吳春霞

[摘? 要] 直角弦是基于曲線與直線位置所構(gòu)建的特殊弦，實則為直角三角形的斜邊，故具有直角三角形的特性. 由于具有圓錐曲線的背景，直角弦模型含有特殊的性質(zhì)結(jié)論，以其為基礎(chǔ)的考題較為常見，關(guān)注模型特征與命題方式極為重要. 文章對此類問題模型進(jìn)行溯源，并結(jié)合實例探討突破策略.

[關(guān)鍵詞] 圓錐曲線;直角弦;策略;定點;向量積

圓錐曲線中的直角弦是高考數(shù)學(xué)重要考點，問題形式較為多樣，探究學(xué)習(xí)需要關(guān)注試題特點，掌握一般的解題策略，并總結(jié)常見的性質(zhì)結(jié)論，形成系統(tǒng)的模型認(rèn)識，下面深入探究.

[?] 溯源及探究

問題：已知直線y=x+b與拋物線y2=2x相交于點A和B，且OA⊥OB（點O為坐標(biāo)的原點），試求b的值.

解讀：本題目是以直線與拋物線相交為背景，構(gòu)建了相應(yīng)的垂直關(guān)系，根據(jù)問題條件可繪制圖1所示圖像. 圖像中有兩個特點：一是直線與拋物線有兩個交點，二是基于交點A和B構(gòu)建了垂直關(guān)系，OA⊥OB. 從幾何視角來看，以交點A和B及原點O為頂點，構(gòu)建了Rt△AOB.

直角弦定義：直線與曲線相交于點A和B，若存在點P，使得PA⊥PB，則稱弦AB為相對于點P的直角弦.

解析：對于上述直角弦問題可以采用聯(lián)立代入的方法轉(zhuǎn)化求解，過程如下.

聯(lián)立直線與拋物線的方程，則有y=x+b，y2=2x，整理可得x2-2x+2bx+b2=0，兩者有兩個交點，則Δ>0，即Δ=4-8b>0. 設(shè)交點A（x，y），B（x，y），由韋達(dá)定理可得x+x=2-2b，x·x=b2. 又知OA⊥OB，則x·x+ y·y=0，結(jié)合直線解析式可化簡為2x·x+b（x+x）+b2=0，整理可得b（b+2）=0，可解得b=-2，或b=0（舍去），即b=-2.

探究：對于上述以拋物線為背景的直角弦情形，有如下兩點需要關(guān)注.

（1）對于Rt△AOB，直角弦AB為三角形的斜邊，則點O位于以AB為直徑的圓上，故可形成如下結(jié)論：若曲線上的點O位于以AB為直徑的圓上，則OA⊥OB，AB為直角弦.

（2）上述是關(guān)于拋物線y2=2x與直線y=x-2的相交問題，實際上可化為一般形式，即y2=2px和y=x-2p. 對于直線y=x-2p，顯然過定點（2p，0），故從中可衍生出如下結(jié)論：若直線l與拋物線y2=2px相交于點A和B，則OA⊥OB成立的充要條件為直線l經(jīng)過點（2p，0）.

[?] 命題與破解

圓錐曲線中的直角弦問題常結(jié)合向量進(jìn)行考查，即對于其中的垂直條件PA⊥PB，對應(yīng)的向量表示為·=0. 結(jié)合上述所探究的內(nèi)容，直角弦的實際考查方式有如下三種：

方式1：幾何垂直與向量積、圓過定點的關(guān)系，即PA⊥PB?以AB為直徑的圓過定點P?·=0;

方式2：角度的拓展，∠APB為鈍角?點P在以AB為直徑的圓內(nèi)?·<0;

方式3：∠APB為銳角?點P在以AB為直徑的圓外?·>0.

上述考查方式是從幾何、向量、圓錐曲線的位置關(guān)系視角進(jìn)行構(gòu)建，三者之間存在緊密關(guān)聯(lián)，把握三者關(guān)系是突破的關(guān)鍵，而在解析時可采用如下兩種策略進(jìn)行分步突破.

策略一：方程聯(lián)立+韋達(dá)定理

第一步，設(shè)出直線AB的方程;

第二步，聯(lián)立直線與曲線方程，整理為關(guān)于變量的一元二次方程;

第三步，由韋達(dá)定理寫出關(guān)于根與系數(shù)的關(guān)系;

第四步，結(jié)合向量條件·=0，代入根與系數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化問題.

策略二：方程聯(lián)立+代換求點

第一步，設(shè)出直線AB的方程;

第二步，聯(lián)立直線與曲線方程，整理為關(guān)于變量的一元二次方程;

第三步，利用根與系數(shù)關(guān)系求點A坐標(biāo)，結(jié)合垂直條件代換，推導(dǎo)點B的坐標(biāo);

第四步，由兩點式求出直線AB的方程，進(jìn)而探究直線恒過的定點.

上述所呈現(xiàn)的是圓錐曲線直角弦問題的兩大解析策略，從其構(gòu)建思路來看，適用于直角弦中的直線方程求解、恒過定點論證、直線與圓的位置關(guān)系問題.

[?] 類題深探究

圓錐曲線直角弦的問題形式較為多樣，實際求解時要合理運(yùn)用結(jié)論，靈活使用解題策略，充分利用數(shù)形結(jié)合、設(shè)而不求思想來轉(zhuǎn)化求解.

類型一：探索直線中的參數(shù)

例1 已知橢圓C：+=1（a>b>0），其左、右焦點分別為F和F，離心率為，點I和J分別為橢圓C的右頂點和上頂點，已知△IOJ邊IJ上的中線長為，試回答下列問題.

[?] 總結(jié)與反思

上述深入探究了圓錐曲線直角弦的結(jié)構(gòu)特征，總結(jié)了命題視角及突破策略，并結(jié)合實例探討了解題構(gòu)建，下面結(jié)合教學(xué)實踐深入反思.

1. 把握模型特征，探索一般結(jié)論

上述實則是探索圓錐曲線直角弦模型，關(guān)注模型特征、探究問題本質(zhì)極為重要. 教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注曲線與直線的相交關(guān)系，把握模型的直角特性，從函數(shù)與幾何視角來綜合探究，即模型由直線相交構(gòu)建，同時含有垂直關(guān)系. 同時應(yīng)注重模型一般結(jié)論的探索，可采用知識探究的方式，從“特殊”到“一般”，讓學(xué)生經(jīng)歷結(jié)論的論證過程，形成深刻的數(shù)學(xué)認(rèn)知.

2. 把握命題考向，總結(jié)解題策略

高考考向是教學(xué)探討的重點，基于考向探索問題模型有利于定位考點. 如上述探究了直角弦問題模型的命題方式，構(gòu)建了幾何、向量、圓錐曲線位置關(guān)系三者之間的聯(lián)系，有利于學(xué)生深入理解模型，完善知識體系. 實際教學(xué)中建議關(guān)注歷年考題，結(jié)合實例分析命題方式，同時探究知識原理，總結(jié)解題策略. 策略總結(jié)建議包括以下兩點：一是問題的知識背景、方法的知識原理，二是分步突破思路，所涉思想方法等.

3. 把握類題實例，變式拓展探究

通常問題模型在實際考查時有多種構(gòu)建形式，雖問題結(jié)構(gòu)不同，但知識本質(zhì)是一致的. 如上述圍繞直角弦模型構(gòu)建了直線參數(shù)問題、點與圓的位置關(guān)系問題，實際上還包括多類存在性問題. 教學(xué)探究建議圍繞核心考點進(jìn)行命題構(gòu)建，指導(dǎo)學(xué)生探索問題破解思路. 必要時可開展變式探究，從模型結(jié)論、曲線背景、設(shè)問形式、知識關(guān)聯(lián)等視角進(jìn)行，使學(xué)生全面掌握問題模型，拓展解題思維，提升解題靈活性.

3685501908219