張曉貴

對數(shù)學(xué)課程施行過程的再認識

張曉貴

（合肥師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，安徽 合肥 230601）

數(shù)學(xué)課程在所有國家的基礎(chǔ)教育中都具有重要的地位，它從預(yù)期的課程到實現(xiàn)的課程的實施過程必須保持數(shù)學(xué)教育思想等方面的一致性．通過對傳統(tǒng)的3類數(shù)學(xué)課程即預(yù)期的課程、實施的課程和實現(xiàn)的課程的分析，提出不同課程之間應(yīng)該具有一致性；通過對第四類課程即潛在的實施課程進行分析，研究表明該課程符合一致性；對第五類數(shù)學(xué)課程即準實施課程進行分析，結(jié)合實例簡要說明了應(yīng)如何進行教材分析，表明第五類課程也符合一致性．

數(shù)學(xué)課程；一致性；準實施課程

對課程的研究有著悠久的歷史．一般可將課程分成廣義和狹義兩種：廣義的課程是指依據(jù)學(xué)校教育目標(biāo)制定的學(xué)生各種活動的總體計劃；狹義的課程是指一門學(xué)科的各種活動總體計劃，包括教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)時限等．顯然，數(shù)學(xué)課程屬于狹義課程，它包括數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)時限等．

數(shù)學(xué)課程的實施是為了使學(xué)生具有個體自身發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和有力地推動科技的進步及社會的前進，它在今天幾乎所有國家的基礎(chǔ)教育中都具有重要的地位．?dāng)?shù)學(xué)課程實施的起點顯然是權(quán)威部門所制定的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準，而終點則是學(xué)生通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而獲得的在數(shù)學(xué)上的發(fā)展．因此，數(shù)學(xué)課程的實施就是指從起點到終點的運動．無論是早先的3類課程還是后來的4類課程，實際上都是將數(shù)學(xué)課程從起點到終點進行某種劃分，而數(shù)學(xué)課程的施行就是從起點課程通過中間課程而移動到終點課程．顯然，如何使得這種從起點到終點的課程移動更有效就是一個值得研究的課題．研究者所要探討的問題正是這個大課題下的一個問題，即如何更好地理解數(shù)學(xué)課程移動的有效性．

研究分成3個部分．第一個部分簡要介紹數(shù)學(xué)的3類課程，并由此提出有效的數(shù)學(xué)課程的施行應(yīng)該保持不同種類數(shù)學(xué)課程之間在數(shù)學(xué)教育思想、教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容等方面的一致（下文中的一致都是指兩類課程之間在數(shù)學(xué)教學(xué)思想、目標(biāo)和內(nèi)容等方面的一致）；第二個部分從一致性的角度對數(shù)學(xué)第四類課程進行審視；第三個部分提出了第五類課程并且用一致性對其進行分析，通過一個案例簡要地說明如何分析教材從而實現(xiàn)對第五類課程的一致性實施．

1 3類數(shù)學(xué)課程以及數(shù)學(xué)課程之間的一致性

數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域中對于數(shù)學(xué)課程的研究雖然并不像一般教育領(lǐng)域?qū)τ谡n程研究那樣歷史悠久并成果豐碩，但相應(yīng)的工作也是不可忽視的，尤其是近年來對課程的研究更是吸引了不少數(shù)學(xué)教育研究者的關(guān)注，例如著名的國際教育期刊就在2013年和2018年分別圍繞數(shù)學(xué)教材的相關(guān)研究推出了一期?？缭?0世紀70年代，研究者就將數(shù)學(xué)課程分成3個類別，即預(yù)期的課程（intended curriculum）、實施的課程（implemented curriculum）和實現(xiàn)的課程（attained curriculum）[1]．其中預(yù)期課程是指通過正式的文件而設(shè)置的，其中包括數(shù)學(xué)教育的基本理念、數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)和內(nèi)容等．根據(jù)TIMSS的研究，世界上幾乎所有的國家都有著某種形式的國家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準．因此，數(shù)學(xué)預(yù)期課程幾乎等同于國家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準．如中國的國家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準（包括《九年義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準》和《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準》）、日本的《數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)要領(lǐng)》以及英國的《國家數(shù)學(xué)課程》等．實施課程是一種實踐課程，它是指數(shù)學(xué)教師在課堂教學(xué)中真正實施的數(shù)學(xué)課程．實現(xiàn)的課程是學(xué)生通過數(shù)學(xué)教學(xué)活動而最終取得收獲的課程，如數(shù)學(xué)知識技能的獲得和一定情感態(tài)度的形成等．由于后兩類同樣也包含著數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)和內(nèi)容等，因而它們也是數(shù)學(xué)課程．

以上這3類課程的實施具有自上而下的特點．預(yù)期課程位于數(shù)學(xué)課程的頂端，是對數(shù)學(xué)教育的頂層設(shè)計，它是一個國家在社會發(fā)展的新要求和數(shù)學(xué)教育研究成果，以及吸取其它國家數(shù)學(xué)教育經(jīng)驗等基礎(chǔ)上，對本國數(shù)學(xué)教育所進行的規(guī)劃．在當(dāng)代，由于社會的快速發(fā)展和數(shù)學(xué)教育研究成果的激增，預(yù)期的數(shù)學(xué)課程總是在一定時間后就會有新的版本提出，而每個新版本總是有新的數(shù)學(xué)教育思想作為其核心．新的思想必然導(dǎo)致新的教學(xué)目標(biāo)，甚至教學(xué)內(nèi)容也會因此而有所改變．而這種新的預(yù)期數(shù)學(xué)課程的推出往往是以數(shù)學(xué)課程改革的名義而進行的．例如，澳大利亞新的國家數(shù)學(xué)課程有個基本思想就是鼓勵學(xué)生在重要數(shù)學(xué)思想上的深層次發(fā)展以及理解數(shù)學(xué)知識之間的相互聯(lián)系[2]，而以色列新的初中數(shù)學(xué)課程則強調(diào)問題解決、數(shù)學(xué)思維和推理，強調(diào)在幾何和代數(shù)上發(fā)展學(xué)生猜想、解釋、辯護以及證明的能力[3]．實施的課程位于數(shù)學(xué)課程的中間，它是將預(yù)期課程中所期望實現(xiàn)的目標(biāo)通過適當(dāng)?shù)恼n堂教學(xué)活動而實現(xiàn)．它既是數(shù)學(xué)課程的中間環(huán)節(jié)，也是數(shù)學(xué)課程中非常關(guān)鍵的一步，因為學(xué)生在數(shù)學(xué)上能夠得到多大程度的發(fā)展所依賴的就是該環(huán)節(jié)．實現(xiàn)的課程是通過對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果的評價而體現(xiàn)的．預(yù)期課程的預(yù)期是不是達到，就要在實現(xiàn)的課程那里才能找到答案．從時間上看，首先有預(yù)期的課程，接著有實施的課程，至于實現(xiàn)的課程，盡管學(xué)習(xí)評價既有過程性的也有終結(jié)性的，但總是在實施的課程之后．因此，數(shù)學(xué)課程的施行就是從預(yù)期的課程移動到實施的課程再移動到實現(xiàn)的課程．

可見，與其說預(yù)期的課程、實施的課程和實現(xiàn)的課程是數(shù)學(xué)課程的3個類別，不如說它們是數(shù)學(xué)課程實施過程中的3種形式，即數(shù)學(xué)課程最先是以預(yù)期的課程而出現(xiàn)，接著成為實施的課程，最后是以實現(xiàn)的課程而結(jié)束（如圖1）．

圖1 數(shù)學(xué)課程的3個類別模型

數(shù)學(xué)課程的實施無非是希望實現(xiàn)的課程與預(yù)期的課程能夠在思想、目標(biāo)和內(nèi)容等方面具有一致性．而要做到這一點，則需要實施的課程與預(yù)期的課程保持一致以及實現(xiàn)的課程與實施的課程保持一致．這樣，3類數(shù)學(xué)課程自上而下的施行，其實就是數(shù)學(xué)教學(xué)思想、目標(biāo)和內(nèi)容等方面從預(yù)期課程一致性地傳遞到實施的課程，再進一步地傳遞到實現(xiàn)的課程．如果這樣的話，數(shù)學(xué)課程的實施就達到了預(yù)期的效果，從數(shù)學(xué)教育改革或數(shù)學(xué)課程的角度來說，改革就是成功的．因此，數(shù)學(xué)課程的實施必須要做到不同數(shù)學(xué)課程形式之間在數(shù)學(xué)教育思想等方面的一致性，這是數(shù)學(xué)課程實施是否成功的基本評判標(biāo)準．

2 對第四類課程的審視

差不多在20世紀之前，研究者們普遍將數(shù)學(xué)教材歸屬于預(yù)期課程，對數(shù)學(xué)教材的這種觀點由于TIMSS小組的工作而得以改變．21世紀初，TIMSS小組將數(shù)學(xué)教材確定為第四類課程即潛在的實施課程（potentially implemented curriculum）[4]．由于數(shù)學(xué)教材和數(shù)學(xué)課程標(biāo)準顯然并不是一回事，后者是對數(shù)學(xué)教學(xué)的頂層規(guī)劃，而前者是將這種具有抽象性質(zhì)的、政策性的規(guī)劃轉(zhuǎn)變成具有一定可操作性的材料．這里就有一個問題，即TIMSS小組將數(shù)學(xué)教材視為一種課程類型是否合適．實際上，他們的做法是有道理的．因為數(shù)學(xué)教材是將課程標(biāo)準中的數(shù)學(xué)教育思想、教學(xué)內(nèi)容以及教學(xué)時限等方面的具體化，即數(shù)學(xué)教材也體現(xiàn)一定的數(shù)學(xué)教育思想，包含著一定的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，也具有一定的教學(xué)時限，因此，從這個角度看，數(shù)學(xué)教材也是一種數(shù)學(xué)課程，數(shù)學(xué)課程就由傳統(tǒng)的3類分成了自上而下的4類，即預(yù)期課程、潛在的實施課程、實施的課程和實現(xiàn)的課程（如圖2）．

圖2 數(shù)學(xué)課程的4個類別模型

將數(shù)學(xué)教材作為潛在的實施課程具有極大的合理性，這可以從兩點來看．第一點是數(shù)學(xué)教材離實施的課程很近，并且對實施的課程能夠產(chǎn)生很大的影響；第二點是數(shù)學(xué)教材對于實施課程影響力的發(fā)揮具有潛在性．

首先看第一點，這可以從理論和實踐兩個方面來談．從理論上說，數(shù)學(xué)教材是根據(jù)預(yù)期課程而編寫的，是將預(yù)期課程的數(shù)學(xué)教育思想和目標(biāo)以數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容安排等加以具體地體現(xiàn)．因為有了教材，教師所面對的并不是預(yù)期課程而是數(shù)學(xué)教材．因此，與其說是預(yù)期課程指導(dǎo)著數(shù)學(xué)教師的課堂實踐，不如說是數(shù)學(xué)教材指導(dǎo)了數(shù)學(xué)教師進行數(shù)學(xué)課堂教學(xué)．?dāng)?shù)學(xué)教材上接預(yù)期課程，下聯(lián)實施的課程，實際上它起到了連接預(yù)期課程和實施課程的中介作用，因而是一種比起預(yù)期課程來說更接近實施課程的課程．正如豪森（Howson）指出的：比起國家課程，數(shù)學(xué)教材離課堂現(xiàn)實更近一步[5]．施密特（Schmidt）等人也說，官方的意圖和真正的課堂活動這兩個世界部分地是被教材聯(lián)系在一起的[6]．從實踐上看，大量的調(diào)查說明，數(shù)學(xué)教師在教學(xué)設(shè)計和課堂教學(xué)中最主要的資源就是數(shù)學(xué)教材，或者說對于數(shù)學(xué)教師教學(xué)工作影響最大的是數(shù)學(xué)教材．例如，根據(jù)TIMSS的調(diào)查，參加2007年TIMSS的絕大多數(shù)國家的4年級和8年級數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)教材都是教師教學(xué)的基本依據(jù)[7]．再如，根據(jù)湯姆森（Thomson）等人對初中數(shù)學(xué)教學(xué)的研究發(fā)現(xiàn)，絕大多數(shù)數(shù)學(xué)教師都是根據(jù)教材進行教學(xué)設(shè)計和教學(xué)的[8]．教材對于數(shù)學(xué)教師的課堂教學(xué)影響如此之大，而數(shù)學(xué)課堂教學(xué)由于面對學(xué)生，因而成為數(shù)學(xué)課程實施的關(guān)鍵，以至于可以說數(shù)學(xué)教材在很大程度上決定了數(shù)學(xué)課程是否能夠有效地實施．

數(shù)學(xué)教材之所以能夠在很大程度上影響教師的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，是由教材的內(nèi)容所決定的．在數(shù)學(xué)教材中有兩個很重要的成分，即數(shù)學(xué)知識以及相應(yīng)的活動安排，這在很大程度上影響了數(shù)學(xué)課堂．?dāng)?shù)學(xué)知識很大程度上決定了數(shù)學(xué)課堂中的教學(xué)內(nèi)容，而相應(yīng)的活動安排則在很大程度上影響了數(shù)學(xué)課堂中教師的教學(xué)策略和課堂中的師生活動．正是由于數(shù)學(xué)教材的內(nèi)容構(gòu)成特別是其中的活動安排，實際上為數(shù)學(xué)教師提供了教學(xué)法上的建議，從而使得他們可以方便地據(jù)此進行數(shù)學(xué)課堂教學(xué)．?dāng)?shù)學(xué)教材中的活動安排被有些研究者看成是類似于數(shù)學(xué)課堂，一種想象中的數(shù)學(xué)課堂[9]．也就是說，教師甚至可以直接把教材的安排搬到課堂中去．有研究者通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)教師采用不同的數(shù)學(xué)教材將導(dǎo)致他們采用不同的教學(xué)策略[10]，這實際上正是因為不同的數(shù)學(xué)教材在同樣的數(shù)學(xué)知識的活動安排上不同所導(dǎo)致的．?dāng)?shù)學(xué)教材的這種既有數(shù)學(xué)知識也有相應(yīng)的活動安排的內(nèi)容構(gòu)成，也使得數(shù)學(xué)教師對于數(shù)學(xué)教材的依賴性大大地高于其他學(xué)科教師對于教材的依賴，這已經(jīng)為一些研究所證實[11]．

再看第二點，說數(shù)學(xué)教材是潛在的實施課程實際上也就意味著它對于數(shù)學(xué)實施課程的影響程度是不確定的．從以上分析可知，數(shù)學(xué)教材對于數(shù)學(xué)實施課程的影響是存在的，但影響力的大小和程度是不確定的．對于有的課程實施者（數(shù)學(xué)教師）來說，教材可能具有極大的影響力，但對于另外一些教師來說，教材的影響力可能就小得多．一些調(diào)查研究實際上也證明了這一點．例如，在美國進行的一項調(diào)查中，教師報告他們在教學(xué)中內(nèi)容選擇上受到教材的影響大約是50%，而教學(xué)策略受教材的影響大約為70%[12]．教師本身在很大程度上確定了其課堂教學(xué)受數(shù)學(xué)教材影響的程度，正如格勞斯（Grouws）等人所指出的那樣：“教師的教學(xué)可能會覆蓋教材中的大部分章節(jié)，也可能不會；他們可能按教材的順序進行教學(xué)，也可能不按教材的順序；他們的教學(xué)方法可能與課本上推薦的相同也可能不同；他們可能會補充一些問題到教材中，也可能不補充；他們可能會在教學(xué)中使用現(xiàn)在技術(shù)，也可能不使用．”[11]這些現(xiàn)象中的一部分在中國是不大可能發(fā)生的，但在一些國家的數(shù)學(xué)教學(xué)中并不奇怪．

既然數(shù)學(xué)教材作為一種數(shù)學(xué)課程施行過程中的一個課程形式，那么它必須符合前文中所提出的一致性，即預(yù)期課程中的數(shù)學(xué)教育思想、教學(xué)目標(biāo)以及教學(xué)內(nèi)容等方面能夠在教材中得以完全體現(xiàn)．問題是現(xiàn)有的數(shù)學(xué)教材一定會在思想和目標(biāo)等方面和預(yù)期課程保持一致嗎？從現(xiàn)有的研究看，確實存在著二者不一致的現(xiàn)象．如果數(shù)學(xué)教材并不能與課程標(biāo)準保持一致，那么整個數(shù)學(xué)課程的施行就不大可能獲得成功，因為這個形式的數(shù)學(xué)課程已經(jīng)偏離了預(yù)期．因此，數(shù)學(xué)教材與課程標(biāo)準一致性的保持應(yīng)該是對于數(shù)學(xué)教材編寫的最低要求．顯然，避免這種不一致現(xiàn)象出現(xiàn)的主要方法應(yīng)該是嚴格的、多角度的教材審查，而教材審查的標(biāo)準顯然就應(yīng)該是一致性．在中國有多種版本的數(shù)學(xué)教材，它們都是經(jīng)過嚴格的審查，在一致性上應(yīng)該沒有問題．在數(shù)學(xué)教材與預(yù)期課程一致的情況下，數(shù)學(xué)教材實際上就成了預(yù)期數(shù)學(xué)課程的代表，預(yù)期課程一致性地過渡到了潛在的實施課程．

3 理解第五類課程

數(shù)學(xué)教師在數(shù)學(xué)課程實施中的作用是將潛在的實施課程或數(shù)學(xué)教材保持一致性地過渡到實施課程．但是這個過程實際上不是直接的，即不是直接從教材到課堂，而是包含了兩個階段：第一個階段是教師通過教材分析，進而在考慮到學(xué)生的情況下進行教學(xué)設(shè)計寫出教案；第二個階段是教師基于教案進行課堂教學(xué)．顯然，教案在這個過程中扮演著非常重要的作用，它是教師分析教材進行教學(xué)設(shè)計的結(jié)果又是課堂教學(xué)的基礎(chǔ)，換句話說，它是連接潛在的實施課程與實施課程的中介．教案從內(nèi)容上類似于教材，但比教材更具有可操作性，教案由于更多地考慮到學(xué)生的情況而使得教學(xué)內(nèi)容的安排更適合于學(xué)生的學(xué)習(xí)．因此，比起數(shù)學(xué)教材來說，教師的教案離數(shù)學(xué)課堂更近一步．當(dāng)教案寫成后，影響教師課堂教學(xué)的很大程度上就是教案而不是教材了．因此，為了更好地理解從潛在的實施課程到實施的課程這個過程的課程移動，可將教案恰當(dāng)?shù)胤Q為準實施課程（quasi-implemented curriculum）．這樣就將課程從4類擴展成5類，即預(yù)期課程、潛在的實施課程、準實施課程、實施的課程與實現(xiàn)的課程（如圖3）．由于數(shù)學(xué)教材可以視為一類課程，那么數(shù)學(xué)教案看作一類課程就不難理解了．

圖3 數(shù)學(xué)課程的5個類別模型

當(dāng)數(shù)學(xué)教材與預(yù)期課程保持一致的情況下，如果教案與教材保持一致，則教案與預(yù)期課程也就保持一致了．如果教材與預(yù)期課程不一致，只是保持教案與教材一致，仍然會使得數(shù)學(xué)課程的實施偏離預(yù)期．在這種情況下，如果教師能夠很好地理解預(yù)期課程并在預(yù)期課程的指導(dǎo)下對教材進行彌補，仍有可能使得教案與預(yù)期課程相一致．正如舍費爾德（Schoenfeld）所說：好的教學(xué)能夠彌補教材的不足[13]．正是因為教材有可能與預(yù)期課程不一致，因此，應(yīng)當(dāng)提倡數(shù)學(xué)教師能夠熟悉并很好地理解數(shù)學(xué)課程標(biāo)準．但是，這對于數(shù)學(xué)教師的要求可能是有點高．

數(shù)學(xué)教師對教材進行分析，其目的應(yīng)該在于使得自己的教案與教材保持一致．顯然，這里的一致并不是說要將教材中的內(nèi)容照抄照搬．由于數(shù)學(xué)教材總是盡可能地與預(yù)期課程保持一致，這種保持一致的努力就體現(xiàn)在教材的各個部分的編寫上．教師對于教材的研究就是明確教材的各部分所體現(xiàn)的思想以及所要實現(xiàn)的目的，如某個活動能夠有助于學(xué)生某個數(shù)學(xué)知識的掌握和某種數(shù)學(xué)技能的形成，而某個例題中蘊含著重要的數(shù)學(xué)方法，如此等等，即教師對于教材分析本質(zhì)上是理解教材或理解編寫者的用意．只有在理解教材的基礎(chǔ)上結(jié)合學(xué)生的具體情況，才能形成與教材保持一致的教案，或者說形成與潛在的實施課程相一致的準實施課程．現(xiàn)有的調(diào)查表明，不同的教師在分析教材上有著很大的不同，“他們的閱讀是選擇性和解釋性的，他們閱讀教材中的不同部分并且運用他們自己的觀點去理解他們所閱讀的”[14]．?dāng)?shù)學(xué)教師對于教材的分析顯然基于他們自己的知識、信念以及數(shù)學(xué)教學(xué)的經(jīng)驗等．例如，如果某個數(shù)學(xué)教師認為數(shù)學(xué)史對于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有著重要的作用，那么他在研究教材時就會注意教材中對于數(shù)學(xué)史的介紹并將其落實到教案之中；反之，如果某個數(shù)學(xué)教師認為數(shù)學(xué)史對于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)沒有任何關(guān)系，那么他在研究教材時就會對于數(shù)學(xué)史部分熟視無睹．既然教師對于數(shù)學(xué)教材的分析就是把握教材編寫者的編寫意圖，那么教師的教材分析水平其實就是其把握教材編寫意圖的程度．由于數(shù)學(xué)教師的知識、信念和教學(xué)經(jīng)驗等的不同，從而導(dǎo)致了他們具有不同的對數(shù)學(xué)教材的分析能力．顯然，數(shù)學(xué)教師不同的教材分析能力也就必然地導(dǎo)致了不同的數(shù)學(xué)教師從相同的數(shù)學(xué)教材中分析所得到的結(jié)果并不一樣，由此可以得到，不同的數(shù)學(xué)教師從相同的潛在的實施課程中得到的準實施課程是不同的．正因為如此，不是所有的數(shù)學(xué)老師其準實施的課程都能與潛在的實施課程保持一致．對于那些其準實施課程在一定程度上偏離潛在實施課程的老師，數(shù)學(xué)課程在其準實施課程這一環(huán)節(jié)上就不再與預(yù)期課程相一致了．

以下通過一個案例（人教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級上冊“圓的面積”）來簡要地說明數(shù)學(xué)教師如何分析教材，從而使得數(shù)學(xué)課程一致性地從潛在的實施課程過渡到準實施課程（更詳細的教材分析將另文論述）．本節(jié)是以一個問題開始的：已知每平方米的草皮值8元，要求算出整個圓形草坪鋪滿草皮需要多少錢，從而引出圓面積的計算問題．這個問題是本節(jié)課的引入，它具有導(dǎo)致學(xué)生認知沖突的作用，從而使得學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)新知識的愿望．接著，教材通過兩個孩子的對話，提出了如果要計算圓的面積，那就需要將圓面積的計算與以前學(xué)過的圖形面積計算方面相聯(lián)系，這在一定程度上滲透了化歸的思想．另外，通過孩子之口提出了能不能將圓面積與圓內(nèi)外的兩個正方形（即圓的內(nèi)接正方形和外切正方形）面積相聯(lián)系，即圓的面積介于兩個正方形之間，這個思想與中國古代計算圓周率的方法是相關(guān)的．中國古代計算圓周率正是通過用正多邊形內(nèi)接和外切的方法逐步逼近圓來計算圓的近似面積，從而得到圓周率的近似值．因此，教材這部分的意圖就是讓學(xué)生感知這種逼近的思想方法．接下來的活動是本節(jié)的重點．讓學(xué)生將圓形的紙片分成若干（偶數(shù)）個小曲邊三角形并將它們拼接，讓學(xué)生通過觀察和想象得到，分成小曲邊三角形的數(shù)量越多，所拼成的圖形就越接近一個矩形．然后通過將矩形的長和寬與圓形的半徑及周長相聯(lián)系，從而得到了圓面積的公式．本段的編寫意圖是讓學(xué)生經(jīng)歷圓面積的得出過程，涉及到讓學(xué)生動手操作、認真觀察、想象以及計算等，其中所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想包括化歸的思想和極限的思想．接著是兩個實際問題的例題，分別計算本節(jié)一開始所提出的草坪問題和光盤的圓環(huán)面積．第一題在學(xué)生學(xué)習(xí)了圓的面積之后就比較簡單了，是直接運用圓的面積公式．第二題比第一題要復(fù)雜一些，教師要讓學(xué)生認識到圓環(huán)和圓之間的關(guān)系，并且兩次計算圓的面積．這兩題的作用都是讓學(xué)生進一步熟悉圓的面積、形成圓面積的運算技能以及感受到圓面積在解決實際問題中的作用．最后是學(xué)生的做一做，前面兩個問題即茶幾面積和環(huán)島草坪占地面積學(xué)生可以較好地完成，因為它們和兩個例題是類似的，其作用也和例題是一樣的．做一做的第三題是中國傳統(tǒng)建筑中的“外方內(nèi)圓”和“外圓內(nèi)方”設(shè)計，要求出這兩種情況下正方形和圓之間的面積．這一題的編寫意圖當(dāng)然也有讓學(xué)生理解知識、形成技能以及感受到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值外，還具有讓學(xué)生感受中國傳統(tǒng)文化，體會中國傳統(tǒng)建筑之美和數(shù)學(xué)之美的意圖．可見，這些意圖是與課程目標(biāo)是有直接聯(lián)系的．

當(dāng)然，對于數(shù)學(xué)教師來說，進行教材分析得到準實施課程只是其工作的一部分．將準實施課程保持一致地過渡到實施過程也是極為重要的，要做到這一點，對于數(shù)學(xué)教師的能力也有著很高的要求，對此不在這里進行分析．強調(diào)的一點是，教師將準實施課程保持一致性地過渡到實施課程也不意味著將教案完全不變地搬到課堂．盡管在課堂教學(xué)中教師會利用一些有價值的生成性資源，但思想、內(nèi)容等應(yīng)該在兩類課程的移動中保持不變．

至此，在數(shù)學(xué)課程分類的現(xiàn)有研究基礎(chǔ)上對數(shù)學(xué)課程的施行過程進行了分析，提出了不同形式的數(shù)學(xué)課程之間的移動必須在數(shù)學(xué)教學(xué)思想等方面的一致性，并且提出了第五類數(shù)學(xué)課程即準實施課程以及對第五類數(shù)學(xué)課程進行了比較詳細的分析和案例說明．對于如何將預(yù)期課程一致性地移動到潛在的實施課程、如何將準實施課程一致性地移動到實施的課程以及如何將實施的課程一致性地轉(zhuǎn)移到實現(xiàn)的課程，限于篇幅，不作詳細的分析．一致性是數(shù)學(xué)課程研究中的一個重要概念，它可以是對除預(yù)期課程以外其它的數(shù)學(xué)課程形式進行評價的基本指標(biāo)，也是數(shù)學(xué)課程有效實施的保證．從預(yù)期的課程到實現(xiàn)的課程的實施過程中，教材編寫者遵守一致性從而將預(yù)期的課程一致性地推進到潛在的課程，數(shù)學(xué)教師遵守一致性將潛在的課程一致性地推進到準實施課程以及實施的課程，而學(xué)習(xí)的評價也能遵守一致性從實施的課程一致性地推進到實現(xiàn)的課程．只有這樣，預(yù)期課程中的預(yù)期才能最終在現(xiàn)實的課程中得到實現(xiàn)．在5類數(shù)學(xué)課程中，由于數(shù)學(xué)教師是準實施課程和實施課程的執(zhí)行者，也在很大程度上是實現(xiàn)的課程的主導(dǎo)者，因此，數(shù)學(xué)教師在數(shù)學(xué)課程實施中所發(fā)揮的作用是巨大的，從而確保數(shù)學(xué)課程改革的順利進行很大程度上取決于數(shù)學(xué)教師．另外，數(shù)學(xué)課程的實施過程實際上也為數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展的內(nèi)容提出了具體的要求，限于篇幅不在此作具體的分析．

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Re-Understanding the Implementation Process of Mathematics Curriculum

ZHANG Xiao-gui

(The College of Mathematics and Statistics of Hefei Normal University, Anhui Hefei 230601, China)

The mathematics curriculum occupies an important position in the basic education in all countries. Its implementation process from the expected curriculum to the attained curriculum must maintain the consistency of the mathematics education ideas and other aspects. First, through the analysis of the traditional three types of mathematics curriculum, namely, the expected curriculum, implemented curriculum and attained curriculum, it is proposed that there should be consistency between different curriculums. Then, it analyzes the fourth type of curriculum, which refers to the potential implemented curriculum, and confirms that the curriculum should also conform to the consistency. Finally, it also analyzes the fifth type of mathematics curriculum, namely, quasi-implemented curriculum, and briefly explains how to analyze the teaching textbooks with examples, indicating that the fifth type of mathematics curriculum also conforms to the consistency.

mathematics curriculum; consistency; the quasi-implemented curriculum

G420

A

1004–9894（2022）02–0077–05

張曉貴．對數(shù)學(xué)課程施行過程的再認識[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2022，31（2）：77-81．

2021–10–22

安徽省高校人文社科重點項目——教材研究：教師專業(yè)發(fā)展的有效途徑——以數(shù)學(xué)學(xué)科為例（SK2020A0145）；安徽省教學(xué)團隊項目——數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)論教學(xué)團隊（2020jxtd215）；安徽省高校人文社科重點項目——專業(yè)認證視閾下數(shù)學(xué)師范生教學(xué)技能評價體系的構(gòu)建研究（SK2020A0110）

張曉貴（1965—），男，安徽肥東人，教授，主要從事數(shù)學(xué)教育與數(shù)學(xué)哲學(xué)研究．

[責(zé)任編校：陳漢君、陳雋]