【摘 要】 文章在探究性學(xué)習(xí)的導(dǎo)引下踐行了“三個理解”，基于三個理解的內(nèi)涵在教師的組織下學(xué)生自主完成了一道矩形章節(jié)復(fù)習(xí)題的知識建構(gòu)，通過探究幫助學(xué)生內(nèi)化了基礎(chǔ)知識及知識間的聯(lián)系，優(yōu)化了知識結(jié)構(gòu)，強(qiáng)化了解題的基本技能，深化了問題解決的基本數(shù)學(xué)思想方法，積累了基本活動經(jīng)驗，提升了數(shù)學(xué)素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】 三個理解;探究性學(xué)習(xí);合作交流

“三個理解”是指理解數(shù)學(xué)、理解教學(xué)、理解學(xué)生，它是伴隨課改產(chǎn)生的一個教學(xué)理論，距章建躍博士首次提出已十年有余，但卻歷久彌新，對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)發(fā)揮著指導(dǎo)作用.探究性學(xué)習(xí)是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)科領(lǐng)域內(nèi)自行選取或教師幫助選取某個具體問題作為突破點(diǎn)，通過質(zhì)疑發(fā)現(xiàn)問題，借助調(diào)查研究、小組合作交流分析研討問題，依托表達(dá)與操作解決問題等探究活動獲得知識并掌握方法的一種學(xué)習(xí)方式，它能成為當(dāng)下一種流行的學(xué)習(xí)方式主要因為它可以盡最大程度的體現(xiàn)學(xué)生角色的主體性、自主性、開放性，重視知識內(nèi)化的過程性、實踐性，同時還關(guān)注學(xué)生思維形成的深刻性、靈活性與廣闊性;而復(fù)習(xí)題作為將數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能與基本數(shù)學(xué)思想方法系統(tǒng)化的有效載體有著不可替代的作用，筆者在平行四邊形章節(jié)復(fù)習(xí)時遇到了一道涉及“中點(diǎn)”的矩形綜合題，采取探究性學(xué)習(xí)的方式實施了教學(xué)，并在教后產(chǎn)生了探究性學(xué)習(xí)在促進(jìn)“三個理解”教學(xué)的一些體會，現(xiàn)將授課實錄與教后思考整理成文與讀者交流.

1 試題的呈現(xiàn)

如圖1，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在CB的延長線上，且AC=EC，連接AE，點(diǎn)F為AE中點(diǎn)，連接BF與DF，求證：DF⊥BF.

2 教學(xué)過程

片段一

師：同學(xué)們，認(rèn)真分析題目的條件并觀察圖形，你能得到哪些有用信息？

（小組合作交流，時間3分鐘）

生1：第一個條件是四邊形ABCD為矩形，所以矩形的性質(zhì)是解決本題的必要條件.

師：矩形有哪些性質(zhì)？

生1：矩形具有平行四邊形的一切性質(zhì)，例如對邊平行且相等，此外矩形的四個角均為直角，對角線相等且平分.

師：很全面，已知條件還有其它信息嗎？

生1：第二個條件為AC=EC，說明△ACE是等腰三角形，還應(yīng)使用等腰三角形的性質(zhì).

師：如何使用呢？

生1：結(jié)合第三個條件點(diǎn)F為AE中點(diǎn)，所以連接CF后由等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可知CF⊥AE，同時BF為Rt△ABE斜邊上中線，也可得到BF=AF=EF=12AE.

師：很好，生1給出第一種思路，大家看圖2，思考如何證明∠DFB=90°？

（小組合作交流，教師給出圖2）

設(shè)計意圖 問題是數(shù)學(xué)的心臟，探究性學(xué)習(xí)應(yīng)在教師預(yù)設(shè)的問題下引導(dǎo)進(jìn)行，否則學(xué)生就會漫無目的地討論、交流，甚至偏離解題的主題，這就需要教師課前細(xì)致的預(yù)設(shè)問題，“形成并改進(jìn)預(yù)設(shè)”比“善待生成”更重要;同時也需要學(xué)生認(rèn)真讀題從已知條件中挖掘有用信息，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)解題的大致方向，這也是對學(xué)生解題的初級要求，這里經(jīng)過師生互動后教師通過簡單點(diǎn)播很快將學(xué)生帶入解題情境.

師：同學(xué)們，通過觀察圖形又有新的發(fā)現(xiàn)嗎？

生2：我們由BF=AF發(fā)現(xiàn)∠1=∠2，結(jié)合生1同學(xué)的思路容易得出△ADF≌△BCF，所以∠3=∠4，同時由CF⊥AE知∠5=90°-∠3，∠6=90°-∠4，所以∠5=∠6，要證∠DFB=90°只需證∠4+∠5=90°.

師：很好，結(jié)合∠3=∠4，∠5=∠6怎么找∠4和∠5的關(guān)系呢？

生眾：∠3+∠4+∠5+∠6=180°，只需將∠3和∠6分別代換成∠4和∠5就可以了.

師：太好了，從邊的等量關(guān)系找角的關(guān)系體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，這樣就解決了問題，哪位同學(xué)板演一下過程.

（學(xué)生板演后師生共同查漏補(bǔ)缺并規(guī)范過程）

設(shè)計意圖 在教師的引導(dǎo)下學(xué)生從長時記憶中聯(lián)系中點(diǎn)、等腰三角形、矩形等相關(guān)知識，借助圖形、文字、符號等形式對信息進(jìn)行加工，在合作交流中確定題目的已知條件、相關(guān)知識、待證結(jié)論之間的相互聯(lián)系，并作出解決問題的基本判斷從而解決了問題.要說思維活動是解決問題的前提那么實際操作是檢驗學(xué)習(xí)效果的重要方式，通過板演可以發(fā)現(xiàn)思維的漏洞，教師通過指導(dǎo)書寫的規(guī)范性就可避免學(xué)生只會說不會寫的尷尬局面.

片段二

師：同學(xué)們，上面我們用到了等腰三角形、直角三角形與中點(diǎn)相關(guān)的性質(zhì)，除此之外點(diǎn)F為AE中點(diǎn)還可以與誰結(jié)合使用？例如與平行線.

生3：本章“中點(diǎn)”碰到“平行線”往往會出現(xiàn)“對頂”的兩個三角形全等.

師：對！這是一個重要數(shù)學(xué)模型，根據(jù)這一思路同學(xué)們思考如何作出輔助線.

生3：延長DA與BF延長線交于點(diǎn)G，易得△AFG≌△EFB，進(jìn)而AG=EB，BF=GF.

（教師畫出圖3，學(xué)生看圖交流）

師：很好，利用這一結(jié)果怎么解決DF⊥BF問題？請同學(xué)們認(rèn)真觀察圖形并認(rèn)真思考.

生4：因為點(diǎn)F為BG中點(diǎn)已證，由“三線合一”只需證明DG=BD，借助矩形的對角線相等這一性質(zhì)我們不難發(fā)現(xiàn)BD=AC，再結(jié)合已知條件AC=EC，只要DG=EC就可以了，進(jìn)一步對AG=EB與AD=BC使用等式性質(zhì)不難得出.

師：非常棒，我們對平行線搭配中點(diǎn)的模型與等腰三角形“三線合一”性質(zhì)的組合使用也解決了問題，利用同一思想我們還可以延長DF與CB的延長線交于點(diǎn)G，課后同學(xué)們可類比完成.

（學(xué)生整理思路與過程，查漏補(bǔ)缺）

設(shè)計意圖 多角度的思考問題可以提高學(xué)生思維的靈活性、廣闊性，這里從不同的方面處理信息加深了學(xué)生對矩形等新授知識的理解度，也鞏固了學(xué)生對等腰三角形等固有知識的認(rèn)識，并體會了幾者之間的相互聯(lián)系.預(yù)設(shè)的問題跨度不宜太大，以免超越學(xué)生的思維層次，這里教師在引導(dǎo)“中點(diǎn)”的使用方向時故意將問題指向“平行線”，就是在目的明確的前提下發(fā)散思維并解決問題.類比推理是合情推理的一種重要表達(dá)形式，受課堂容量、剩余時間等因素的制約，最后給出與生4類似的思路，學(xué)生可以在課后以作業(yè)等形式檢測學(xué)習(xí)的效果.

片段三

師：我們再來思考還有哪些與中點(diǎn)相關(guān)的定義與性質(zhì)？

生眾：三角形的中位線.

師：三角形的中位線需要兩個中點(diǎn)，點(diǎn)F是一個，還有其它中點(diǎn)嗎？

（小組交流，尋求另一個中點(diǎn)）

生5：矩形的對角線相互平分，所以可以連接對角線BD交AC于點(diǎn)O，點(diǎn)O為另一個中點(diǎn)，連接OF.

（教師畫出圖4，學(xué)生結(jié)合圖形思考）

生6：此時OF為△AEC的中位線，則OF=12CE，易知OF=12CE=12AC=12BD，直角三角形斜邊上中線為斜邊一半，所以DF⊥BF.

師：生6的想法很好，但“直角三角形斜邊上中線為斜邊一半”是在直角三角形條件下找線段間的關(guān)系，他好像本末倒置了，如何證明∠BFD=90°，大家能幫助他嗎？

學(xué)生帶著問題在OF=OB=OD已證的條件下思考如何證明∠BFD=90°的方法，很快，很多同學(xué)發(fā)現(xiàn)與生1類似的方法，得出∠1=∠2，∠3=∠4，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行角的代換解決了問題.

設(shè)計意圖 聯(lián)想與類比是學(xué)生學(xué)習(xí)的基本要求之一，生1借助平角180°的概念，隨之生6就利用了三角形內(nèi)角和為180°的性質(zhì)，他們的解決方法有異曲同工之妙，這種對方法的遷移潛移默化的影響著學(xué)生分析問題的能力.

片段四

師：上面的方法都是從條件與中點(diǎn)相關(guān)的知識出發(fā)向結(jié)論拼湊，而從待證結(jié)論出發(fā)向上追溯有哪些思路方法？垂直可以結(jié)合平角、內(nèi)角和等知識進(jìn)行角的代換，也可以運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)解決，那大家想想還有哪些與垂直相關(guān)的方法？友情提示一下可以給直線穿上表達(dá)式的“外衣”.

生眾：兩條一次函數(shù)的垂直往往通過它們k值的關(guān)系來完成.

師：太棒了，如何給直線穿上“外衣”呢？

生眾：建立平面直角坐標(biāo)系.

師：建系需要遵循簡單原則，怎么建系最簡單？

（學(xué)生活動，交流心得探究建系的最簡方案）

生7：以點(diǎn)B為原點(diǎn)，以BC，BA所在的直線分別為x軸，y軸，需要設(shè)矩形的長BC=x，寬BA=y，表示各點(diǎn)坐標(biāo)最簡單.

解 以點(diǎn)B為原點(diǎn)，以BC，BA所在的直線分別為x軸，y軸，需要設(shè)矩形的長BC=x，寬BA=y，則B（0，0），C（x，0），A（0，y），D（x，y）.

因為CE=AC=x2+y2，所以BE=CE-BC=x2+y2-x，

可知E的坐標(biāo)為（x-x2+y2，0），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（x-x2+y22，y2），

則kDF=y-y2x-x-x2+y22=yx+x2+y2，kBF=y2x-x2+y22=yx-x2+y2

有kDF·kBF=yx+x2+y2·yx-x2+y2=y2x2-x2+y22=y2-y2=-1，

所以DF⊥BF.

（受時間和學(xué)生基礎(chǔ)的制約，教師給出圖5，通過投影展示參考答案，作為補(bǔ)充供學(xué)生賞析）

設(shè)計意圖 解決很多數(shù)學(xué)問題都需要轉(zhuǎn)化與化歸的思想，而復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，幾何問題代數(shù)化是轉(zhuǎn)化的重要手段，華羅庚先生說過“數(shù)缺

形時少直觀，形缺數(shù)時難入微”.建系法不僅是聯(lián)系代數(shù)與幾何的紐帶之一，對培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法也不可多得.“斜率”在初中蘇教版鮮有人提，但k值之積等于-1證垂直已然成為學(xué)生的共識，解決問題后部分學(xué)生又給出了坐標(biāo)系條件下的勾股定理的逆定理證明垂直的方法，因此教師可以在不超越學(xué)生認(rèn)知水平的條件下適時地、有意識地發(fā)散點(diǎn)播，這樣不僅可以優(yōu)化學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)，還可以拓寬他們的思維.

3 三點(diǎn)思考3.1 理解數(shù)學(xué)：探究可以發(fā)掘每一道試題的深度、廣度與價值

何為理解數(shù)學(xué)？理解數(shù)學(xué)主要是對數(shù)學(xué)思想、方法及其精神的理解，對數(shù)學(xué)知識中凝結(jié)的數(shù)學(xué)思維活動方式和價值觀資源的理解[1].結(jié)合本節(jié)課的探究活動筆者從以下幾個維度踐行了“理解數(shù)學(xué)”.

首先，理解數(shù)學(xué)的前提是教師對教學(xué)內(nèi)容所涉及的知識點(diǎn)應(yīng)有深刻的理解.課中教師引導(dǎo)學(xué)生從矩形的性質(zhì)作為題根，借助與中點(diǎn)相關(guān)的數(shù)學(xué)模型作為生長點(diǎn)，發(fā)生發(fā)展形成了完整的知識結(jié)構(gòu)，學(xué)生清晰地掌握了涵蓋的多種知識，并將它們串聯(lián)起來.筆者認(rèn)為復(fù)習(xí)課中題目的講解不應(yīng)是簡單的就題論題，而現(xiàn)實中很多課堂都是機(jī)械的逐題羅列式的一題一解，看似完成了教學(xué)任務(wù)，實則教學(xué)效果大打折扣，教師只給出一種方法，學(xué)生的收獲也是片面的.

其次，理解數(shù)學(xué)是教學(xué)對數(shù)學(xué)思想方法的理解.很多學(xué)生經(jīng)常抱怨平時學(xué)的都會，但一碰到綜合題就無從下手，原因是多方面的.對知識的聯(lián)想與遷移認(rèn)識不深刻是大部分學(xué)習(xí)能力偏弱的學(xué)生與優(yōu)等生的主要差距.集合論的創(chuàng)始人德國數(shù)學(xué)家康托爾說過：“數(shù)學(xué)是絕對自由發(fā)展的學(xué)科，它只服從于明顯的思維.就是說它的概念必須擺脫自相矛盾，并且必須通過定義而確定有秩序地與先前已建立和存在的概念相聯(lián)系.”這就告訴我們學(xué)生認(rèn)知中已有的概念、定理、性質(zhì)等通過數(shù)學(xué)思想方法的連接必然存在某種聯(lián)系，它們中的任一個都不是孤立的，數(shù)學(xué)思想方法具有將各知識點(diǎn)聯(lián)系在一起的紐帶作用，本節(jié)課矩形問題與中點(diǎn)問題能建立多種聯(lián)系就依賴于轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想.在探究活動中還運(yùn)用了大量的歸納、類比、演繹等推理形式，同時運(yùn)用了分析法、綜合法等數(shù)學(xué)分析方法，這些數(shù)學(xué)思想方法有的是從圖形角度向數(shù)與式轉(zhuǎn)化，有的從數(shù)與式向圖形轉(zhuǎn)化，有執(zhí)因溯果，也有執(zhí)果溯因，借助這些基本思想方法，學(xué)生收獲了成功的喜悅，思想更開闊了，進(jìn)而積累了豐富的解題經(jīng)驗，這都為學(xué)生以后解決其它問題掃清了障礙.

最后，理解數(shù)學(xué)體現(xiàn)在數(shù)學(xué)實質(zhì)與問題解決的價值上.陜西師范大學(xué)羅增儒教授說：“我有幸經(jīng)常聽到一些中學(xué)、大學(xué)優(yōu)秀教師的講課，感覺并非總是一樣的.有些學(xué)者型的課語調(diào)平緩，沒有一句渲染的話，但對數(shù)學(xué)實質(zhì)的揭示入木三分，實在令人為之傾倒;有些激情的課抑揚(yáng)頓挫，高潮迭起，為知識插上了翅膀，講授披上了藝術(shù)的靈光.聽起來是一種享受.另有一些課表演的挺熱鬧，但信息量不足，深刻度不夠，缺少思維落差，形同原地踏步，每到關(guān)鍵處總有一些實質(zhì)性的要害說不出來.學(xué)生倒是挺高興的，而我卻感到壓抑.”[2]由此筆者認(rèn)為，教師應(yīng)深度挖掘問題的數(shù)學(xué)實質(zhì)，不僅“深”在知識與技能上、“深”在思想方法上，更重要的是“深”在教學(xué)規(guī)律里、“深”在思維習(xí)慣養(yǎng)成與思維層次的提高上，進(jìn)而幫助學(xué)生由一般的“學(xué)會數(shù)學(xué)的思維”過渡到“通過數(shù)學(xué)學(xué)會思維”，長此以往學(xué)生能從數(shù)學(xué)特有的角度認(rèn)識問題，能潛移默化的運(yùn)用數(shù)學(xué)思維分析問題、解決問題，最終形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦硇跃?

3.2 理解教學(xué)：探究可以體現(xiàn)學(xué)習(xí)過程中學(xué)生的主體性

理解教學(xué)主要體現(xiàn)在理解教學(xué)的規(guī)律與特點(diǎn).數(shù)學(xué)是思維的學(xué)科，只有理解了教學(xué)的規(guī)律與特點(diǎn)，教學(xué)質(zhì)量才能得到保證.“學(xué)生是主體、教師是主導(dǎo)”的教學(xué)規(guī)律已成為大家普遍的共識，傳統(tǒng)的“教師講+學(xué)生聽”“學(xué)生講+老師寫”是教師一廂情愿的越俎代庖.許多教師都有這樣的困惑：為什么同樣的題目做了很多遍，還有很多人不會？為什么條件稍作變化就不會了呢？原因或許是學(xué)生的熟練度不夠與基本概念不清晰，也或許是學(xué)生接受了被動的教學(xué)方式而失去了探究、參與的機(jī)會，失去學(xué)習(xí)熱情的同時也造成思想的惰怠.錢守旺老師說過：“課堂上盡可能給學(xué)生多一點(diǎn)思考的時間、多一點(diǎn)活動的余地、多一點(diǎn)表現(xiàn)自己的機(jī)會、多一點(diǎn)體驗成功的愉悅，讓學(xué)生自始至終參加到知識形成的全過程中.”基于這四個“多一點(diǎn)”，教師應(yīng)適時地將課堂上屬于學(xué)生的時間還給學(xué)生，只有以學(xué)生為中心讓學(xué)生動起來才算是一定程度上理解了教學(xué).

3.3 理解學(xué)生：探究可以面對不同學(xué)生實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成

理解學(xué)生主要是教師要尊重學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)、個體差異以及不同年齡、不同層次的學(xué)生學(xué)習(xí)的思維規(guī)律.教師在教學(xué)設(shè)計時應(yīng)該“蹲下身來”，站在學(xué)生的高度平視學(xué)生而不是高高在上的俯視他們.筆者所帶班級的學(xué)生思維層次參差不齊，接受能力也有強(qiáng)與弱，所以教師應(yīng)從整體上把握知識，面對大部分學(xué)生要立足教材、突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)，實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成，還要針對優(yōu)生啟發(fā)思維，培養(yǎng)表達(dá)能力、遷移能力、探究能力.本節(jié)課借助“坐標(biāo)系”與“斜率”解題不是本章的教學(xué)重點(diǎn)，教師僅僅是分析方法展示過程而已，其它的方法又要不遺余力.因此課前教師應(yīng)將教材中的相關(guān)知識進(jìn)行了整合、拆分、再加工，借助精心設(shè)計的問題層層遞進(jìn)，使每一位學(xué)生均有所收獲.

4 結(jié)束語

近幾年“一課一題”逐漸成為專題或章節(jié)復(fù)習(xí)課的熱門話題，即一節(jié)課只探究一兩道題目，這樣就有足夠的時間幫助學(xué)生全面關(guān)注知識的重現(xiàn)與知識間的內(nèi)在聯(lián)系，關(guān)注題型與數(shù)學(xué)模型的總結(jié)，關(guān)注已知條件、待證結(jié)論表征分析的方法，關(guān)注思想方法的訓(xùn)練，更可以突出思維層次與核心素養(yǎng)的提升.因此課前教師應(yīng)了解哪些是富含思想又兼顧知識的骨架題，經(jīng)過教師對骨架題精心的預(yù)設(shè)與基于“三個理解”的探究積累教會學(xué)生可以舉一反三、減負(fù)增效.

參考文獻(xiàn)

[1]章建躍.中學(xué)數(shù)學(xué)課改的十大論題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2010（3）：2-5.

[2]羅增儒.中學(xué)數(shù)學(xué)課例分析[M].西安：陜西師范大學(xué)出版社，2001.7：97.

作者簡介 崔道永（1981—），男，江蘇沛縣人，中學(xué)一級教師;主要研究中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)與解題;發(fā)表文章10余篇.