劉海玉 魏曉奇

摘?要：在“線上+線下”混合式教學(xué)模式下，根據(jù)線上與線下兩種教學(xué)模式的特點(diǎn)，本文探討了線性代數(shù)教學(xué)過程的課前、課中與課后三個(gè)階段的教學(xué)方式與教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計(jì)安排。

關(guān)鍵詞：混合式教學(xué);教學(xué)設(shè)計(jì);線性代數(shù)

中圖分類號(hào)：G642.0??文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Exploration?of?Teaching?Design?of?Linear?Algebra?in

Online?and?Offline?Mixed?Teaching?Mode

Liu?Haiyu?Wei?Xiaoqi

School?of?Mathematics?and?Physics，Jiangsu?University?of?Technology?JiangsuChangzhou?213001

Abstract：Based?on?the?characteristics?of?online?teaching?mode?and?offline?teaching?mode，designs?and?arrangements?of?teaching?method?and?teaching?contents?of?the?three?stages，Preclass?stage，Whileclass?stage，and?Postclass?stage，of?teaching?process?design?of?linear?algebra?are?explored.

Keywords：mixed?teaching?mode;teaching?design;linear?algebra

“線上+線下”混合式教學(xué)是網(wǎng)絡(luò)教學(xué)與課堂教學(xué)兩種教學(xué)模式的結(jié)合。其目的是以學(xué)生為中心，以教師為主導(dǎo)，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的積極性、主動(dòng)性和創(chuàng)造性。傳統(tǒng)的線下教學(xué)模式，也就是線下課堂教學(xué)，具有學(xué)習(xí)氛圍濃厚、師生互動(dòng)方便直接、情感交流豐富等優(yōu)勢(shì)。但也有其明顯的短板，比如嚴(yán)重受到時(shí)間和空間的限制、學(xué)習(xí)進(jìn)度完全取決于教師等。線上教學(xué)，也就是利用網(wǎng)絡(luò)在線教學(xué)，雖然突破了時(shí)間、地域的限制，但因?yàn)閹熒g的互動(dòng)與情感交流相對(duì)比較困難、對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的自覺性與主動(dòng)性要求高等原因，導(dǎo)致線上教學(xué)的效果并不理想。線上教學(xué)與線下教學(xué)兩種教學(xué)模式各有優(yōu)勢(shì)與短板，如何將這兩種教學(xué)模式有機(jī)融合起來，實(shí)現(xiàn)優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)，需要不斷地進(jìn)行探索。

一、線性代數(shù)課程特點(diǎn)和教學(xué)設(shè)計(jì)中存在的問題

線性代數(shù)是一門重要的大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程。其理論和方法不僅已經(jīng)滲透到數(shù)學(xué)的許多分支，也是物理、化學(xué)等很多學(xué)科不可缺少的代數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)。線性代數(shù)內(nèi)容抽象，概念與理論繁多，邏輯性強(qiáng)，前后知識(shí)聯(lián)系非常緊密。同時(shí)，線性代數(shù)課程普遍存在課時(shí)較少、教學(xué)模式單一、關(guān)于拓展應(yīng)用方面的教學(xué)內(nèi)容缺乏等特點(diǎn)。因此，為保證教學(xué)效果，提高教學(xué)質(zhì)量，近年，高校的一線教師通過優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容、改變教學(xué)模式、豐富教學(xué)資源等多方位聯(lián)合的方式對(duì)線性代數(shù)這門課程進(jìn)行改革。教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)資源的優(yōu)化改革包括補(bǔ)充一些概念的知識(shí)文化背景、引入相關(guān)的計(jì)算軟件、增加具體的應(yīng)用案例、增強(qiáng)拓展實(shí)踐環(huán)節(jié)等。新的教學(xué)模式主要包括翻轉(zhuǎn)課堂模式、線上教學(xué)模式，比如慕課、微課、私播課（Small?Private?Online?Courses，簡(jiǎn)稱SPOC）等，以及線上與線下相結(jié)合的混合式教學(xué)模式這三種模式。實(shí)踐表明，“線上+線下”混合式教學(xué)模式對(duì)于線性代數(shù)這門課程來說是教學(xué)效果比較好的一種模式。該教學(xué)模式既能發(fā)揮教師教學(xué)過程中的引導(dǎo)、啟發(fā)與監(jiān)督等主導(dǎo)作用，又能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的積極性、主動(dòng)性和創(chuàng)造性。

在“線上+線下”混合式教學(xué)模式下，教學(xué)設(shè)計(jì)起到至關(guān)重要的作用。為了將線上與線下兩種教學(xué)模式緊密融合，使教學(xué)內(nèi)容有效填充，教師需要根據(jù)課程的特點(diǎn)、線上與線下兩種教學(xué)模式的特點(diǎn)以及學(xué)生的特點(diǎn)等，對(duì)教學(xué)過程中線上與線下的教學(xué)時(shí)間、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)資源等各個(gè)部分進(jìn)行合理的安排與準(zhǔn)備。線性代數(shù)這門課程，因其概念與理論過于抽象，所以學(xué)生學(xué)習(xí)起來會(huì)有畏難情緒。因此大部分教學(xué)內(nèi)容需要在教師的帶領(lǐng)和督促下，學(xué)生才能有效地完成學(xué)習(xí)。為了取得更好的教學(xué)效果，同時(shí)為了減輕線下課堂教學(xué)學(xué)時(shí)少的壓力，線性代數(shù)這門課程應(yīng)該遵循“線上為輔、線下為主”的教學(xué)原則。教學(xué)過程可以分為課前預(yù)習(xí)、課中教學(xué)、課后拓展三個(gè)階段，其中課前預(yù)習(xí)和課后拓展兩個(gè)階段可以通過線上教學(xué)的方式進(jìn)行，而課中教學(xué)階段則宜采用傳統(tǒng)的線下教學(xué)模式。

二、“線上+線下”混合式教學(xué)模式下教學(xué)設(shè)計(jì)的改革

（一）課前線上預(yù)習(xí)階段

一方面因?yàn)榫€上學(xué)習(xí)對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)自覺性要求很高，另一方面為了不給學(xué)生課外的學(xué)習(xí)增加過多的負(fù)擔(dān)，所以課前的線上教學(xué)又可以分成必修和選修兩個(gè)部分。在時(shí)間安排上，課前線上教學(xué)的總時(shí)長(zhǎng)最好控制在30分鐘以內(nèi)，其中必修部分最好控制在15分鐘以內(nèi)。教學(xué)資料主要有教學(xué)計(jì)劃、教學(xué)大綱、思維導(dǎo)圖和微課視頻等。其中教學(xué)計(jì)劃、教學(xué)大綱和思維導(dǎo)圖可以幫助學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)任務(wù)和所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容有一個(gè)總體的認(rèn)識(shí)，了解所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容以及其中的重點(diǎn)、難點(diǎn)。微課視頻的內(nèi)容，可以是所要學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)的背景、相關(guān)的數(shù)學(xué)史、科學(xué)家傳記等能夠反映線性代數(shù)文化性的素材。因?yàn)榫€性代數(shù)中的一些概念非常抽象，如果學(xué)生在學(xué)習(xí)這些概念之前能夠了解相應(yīng)的背景，那么就比較容易接受和理解這些概念。而微課視頻的來源，可以是網(wǎng)上共享的精品課程、MOOC課程或自制微課視頻課程。如果為了更符合不同學(xué)校、不同專業(yè)或者不同基礎(chǔ)學(xué)生的需求，那么自制微課視頻是首選。

比如在為方陣的特征值與特征向量這一教學(xué)內(nèi)容準(zhǔn)備的課前預(yù)習(xí)視頻中，既可以介紹特征值與特征向量的知識(shí)背景，也可以介紹與特征值與特征向量這一概念相關(guān)的數(shù)學(xué)史或數(shù)學(xué)家勵(lì)志故事。比如可以介紹被稱為“數(shù)學(xué)世界的亞歷山大”的德國(guó)的偉大數(shù)學(xué)家大衛(wèi)·希爾伯特，因?yàn)槭撬状问褂锰卣髦蹬c特征向量這一稱呼。視頻內(nèi)容還可以介紹特征值與特征向量的相關(guān)應(yīng)用，特征值與特征向量的應(yīng)用非常廣泛，比如特征值與特征向量在Google搜索引擎中的應(yīng)用、在大數(shù)據(jù)分析中的應(yīng)用、在人臉識(shí)別中的應(yīng)用等。通過這些相關(guān)的知識(shí)背景、數(shù)學(xué)家或應(yīng)用案例的介紹，可以幫助學(xué)生了解特征值與特征向量的實(shí)際意義和應(yīng)用前景。讓學(xué)生看到的特征值與特征向量這些概念是立體而豐滿的，而不僅僅是一個(gè)個(gè)抽象的數(shù)學(xué)定義。通過這些應(yīng)用背景和應(yīng)用案例的介紹，還能夠幫助學(xué)生了解這些概念聯(lián)系著哪些實(shí)際問題。這不僅可以為后續(xù)其他課程的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備，而且能夠讓學(xué)生體會(huì)到特征值與特征向量的重要作用，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生帶著強(qiáng)烈的好奇心和求知欲去完成接下來的學(xué)習(xí)任務(wù)。課前線上教學(xué)內(nèi)容還可以對(duì)學(xué)習(xí)特征值與特征向量需要用到的知識(shí)基礎(chǔ)適當(dāng)做一些補(bǔ)充。比如，因?yàn)榍蠓疥嚨奶卣髦敌枰玫疥P(guān)于一元高次方程在復(fù)數(shù)域內(nèi)根的存在性與個(gè)數(shù)這一知識(shí)點(diǎn)，所以教師可以推送一些介紹這一知識(shí)點(diǎn)的視頻，讓學(xué)生在課前完成學(xué)習(xí)。因?yàn)榫€下學(xué)時(shí)的限制，這么做可以有效地緩解線下課堂教學(xué)的壓力。

（二）課中線下教學(xué)階段

線性代數(shù)這門課程具有理論抽象、知識(shí)點(diǎn)零碎等特點(diǎn)，很多定義、定理或命題因?yàn)檫^于抽象而不易于被學(xué)生理解。如果沒有老師面對(duì)面的啟發(fā)、引導(dǎo)與鼓勵(lì)，學(xué)生很容易因此而產(chǎn)生畏難情緒，從而導(dǎo)致學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)難以推進(jìn)。所以對(duì)于教學(xué)內(nèi)容中的重點(diǎn)和難點(diǎn)采用教師線下面授、著重講解和針對(duì)訓(xùn)練的方式更有助于學(xué)生的學(xué)習(xí)。同時(shí)因?yàn)榫€下課堂學(xué)習(xí)氛圍濃厚，且教師能夠及時(shí)地發(fā)現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)中存在的困難，所以線下課堂教學(xué)應(yīng)該是教學(xué)過程中的核心部分。

線下課堂的授課方式可以是教師講授和學(xué)生主講兩種。教學(xué)內(nèi)容中的重點(diǎn)和難點(diǎn)由教師主講并帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行針對(duì)性的訓(xùn)練。而相對(duì)比較易于理解的教學(xué)內(nèi)容，可以采用翻轉(zhuǎn)課堂的方式，由學(xué)生主講。教師可以首先將學(xué)生分成若干小組，然后將教學(xué)任務(wù)分派到每個(gè)小組。各小組的組員合作準(zhǔn)備分配到的教學(xué)任務(wù)，然后由每個(gè)小組派出學(xué)生代表講授相應(yīng)的內(nèi)容。利用這種翻轉(zhuǎn)課堂的教學(xué)方式，可以充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能動(dòng)性，而且學(xué)生通過備課、授課這種輸出的方式進(jìn)行學(xué)習(xí)，對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解會(huì)更加深刻全面。采用翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)方式時(shí)，教師在此過程中需要對(duì)各小組準(zhǔn)備的情況、小組成員的參與度進(jìn)行把關(guān)。

仍以特征值與特征向量這一教學(xué)內(nèi)容為例。因?yàn)橛辛苏n前線上的預(yù)習(xí)，線下課堂上，教師便可以直接給出特征值與特征向量的概念。隨后帶領(lǐng)學(xué)生一起探討如何求解特征值和特征向量。接下來引導(dǎo)學(xué)生去探索特征值和特征向量的性質(zhì)與應(yīng)用。因?yàn)檫@部分教學(xué)內(nèi)容的重點(diǎn)與難點(diǎn)是特征值與特征向量的求法，所以教師要慢慢地對(duì)其進(jìn)行分析講解。尤其是特征向量的求法。因?yàn)橐谬R次線性方程組的基礎(chǔ)解系表示出方陣的所有特征向量，所以對(duì)于這一知識(shí)點(diǎn)的講解，要發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，引導(dǎo)學(xué)生逐步分析為什么要這么求以及怎么求。為了更好地理解這些知識(shí)、方法，教師可以根據(jù)常用的解題方法和解題技巧等，精心設(shè)計(jì)典型例題，幫助學(xué)生通過訓(xùn)練提高邏輯分析能力與解題能力。而對(duì)于特征值與特征向量的性質(zhì)等相對(duì)比較容易理解的知識(shí)點(diǎn)，可以采用翻轉(zhuǎn)課堂的方式，由學(xué)生講解。

（三）課后拓展評(píng)價(jià)階段

課后線上教學(xué)的內(nèi)容是課中課堂教學(xué)內(nèi)容的適當(dāng)補(bǔ)充和重要延展，便于學(xué)生在課后對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行鞏固、自測(cè)與提升。課后線上學(xué)習(xí)的時(shí)長(zhǎng)安排彈性較大，教師可根據(jù)教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生的情況酌情安排。課后線上資源在包括作業(yè)、自測(cè)、答疑等內(nèi)容的同時(shí)，還可以含有對(duì)教學(xué)內(nèi)容中的重點(diǎn)和難點(diǎn)的總結(jié)回顧，另外對(duì)課堂所學(xué)知識(shí)點(diǎn)的拓展和補(bǔ)充也是重要的一部分內(nèi)容。對(duì)于教學(xué)內(nèi)容中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，教師可以將知識(shí)點(diǎn)碎片化，并將這些小知識(shí)點(diǎn)錄制成一些簡(jiǎn)短的微課視頻，便于學(xué)生根據(jù)自身的情況，選取相應(yīng)的視頻重新觀看學(xué)習(xí)。學(xué)生在觀看視頻時(shí)，不僅可以根據(jù)自身對(duì)視頻內(nèi)容的理解程度自由設(shè)置播放速度，對(duì)于難以理解的部分還可以反復(fù)回看學(xué)習(xí)。實(shí)踐證明，利用課后線上這些教學(xué)輔導(dǎo)視頻，大部分學(xué)生可以解決在課堂中留下的問題。

線性代數(shù)這門課程由于普遍存在課時(shí)緊張的情況，所以教師往往為了完成教學(xué)任務(wù)，只能“重理論知識(shí)，輕實(shí)踐拓展”，這就導(dǎo)致教學(xué)內(nèi)容中的拓展部分很少，或者直接沒有實(shí)踐拓展。所以，為了培養(yǎng)能夠適應(yīng)和支撐產(chǎn)業(yè)發(fā)展的應(yīng)用型工程人才，課后的線上知識(shí)拓展部分是不可或缺的。而目前大部分線性代數(shù)的教材和教學(xué)資源中關(guān)于知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用拓展都比較缺乏，所以教師要補(bǔ)充并及時(shí)更新相關(guān)的教學(xué)資源，將一些實(shí)際應(yīng)用案例以微視頻或文字的形式推送給學(xué)生觀看學(xué)習(xí)，彌補(bǔ)這方面的不足。這些應(yīng)用案例既可以涉及同學(xué)們感興趣的一些熱點(diǎn)話題，還可以和學(xué)生的后續(xù)專業(yè)學(xué)習(xí)相關(guān)。對(duì)每一個(gè)應(yīng)用案例，可以按照問題描述、建立模型、求解模型、實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析、提高與拓展分為五個(gè)部分，對(duì)學(xué)生進(jìn)行指導(dǎo)。學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，通過具體應(yīng)用案例的學(xué)習(xí)，可以初步建立建模思想，從而提高他們運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析和解決問題的能力。課后線上的應(yīng)用案例教學(xué)和拓展部分，雖然可以不做期末考試要求，但是為學(xué)有余力的同學(xué)提供了有效的能力提高途徑。

以方陣的特征值與特征向量這一知識(shí)點(diǎn)的補(bǔ)充和拓展內(nèi)容為例，對(duì)于特征值與特征向量的求法、幾何意義這些知識(shí)點(diǎn)，可以從互聯(lián)網(wǎng)的共享資源中選取或自制一些微課視頻推送給學(xué)生課后復(fù)習(xí)、鞏固。因?yàn)樘卣髦蹬c特征向量有重要的應(yīng)用價(jià)值，比如在工業(yè)增長(zhǎng)模型中、生態(tài)模型中、人臉識(shí)別系統(tǒng)中、馬爾科夫穩(wěn)態(tài)問題中等，很多地方都有應(yīng)用，所以拓展實(shí)踐部分的內(nèi)容應(yīng)圍繞其實(shí)際應(yīng)用設(shè)計(jì)。這方面的應(yīng)用案例可以通過有關(guān)的文章、微視頻或設(shè)計(jì)成數(shù)學(xué)建模問題等多種形式推送到線上，供學(xué)生閱讀、學(xué)習(xí)并實(shí)踐。雖然線下課堂學(xué)時(shí)有限，在課堂上很難進(jìn)行過多的拓展，但是利用課后線上的這些教學(xué)資源，可以很好地彌補(bǔ)這方面的不足，極大地豐富學(xué)生的視野，鍛煉學(xué)生的應(yīng)用能力。

教師通過平臺(tái)上的簽到情況、作業(yè)的質(zhì)量以及視頻學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)等，再根據(jù)學(xué)生對(duì)課后線上學(xué)習(xí)的體會(huì)與反饋，可以較好地掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，并及時(shí)對(duì)學(xué)生進(jìn)行答疑輔導(dǎo)。經(jīng)過教學(xué)實(shí)踐證明，課后線上的這種拓展、評(píng)價(jià)方法對(duì)學(xué)生的課外學(xué)習(xí)起到了很好的輔助作用，取得了良好的教學(xué)效果。

結(jié)語

從線性代數(shù)這門課程“線上+線下”混合式教學(xué)的實(shí)踐過程及取得的教學(xué)效果來看，混合式教學(xué)具有傳統(tǒng)線下教學(xué)或完全線上教學(xué)不能夠比擬的優(yōu)勢(shì)。是否能夠充分發(fā)揮混合式教學(xué)的優(yōu)勢(shì)，合理有效的教學(xué)過程設(shè)計(jì)、線上線下教學(xué)素材的準(zhǔn)備都是至關(guān)重要的。線性代數(shù)課程的教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)該根據(jù)線上與線下課堂的優(yōu)勢(shì)與短板、課程本身的特點(diǎn)及不同專業(yè)、不同基礎(chǔ)學(xué)生的特點(diǎn)，合理地安排教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)時(shí)間，并采取適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法，充分發(fā)揮線上、線下兩種教學(xué)模式各自的優(yōu)勢(shì)，實(shí)現(xiàn)優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)。

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作者簡(jiǎn)介：劉海玉（1979—?），女，在讀博士，講師，研究方向：同調(diào)代數(shù)與環(huán)論;魏曉奇（1989—?），男，博士，講師，研究方向：交換代數(shù)。