematics literacy test is generally consistent, and the weight of intuitive imagination is the highest in China. SAT I includes four types of situations in PISA, whereas China and SAT Ⅱ do not cover all types of situations in PISA. Some enlightenment is got such as teaching students in accordance with their aptitude and stimulating students’ endogenous motivation.

comprehensive difficulty model; SAT mathematics test; mathematics test in college entrance examination; comparative study

2021–11–08

云南省教育廳教學(xué)改革項(xiàng)目——數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生實(shí)踐能力培養(yǎng)體系建設(shè)的實(shí)踐與研究（2013云南高校教改43）；云南省學(xué)位委員會研究生教學(xué)案例庫建設(shè)項(xiàng)目——數(shù)學(xué)教育測量與評價研究生教學(xué)案例庫（云學(xué)位〔2019〕17號（201））；2021年度云南省研究生優(yōu)質(zhì)課程建設(shè)項(xiàng)目——數(shù)學(xué)教育測量與評價（云學(xué)位〔2021〕12號（88））

韓金璇（1996—），女，天津人，碩士，小學(xué)教師，主要從事中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究．楊澤恒為本文通訊作者．

G424.79

A

1004–9894（2022）02–0013–08

韓金璇，楊澤恒，王彭德．中美高考數(shù)學(xué)試卷比較研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2022，31（2）：13-20．

[責(zé)任編校：張楠、陳漢君]