摘 要:近年來(lái),隨著高考改革的逐步深入,廣東省高考逐步采用了全國(guó)卷,廣東省的中考也采用了廣東省組織統(tǒng)一出卷考試方式.在的考試背景下,本文通過(guò)研究中考題,站在初中教學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)思考初高中的銜接問(wèn)題.主要關(guān)注在中考改革的背景下,初中教師在教學(xué)中有哪些內(nèi)容可以拓展,可以更長(zhǎng)遠(yuǎn)地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,讓學(xué)生順利地適應(yīng)高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí).因此,作為初中教師,筆者認(rèn)為需要多研究初高中銜接問(wèn)題,既在初中的層面研究中考題,也要在更高維度深入剖析中考題,深入思考初高中知識(shí)的聯(lián)系與銜接.
關(guān)鍵詞:中考;初高中銜接;數(shù)學(xué)教學(xué)
中圖分類號(hào):G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A?? 文章編號(hào):1008-0333(2022)05-0014-03
收稿日期:2021-11-15
作者簡(jiǎn)介:陳曉嵐(1993.1-),女,廣東省佛山人,本科,中學(xué)二級(jí)教師,從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.
1 引言
2021年廣東省數(shù)學(xué)中考試題公布之后,引起了教研人員、一線教師及數(shù)學(xué)愛(ài)好者的熱議.2021年中考與高中銜接的內(nèi)容非常多,筆者認(rèn)為,中考數(shù)學(xué)試題撇去偏、難、題量大等問(wèn)題,更重要的是給我們一個(gè)明確的方向——中考將與高中有更緊密的銜接.本文選取2021年廣東省中考題第9題、第10題、第23題,從解題思路、與高中數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系及教學(xué)啟示等方面來(lái)進(jìn)行剖析.
2 典例分析
例1 (2021年廣東省卷第9題)我國(guó)南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式,此公式與古希臘幾何學(xué)家海倫提出的公式如出一轍,即三角形的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,記p=a+b+c2,則其面積S=pp-ap-bp-c.這個(gè)公式也被稱為海倫﹣秦九韶公式.若p=5,c=4,則此三角形面積的最大值為(? ).
A.5? B.4? C.25? D.5
2.1 試題分析
經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單化簡(jiǎn)可求出a+b=6,S=5ab-5,即要通過(guò)a+b=6求S的最大值.利用初中階段的重要數(shù)學(xué)思想 “消元”,即可以把b=6-a代入S=5ab-5,得S=5a6-a-5,通過(guò)配方法得到S=5·-a-32+4,所以當(dāng)a=3時(shí),S的最大值為25,答案選C.
本題考查的是利用消元思想和二次函數(shù)知識(shí)求最值,但是因?yàn)榭疾榈男问奖容^新穎,是以“海倫公式”為切入點(diǎn),先入為主地給學(xué)生心理壓力,學(xué)生會(huì)因?yàn)椴徽J(rèn)熟悉這個(gè)公式而慌神,導(dǎo)致一下子沒(méi)有思路.再者,這道題難在沒(méi)有直接給出二次函數(shù),需要學(xué)生代入消元才在根式中出現(xiàn)二次函數(shù),所以消元與根式也給學(xué)生造成了解題阻礙.2.2 與高中數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系
本題從a+b=6,S=5ab-5,再次分析,可以看出關(guān)鍵在于通過(guò)a+b的值求出ab的最大值,那么最直接考查的知識(shí)應(yīng)該是高中的基本不等式a+b2≥ab,而且a>0,b>0,當(dāng)a=b時(shí),取得最值.從而得到當(dāng)a=b=3時(shí),ab=9,此時(shí)S=5·9-5=25.
例2 (2021年廣東省卷第10題) 設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A、B為拋物線y=x2上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且OA⊥OB.連接點(diǎn)A、B,過(guò)O作OC⊥AB于點(diǎn)C,則點(diǎn)C到y(tǒng)軸距離的最大值(? ).
A.12? B.22? C.32? D.1
2.3 試題分析
以下兩種解法是初中階段的解答方法,都是在函數(shù)背景中,利用相似三角形和隱圓的知識(shí)找到滿足條件的點(diǎn)C位置,從而解決本題.根據(jù)初中知識(shí)本題考查學(xué)生的作圖能力、數(shù)形結(jié)合思想,函數(shù)和幾何的綜合運(yùn)用能力.
解法1 如圖1,分別作AE、BF垂直于x軸于點(diǎn)E、F,設(shè)OE=a,OF=b,由拋物線解析式為y=x2,則AE=a2,BF=b2,作AH⊥BH于H,交y軸于點(diǎn)G,連接AB交y軸于點(diǎn)D,設(shè)點(diǎn)D(0,m),因?yàn)镈G∥BH,所以△ADG∽△ABH,于是DGBH=AGAH,即m-a2b2-a2=aa+b.化簡(jiǎn)得:m=ab.
有因?yàn)椤螦OB=90°,所以∠AOE+∠BOF=90°,又∠AOE+∠EAO=90°,所以∠BOF=∠EAO,又∠AEO=∠BFO=90°,所以△AEO∽△OFB.所以AEOF=EOBF,即a2b=ab2,化簡(jiǎn)得ab=1.則m=ab=1,說(shuō)明直線AB過(guò)定點(diǎn)D,D點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1).又∠DCO=90°,DO=1,所以點(diǎn)C是在以DO為直徑的圓上運(yùn)動(dòng),所以當(dāng)點(diǎn)C到y(tǒng)軸距離等于此圓半徑12時(shí),點(diǎn)C到y(tǒng)軸距離的最大.
解法2 如圖2,分別作AE、BF垂直于x軸于點(diǎn)E、F,又因?yàn)锳O⊥BO,所以△AOE∽△OBF.
設(shè)A(a,a2),B(b,b2),
所以O(shè)EBF=AEOF,即-ab2=a2b,化簡(jiǎn)得ab=-1.
所以B(-1a,1a2)
設(shè)AB:y=kx+m,把A、B代入得m=1.所以直線AB必過(guò)點(diǎn)D(0,1),OD=1,于是點(diǎn)C是在以DO為直徑的圓上運(yùn)動(dòng),所以當(dāng)點(diǎn)C到y(tǒng)軸距離等于此圓半徑12時(shí),點(diǎn)C到y(tǒng)軸距離的最大.如果跳出初中知識(shí)的限制,這道題還有兩種解法,分別涉及基本不等式和對(duì)勾函數(shù).而且這兩種方法會(huì)更加直接,不需要結(jié)合圖形,用純代數(shù)的方法即可解出.
解法3 由解法1和解法2,均可以得到AB:
y=kx+1①
則OC:y=-1kx②
聯(lián)立①②,解得x=-1k+1k=1-k-1k.
由基本不等式的變形ba+ab≥2(a>0,b>0)可知,
當(dāng)k>0時(shí),k+1k≥2,x≥-12;
當(dāng)k<0時(shí),-k+-1k≥2,x≤12;
當(dāng)k=0時(shí),x=0.
綜上所述,點(diǎn)C到y(tǒng)軸距離最大為12.
解法4 由解法1和解法2,均可以得到
AB:y=kx+1①
則OC:y=-1kx②
聯(lián)立①②,解得x=-1k+1k=1-k-1k
如圖3,由對(duì)勾函數(shù)y=k+1k可知:k>0,當(dāng)k=1時(shí),k+1k的值最小,最小值為2,此時(shí)x=-12;k<0,當(dāng)k=-1時(shí),k+1k的值最大,最大值為-2,此時(shí)x=12.綜上所述,點(diǎn)C到y(tǒng)軸距離最大為12.
2.4 與高中數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)銜接分析
基本不等式的解法(解法三)是高中數(shù)學(xué)研究函數(shù)最值時(shí)常用的方法之一.筆者認(rèn)為解答此題時(shí)利用解法三思路清晰,不過(guò)要涉及基本不等式和分類討論,對(duì)于初中生的要求較高,初中階段還沒(méi)有接觸基本不等式.另外,本解法涉及的分類討論,雖然在初中學(xué)生已經(jīng)有接觸和體驗(yàn),但是學(xué)生對(duì)分類討論的掌握仍然有困難.更多的初中生未必會(huì)選擇這樣的解法來(lái)求解.相反地,在高中階段更多地使用這種接法.因此,從解法三中我們感受到初高中在思維層面銜接上還有一些差距.
對(duì)勾函數(shù)的解法(解法四)是基于解法三的分析再結(jié)合圖像求解的,只不過(guò)是分類討論,解法直接利用對(duì)勾函數(shù)y=k+1k的圖象取得最值.根據(jù)圖像能很清晰地得到答案,相對(duì)于解法一、解法二要簡(jiǎn)潔很多,不過(guò)利用對(duì)勾函數(shù)來(lái)解決問(wèn)題是學(xué)生的盲區(qū).如果能在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)圖像來(lái)找最值,分析問(wèn)題,并給學(xué)生充足的時(shí)間來(lái)思考,發(fā)展學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).
例3 (2021年廣東省卷23)如圖,邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中,點(diǎn)E為AD的中點(diǎn).連接BE,將△ABE沿BE折疊得到△FBE,BF交AC于點(diǎn)G,求CG的長(zhǎng).
2.5 試題分析
解法一 如圖5,延長(zhǎng)BF交CD于H,連接EH.
易得AC=AD2+CD2=12+12=2,由翻折的性質(zhì)和正方形的性質(zhì),可證Rt△EHD≌Rt△EHF(HL),然后證出△EDH∽△BAE,所以EDAB=DHEA=12,因?yàn)镃H∥AB,所以CGGA=CHAB=34,所以CG=37AC=327.
本題解法一主要考查初中階段翻折變換,正方形的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是求出DH,CH,利用平行線分線段成比例定理解決問(wèn)題即可.
解法二 由勾股定理和三角函數(shù)易得,
sin∠EBA=55,cos∠EBA=255,根據(jù)二倍角公式,得sin∠ABF=2sin∠EBA·sin∠EBA=45.
設(shè)BG=5x,BH=3x,GH=4x
由△AGH∽△ACB,得GHCB=AHAB,求得x=17
通過(guò)勾股定理求出CG=3272.6 與高中數(shù)學(xué)知識(shí)銜接分析
根據(jù)上述的題目分析,明顯可以看出,解法二比解法一所作的輔助線少、思維更加直接、所需的知識(shí)點(diǎn)少、證明過(guò)程簡(jiǎn)潔等諸多好處,但是二倍角公式是高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)的知識(shí),初中只是接觸了簡(jiǎn)單的銳角三角函數(shù)及簡(jiǎn)單的誘導(dǎo)公式如cosα=sin90°-α,而且對(duì)于這個(gè)公式的使用也不多,僅僅處于了解的程度.所以,學(xué)生進(jìn)入高中之后,一下子接觸眾多的二倍角公式、半角公式等,會(huì)明顯感到吃力.這也體現(xiàn)了初中和高中階段之間的知識(shí)層次及學(xué)習(xí)能力方面的的差距.
參考文獻(xiàn):
[1] 2021年廣東省中考數(shù)學(xué)試卷.
[2] 張煒.淺談新課程標(biāo)準(zhǔn)下初高中數(shù)學(xué)教學(xué)的銜接[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊,2020(30):23-24.
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