袁慧春

摘要：以微專題高斯函數(shù)問題為知識與能力著眼點，設(shè)計適合于高一學生已學習的函數(shù)性質(zhì)來分析解決問題，培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)，并以此談微專題教學設(shè)計思路。

關(guān)鍵詞：微專題;教學設(shè)計;高斯函數(shù)

《普通高中數(shù)學課程標準》（2017版2020年修訂）指出：“關(guān)注學生個性化、多樣化的學習和發(fā)展需求，促進人才培養(yǎng)模式的轉(zhuǎn)變，著力發(fā)展學生的核心素養(yǎng)?！?“建立核心素養(yǎng)與課程教學的內(nèi)在聯(lián)系，充分挖掘各學科課程教學對全面貫徹黨的教育方針、落實立德樹人的根本任務(wù)、發(fā)展素質(zhì)教育的獨特育人價值，各學科基于學科本質(zhì)凝練了本學科的核心素養(yǎng)，明確了學生學習該學科課程后應(yīng)達成的正確價值觀念、必備品格和關(guān)鍵能力，對知識與技能、過程與方法、情感態(tài)度價值觀三維目標進行了整合?！?“高中數(shù)學教學以發(fā)展學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)為導向，創(chuàng)設(shè)合適的教學情境，啟發(fā)學生思考，引導學生把握數(shù)學內(nèi)容的本質(zhì)?！?/p>

在高中數(shù)學課堂教學中，如何更加有效地促進學生核心素養(yǎng)的形成，培養(yǎng)學生的學科能力，筆者認為，采用微專題教學是一種行之有效的作法。其作用正如查慎行的詩句形容：“微微風簇浪，散作滿河星”。

微專題即小專題，是相對于大專題而言的，學習一個大專題一般需要比較多時間，而小專題一般是一課時教學。微專題的切入口小，角度新穎，針對教學中的痛點、弱點、難點等展開教學，有見微知著之效。微專題的教學，以主干知識的一個中心詞為節(jié)點，對知識進行強化和拓展，不需要注重知識的覆蓋面，內(nèi)容專一，設(shè)計精巧玲瓏，問題處理透徹，學習更加地高效與精準。

本文以高一微專題《高斯函數(shù)問題》教學設(shè)計為例，談?wù)剬Ω咧袛?shù)學微專題教學設(shè)計的認識與理解。

一、教學分析

1.適用對象

本微專題適合于在高一上學期（以2019人教版高中數(shù)學必修第一冊為教材）必修1第三章學習之后進行教學。

2.學情分析

本微專題是在學生學習了函數(shù)的有關(guān)概念和性質(zhì)以及高中的預(yù)備基礎(chǔ)知識，并具備一定的學習經(jīng)驗和應(yīng)用能力的基礎(chǔ)上進行教學。但由于函數(shù)的性質(zhì)和概念學生剛剛接觸，所學知識與方法在學生的認知中是零散和碎片化的，通過本節(jié)微專題的學習，意圖進一步幫助學生理清知識網(wǎng)絡(luò)，提升分析與解決問題的能力。

3.教材分析

高斯函數(shù)的出現(xiàn)是在2019人教版高中必修1第一冊習題3.1中以習題方式呈現(xiàn)，是本章節(jié)中函數(shù)概念、函數(shù)表示、分段函數(shù)等相關(guān)知識點的應(yīng)用載體，具備新定義與新情境，能很好地檢測學生基本知識的理解和應(yīng)用，同時開闊學生認知視野，培養(yǎng)學生學習興趣，又為后繼函數(shù)的性質(zhì)和具體函數(shù)的學習做了鋪墊。此外，高斯函數(shù)又得到模擬題、高考題命題者的青睞。

4.教學方法

思維之道源于啟發(fā)。本節(jié)微專題設(shè)計以“情境引入——拓展提升——問題解決”為教學主線，引導學生認識新定義，理解新情境，解決新問題，進一步總結(jié)構(gòu)建知識體系，增強學科能力，體驗成功的愉悅，提升攻克困難的自信心。

5.本微專題知識與能力清單

預(yù)設(shè)教學目標點：了解高斯函數(shù)，以高斯函數(shù)知識背景為載體，會用已學知識解決問題。

預(yù)設(shè)知識重點：函數(shù)的定義，函數(shù)的表示，分段函數(shù)。

預(yù)設(shè)數(shù)學思想方法點：數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論、函數(shù)與方程思想。

預(yù)設(shè)學科素養(yǎng)點：數(shù)學抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學建模。

反思一：微專題的教學設(shè)計應(yīng)結(jié)合教學實際，根據(jù)教學對象和教學目標，確定合適的教學起點與終點。設(shè)計之初應(yīng)進行知識與能力的預(yù)設(shè)，根據(jù)班情，學情，考情等明確本節(jié)微專題需達成的知識目標、能力目標、學科素養(yǎng)目標等，并列出相應(yīng)清單。

二、教學過程

1.漫話歷史，引入課題

高斯（Gauss，1777-1855）是德國著名數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，被人們稱為“數(shù)學王子”。我們把不超過實數(shù)x的最大整數(shù)記為y=[x]，稱這個函數(shù)為取整函數(shù)。18世紀時被高斯采用，因此也稱為高斯函數(shù)。（多媒體課件展示）

引例：（2019人教版必修第一冊第73頁習題3.1第13題）函數(shù)f（x）=[x]的函數(shù)值表示不超過x的最大整數(shù)，例如，[-.3.5]=-4，[2.1]=2.當x（-2.5，3]時，寫出函數(shù)f（x）的解析式，并畫出函數(shù)的圖象。

師生活動：創(chuàng)設(shè)教學情境，教師借助多媒體，談數(shù)學歷史，引入高斯函數(shù)，以引例為例，讓學生探索高斯函數(shù)的畫法，激發(fā)學習興趣。教學過程中讓學生理解數(shù)軸上數(shù)x的高斯函數(shù)即為這個數(shù)左邊第一個整數(shù)，若數(shù)x為整數(shù)，它的高斯函數(shù)就是本身。作出高斯函數(shù)的圖象后，引導學生發(fā)現(xiàn)其圖象極像階梯，為方便識記，師生一起為其取名為“階梯函數(shù)”。

設(shè)計意圖：結(jié)合微專題設(shè)計的特點，講數(shù)學歷史，引高斯函數(shù)，呈現(xiàn)本節(jié)課的主題，回顧分段函數(shù)的表示方法，分段函數(shù)的畫法，函數(shù)的定義等，增強學生的動手能力，同時讓學生了解數(shù)學文化背景，更易于接受學科知識，激發(fā)學習動力與潛能，師生在交流探討中進一步鞏固基本知識、提升能力，增進師生感情。

反思二：微專題設(shè)計中應(yīng)注重情境的引入和生成，引導學生關(guān)注本節(jié)學習對象，直達學習重點，同時喚醒記憶，激發(fā)學習斗志，進一步幫助學生構(gòu)建知識體系。近年來，以中國傳統(tǒng)的數(shù)學文化，世界數(shù)學歷史的發(fā)展知識為背景的考題在高考與模擬試題中時常出現(xiàn)，因此，微專題的設(shè)計要注重學科特點，關(guān)注高考導向，應(yīng)有鮮明的時政性與時效性。

2.合作探究，小試牛刀

設(shè)計意圖：在高一上學期，應(yīng)引導學生認真細致地審題，理解新定義，新情境，同時應(yīng)加強數(shù)學語言的表達能力的鍛煉。這個環(huán)節(jié)中例1主要是為了幫助學生進一步理解高斯函數(shù)，同時鞏固一元二次不等式的解法;例2是分段函數(shù)求值與解不等式問題，滲透分類討論與化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想。例3的給出是幫助學生進一步理解高斯函數(shù)相關(guān)性質(zhì)，三個例子的難度適中，學生在弄懂這三題后，收獲了信心和喜悅，課堂氣氛融洽，師生均有一定的成就感。

反思三：微專題的教學設(shè)計應(yīng)圍繞某一教學內(nèi)容的中心詞展開，從基本概念，基本規(guī)律，基本題型入手，內(nèi)化知識并構(gòu)建知識體系，是一種小切口的教學設(shè)計。教學中應(yīng)力求幫助學生總結(jié)一類問題的一般規(guī)律，讓學生知其然并知其所以然。

3.綜合應(yīng)用，提升思維

師生活動：給學生10分鐘的時間獨立完成以上三小題，教師進行巡視，并給有困難的同學進行幫助和指導。對于例4的解答引導學生轉(zhuǎn)化為y=x2與y=[x]兩圖象交點問題，滲透化歸轉(zhuǎn)化與數(shù)形結(jié)合思想。例5與例6兩題及時指導學生正確畫好函數(shù)f（x）=x-[x]的圖象。例6有一定的綜合性，學生處理起來會感到棘手，此時引導學生明白此題的關(guān)鍵是如何會產(chǎn)生恰有三個點關(guān)于原點對稱。

設(shè)計意圖：這三個例子的呈現(xiàn)是逐步遞進，讓學生深度參與課堂，參與思考，從會畫y=[x]的圖象到會畫y=x-[x]圖象，并用這兩個圖象解決相關(guān)問題，從而復(fù)習鞏固了函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，又滲透數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化數(shù)學思想，實現(xiàn)了學生思維能力和學科素養(yǎng)的跨越與提升。

反思四：微專題的教學設(shè)計應(yīng)小而精，圍繞分層提高，高效課堂的目標，循序漸進地呈現(xiàn)問題，讓不同層次的學生都有所收獲，要立足學生的學習過程中的遇到的痛點，弱點，難點對癥下藥，同時要著眼于數(shù)學思想方法和學科素養(yǎng)的培養(yǎng)與滲透。

4.歸納總結(jié)，感悟思想

師生活動：教師問“本節(jié)課你有何收獲？在解決問題過程中我們用到了哪些數(shù)學思想和方法？”師生交流，相互補充，發(fā)表看法，形成共識。

教師進一步小結(jié)：與高斯函數(shù)有關(guān)問題技巧性較強，數(shù)新定義問題，比較靈活，在處理此類問題常見做法：①要充分理解和應(yīng)用高斯函數(shù)的定義或題目中的新定義情境，從定義出發(fā)剖析問題，高斯函數(shù)由于在不同的區(qū)間取整有不一樣的結(jié)果，所以常轉(zhuǎn)為區(qū)間的有關(guān)討論;②學會運用課堂上老師總結(jié)的幾個高斯函數(shù)的簡單性質(zhì)，有時會有意想不到的效果，當然性質(zhì)需理解吃透;③有時用特殊值法解決有關(guān)高斯函數(shù)問題會帶來方便，節(jié)省時間;④學會用數(shù)形結(jié)合思想處理函數(shù)問題。本節(jié)課為大家打開了一扇認識高斯函數(shù)的窗戶，今后，隨著學習的深入，可以有很多知識與高斯函數(shù)結(jié)合命題，希望同學們舉一反三，學會變通和創(chuàng)造性地解決問題。

教師要求學生在本節(jié)課后收集相關(guān)資料，完成一篇關(guān)于“高斯函數(shù)”的小論文或?qū)W習心得。

設(shè)計意圖：課堂小結(jié)是微專題課的點晴之筆，讓知識和方法顆粒歸倉，將數(shù)學知識結(jié)構(gòu)化、網(wǎng)絡(luò)化，搭建了知識之間聯(lián)系的橋梁。反思和總結(jié)是學習的延伸，波利亞曾指出，數(shù)學問題的解決僅只是一半，更重要的是解題之后的反思。

反思五：在微專題教學設(shè)計中，應(yīng)突出師生交流活動的開展，體現(xiàn)學生的課堂主體地位，引領(lǐng)學生進行思維的碰撞、深度地思考.與學生一起探求解決問題的一般流程和固化模式，讓學生的學習具有可操作性，使學生通過個體的思考、探究、交流，領(lǐng)悟自己的數(shù)學學習之道.高斯函數(shù)問題的學習不會因為本微專題的結(jié)束而終止，隨著后繼學習的深入，可以在適當?shù)臅r間安排微專題繼續(xù)研究高斯函數(shù)有關(guān)問題。

5.鞏固所學，反思升華

（一）必做題：

【答案：B】

2.已知x∈R，符號[x]表示不超過x的最大整數(shù)。若函數(shù)，其中m∈，則給出以下四個結(jié)論其中正確的是（ ）。

A.函數(shù)f（x）在（m+1，+∞）上的值域為

B.函數(shù)f（x）圖象關(guān)于直線x=m對稱

C.函數(shù)f（x）在（m，+∞）是減函數(shù)

D.函數(shù)f（x）在（m+1，+∞）上的最小值為

【答案：A】

設(shè)計意圖：分層作業(yè)緊扣本節(jié)微專題的教學目標，是課堂的延續(xù)，既讓多數(shù)學生吃得飽，又可以讓少數(shù)學生吃得好.通過課后作業(yè)的加強，內(nèi)化應(yīng)用數(shù)學知識解決問題的能力，有助于學生深度學習，培養(yǎng)學生思維的深刻性。

反思六：課后作業(yè)是課堂學習的延伸環(huán)節(jié)，微專題中作業(yè)的設(shè)計應(yīng)注意與課堂所學知識與方法的銜接;微專題的課堂教學實施后，還需要教師及時了解學生的學習掌握情況并進行反饋，以達到教學的預(yù)期效果。

三、教學反思

如果說高中數(shù)學教學是一項系統(tǒng)工程，那么微專題教學是關(guān)鍵建筑。本節(jié)課的設(shè)計力爭體現(xiàn)微專題教學設(shè)計特點，注重精準施策，高效課堂，體現(xiàn)當今教學增效，減負的理念。

本節(jié)課意在對高一階段性所學知識的總結(jié)、提升，在新定義下如何運用知識更好地解決問題。學生的學習基礎(chǔ)有別，存在差異，在有限的40分鐘內(nèi)讓每位同學有不同的收獲，成為本節(jié)微專題設(shè)計的出發(fā)點。數(shù)學歷史背景的呈現(xiàn)，數(shù)學圖形的美育功能讓學生有一種親近數(shù)學的沖動，便于喚醒已有的數(shù)學知識記憶，激發(fā)學習熱情。通過簡單運用，初步理解高斯函數(shù)這個新定義，為后繼變式應(yīng)用打下良好的基礎(chǔ)。后三個例子的呈現(xiàn)，讓本節(jié)微專題學習由淺入深，符合分層教學，因材施教的理念，打開了思維天窗，有效培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)，體現(xiàn)數(shù)學的育人功能。

在微專題的設(shè)計過程中筆者認為應(yīng)處理好幾個關(guān)鍵點：一是要關(guān)注對所學知識的整合串聯(lián)，引導學生建立縝密的知識網(wǎng)絡(luò);二是要注重問題鏈的設(shè)置，讓學生進入學習重點地帶，努力提高課堂效率;三是力求提高學生的元認知能力，切實發(fā)揮“微專題”以小見大的輻射作用;四是要了解學生切實的需要，根據(jù)高考的命題趨勢，選定微專題課題與內(nèi)容。

總之，微專題的教學設(shè)計應(yīng)讓學生的學習走出困惑，走進釋然，促使高效學習，精準提升;微專題的例題呈現(xiàn)要直擊要害，難度適中;微專題的教學實施要固化解題模式，有效解決學習痛點和命題熱點。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.《普通高中數(shù)學課程標準》（2017版2020年修訂）。

[2]文貴雙. 高斯函數(shù)[x]性質(zhì)及其應(yīng)用. 數(shù)理化解題研究. 2021（04）. 51-53.