曲薇薇

[摘? 要] 合情推理能賦予人類更多的聯(lián)想與創(chuàng)造，它是培養(yǎng)學(xué)生形成良好創(chuàng)造力的重要途徑之一. 文章以一道高三年級(jí)的解析幾何題為主線，引導(dǎo)學(xué)生在歸納與類比中探究圓錐曲線的性質(zhì)，形成合情推理能力，主要從四方面展開闡述：觀察試題，找出問題本質(zhì);拓展縱深，提煉一般規(guī)律;橫向延伸，類比異同性質(zhì);及時(shí)反思，形成新的猜想.

[關(guān)鍵詞] 合情推理;類比;猜想;反思;解析幾何

新課標(biāo)提出：“學(xué)生要在學(xué)習(xí)中親歷實(shí)驗(yàn)、觀察、猜想與證明等活動(dòng)過程，獲得良好的推理的能力.”這里所提到的推理能力主要指合情推理與演繹推理兩種，合情推理指學(xué)生從自己已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，以某個(gè)特殊情境推導(dǎo)出一些具有一定可能性的結(jié)論;演繹推理則是指以一般性的前提為出發(fā)點(diǎn)，通過推導(dǎo)、證明，獲得個(gè)別結(jié)論或具體陳述.

波利亞提出：“證明某個(gè)定理之前，需先經(jīng)歷猜想、推測(cè)證明等過程，此過程需要更多的合情推理而非演繹推理”，由此可見合情推理的重要性. 筆者以一道解析幾何題的教學(xué)為例，著重談一談培養(yǎng)學(xué)生合情推理能力的具體措施，與各位同仁共享.

[?] 觀察試題，找出問題本質(zhì)

新課標(biāo)認(rèn)為：“教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生對(duì)問題本質(zhì)的認(rèn)識(shí)程度，絕不可讓生動(dòng)的數(shù)學(xué)思維淹沒于形式主義中.”當(dāng)我們拿到一道試題時(shí)，絕不可貿(mào)然下筆，而應(yīng)認(rèn)真審題，挖掘問題本質(zhì)，只有弄清問題內(nèi)涵，才能以不變應(yīng)萬(wàn)變. 波利亞提出：“數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造源自合情推理.”第一步的觀察，不僅能讓學(xué)生明晰解題思路，還能為發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造提供條件，為合情推理能力的形成奠定基礎(chǔ).

例題 已知坐標(biāo)原點(diǎn)為橢圓C的中心，該橢圓的焦點(diǎn)位于x軸上，F(xiàn)，F(xiàn)分別為左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，短軸長(zhǎng)度為2. 點(diǎn)P位于橢圓上，且△PFF周長(zhǎng)為6.

問題：（1）寫出橢圓C的方程.

（2）若橢圓C與過點(diǎn)（-1，0）的直線相交于點(diǎn)A，B，x軸上是否有定點(diǎn)M，可使·恒為定值？如果存在，請(qǐng)找出點(diǎn)M的坐標(biāo)以及該定值;如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析：（1）該問比較簡(jiǎn)單，可快速求得橢圓C的方程為+=1.

（2）這是一個(gè)開放性的問題，具有較強(qiáng)的探究?jī)r(jià)值. 于學(xué)生而言，此問對(duì)他們的思維能力以及運(yùn)算能力都具有一定的挑戰(zhàn)性，同時(shí)也給他們提供了更為廣闊的思考空間. 觀察此題的條件，發(fā)現(xiàn)要獲得具體的結(jié)論，不能僅僅依賴于橢圓的常數(shù)，還需要從求解圓錐曲線與直線位置關(guān)系的通法的角度去思考與探析.

如果我們僅僅滿足于這兩問的解決，難以真正打開學(xué)生的思維與視野. 就題論題的教學(xué)方式，只會(huì)將學(xué)生的思維禁錮到一個(gè)狹小的空間內(nèi)，無(wú)法從真正意義上揭示問題的本質(zhì). 而揭露問題的本質(zhì)才是教學(xué)的主要目標(biāo)，目標(biāo)一旦實(shí)現(xiàn)，就能有效地拓展學(xué)生的思維，讓學(xué)生形成以一通百的解題能力.

本題涉及的問題是特殊橢圓的定點(diǎn)與定值的性質(zhì)，我們可沿著這些性質(zhì)，將問題輻射到一般性的橢圓問題中，也可輻射到其他圓錐曲線類問題中. 這就需要教師進(jìn)行科學(xué)的引導(dǎo)，鼓勵(lì)學(xué)生深度挖掘與探究問題的本質(zhì)，達(dá)到追根溯源、舉一反三的能力. 為此，筆者針對(duì)本題進(jìn)行了縱深的拓展，以便于學(xué)生更好地歸納總結(jié).

[?] 拓展縱深，歸納一般規(guī)律

合情推理是通過個(gè)別特殊事物提煉出一般性規(guī)律的工具，它所呈現(xiàn)的思維形式以觀察、猜想與探究為主. 為了開拓學(xué)生的視野，讓學(xué)生的思維更具彈性，我們可將試題進(jìn)行縱深拓展，由特殊情況推廣到一般的橢圓.

觀察本題，根據(jù)問題的已知條件（-1，0）是橢圓的左焦點(diǎn)，若將焦點(diǎn)和橢圓方程一般化，我們可做如下猜想.

猜想一：如果橢圓+=1（a>b>0）與過點(diǎn)D（m，0）的動(dòng)直線相交于A，B兩點(diǎn)，那么在x軸上有定點(diǎn)M（x，0）能使得·為常數(shù).

證明：設(shè)過點(diǎn)D（m，0）的直線為x=ky+m，設(shè)點(diǎn)A（x，y），B（x，y），

可得·=（x-x，-y）·（x-x，-y）=x+（a2m2-a2b2k2+m2b2-a2b2-2ma2x），

當(dāng)x=時(shí)，則·=x-a2為定值.

根據(jù)對(duì)稱性，可得推論一：如果橢圓+=1（b>a>0）與過點(diǎn)D（0，m）的動(dòng)直線相交于A，B兩點(diǎn)，那么在y軸上有定點(diǎn)M（0，y）能使得·是定值y-b2.

一個(gè)問題引發(fā)學(xué)生產(chǎn)生思考，到猜想的提出與驗(yàn)證，此過程有效地實(shí)現(xiàn)了知識(shí)由特殊到一般的演變過程，這里實(shí)現(xiàn)了從橢圓的定點(diǎn)與定值等特殊情況到一般性情況的突破. 學(xué)生的思維及解題策略在知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程中，以探究的形式逐漸暴露. 隨著對(duì)知識(shí)縱深的理解，學(xué)生不僅徹底領(lǐng)悟了知識(shí)形成與發(fā)展的來(lái)龍去脈，還有效地培養(yǎng)了學(xué)生的運(yùn)算能力、求知精神以及發(fā)散性思維，感受推理帶來(lái)的無(wú)限樂趣.

[?] 橫向延伸，類比異同性質(zhì)

類比推理是指將具有某些相似特征的對(duì)象進(jìn)行比較，由某一對(duì)象的已知特征推導(dǎo)出另一對(duì)象的類似特征的過程. 在解題中應(yīng)用類比法，具有修路筑橋、啟發(fā)思維等作用，這也是系統(tǒng)性地解決一些復(fù)雜問題的有效方法之一. 迄今為止，數(shù)學(xué)中很多著名的規(guī)律、結(jié)論等的發(fā)現(xiàn)，都是通過類比推理而來(lái).

波利亞提出：“類比的偉大之處在于具有較強(qiáng)的引導(dǎo)性[1].”橢圓作為圓錐曲線中的一種特殊類型，與雙曲線相比，它們?cè)诟拍睢缀翁卣饕约胺匠探Y(jié)構(gòu)上，都存在著一些共性特征. 本題經(jīng)過對(duì)猜想一的探究以及驗(yàn)證，學(xué)生已然很好地將橢圓的定點(diǎn)與定值的性質(zhì)納入了認(rèn)知結(jié)構(gòu)，此時(shí)，學(xué)生已經(jīng)具備了類比遷移的基本條件. 因此，教師可緊扣學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，帶領(lǐng)學(xué)生從橢圓的性質(zhì)出發(fā)，通過類比思想的應(yīng)用，將思維橫向發(fā)展到雙曲線的相關(guān)知識(shí).

猜想二：如果雙曲線-=1（a>0，b>0）與過點(diǎn)D（m，0）的動(dòng)直線相交于A，B兩點(diǎn)，那么在x軸上有定點(diǎn)M（x，0）能使得·為常數(shù).

證明：設(shè)過點(diǎn)D（m，0）的直線為x=ky+m，設(shè)點(diǎn)A（x，y），B（x，y），

可得·=（x-x，-y）·（x-x，-y）=x+（2ma2x+m2b2-a2m2-a2b2k2-a2b2）

當(dāng)x=時(shí)，則·=x-a2為定值.

推論二：如果雙曲線-=1（a>0，b>0）與過點(diǎn)D（0，m）的動(dòng)直線相交于A，B兩點(diǎn)，那么在y軸上有定點(diǎn)M（0，y）能使得·為定值y-a2.

將兩個(gè)猜想與兩個(gè)推論進(jìn)行比較，會(huì)發(fā)現(xiàn)橢圓與雙曲線的結(jié)構(gòu)對(duì)稱且呼應(yīng)，這不僅彰顯了數(shù)學(xué)獨(dú)特的魅力，還有效地開發(fā)了學(xué)生的思維. 此時(shí)有學(xué)生腦洞大開，提出：拋物線的定義描述與橢圓也有相似之處，它們之間是否存在一定的共性特征呢？圍繞這個(gè)想法，師生又進(jìn)入新一輪的探索中.

猜想三：如果拋物線y2=2px（p>0）與過點(diǎn)D（m，0）的動(dòng)直線交于A，B兩點(diǎn)，那么在x軸上有定點(diǎn)M（x，0）能使得·為常數(shù).

經(jīng)證明可得·為定值m（m-2p）（過程略）.

從以上猜想與論證過程來(lái)看，類比除了能幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)新的命題之外，還能有效地打開學(xué)生的解題思路，促使學(xué)生在知識(shí)的概括、解釋與遷移中形成良好的數(shù)學(xué)思想與方法，從而推導(dǎo)出更多的數(shù)學(xué)事實(shí)與一般性的規(guī)律，實(shí)現(xiàn)解題能力的提升.

[?] 及時(shí)反思，形成新的猜想

弗賴登塔爾認(rèn)為：“反思是促進(jìn)思維活動(dòng)發(fā)展的核心.”反思作為學(xué)習(xí)不可或缺的一部分，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的推理能力具有直接影響. 數(shù)學(xué)不僅僅是知識(shí)的學(xué)習(xí)，還是各類數(shù)學(xué)思想、觀念的學(xué)習(xí). 只有建立在思考基礎(chǔ)上的能力，才是真正屬于自己的能力，反思就是促進(jìn)學(xué)生在認(rèn)知過程中，不斷地進(jìn)行自我調(diào)控、自我監(jiān)督的重要形式[2].

解題過程中及時(shí)反思，不僅能理清整個(gè)知識(shí)體系，還能促使學(xué)生形成新的猜想. 牛頓認(rèn)為：“沒有大膽的猜想，就沒有偉大的發(fā)現(xiàn).”如本題，教師可引導(dǎo)學(xué)生順應(yīng)以上的猜想、論證與推理過程，反思以上所有的推論與命題是否合情合理，是否成立等.

縱觀以上教學(xué)過程，筆者以一道解析幾何題為出發(fā)點(diǎn)，將歸納與類比兩大利器靈活地應(yīng)用到合情推理中，與學(xué)生共同探討橢圓、雙曲線以及拋物線等圓錐曲線的相關(guān)性質(zhì)，詮釋了從解一題到通一類題的飛躍，學(xué)生所收獲的不僅僅是與本題相關(guān)的知識(shí)，更是一種解題技巧與方法的掌握.

綜上，可見合情推理的應(yīng)用，不僅能優(yōu)化學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，還能整合學(xué)生的認(rèn)知體系，促進(jìn)思維及數(shù)學(xué)思想方法的有效發(fā)展，將學(xué)生帶到一個(gè)更新穎的、更寬廣的研究領(lǐng)域，體會(huì)數(shù)學(xué)探究的妙趣. 因此，教師應(yīng)將合情推理應(yīng)用到教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)，鼓勵(lì)學(xué)生充分發(fā)揮想象，勇于猜想，善于總結(jié)、歸納、類比，實(shí)現(xiàn)合情推理能力與核心素養(yǎng)的雙提升.

參考文獻(xiàn)：

[1]? 波利亞. 數(shù)學(xué)與猜想數(shù)學(xué)中的歸納與類比[M]. 李心燦，王日爽，李志堯，譯. 北京：科學(xué)出版社，2001.

[2]? 張奇. 學(xué)習(xí)理論[M]. 武漢：湖北教育出版社，1999.

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