沈 陽，張晉宇，鮑建生

表征在數(shù)學(xué)教育中的研究現(xiàn)狀

沈 陽1，張晉宇2，鮑建生1

（1．華東師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，上海 200241；2．閔行區(qū)教育學(xué)院，上海 200241）

表征概念源于認(rèn)知心理學(xué)，是影響數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要因素．采用混合研究法，基于中外兩個(gè)重要的數(shù)據(jù)庫ERIC和CNKI中與數(shù)學(xué)表征相關(guān)的249篇文章，從時(shí)間分布、研究對象、數(shù)學(xué)內(nèi)容、研究主題及分析框架5個(gè)方面進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析．研究結(jié)果如下：與數(shù)學(xué)表征相關(guān)的文獻(xiàn)數(shù)量在最近10年增長速度顯著；研究對象主要以學(xué)生為主，但教師和教材相關(guān)研究已成為趨勢；數(shù)學(xué)內(nèi)容多局限在代數(shù)方面，尤其方程與函數(shù)；在研究主題上，探究學(xué)生和教師的數(shù)學(xué)表征能力占主導(dǎo)；不同研究主題通常有不同的分析框架，用于分析各種數(shù)學(xué)表征方式、表征功能及表征轉(zhuǎn)換．整體而言，從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理、數(shù)學(xué)問題解決及信息技術(shù)的角度對數(shù)學(xué)教學(xué)中的多元表征及其轉(zhuǎn)換進(jìn)行實(shí)證研究成為表征研究的一個(gè)基本趨勢．

表征；數(shù)學(xué)教育；ERIC；CNKI

1 研究背景

表征（representation）一詞源于認(rèn)知心理學(xué)，1966年布魯納（Bruner）為描述兒童的思維活動將其引入數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域，提出概念學(xué)習(xí)的活動性、圖象性及符號性3種表征形式[1]，引起了數(shù)學(xué)教育界的廣泛關(guān)注，尤其在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理和數(shù)學(xué)問題解決領(lǐng)域．萊什（Lesh）等認(rèn)為學(xué)生理解數(shù)學(xué)的一個(gè)要素是能夠表征數(shù)學(xué)，并在布魯納的基礎(chǔ)上豐富了它的內(nèi)涵，將線性方式發(fā)展的3類思維表征擴(kuò)展為網(wǎng)狀式的5類數(shù)學(xué)表征[2]，包括實(shí)際情境、操作模型、圖表、口語和書寫符號，而且強(qiáng)調(diào)了兩兩表征之間的相互轉(zhuǎn)換．韜爾（Tall）在布魯納的基礎(chǔ)上提出了3個(gè)世界理論[3]，包含具體化、符號化及形式化的世界，對應(yīng)學(xué)生的思維發(fā)展過程．Brachman認(rèn)為推理是對已知命題表征進(jìn)行復(fù)制、移動、拆分等操作之后形成新的命題表征的過程[4]，所以表征總與邏輯推理息息相關(guān)．

除數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理方面的研究，新世紀(jì)以來，數(shù)學(xué)表征已逐漸進(jìn)入數(shù)學(xué)課程、評價(jià)等領(lǐng)域．例如，全美數(shù)學(xué)教師理事會（National Council of Teachers of Mathematics，簡稱NCTM）在2000年出版的《數(shù)學(xué)原則與標(biāo)準(zhǔn)》（）中，從過程和結(jié)果兩個(gè)層面賦予“表征”意義，認(rèn)為表征既指表達(dá)數(shù)學(xué)概念的行為，也指數(shù)學(xué)概念形式本身，既表示外部可觀察到的，也表示內(nèi)部不能觀察到的過程與結(jié)果；數(shù)學(xué)表征也被認(rèn)為是一種數(shù)學(xué)能力，內(nèi)涵是指能夠創(chuàng)造、選擇或應(yīng)用各種數(shù)學(xué)表征來解決數(shù)學(xué)問題[5]．2000—2021年的歷屆PISA測試，均把數(shù)學(xué)表征作為重要的數(shù)學(xué)素養(yǎng)評價(jià)指標(biāo)；德國數(shù)學(xué)教育課程標(biāo)準(zhǔn)[6]、丹麥的KOM項(xiàng)目[7]等也都將數(shù)學(xué)表征列為數(shù)學(xué)教育目標(biāo)．

相比于國外，國內(nèi)在數(shù)學(xué)表征方面的研究起步較晚．不過早期也不乏從心理學(xué)模式研究問題表征，比如傅小蘭等通過一道數(shù)學(xué)問題測試34名大學(xué)生對問題的信息加工過程，發(fā)現(xiàn)信息遺漏、信息誤解以及隱喻干擾幾類表征錯誤[8]；陳英和、仲寧寧等運(yùn)用實(shí)驗(yàn)法、臨床訪談法考察不同水平學(xué)生在解決應(yīng)用題時(shí)表征策略的差異[9-11]；路海東等通過實(shí)驗(yàn)研究小學(xué)生解決和差問題的表征策略[12]；喻平等強(qiáng)調(diào)知識表征和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之間的關(guān)系[13]，比較不同年級學(xué)生問題表征的差異性[14]，也探究問題表征與個(gè)體認(rèn)知結(jié)構(gòu)的相關(guān)性；紀(jì)桂萍等分析學(xué)生問題表征與心理表征之間的關(guān)系[15]．后期研究已不限于心理學(xué)，比如徐斌艷等從教學(xué)角度出發(fā)考察學(xué)生的表征和轉(zhuǎn)換能力[16]，認(rèn)為表征是作為問題解決的重要策略，包括形式化、圖象、動作及語言化策略；其團(tuán)隊(duì)也從功能角度分析課程標(biāo)準(zhǔn)在歷史進(jìn)程中關(guān)于表達(dá)交流、操作轉(zhuǎn)換以及建模應(yīng)用3類不同表征的變化[17]．再比如陳志輝等基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的視角調(diào)查學(xué)生數(shù)學(xué)表征與轉(zhuǎn)譯能力[18]．

基于數(shù)學(xué)表征在數(shù)學(xué)教育中的重要性，許多研究團(tuán)體和國際會議都設(shè)置了相關(guān)研究專題．例如，數(shù)學(xué)教育心理學(xué)國際研討組（International Group for the Psychology of Mathematical Education，簡稱PME）在1989年專門成立數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中表征的研究工作組（http://www.igpme.org）；近幾屆的國際數(shù)學(xué)教育大會（International Congress on Mathematical Education，簡稱ICME）也將表征列入相關(guān)的課題研究組．比如，2021年在中國舉辦的第14屆國際數(shù)學(xué)教育大會（ICME-14）中，有3個(gè)專題研究小組——數(shù)學(xué)教育中的符號學(xué)，數(shù)學(xué)教與學(xué)中的可視化、數(shù)學(xué)教育中的語言和交流（https://www.icme14.org/static/en/index.html），即對應(yīng)數(shù)學(xué)表征的符號、可視化和語言3種表征形式．這說明，數(shù)學(xué)表征的相關(guān)研究已被國際數(shù)學(xué)教育界普遍關(guān)注．

中國新一輪課程改革的焦點(diǎn)是用數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)統(tǒng)領(lǐng)課程、教學(xué)與評價(jià)，而數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中對“數(shù)學(xué)抽象”“直觀想象”“數(shù)學(xué)建模”等的描述均與數(shù)學(xué)表征密切相關(guān)，因此，表征的研究對落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有重要的理論與實(shí)際意義．通過梳理近半個(gè)世紀(jì)關(guān)于數(shù)學(xué)表征的研究脈絡(luò)，從時(shí)間分布、研究對象、數(shù)學(xué)內(nèi)容、研究主題、分析框架5個(gè)方面分析表征在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域的研究現(xiàn)狀，旨在揭示數(shù)學(xué)表征研究等基本問題與發(fā)展趨勢．

2 研究過程

混合研究法（mixed methods）是同時(shí)或相繼地運(yùn)用定量和定性的方法來搜集和分析數(shù)據(jù)并用以解決問題的研究方法[19]．通過文獻(xiàn)數(shù)量統(tǒng)計(jì)獲取定量數(shù)據(jù)，用內(nèi)容分析法對其文本屬性或特征做出特定推斷而獲得定性數(shù)據(jù)，窺探其內(nèi)容本質(zhì)，為其做更詳細(xì)的解釋[20]．

教育資源信息中心（Education Resources Information Center，簡稱ERIC）是被教育研究者和實(shí)踐者使用最為廣泛的搜索引擎，2009年有120萬個(gè)文獻(xiàn)引文，其收錄時(shí)間年限為1966年至今．中國知網(wǎng)（China National Knowledge Infrastructure，簡稱CNKI）所包括的《中國學(xué)術(shù)期刊（網(wǎng)絡(luò)版）》是世界上最大的連續(xù)動態(tài)更新的中國學(xué)術(shù)期刊全文數(shù)據(jù)庫，收錄1915年至今的期刊．故用此兩個(gè)數(shù)據(jù)庫搜索國內(nèi)外數(shù)學(xué)教育方面文獻(xiàn)較為全面．

在ERIC中檢索關(guān)鍵詞“mathematical representation”，并粗略閱讀所有結(jié)果的題目及摘要，選取關(guān)于數(shù)學(xué)表征的期刊文章及報(bào)告、合集—會議等，下載具有全文可得性（full-text availability）的文獻(xiàn)．這些文章來源的期刊包含如“”等數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域中的SSCI期刊，而不能全文下載的文章大多源自“”等小眾期刊，且所占比例并不大，因此搜索到的全文可下載文獻(xiàn)已然能覆蓋數(shù)學(xué)教育絕大多數(shù)的文章，具有一定的代表性．獲取1973年至2020年12月之前的文獻(xiàn)173篇，同理在CNKI上獲取1994年至2020年12月之前的文獻(xiàn)76篇．

數(shù)據(jù)采集過程如下：首先將下載的249篇文獻(xiàn)粗略閱讀并排列；再將所有文獻(xiàn)二次閱讀，記錄發(fā)表時(shí)間、研究對象、研究問題等內(nèi)容，并標(biāo)記典型特征；再在數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)之后，根據(jù)數(shù)據(jù)特征對相關(guān)文獻(xiàn)精細(xì)閱讀并作質(zhì)性分析．

3 研究結(jié)果

3.1 時(shí)間分布

呈現(xiàn)兩個(gè)數(shù)據(jù)庫的信息并非為了比較，而是為了觀察國內(nèi)數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域?qū)?shù)學(xué)表征研究的現(xiàn)狀．如圖1所示，整體上兩個(gè)數(shù)據(jù)庫文獻(xiàn)的數(shù)量呈波動上升趨勢．自從布魯納將“表征”引入到數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域后，表征開始應(yīng)用于數(shù)學(xué)概念理解．從1973年開始，數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域的學(xué)者陸續(xù)開始關(guān)注學(xué)生的表征能力．在1987年Janvier發(fā)表表征的綜述之后，發(fā)表文獻(xiàn)數(shù)量略微上升，并且在教師、課堂等的研究中也開始引入表征術(shù)語，到2004年ERIC數(shù)據(jù)庫中出現(xiàn)一個(gè)小高峰，時(shí)隔十載，2013年的發(fā)文量再次出現(xiàn)高峰，到2019年發(fā)文量達(dá)到最高．

圖1 文獻(xiàn)年份分布趨勢

國內(nèi)表征的研究始于認(rèn)知心理學(xué)，20世紀(jì)90年代被引入數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域，不過其含義皆是借鑒了心理學(xué)中的概念．最初對表征的研究是基于思辨性的、介紹性的理論研究或心理學(xué)上的實(shí)證研究，且主要關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)知識表征、數(shù)學(xué)問題表征等，后來才轉(zhuǎn)向關(guān)于課堂或教師．發(fā)文量在2005年前后相對較高，主要由于當(dāng)時(shí)大批心理學(xué)家開展了關(guān)于學(xué)生數(shù)學(xué)表征的實(shí)驗(yàn)研究．在2013年之后數(shù)據(jù)明顯上升，說明越來越多的研究者關(guān)注數(shù)學(xué)表征在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域中的作用．而且近兩年撰寫數(shù)學(xué)表征文章的作者多數(shù)來自一線教師，他們從數(shù)學(xué)表征角度對課堂教學(xué)案例進(jìn)行設(shè)計(jì)和反思，意味著表征的研究已逐步進(jìn)入一線教師實(shí)踐領(lǐng)域．

3.2 研究對象

與數(shù)學(xué)表征相關(guān)的研究對象歸為學(xué)生、教師、課堂、教材及理論5類，為了解不同年份間學(xué)者關(guān)注研究對象的變化，于是統(tǒng)計(jì)不同研究對象的文章在不同年份的數(shù)量．因?yàn)闀r(shí)間跨度較大，則以3年為單位，具體見表1．易見近一半的研究將學(xué)生作為對象，其次是教師和理論，關(guān)于課堂和教材的研究最少，不過近10年以來表征在教師和教材領(lǐng)域的研究數(shù)量有明顯遞增的趨勢．而國內(nèi)對表征的研究主要聚焦于學(xué)生和理論，較少涉及教師．

表1 不同時(shí)段文獻(xiàn)數(shù)量分布

表1（續(xù)） 不同時(shí)段文獻(xiàn)數(shù)量分布

關(guān)于數(shù)學(xué)表征研究最早是面向?qū)W生開始，金（King）于19世紀(jì)70年代通過測試了解不同年齡段學(xué)生的形象表征和符號表征能力，實(shí)則是為了證明布魯納的認(rèn)知學(xué)習(xí)理論[1]．而且從表征角度研究學(xué)生一直以來并未間斷，尤其在20世紀(jì)之后數(shù)量迅速遞增．教師、課堂的表征研究均始于80年代前后，而20世紀(jì)之后才出現(xiàn)教材的表征研究，不過發(fā)文量基本都是逐年遞增，尤其是教師和教材．國內(nèi)最初的數(shù)學(xué)表征研究也是針對學(xué)生，比如大量研究從認(rèn)知心理學(xué)角度探究學(xué)生的數(shù)學(xué)問題表征，一直以來學(xué)生作為對象的研究占據(jù)多數(shù)．同時(shí)國內(nèi)不乏表征的理論辨析，其發(fā)文量也未呈現(xiàn)下降趨勢．而課堂和教材的表征研究起步較晚，當(dāng)一些技術(shù)軟件應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)，教育工作者也開始考慮可視化表征對其教學(xué)的影響，因此近幾年關(guān)于課堂的表征研究逐漸增多．

3.3 數(shù)學(xué)內(nèi)容

由于數(shù)學(xué)各內(nèi)容之間本身的交叉，故統(tǒng)計(jì)時(shí)并未過細(xì)區(qū)分，僅按照文獻(xiàn)所提的數(shù)學(xué)內(nèi)容歸類統(tǒng)計(jì)，如圖2所示，可見兩個(gè)數(shù)據(jù)庫的研究都主要以代數(shù)（數(shù)與運(yùn)算、方程與函數(shù)、微積分）為主，幾何次之，概率與統(tǒng)計(jì)最少．又因?yàn)閿?shù)學(xué)內(nèi)容與學(xué)段往往相關(guān)，因此也統(tǒng)計(jì)了文獻(xiàn)的研究學(xué)段占比，如圖3所示，可見表征的研究學(xué)段囊括幼兒、小學(xué)、初中、高中、大學(xué)5個(gè)階段．對應(yīng)其數(shù)學(xué)內(nèi)容，研究者最為關(guān)注小學(xué)的數(shù)與運(yùn)算以及初高中的方程與函數(shù)．

圖2 文獻(xiàn)研究內(nèi)容占比

圖3 文獻(xiàn)研究學(xué)段占比

具體而言，幼兒階段的表征研究主要關(guān)注數(shù)，比如通過數(shù)字的圖象、符號等外在表征方式來幫助學(xué)生理解數(shù)的含義．小學(xué)階段則涉及除微積分之外的所有數(shù)學(xué)內(nèi)容，不過最為注重?cái)?shù)與運(yùn)算的表征，尤其分?jǐn)?shù)的概念及運(yùn)算．由于分?jǐn)?shù)概念涵蓋整體、測量、商、算子和比多重表征結(jié)構(gòu)[21–22]，以及包括實(shí)物、表格等多種外在表征導(dǎo)致的復(fù)雜性使其通常成為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)，自然成為研究者的關(guān)注對象．比如Andrade通過學(xué)生感受可觸摸且可視化的分?jǐn)?shù)表征，即制作鐘表作為分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)的腳手架，幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)[23]．初高中主要研究方程與函數(shù)的表征，尤其函數(shù)，德國數(shù)學(xué)家F·克萊因認(rèn)為它是數(shù)學(xué)的“靈魂”．函數(shù)不同的表征轉(zhuǎn)換、轉(zhuǎn)換的內(nèi)涵或者是計(jì)算機(jī)軟件下圖象的動態(tài)表征等均被研究者所關(guān)注．Janvier首先闡述了函數(shù)不同表征之間的轉(zhuǎn)換功能，強(qiáng)調(diào)表征轉(zhuǎn)換在數(shù)學(xué)理解中的作用[24]．之后研究者對其在實(shí)踐方面進(jìn)行多角度探討，比如測試學(xué)生表征轉(zhuǎn)換能力、學(xué)生在表征轉(zhuǎn)換時(shí)出現(xiàn)的錯誤等．大學(xué)在表征上的研究主要延續(xù)函數(shù)內(nèi)容，聚焦于研究微積分的多元表征、不同表征之間的聯(lián)系與轉(zhuǎn)換以及學(xué)生對其的表征過程．

3.4 研究主題

統(tǒng)計(jì)所有文獻(xiàn)的研究問題，并據(jù)其對研究主題進(jìn)行分類，歸為表征能力、表征過程、表征使用、呈現(xiàn)表征及表征本身5類，見表2．表征是一個(gè)復(fù)雜的概念，在不同情境中有不同含義，所以作者會根據(jù)不同的需求選擇不同的內(nèi)涵．這里，表征能力（representation ability）是一種技能或素養(yǎng)[25]，指數(shù)學(xué)表征能力；表征過程（representation process）中的“表征”作為動詞[26]，描述動態(tài)過程；表征使用（using representations）中的“表征”作為名詞[27]，是以工具形式存在；表征特征（representation of）中的“表征”表示知識的呈現(xiàn)或表達(dá)[28]；表征本身（representation itself）是指表征概念或表征理論[29]．因?yàn)樾畔⒓夹g(shù)在各類研究中提及次數(shù)并不少，且對課堂教學(xué)呈現(xiàn)多元表征發(fā)揮巨大作用，所以也在此敘述．

（1）表征能力．

表征能力的研究對象主要為學(xué)生和教師，尤其是學(xué)生．這類研究通過調(diào)查、測量等方法了解學(xué)生和教師的數(shù)學(xué)表征能力現(xiàn)狀或水平，占比最大（30.93%）．表征能力被PISA、NCTM等已賦予了豐富的內(nèi)涵，而且PISA2000—2021年均將其作為學(xué)生數(shù)學(xué)基本能力之一．不過不同學(xué)者對表征能力研究的側(cè)重仍不盡相同，比如Hwamg關(guān)注學(xué)生的多元表征能力，探究學(xué)生幾何學(xué)習(xí)中多元表征能力是否影響學(xué)生的解題能力[36]；Hattkudur等聚焦學(xué)生建構(gòu)表征的能力，測試學(xué)生在函數(shù)學(xué)習(xí)中建構(gòu)圖象表征的能力[37]；郭萌等注重學(xué)生的表征轉(zhuǎn)換能力，調(diào)查五六年級學(xué)生的分?jǐn)?shù)表征轉(zhuǎn)換能力[38]．此類研究根據(jù)不同的研究目的而選擇不同的數(shù)學(xué)內(nèi)容，也通常與理解能力、問題解決能力等相聯(lián)系，如楊紅萍等研究學(xué)生問題表征能力與數(shù)學(xué)閱讀能力間的關(guān)系[39]．由于教師本身的數(shù)學(xué)表征能力與將知識轉(zhuǎn)化成讓學(xué)生容易理解的知識的能力息息相關(guān)，因此也不乏對教師進(jìn)行表征能力的測試，不過主要聚焦于職前教師，如Yilmaz等探究職前小學(xué)教師在問題提出中的多元表征能力[27]．

表2 不同研究主題文獻(xiàn)數(shù)量分布

（2）表征過程．

表征過程的探究是為了呈現(xiàn)動態(tài)的行為特征，研究對象僅有學(xué)生．大多研究者通過測試或觀察學(xué)生在某一領(lǐng)域數(shù)學(xué)問題的解答過程中發(fā)現(xiàn)學(xué)生表征過程的特點(diǎn)，例如，Adugymfi等通過測試學(xué)生在解答多項(xiàng)式函數(shù)來探究學(xué)生在代數(shù)與圖象之間進(jìn)行表征轉(zhuǎn)換的特征[26]．這類研究的目的可以是為了分析學(xué)生的錯誤表征過程而間接幫助學(xué)生，亦或是探究動態(tài)表征是否更有助于學(xué)生理解，比如Daher等證明了GeoGebra通過呈現(xiàn)不同函數(shù)表征的轉(zhuǎn)換確實(shí)幫助學(xué)生提高了解決數(shù)學(xué)問題能力[30]；也有不少學(xué)者探究學(xué)生的內(nèi)部表征，即思維活動與外部表征之間的轉(zhuǎn)換過程，比如Schindler等通過眼動跟蹤方法探究建構(gòu)整數(shù)表征的認(rèn)知加工過程，目的旨在了解學(xué)生概念學(xué)習(xí)的內(nèi)在認(rèn)知過程[40]．

（3）表征使用．

表征使用中的“表征”作為一種工具，研究對象包括學(xué)生、教師、課堂以及教材，目的是為了幫助學(xué)生學(xué)習(xí)．關(guān)于學(xué)生表征使用的研究中一部分是探究使用不同表征能否幫助學(xué)生問題解決或概念學(xué)習(xí)，比如巴桑卓瑪?shù)忍剿鞑刈鍖W(xué)生在問題解決中使用表征的特征[41]；大部分是探究信息技術(shù)支持下學(xué)生對動態(tài)表征的使用，如Ozgunkoca等比較技術(shù)軟件呈現(xiàn)的不同表征對學(xué)生學(xué)習(xí)線性函數(shù)的效果[42]．教師表征使用研究的目的是為了在教學(xué)中幫助學(xué)生，比如Stylianou等比較新手與專家教師在幾何教學(xué)中使用可視化表征的異同，結(jié)論是專家教師比新手教師使用可視化表征的頻率更高，并且學(xué)生的理解更為深刻[32]；教師在表征使用中往往也會借助信息技術(shù)，例如Bleich等研究教師是如何通過動態(tài)軟件使用圖片表征來解決問題的，并且總結(jié)圖片表征的功能包含交流、理解及美觀3類[43]．課堂中表征使用的研究實(shí)際上指教學(xué)活動中學(xué)生或教師對表征的使用，如蔡金法等比較中美課堂發(fā)現(xiàn)亞洲課堂的師生習(xí)慣使用符號表征，而美國師生喜歡使用口頭表征和圖片表征[33]．教材對表征的使用體現(xiàn)在電子教材中，如Yerushalmy等探究在技術(shù)支持下電子教科書中使用動態(tài)表征后教學(xué)的變化[34]．

（4）表征特征．

在展現(xiàn)教材的特點(diǎn)時(shí)經(jīng)常會用“表征”一詞，大多是通過單本或者比較多本不同版本教材而呈現(xiàn)教科書的表征，這里表征的含義與呈現(xiàn)相同．不過呈現(xiàn)教材特點(diǎn)也會從諸多方面考慮：有對問題解決過程的描述，比如范良火等比較不同國家數(shù)學(xué)教科書中數(shù)學(xué)問題解決過程的不同表征[28]；有從概念編排角度的探究，比如章飛等從概念形成、概念同化、概念建構(gòu)等方面展現(xiàn)教科書概念的表征方式[44]；有從語言學(xué)視角切入的研究，如?sterholm比較語言的簡潔度、復(fù)雜性、關(guān)系、人稱來展現(xiàn)教科書的特征[45]；也有通過數(shù)學(xué)問題的多元表征或者轉(zhuǎn)換來敘述，例如很多研究者通過分析數(shù)學(xué)問題的口語、符號、圖象或混合表征來呈現(xiàn)特點(diǎn)，再比如Chang將微積分教科書的特征通過問題的代數(shù)符號、圖象、表格、文本表征之間的轉(zhuǎn)換來展現(xiàn)[46]．

（5）表征本身．

表征本身內(nèi)涵豐富，在認(rèn)知心理學(xué)中指人腦內(nèi)部的心智活動，又可指思維活動的外在表現(xiàn)形式，可表示數(shù)學(xué)關(guān)系的過程，也表示關(guān)系的形式[6]，所以研究者會根據(jù)情境的不同而選取不同的內(nèi)涵．對于表征本身的研究，有從表征詞性分析，比如Iori分析教學(xué)過程中“sign”與“representation”的差異[35]；更多的是從內(nèi)部表征、外部表征、多元表征、表征轉(zhuǎn)換、表征能力、表征靈活性等多個(gè)子概念分析．從數(shù)學(xué)知識角度考慮，數(shù)學(xué)內(nèi)部表征指不同數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)之間的關(guān)聯(lián)，外部數(shù)學(xué)表征指數(shù)學(xué)人工符號系統(tǒng)；從概念認(rèn)知角度考慮，內(nèi)部表征被認(rèn)為是個(gè)人的心理表征，一般不能被直接觀察到，而外部表征指可觸摸的有形的行為或?qū)ο螅⑶彝獠亢蛢?nèi)部表征之間是互動的[47]．多元表征一般指多元外部表征，而且不少研究證明學(xué)生使用多元表征比單個(gè)表征更助于理解數(shù)學(xué)．表征轉(zhuǎn)換表示不同表征之間的相互變換，于學(xué)生而言，這種轉(zhuǎn)換能力即表征能力之一，表征靈活性也就成為其表征能力評價(jià)指標(biāo)之一[48]．?dāng)?shù)學(xué)表征能力被NCTM中以過程標(biāo)準(zhǔn)提出，主要是指學(xué)生能夠在問題解決和學(xué)習(xí)中具有創(chuàng)建、使用、選擇、應(yīng)用以及轉(zhuǎn)換表征的能力[5]，與PISA中的定義差異不大．結(jié)合表1發(fā)現(xiàn)國內(nèi)關(guān)于表征理論的介紹不在少數(shù)，主要以思辨方法綜述表征的定義、應(yīng)用或功能．

（6）信息技術(shù)．

Kaput于1986總結(jié)表征的兩種功能，一是數(shù)學(xué)本身可以作為思維和交流的工具，二是信息技術(shù)的引進(jìn)可以提供新的或多元的表征[29]．表2表明信息技術(shù)在各研究對象中均有參與，說明引入信息技術(shù)而提供新的表征、多元表征或者可視化表征已引起學(xué)者的關(guān)注，例如Santostrigo等探究如何用動態(tài)軟件表征圓錐曲線促使問題更容易被理解[49]．對于學(xué)生而言，信息技術(shù)提供的表征是為了幫助自己理解數(shù)學(xué)概念；于教師而言，如何利用信息技術(shù)來幫助學(xué)生學(xué)習(xí)而讓課堂變成高效課堂是其追求的目標(biāo)；于教材而言，電子教科書除卻迷你，便于攜帶的優(yōu)點(diǎn)外，更具特色的是可以提供多元的、動態(tài)的表征．對于信息技術(shù)的引入，雖然諸多研究表明多元表征可以加深學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解，但有時(shí)也會適得其反，比如Ainsworth等通過實(shí)驗(yàn)證明在技術(shù)支持下多元表征環(huán)境中，學(xué)生估算能力反而下降[50]．

3.5 分析框架

大部分研究者會參照NCTM中對數(shù)學(xué)表征能力的界定，實(shí)際上歸納為表征交流能力、表征轉(zhuǎn)換能力以及表征建模能力．徐斌艷等區(qū)分?jǐn)?shù)學(xué)表征能力以及表征轉(zhuǎn)換能力，認(rèn)為數(shù)學(xué)表征能力是用符號、圖表、文字等某種形式，表達(dá)數(shù)學(xué)概念或關(guān)系從而解決問題；數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換能力則解釋為為了簡化或解決問題而使用改變信息形態(tài)的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化策略[51]．并將表征能力劃分為3個(gè)水平，水平一指能夠針對數(shù)學(xué)對象提出并利用標(biāo)準(zhǔn)化表征，水平二為可以清晰地解釋給出的數(shù)學(xué)表征并轉(zhuǎn)換不同的表征形式，水平三為理解并應(yīng)用不熟悉的表征，能夠針對問題創(chuàng)建新的表征且有目的地評價(jià)表征[6]．

多數(shù)研究者會采用質(zhì)性分析法描述表征過程，主要針對學(xué)生解題過程．Adugymfi等為描述學(xué)生數(shù)學(xué)表征轉(zhuǎn)換過程而開發(fā)的模型可以清晰地描繪學(xué)生解題時(shí)表征轉(zhuǎn)換的行為以及解題過程中所犯的錯誤類型[26]，如圖4所示．由于表征轉(zhuǎn)換指表征之間的變換，故有源表征和靶表征兩個(gè)概念．源表征經(jīng)歷中間不同的過程后得到靶表征，并且循環(huán)過程可經(jīng)歷一次也可經(jīng)歷多次．其循環(huán)中的等值轉(zhuǎn)換指從源表征到靶表征傳遞的信息是等價(jià)的，即在轉(zhuǎn)換源表征的過程中保留了所有信息；性質(zhì)轉(zhuǎn)換指理解和識別源表征所具備的特征或性質(zhì)，比如在轉(zhuǎn)換函數(shù)圖象為解析式的過程中，識別和理解圖象上點(diǎn)、線含義的過程即為性質(zhì)轉(zhuǎn)換；操作轉(zhuǎn)換指運(yùn)算等操作過程，例如根據(jù)表格中的點(diǎn)繪制圖象的過程．等值轉(zhuǎn)換與性質(zhì)轉(zhuǎn)換兩個(gè)過程具有相似性，均保持了語義的一致性．差別在于，性質(zhì)轉(zhuǎn)換過程的靶表征上僅呈現(xiàn)源表征中明確的信息，而等值轉(zhuǎn)化過程的靶表征中會呈現(xiàn)源表征中不是很明確的信息．因此，在描述學(xué)生表征轉(zhuǎn)換的過程中即能診斷出學(xué)生的錯誤原因，包括操作轉(zhuǎn)換中出現(xiàn)的操作錯誤，或性質(zhì)轉(zhuǎn)換中的解釋錯誤，亦或等值轉(zhuǎn)換中的保留錯誤．

Ainsworth針對多元表征環(huán)境學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)的DeFT（Design，F(xiàn)unction，Tasks，簡稱DeFT）分析框架針對課堂、教師和學(xué)生[52]，包含設(shè)計(jì)、功能、任務(wù)3個(gè)維度．設(shè)計(jì)維度指教師為多元表征環(huán)境的課堂而從數(shù)量、信息、形式、序列、轉(zhuǎn)換方面所作的設(shè)計(jì)．表征數(shù)量指表征的頻次；信息分布指信息在不同表征上的分布；表征形式指照片、文字、動畫等表征的方式；表征序列指產(chǎn)生表征的先后順序；表征轉(zhuǎn)換指表征之間的相互轉(zhuǎn)換．表征的設(shè)計(jì)實(shí)際上隱含著教學(xué)功能，即框架的第二個(gè)維度，包括互補(bǔ)、解釋和深度理解功能．互補(bǔ)功能指不同表征所攜帶的信息可以相互彌補(bǔ)；解釋功能指利用多元表征更為有效地解釋信息；深度理解指通過多元表征的遷移構(gòu)建更深層次的理解．任務(wù)實(shí)際上是學(xué)生在課堂中所應(yīng)具備的表征能力．首先，學(xué)生應(yīng)該理解表征的形式，知道表征的編譯過程以及表征所表示的信息，比如需要知道表格由行、列、標(biāo)簽等組成；其次，學(xué)生應(yīng)理解表征與領(lǐng)域間的關(guān)系，比如在只有時(shí)間、距離兩個(gè)變量的圖表征上讀取速度時(shí)，需要理解圖表與速度之間的關(guān)系；第三、學(xué)生應(yīng)該學(xué)會選取適當(dāng)?shù)谋碚鳎热邕x擇折線圖來表示變化趨勢；最后，學(xué)生應(yīng)該學(xué)會構(gòu)建新的表征，比如有研究表明學(xué)生在繪制圖表，即創(chuàng)造新的表征時(shí)，比僅選擇已有圖表更有利于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理．

圖4 學(xué)生表征轉(zhuǎn)換過程模型

教材的表征研究更多的是呈現(xiàn)其表征特點(diǎn)，現(xiàn)較為常見的分析框架如表3所示[53]．對數(shù)學(xué)教材的活動、例題和練習(xí)題從表征、任務(wù)情境及認(rèn)知需求水平進(jìn)行分析．宏觀角度即選取教科書的數(shù)學(xué)內(nèi)容的分類．微觀角度即具體分析的維度，表征是展示問題的表示形式，任務(wù)情境是問題設(shè)置的背景，認(rèn)知需求即問題的難易程度．該框架除了可以獲取教材外在的數(shù)學(xué)表征特點(diǎn)之外，還能獲取教材難易程度或?qū)W(xué)生認(rèn)知要求的信息．

表3 教材中數(shù)學(xué)表征的分析框架

關(guān)于表征本身，韜爾最初是從布魯納的3種表征得到啟發(fā)，在經(jīng)歷一系列的實(shí)踐修改后總結(jié)出數(shù)學(xué)的“三個(gè)世界”理論，為具體化的、符號化的以及形式化的世界，對應(yīng)布魯納的動作性、算術(shù)的符號以及邏輯的符號表征．圖5所示的框架[3]是在原來“三個(gè)世界”的基礎(chǔ)進(jìn)行了調(diào)整，對應(yīng)學(xué)生的思維發(fā)展過程．具體化概念保持不變，依舊表示具體的、物理的、形象的數(shù)學(xué)概念；符號化概念進(jìn)行了窄化，定義為操作的符號化，僅聚焦于符號的運(yùn)算與操作，并且將其統(tǒng)稱為經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)．?dāng)U大了形式化概念內(nèi)涵，定義為公理的形式化，并且從理論的數(shù)學(xué)及公理形式化的數(shù)學(xué)兩個(gè)維度討論：理論的數(shù)學(xué)是通過已知對象的性質(zhì)、操作性質(zhì)推理而成，比如歐氏幾何學(xué)中所出現(xiàn)的定理；公理化形式化的數(shù)學(xué)是在集合論的基礎(chǔ)上，通過形式化的邏輯推導(dǎo)或證明而得到的性質(zhì)．?dāng)?shù)學(xué)思維長期的發(fā)展過程最初是先掌握具體化的概念表征，然后通過操作方式掌握操作性的符號化表征，這也就形成了經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)；之后通過感知的方式進(jìn)行概念的推理，或者操作符號進(jìn)行推理與證明，從而形成理論的數(shù)學(xué)，即形式化數(shù)學(xué)中的一部分；最后在具體化表征和符號化表征基礎(chǔ)上發(fā)展為形式化表征．自然地，在數(shù)學(xué)思維達(dá)到公理的形式化階段后，可以產(chǎn)生更多的具體化和符號化來促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)．

圖5 數(shù)學(xué)的“三個(gè)世界”理論

4 研究展望

4.1 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理

表征本身源于認(rèn)知心理學(xué)，引入數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域，一方面是解析學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)部表征，從而了解學(xué)生的思維發(fā)展過程，另一方面教師可以根據(jù)認(rèn)知規(guī)律更具針對性地作教學(xué)設(shè)計(jì)．雖然中國早期不乏從心理學(xué)角度探討數(shù)學(xué)表征，但依舊未形成系統(tǒng)的實(shí)踐理論．目前在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)統(tǒng)領(lǐng)的新課程改革中，越來越多的一線教師開始關(guān)注表征在課堂中的作用，試圖使用學(xué)生更易接受的表征形式來降低學(xué)生學(xué)習(xí)的認(rèn)知負(fù)荷．然而教師對表征的使用僅局限在外部表征層面，對教學(xué)的設(shè)計(jì)很少能夠真正從學(xué)生的思維發(fā)展過程考慮．因此從一線教師視角切入表征的研究可以從以下方面進(jìn)行：首先可以從表征角度深入探究培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的心理認(rèn)知過程，為教師更好地落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提供理論依據(jù)；其次，完善表征在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理的實(shí)踐理論，為教師診斷學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、合理設(shè)計(jì)多元表征環(huán)境的教學(xué)設(shè)計(jì)提供思路．

4.2 數(shù)學(xué)問題解決

加涅認(rèn)為問題解決是一種高級規(guī)則的學(xué)習(xí)，表征是解決數(shù)學(xué)問題的必備能力．首先，學(xué)生需要表征數(shù)學(xué)問題，包括字面的理解以及問題的深層理解，即學(xué)生頭腦中對數(shù)學(xué)問題的重述，這一步驟在很大程度上是學(xué)生能否解題的關(guān)鍵．其次，解決數(shù)學(xué)問題的過程需要表征轉(zhuǎn)換，而且需要避免出現(xiàn)概念理解或操作性的錯誤．所以學(xué)生對問題的表征能力以及不同表征之間轉(zhuǎn)換的能力尤為重要．而大部分研究聚焦于學(xué)生問題表征能力的現(xiàn)狀或水平，或者問題表征過程特征的呈現(xiàn)，對于如何通過問題解決培養(yǎng)學(xué)生表征能力的研究較為匱乏．基于此，從期望課程的角度考慮，教科書中的數(shù)學(xué)問題的表征方式、表征過程以及它需要培養(yǎng)學(xué)生的哪些素養(yǎng)是值得思考的問題．從實(shí)施課程的角度思考，中國對教師或者職前教師的表征研究原本甚少，所以教師本身如何在課堂中呈現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的合理表征，如何對學(xué)生在問題解決過程中的表征錯誤進(jìn)行對癥下藥，或者教師本身所具備多少表征能力等都值得深入研究．

4.3 信息技術(shù)使用

在前文不同對象的研究主題中，或多或少都有提到信息技術(shù)的使用．Kaput在20世紀(jì)80年代已關(guān)注到信息技術(shù)的引入導(dǎo)致數(shù)學(xué)教育的變化，不僅能夠提供不同表征形式的轉(zhuǎn)換，還可以直觀呈現(xiàn)新的表征形式、多元表征、聯(lián)結(jié)表征等．現(xiàn)階段教師越來越重視動態(tài)的、聯(lián)結(jié)的數(shù)學(xué)表征，使用幾何畫板、GeoGebra等軟件教學(xué)已然成為數(shù)學(xué)教學(xué)的流行方式．尤其在后疫情時(shí)代，數(shù)學(xué)教育與信息技術(shù)不容分割．大部分研究表明課堂上由信息技術(shù)帶來的表征形式有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)，但是反對的聲音也逐漸增多．天花亂墜的動態(tài)、可視化、多元的表征形式所充斥的課堂，是否真的有助于學(xué)生學(xué)習(xí)；是否對于所有學(xué)生都起到正面作用．所以亟需相關(guān)的實(shí)證研究為信息技術(shù)在課堂中的使用提供教學(xué)策略，一方面需要思考如何在課堂中有效使用信息技術(shù)；另一方面需要考慮哪些數(shù)學(xué)內(nèi)容的表征適合在課堂教學(xué)中引入動態(tài)軟件．

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Research Status of Representation on Mathematics Education

SHEN Yang1, ZHANG Jin-yu2, BAO Jian-sheng1

(1. School of Mathematical Sciences, East China Normal University, Shanghai 200241, China;2. Minhang Institute of Education, Shanghai 200241, China)

The concept of representation originates from cognitive psychology and is an important factor affecting mathematics learning. Using a mixed methods approach, the present study is aiming to analyze the studies on representation in the field of mathematics education, based on 239 papers related to mathematical representation in two important domestic and foreign databases, ERIC and CNKI. These papers are statistically analyzed from five aspects, i.e., the time distribution, research objects, mathematical content, research topics and analysis framework. Main results are as follows: the number of literatures related to mathematical representation has increased significantly in the past 10 years; in term of the research objects, most studies were focused on students, but the studies related to teachers and textbooks have become a trend; the content of mathematics is mostly limited to algebra, especially equations and functions.In terms of the research topic,the exploration of the mathematical representation ability of students and teachers dominates. From the perspective of analytical framework, different research topics usually have different analytical frameworks for analyzing various modes of representation, the function of representation and representation transformation in mathematics. On the whole, it has become a basic trend of representation research to carry out empirical research on multiple representations and their transformations in mathematics teaching from the perspectives of mathematical learning psychology, mathematical problem solving and information technology.

representation; mathematics education; ERIC; CNKI

2021–11–20

教育部人文社會科學(xué)重點(diǎn)研究基地重大項(xiàng)目——義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)學(xué)科核心能力模型與測評框架研究（11JJD880027）；上海市核心數(shù)學(xué)與實(shí)踐重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室基金（18dz2271000）

沈陽（1992—），女，浙江東陽人，博士生，主要從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論研究．

G420

A

1004–9894（2022）02–0082–08

沈陽，張晉宇，鮑建生．表征在數(shù)學(xué)教育中的研究現(xiàn)狀[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2022，31（2）：82-89．

[責(zé)任編校：周學(xué)智、陳漢君]