黃紅　田羿

【摘要】數(shù)學(xué)概念是宏偉的數(shù)學(xué)大廈之基礎(chǔ)，也是數(shù)學(xué)教學(xué)工作的重難點(diǎn)。雖然教師在教學(xué)中各出奇招，但效果往往差強(qiáng)人意。學(xué)生在學(xué)習(xí)概念的過(guò)程中容易出現(xiàn)偏差，頻頻產(chǎn)生迷思，遠(yuǎn)離數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的本質(zhì)。而數(shù)學(xué)思想方法是指向數(shù)學(xué)的本質(zhì)，教師運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)概念教學(xué)，可以轉(zhuǎn)化“迷思概念”。

【關(guān)鍵詞】迷思概念;數(shù)學(xué)思想;數(shù)學(xué)思想方法

筆者參加了2020年中山市中考數(shù)學(xué)閱卷工作，負(fù)責(zé)批改第21題：已知關(guān)于x，y的方程組與的解相同。（1）求a，b的值;（2）若一個(gè)三角形的一條邊的長(zhǎng)為，另外兩條邊的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x2+ax+b=0的解，試判斷該三角形的形狀，并說(shuō)明理由。這道題目是一道8分題，全市的平均分是4.48分，大約有三分之一的學(xué)生對(duì)此題束手無(wú)策。分析學(xué)生的答題情況，學(xué)生不是對(duì)二元一次方程的解法和勾股定理的逆定理不熟悉，而是對(duì)二元一次方程的解、二元一次方程組的解、特殊三角形這些概念的理解不透徹。學(xué)生沒有抓住概念的本質(zhì)，最終在應(yīng)用知識(shí)解決具體問題的時(shí)候出現(xiàn)障礙。因此，筆者認(rèn)為若想讓學(xué)生遠(yuǎn)離“迷思概念”，抓住數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，教師應(yīng)該在課堂上“亮”出數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)——數(shù)學(xué)思想方法。

一、概念界定

（一）迷思概念

查閱百度百科，“迷思概念”和現(xiàn)在的學(xué)科概念不同。在教學(xué)中把頭腦中存在的與科學(xué)概念不一致的認(rèn)識(shí)叫做“迷思概念”。

（二）數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)思想，是指現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人們的意識(shí)之中，經(jīng)過(guò)思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在課程總目標(biāo)中提到：通過(guò)義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得適應(yīng)未來(lái)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。史寧中教授認(rèn)為，數(shù)學(xué)思想可以歸類為以下三種基本思想：抽象、推理和模型。

（三）數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)方法是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述事物的狀態(tài)、關(guān)系和過(guò)程，并加以推導(dǎo)、演算和分析，以形成對(duì)問題的解釋、判斷和預(yù)言的方法。數(shù)學(xué)方法是應(yīng)用數(shù)學(xué)思想解決問題的顯現(xiàn)步驟。由于初中生的知識(shí)儲(chǔ)備量和理解能力均有限，在數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法上不作嚴(yán)格的區(qū)分，統(tǒng)稱為“數(shù)學(xué)思想方法”。在初中教學(xué)中，常見的數(shù)學(xué)思想方法有：字母表示數(shù)、分類討論、數(shù)形結(jié)合、特殊與一般、類比、化歸、整體、方程、函數(shù)、建模等。

二、“迷思概念”出現(xiàn)的原因

（一）學(xué)生缺乏自主思考的習(xí)慣

概念是抽象的事物，若只是望文生義，沒有對(duì)概念的內(nèi)涵和外延進(jìn)行深層次的思考，大腦很難對(duì)它們留下深刻且正確的認(rèn)識(shí)，更談不上靈活應(yīng)用。受快餐文化的影響，學(xué)生在“內(nèi)卷”的漩渦中通過(guò)補(bǔ)課的方式進(jìn)行預(yù)習(xí)。因?yàn)橐诙虝r(shí)間內(nèi)把整本書提前學(xué)一遍，補(bǔ)習(xí)教師無(wú)法讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程，他們往往單刀直入，直接把概念拋出來(lái)，擠出大量的時(shí)間進(jìn)行解題訓(xùn)練。這樣的概念教學(xué)往往逼迫學(xué)生死記硬背，無(wú)法進(jìn)行自主思考。返校后，這些學(xué)生以為提前學(xué)過(guò)了，容易輕視正規(guī)課堂，不認(rèn)真聽課。隨著時(shí)光的流逝，學(xué)生不是把“囫圇吞棗”式學(xué)到的數(shù)學(xué)概念徹底遺忘，就是把各種概念混淆了，從而出現(xiàn)迷思。而且，因?yàn)槿狈ψ灾魈剿鞯慕?jīng)歷，學(xué)生的畏難情緒會(huì)越來(lái)越強(qiáng)烈，害怕做深層次的思維體操，自然離數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的真諦和快樂越來(lái)越遠(yuǎn)。

（二）教師不懂得如何進(jìn)行概念教學(xué)

幸運(yùn)的是越來(lái)越多的教師開始關(guān)注并重視概念教學(xué)。但是，在初中三年數(shù)學(xué)的教學(xué)中涉及到代數(shù)、幾何、概率與統(tǒng)計(jì)三大類概念，一共272個(gè)概念。這些概念按照不同的方式進(jìn)行定義，概念之間有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系。許多教師愿意在概念教學(xué)中花時(shí)間與力氣，但他們往往只關(guān)注概念的個(gè)體，缺乏數(shù)學(xué)思想方法的指導(dǎo)，找不到概念教學(xué)的規(guī)律與通法，無(wú)法將一塊塊的概念紅磚建成數(shù)學(xué)概念的大廈。

三、利用數(shù)學(xué)思想方法遠(yuǎn)離“迷思概念”策略的實(shí)踐

（一）分類討論的數(shù)學(xué)思想方法在概念教學(xué)中的應(yīng)用

分類討論的數(shù)學(xué)思想方法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用廣泛，也是學(xué)生比較容易理解和掌握的一種數(shù)學(xué)思想方法。在初中生剛?cè)雽W(xué)階段，學(xué)生的認(rèn)知水平有限。在課堂中，特別是概念教學(xué)課堂上，教師加大分類討論這種數(shù)學(xué)思想方法的滲透，學(xué)生既可以習(xí)得這一寶貴的思想方法，又可以對(duì)新學(xué)習(xí)的概念建立正確的認(rèn)識(shí)，獲得成就感。筆者本著用數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)概念課堂教學(xué)的原則，開設(shè)了一節(jié)概念課，并做了部分教學(xué)簡(jiǎn)錄?！队欣頂?shù)》部分教學(xué)簡(jiǎn)錄：

問題1：回顧一下，我們?cè)谛W(xué)階段認(rèn)識(shí)了哪些數(shù)？

學(xué)生1：1，2，3…

學(xué)生2：0，，，0.2，2%…

學(xué)生3：5.331，π…

教師對(duì)以上數(shù)進(jìn)行分類后，繼續(xù)提問。

教師：學(xué)了負(fù)數(shù)之后，我們又認(rèn)識(shí)了哪些數(shù)？

學(xué)生4：我們可以直接在剛才所列舉出來(lái)的數(shù)前面加上“-”號(hào)，也就是有-1，-2，-3，0，-，-，-0.2，-2%，-5.331，-π…

教師：你的方法很好，對(duì)負(fù)數(shù)的理解也很到位。

問題2：你會(huì)根據(jù)一定的依據(jù)，給這些數(shù)進(jìn)行分類嗎？請(qǐng)同學(xué)們先獨(dú)立思考，然后與小組成員進(jìn)行討論，并由小組代表發(fā)言。

學(xué)生5：我們小組是這樣分的：1，2，3，，，0.2，2%，5.331，π都屬于正數(shù);

-1，-2，-3，-，-，-0.2，-2%，-5.331，-π都屬于負(fù)數(shù);0單獨(dú)分一組。

教師：我認(rèn)為這種分法可行，分類的依據(jù)是以0為基準(zhǔn)，按照正負(fù)數(shù)進(jìn)行分類，還有不同的分法嗎？

學(xué)生6：我們將這些數(shù)分成整數(shù)和小數(shù)。整數(shù)：0，1，2，3，-1，-2，-3…小數(shù)：，，0.2，2%，5.331，π，-，-，

-0.2，-2%，-5.331，-π…

教師：你可以告訴我們，所謂的整數(shù)是什么？

學(xué)生6：像1，2，3…這樣的數(shù)是正整數(shù);像-1，-2，-3…這樣的數(shù)是負(fù)整數(shù);正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)。（教師板書）

教師：小學(xué)的時(shí)候把像0，1，2，3這樣的數(shù)稱為整數(shù)，引入了負(fù)數(shù)之后，我們對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)擴(kuò)充了，你能立足于小學(xué)的知識(shí)，跟我們分享你對(duì)整數(shù)的全新理解，做到了活學(xué)活用。

教師：小數(shù)怎么理解呢？

學(xué)生6：小學(xué)時(shí)學(xué)習(xí)的小數(shù)屬于正小數(shù)，在正小數(shù)前添加了“-”號(hào)后就變成負(fù)小數(shù)，正小數(shù)和負(fù)小數(shù)統(tǒng)稱為小數(shù)。

教師：你這個(gè)分法很有價(jià)值，還有不一樣的分法嗎？

（其他小組發(fā)言后，師生一起點(diǎn)評(píng)。）

教師：我們一起觀察，，0.2，2%，5.331，-，-，-0.2，-2%，-5.331這些數(shù)，它們除了是小數(shù)，還有什么特點(diǎn)？

學(xué)生7：我發(fā)現(xiàn)，這些數(shù)都可以化成分?jǐn)?shù)的形式。

教師：確實(shí)，這些數(shù)都可以寫成兩個(gè)整數(shù)比的形式——（p，q都是整數(shù)，q≠0）。我們稱之為分?jǐn)?shù)。其中，像，，

0.2，2%，5.331…這樣的數(shù)稱為正分?jǐn)?shù)，像-，-，-0.2，-2%，-5.331…這樣的數(shù)稱為負(fù)分?jǐn)?shù)，正分?jǐn)?shù)與負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù)，而整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。（教師板書）

學(xué)生8：老師，請(qǐng)問π屬于什么數(shù)？

教師：你這個(gè)問題問得很好，π屬于整數(shù)嗎？

學(xué)生8：π不屬于，是小數(shù)。

教師：這個(gè)小數(shù)有什么特點(diǎn)？

學(xué)生8：π是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。

教師：對(duì)的，因?yàn)闊o(wú)限不循環(huán)小數(shù)不能寫成（p，q都是整數(shù)，q≠0）的形式，所以也就π不屬于分?jǐn)?shù)，自然就不屬于無(wú)理數(shù)了。而無(wú)限循環(huán)小數(shù)是可以化成（p，q都是整數(shù)，q≠0）的形式，屬于分?jǐn)?shù)。將來(lái)，我們會(huì)學(xué)到π是屬于有理數(shù)外的另一類數(shù)——無(wú)理數(shù)。

“有理數(shù)”這一詞從西方傳過(guò)來(lái)，英文名叫rational number。雖然rational通常的意義是“理性的”，但這個(gè)詞來(lái)源于古希臘，就是“可比”的意思，所以rational number應(yīng)理解成整數(shù)的“比”。其實(shí)，我們可以將整數(shù)化成整數(shù)比的形式，如，2化成的形式。

教學(xué)思考：整個(gè)概念產(chǎn)生的過(guò)程，學(xué)生的參與面廣，熱情度高，能積極參與到數(shù)學(xué)活動(dòng)中。在經(jīng)歷了若干次對(duì)數(shù)進(jìn)行分類的探索后，學(xué)生體會(huì)到了分類討論數(shù)學(xué)思想方法的奇妙之處，能將看似雜亂無(wú)章的數(shù)進(jìn)行有序歸類，化零為整。最后，當(dāng)教師介紹有理數(shù)的概念時(shí)，學(xué)生不會(huì)產(chǎn)生困惑和抗拒感，體會(huì)到這只是源于一種數(shù)的特殊分類。

（二）類比的數(shù)學(xué)思想方法在概念教學(xué)中的應(yīng)用

人類擁有強(qiáng)大的學(xué)習(xí)能力，能類比過(guò)去的研究方式，創(chuàng)造新的紀(jì)元。正如美籍匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞所說(shuō)：“類比是一個(gè)偉大的引路人?！痹跀?shù)學(xué)概念的教與學(xué)中，類比的數(shù)學(xué)思想方法能起到引領(lǐng)的作用。例如，以二次函數(shù)的概念教學(xué)為例，學(xué)生容易在此產(chǎn)生迷思。教師需要關(guān)注學(xué)生已有的知識(shí)，以學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)為目標(biāo)進(jìn)行組織教學(xué)。學(xué)生在八年級(jí)已經(jīng)學(xué)習(xí)了一次函數(shù)，積累了一定的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。因此，教師可以先帶領(lǐng)學(xué)生回顧一次函數(shù)概念的研究方法，接著鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用類比的思想方法開展二次函數(shù)概念的研究。從具體的問題情景引入，得到若干個(gè)函數(shù)，接著觀察這些函數(shù)的共同點(diǎn)，最終歸納總結(jié)得到二次函數(shù)的概念（形式定義）。

當(dāng)然，二次函數(shù)概念的研究過(guò)程中也體現(xiàn)了字母表示數(shù)的數(shù)學(xué)思想方法。若要繼續(xù)對(duì)二次函數(shù)概念進(jìn)行一個(gè)更加立體的研究，師生在分類研究二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)時(shí)，要充分發(fā)揮數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，鞏固對(duì)二次函數(shù)概念的正面認(rèn)識(shí)。由此可見，一個(gè)數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，往往需要“調(diào)動(dòng)”多個(gè)數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行指導(dǎo)與引領(lǐng)。

總之，數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)思想方法的習(xí)得互相促進(jìn)。數(shù)學(xué)思想方法是轉(zhuǎn)化“迷思概念”的一把利劍，但利劍何時(shí)出鞘也有所講究。教師不應(yīng)刻意地將數(shù)學(xué)思想方法時(shí)常掛在嘴邊，而是以“隨風(fēng)潛入夜，潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲”的形式，讓學(xué)生在經(jīng)歷一次又一次的數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程中學(xué)會(huì)掌握數(shù)學(xué)思想方法這一工具，建立正確的數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知，從此遠(yuǎn)離概念學(xué)習(xí)迷思的苦海。

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責(zé)任編輯? 陳小鳳

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