周義

[摘? 要] 數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)和核心，數(shù)學(xué)概念的掌握情況關(guān)系著學(xué)生解題能力的高低，關(guān)系著學(xué)生認(rèn)知水平的層次，關(guān)系著學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平的高低和數(shù)學(xué)品質(zhì)的優(yōu)良，這就要求教師在教學(xué)概念時(shí)不能蜻蜓點(diǎn)水，應(yīng)關(guān)注概念形成和發(fā)展的過(guò)程，善于揭示知識(shí)的前后聯(lián)系，進(jìn)而幫助學(xué)生深刻領(lǐng)會(huì)和把握概念的本質(zhì)，真正提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)概念;本質(zhì);數(shù)學(xué)素養(yǎng)

數(shù)學(xué)概念既是數(shù)學(xué)知識(shí)體系的“根”，輸送著數(shù)學(xué)知識(shí)生長(zhǎng)的養(yǎng)分;又是數(shù)學(xué)知識(shí)體系的“藤”，讓數(shù)學(xué)知識(shí)在拓展延伸中茁壯成長(zhǎng);它還是數(shù)學(xué)知識(shí)體系的“花”，讓數(shù)學(xué)思想方法綻放耀眼的光芒，其在數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位和價(jià)值是不言而喻的，可以說(shuō)要想學(xué)好數(shù)學(xué)首先就應(yīng)該學(xué)好數(shù)學(xué)概念. 也正是數(shù)學(xué)概念的重要價(jià)值，使得概念教學(xué)看似老生常談，然而其卻歷久彌新. 那么在高中數(shù)學(xué)課堂應(yīng)如何開(kāi)展概念教學(xué)呢？要知道概念并不是一個(gè)簡(jiǎn)單的結(jié)論，其具有豐富的內(nèi)涵和外延，反映的是數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性和特征，為此概念教學(xué)不應(yīng)只關(guān)注“結(jié)論”，應(yīng)多關(guān)注其形成和發(fā)展的過(guò)程，要幫助學(xué)生弄清問(wèn)題的來(lái)龍去脈，以此讓他們更好地理解問(wèn)題的本質(zhì)，并靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)概念去解決更多的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，提升他們的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng).

筆者結(jié)合自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，談?wù)勗诟拍罱虒W(xué)中的一些心得體會(huì)，以期拋磚引玉，引起大家共鳴.

[?] 重視前后知識(shí)的關(guān)聯(lián)

在概念教學(xué)中，很多教師喜歡開(kāi)門(mén)見(jiàn)山，直入主題，直接將概念拋給學(xué)生，讓學(xué)生通過(guò)“記憶”和“練習(xí)”的方式理解和應(yīng)用概念，這樣做看似簡(jiǎn)單明了，但沒(méi)有前面舊知的鋪墊勢(shì)必會(huì)造成學(xué)生理解上的困難，從而使他們聽(tīng)得一頭霧水，不知所云，不僅不易于他們理解和掌握概念，而且也難以建構(gòu)完整的知識(shí)體系. 其實(shí)，數(shù)學(xué)是一門(mén)邏輯性極強(qiáng)的學(xué)科，很多新知都是原有認(rèn)知的拓展和延伸，為此在數(shù)學(xué)教學(xué)中，尤其在抽象的概念教學(xué)中，教師應(yīng)重視知識(shí)間的前后聯(lián)系，通過(guò)新舊聯(lián)系讓學(xué)生知曉引入新知的現(xiàn)實(shí)意義，從而讓學(xué)生在聯(lián)系中切身體會(huì)引入新知的必要性和合理性，以此激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.

案例1 弧度制

雖然弧度制的定義并不復(fù)雜，學(xué)生也能夠快速記憶，但如果在教學(xué)中直接將弧度制的概念拋給學(xué)生，他們往往會(huì)有這樣的困惑，都已經(jīng)有角度制了為什么還要引入新規(guī)定呢？可見(jiàn)學(xué)生雖然能夠熟背定義，但并不理解概念的真正價(jià)值，這樣也就難以接受新定義，因此“直奔主題”的講授法并不適合弧度制的概念教學(xué). 為了讓學(xué)生能夠理解概念，領(lǐng)會(huì)概念的合理性和必要性，教師有必要帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷概念抽象的過(guò)程.

1. 創(chuàng)設(shè)情境

（1）探究必要性

問(wèn)題1：已知扇形木板的半徑為3 cm，圓心角為135°，求該木板的弧長(zhǎng)和面積.

問(wèn)題2：若用一個(gè)周長(zhǎng)為10 m的鋼絲圍成一個(gè)扇形，要使扇形面積最大，求此時(shí)圓心角的度數(shù).

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)以上兩個(gè)問(wèn)題與初中所學(xué)的扇形知識(shí)相關(guān)聯(lián)，讓學(xué)生體會(huì)應(yīng)用角度制來(lái)表示弧長(zhǎng)或面積的煩瑣，從而誘發(fā)學(xué)生思考用其他度量角的單位來(lái)優(yōu)化運(yùn)算.

（2）探索合理性

問(wèn)題1：角度制下，1°是如何定義的？

問(wèn)題2：如果一個(gè)物體的質(zhì)量為1.1 g，那么用0.0011 kg表示方便嗎？

問(wèn)題3：若物體的質(zhì)量為1 kg，所受的重力G=9.8 N，若物體的質(zhì)量為1磅，求其所受的重力.

設(shè)計(jì)意圖：與舊知、生活實(shí)際、其他學(xué)科知識(shí)相關(guān)聯(lián)，引導(dǎo)學(xué)生思考度量單位合適性的問(wèn)題，通過(guò)對(duì)比反差，為接下來(lái)引入弧度制奠定基礎(chǔ).

2. 鼓勵(lì)探索

問(wèn)題4：寫(xiě)出角度制下的弧長(zhǎng)公式，并將公式變形為求圓心角的度數(shù)，看看你有什么發(fā)現(xiàn).

設(shè)計(jì)意圖：應(yīng)用初中所學(xué)，由弧長(zhǎng)公式l=得n=·，為常數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生觀察圓心角度數(shù)n與的值存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，由此聯(lián)想用的值來(lái)度量角的大小.

3. 引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)

問(wèn)題5：如果讓你來(lái)定義“1弧度的角”，你認(rèn)為為何值時(shí)更方便呢？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想特值“1”，自己總結(jié)歸納出“1弧度的角”的定義.

讓學(xué)生經(jīng)歷以上過(guò)程，不僅化解了教學(xué)重難點(diǎn)，而且深化了對(duì)概念的理解，讓學(xué)生懂得引入新概念的重要價(jià)值，凸顯弧度制的必要性，讓學(xué)生不僅掌握了概念，而且認(rèn)清了問(wèn)題的本質(zhì)，顯然比直接給出定義更有價(jià)值. 在現(xiàn)實(shí)教學(xué)中，教師應(yīng)善于通過(guò)有目的地創(chuàng)設(shè)問(wèn)題來(lái)誘發(fā)學(xué)生去經(jīng)歷概念的形成過(guò)程，讓學(xué)生也可以像數(shù)學(xué)家那樣去思考和解決問(wèn)題，從而掌握正確的數(shù)學(xué)研究方法，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)信心.

[?] 關(guān)注概念發(fā)展的過(guò)程

縱觀數(shù)學(xué)史可以發(fā)現(xiàn)，任何數(shù)學(xué)概念的形成都會(huì)經(jīng)歷一個(gè)發(fā)展的過(guò)程，有些重要的概念可能會(huì)經(jīng)歷上百年的驗(yàn)證、實(shí)踐、抽象，為此對(duì)概念的學(xué)習(xí)也不能一蹴而就. 另外，受年齡結(jié)構(gòu)、認(rèn)知結(jié)構(gòu)、思維能力等多種因素的影響，在不同階段學(xué)生的理解能力也會(huì)有所不同，這就要求教師在概念教學(xué)中不能急于求成，應(yīng)該遵循學(xué)生的思維發(fā)展規(guī)律，逐漸完善其認(rèn)知.

例如，對(duì)于“數(shù)”的概念，由自然數(shù)、整數(shù)到有理數(shù)、無(wú)理數(shù)、實(shí)數(shù)，再到復(fù)數(shù)，讓學(xué)生感悟了“數(shù)”的擴(kuò)充與發(fā)展. 又如，幾何中的平行、垂直、角、距離，其滲透于小學(xué)階段，完善于高中階段，在不同的階段都會(huì)對(duì)其有不同的感悟. 再如函數(shù)概念，在初中階段從變化關(guān)系的角度來(lái)定義，主要呈現(xiàn)兩個(gè)變量之間的互相依賴關(guān)系，隨著學(xué)生認(rèn)知水平的不斷提升，學(xué)生慢慢發(fā)現(xiàn)單純從變量變化的觀點(diǎn)來(lái)理解函數(shù)概念存在一定的局限性，為此在高中階段又在映射觀下重新定義了函數(shù)，使概念的內(nèi)涵更加豐富.

為了暴露變量觀下函數(shù)定義的局限性，教師設(shè)計(jì)了如下問(wèn)題引發(fā)認(rèn)知沖突，以期學(xué)生能夠切身感受映射觀下函數(shù)定義的優(yōu)越性. 問(wèn)題如下：

設(shè)點(diǎn)A（0，2），B（2，2）為定點(diǎn)，點(diǎn)M（x，0）為x軸上任意一點(diǎn)，試問(wèn)△MAB的面積S是否為x的函數(shù).

如果從變量觀的角度去理解，大部分學(xué)生認(rèn)為S不是x的函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)x變化時(shí)，△MAB的面積S保持不變，一直為常數(shù)2，為此不符合函數(shù)定義，故S不是x的函數(shù). 也有少部分學(xué)生認(rèn)為，其本質(zhì)依然反映了兩個(gè)量的依賴關(guān)系，可理解為S=2+0·x，故只要將原來(lái)的定義適當(dāng)修改和擴(kuò)充，S可以看作為x的函數(shù). 通過(guò)創(chuàng)設(shè)認(rèn)知沖突，顛覆了學(xué)生對(duì)傳統(tǒng)定義的認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生在函數(shù)概念發(fā)展和完善的過(guò)程中更好地理解了概念，培養(yǎng)了學(xué)生科學(xué)探索的精神.

在新知教學(xué)中，教師應(yīng)善于與舊知相串聯(lián)，讓學(xué)生在擴(kuò)充、發(fā)展、完善的過(guò)程中經(jīng)歷數(shù)學(xué)發(fā)展的過(guò)程，從而提高學(xué)生科學(xué)素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、勇于創(chuàng)新的精神. 另外，通過(guò)感悟數(shù)學(xué)的發(fā)展有助于培養(yǎng)學(xué)生正確的數(shù)學(xué)觀和學(xué)習(xí)觀，有助于學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué).

[?] 概念學(xué)習(xí)做到“學(xué)懂吃透”

數(shù)學(xué)是一門(mén)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的表述上要做到準(zhǔn)確、嚴(yán)謹(jǐn)，尤其概念所反映的是數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)特征，為此在概念教學(xué)中一定要讓學(xué)生將概念學(xué)懂吃透，切勿因含糊不清而造成理解偏差，從而使概念走樣. 為此，在概念教學(xué)中要讓學(xué)生明晰每個(gè)詞、每個(gè)符號(hào)、每個(gè)限定條件、每種特殊情況等等，只有將概念記牢，才能確保學(xué)生準(zhǔn)確地應(yīng)用概念去解決相關(guān)問(wèn)題. 不過(guò)很多教師認(rèn)為概念是在“用”的過(guò)程中逐漸明晰的，為此沒(méi)有必要咬文嚼字，只要平時(shí)練習(xí)中多加注意就不會(huì)犯錯(cuò)，但在實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，若教學(xué)之初，學(xué)生不能將概念學(xué)懂吃透，后面即使花了大力氣也很難讓他們真正理解，為此首次導(dǎo)入概念時(shí)就應(yīng)讓學(xué)生牢記于心.

例如，對(duì)于等比數(shù)列的定義，教師給出定義后，可以帶領(lǐng)學(xué)生逐字逐句地分析，并整理歸納出如下內(nèi)容：①將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)換為符號(hào)語(yǔ)言，即若以

a表示數(shù)列，q表示常數(shù)，則a=qa，n=2，3…;②理解從第2項(xiàng)起和常數(shù)的含義;③弄清隱含條件a≠0，q≠0. 在學(xué)生學(xué)習(xí)概念時(shí)，既要明晰其顯性特征，又要挖掘其隱含條件，這樣才能有效避免出錯(cuò). 比如，學(xué)習(xí)概念后，要求學(xué)生判斷如下命題：

①常數(shù)列一定是等比數(shù)列.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)創(chuàng)設(shè)“陷阱”加深學(xué)生對(duì)a≠0這一隱含條件的理解. 在實(shí)踐教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生容易忽視常數(shù)為零的情況，由此認(rèn)為所有常數(shù)列都是公比q=1的等比數(shù)列.

②若q為等比數(shù)列的公比，則當(dāng)q≠0時(shí)，qx2+px+r=0是關(guān)于x的二次方程.

設(shè)計(jì)意圖：主要考查學(xué)生對(duì)等比數(shù)列q≠0這一限定條件的認(rèn)識(shí). 從本題的反饋來(lái)看，很多人認(rèn)為該命題是正確的，要知道q≠0已經(jīng)在“若q為等比數(shù)列的公比”這一信息中給出，題設(shè)中再次出現(xiàn)q≠0有畫(huà)蛇添足之意，去除題設(shè)中q≠0的條件后，命題才是正確的.

在學(xué)習(xí)概念的過(guò)程中一定要讓學(xué)生將概念記牢，這是應(yīng)用概念的前提和保障，否則簡(jiǎn)單的生搬硬套只會(huì)造成理解偏差，最終產(chǎn)生錯(cuò)誤.

總之，在概念教學(xué)中教師要將概念更加全面地、系統(tǒng)地呈現(xiàn)給學(xué)生，讓學(xué)生可以對(duì)概念形成深刻的認(rèn)識(shí)，領(lǐng)會(huì)和把握概念的本質(zhì)，進(jìn)而將概念學(xué)好、用活，以此提升他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng).

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