姚偉泳

【摘要】“模型思想”是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課標》）十大核心素養(yǎng)之一，也是數(shù)學(xué)基本思想之一。然而在小學(xué)，實施數(shù)學(xué)建模教學(xué)還處于起步、探索階段。本文以人教版《平行四邊形的面積》一課的教學(xué)為例，談?wù)勅绾卧谛W(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中建立數(shù)學(xué)模型、滲透模型思想，培養(yǎng)學(xué)生初步形成模型思想。

【關(guān)鍵詞】平行四邊形的面積;小學(xué)數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)模型;模型思想

“模型思想”是《課標》新增加的一個核心詞匯。在《課標》給出的十大核心素養(yǎng)中，只有“模型”以“思想”指稱。由此可見，模型思想是數(shù)學(xué)教學(xué)必須滲透的思想方法之一。在新課改的要求下，數(shù)學(xué)建模必須要體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，也就是說數(shù)學(xué)建模的過程需要學(xué)生自主理解、積極參與教學(xué)活動，而不是生搬硬套公式、法則等。在小學(xué)階段讓學(xué)生積累一定的數(shù)學(xué)模型經(jīng)驗，并逐步感受數(shù)學(xué)建模過程和模型思想是教學(xué)的核心目標之一，也是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)形成的重要體現(xiàn)。那么，學(xué)生如何在教學(xué)中經(jīng)歷建模的過程呢？下面以人教版《平行四邊形的面積》一課的教學(xué)為例，談?wù)勅绾卧谛W(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中滲透模型思想、建立數(shù)學(xué)建模教學(xué)模式。

一、內(nèi)涵解讀

（一）數(shù)學(xué)模型

“數(shù)學(xué)模型”目前尚無公認的定義。曹培英教師的《跨越斷層，走出誤區(qū)：“數(shù)學(xué)課程標準”核心詞的解讀與實踐研究》一書，關(guān)于“數(shù)學(xué)模型”的廣義解釋是：一切數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)理論體系，各種數(shù)學(xué)公式、各種方程及由公式系列構(gòu)成的算法等，都可稱之為數(shù)學(xué)模型。王永春教師的《小學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)思想方法》一書，關(guān)于“數(shù)學(xué)模型”的廣義解釋是：數(shù)學(xué)的概念、定理、法規(guī)、公式、性質(zhì)、數(shù)量關(guān)系、圖形、圖表、程序等都是數(shù)學(xué)模型。按照廣義的數(shù)學(xué)模型解釋，小學(xué)數(shù)學(xué)中每個知識點都和建模有聯(lián)系，都可納入模型思想的教學(xué)。

（二）數(shù)學(xué)建模

建立數(shù)學(xué)模型的過程稱之為數(shù)學(xué)建模?！墩n標》在“教材編寫建議”中提出：“教材應(yīng)當根據(jù)課程內(nèi)容，設(shè)計運用數(shù)學(xué)知識解決問題的活動。這樣的活動應(yīng)體現(xiàn)‘問題情境——建立模型——求解驗證’的過程”?！皢栴}情境——建立模型——求解驗證”的過程，就是創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、實踐、探索、思考、交流等活動逐步建立這一問題的數(shù)學(xué)模型，然后運用這一模型去解釋一些現(xiàn)象或解決一些問題。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的基本模式

以人教版《平行四邊形的面積》一課的教學(xué)為例，談?wù)勅绾卧趯嶋H的教學(xué)中，經(jīng)歷建模的基本模式：“問題情境——建立模型——求解驗證”。

（一）創(chuàng)設(shè)問題情境

《課標》明確指出：“重視學(xué)生已有的經(jīng)驗，讓學(xué)生體驗從實際背景中抽象出數(shù)學(xué)問題，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。”因此，教師在教學(xué)過程中要結(jié)合學(xué)生的年齡特點、認知水平和生活經(jīng)驗，創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的生活情境，幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)表象，為構(gòu)建數(shù)學(xué)模型奠定基礎(chǔ)。

人教版的教材圖文并茂，可讀性強，情境圖常常蘊含著重要的數(shù)學(xué)信息，因此充當著生活情境與數(shù)學(xué)知識的橋梁作用。情境圖基本是學(xué)生熟悉的生活情境，既能引起學(xué)生的生活共鳴，又能引導(dǎo)學(xué)生抽象出數(shù)學(xué)模型。因此，教師要合理運用情境圖，引導(dǎo)學(xué)生仔細觀察情境圖，從中獲取數(shù)學(xué)信息。

片段1：

課件呈現(xiàn)校園門口街景平面圖（圖1）。

師：我們一起來看看大屏幕，你發(fā)現(xiàn)了什么圖形？

生：長方形、正方形、平行四邊形、三角形……

師根據(jù)生說出的發(fā)現(xiàn)：有長方形和平行四邊形的花壇，出示圖2。

師：這兩個花壇哪一個大？

生：要知道它們的面積才能比較。

師：你會計算它們的面積嗎？

這個環(huán)節(jié)是從情境圖中兩個形狀不一的花壇（一個長方形，一個平行四邊形）引入一個數(shù)學(xué)問題：兩個花壇哪一個大？這個問題情境就抽象成了比較長方形和平行四邊形的面積誰大的數(shù)學(xué)問題？由于學(xué)生已經(jīng)學(xué)過了計算長方形面積，那么，如何計算平行四邊形的面積呢？

片段2：

師：我們在學(xué)習(xí)長方形和正方形面積的時候，使用了數(shù)格子的方法學(xué)習(xí)求面積，如何數(shù)平行四邊形的面積呢？請同學(xué)們認真閱讀書上的提示（不滿一格的都按半格計算），數(shù)完后填寫好表格（如圖3）。

師：同學(xué)們對它們的底（長）、高（寬）和面積進行比較，發(fā)現(xiàn)了什么？

生：我發(fā)現(xiàn)了平行四邊形的底和長方形的長相等，平行四邊形的高和長方形的寬相等，平行四邊形的面積和長方形的面積相等（如圖4）。

師：這是我們數(shù)格子得出的平行四邊形的面積，不數(shù)方格，能不能計算出平行四邊形的面積呢？

這個環(huán)節(jié)，教師通過創(chuàng)設(shè)問題情境，抽象出數(shù)學(xué)問題：平行四邊形的面積如何計算？從實物（平行四邊形的花壇）自然過渡到抽象圖形（平行四邊形），學(xué)生感知起來簡易許多。再通過填表格的方法，讓學(xué)生在數(shù)據(jù)中感受平行四邊形和長方形之間的關(guān)系，啟發(fā)學(xué)生將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形的面積來計算，為學(xué)生構(gòu)建平行四邊形的面積模型做準備。

（二）建立平行四邊形的面積模型

《課標》明確指出：“學(xué)生在獲得知識技能的過程中，只有親身參與教師精心設(shè)計的教學(xué)活動，才能在數(shù)學(xué)思考、問題解決和情感態(tài)度方面得到發(fā)展?！保ㄏ罗D(zhuǎn)第13版）? （上接第12版）可見，學(xué)生的課堂參與顯得尤為重要，由此才能體現(xiàn)出學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是學(xué)習(xí)的組織者和引導(dǎo)者，才能擺脫“填鴨式”“滿堂灌”的傳統(tǒng)教學(xué)模式。因此，教師在組織課堂教學(xué)時，要精心設(shè)計教學(xué)活動，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜想、實驗、操作、驗證等活動，引導(dǎo)學(xué)生逐步發(fā)現(xiàn)這些問題的共性，建立起數(shù)學(xué)模型。

片段3：

師：我們可以把平行四邊形轉(zhuǎn)化成什么圖形來計算面積呢？

生：長方形。

師：為什么呢？

生：因為我們學(xué)習(xí)過長方形的面積。而且剛剛通過填寫表格，我發(fā)現(xiàn)了平行四邊形和長方形之間有聯(lián)系。

屏幕呈現(xiàn)平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形的方法（圖5）。

師：同學(xué)們請看，這是把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形的過程，我們沿著平行四邊形的什么剪呢？

生：平行四邊形的高。

師：你知道為什么嗎？

生：因為長方形的四個角都是直角，所以要沿著高剪。

師：那現(xiàn)在大家動手實驗一下吧。觀察原來的平行四邊形和轉(zhuǎn)化后的長方形，把你的發(fā)現(xiàn)填在實驗報告單（圖6）上。

這個環(huán)節(jié)，學(xué)生通過思考、動手操作，把平行四邊形沿著高剪開，利用割補法，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形，再通過觀察對比，發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)化前后圖形之間的等量關(guān)系，以此溝通長方形和平行四邊形之間的內(nèi)在聯(lián)系。這些等量關(guān)系為推導(dǎo)出平行四邊形的面積公式提供了清晰的思路。最后，用字母表示出公式S=ah，建立起平行四邊形的面積模型。

而這個建立起平行四邊形的模型教學(xué)過程，筆者也充分運用到多媒體技術(shù)，將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形的過程以微課的形式呈現(xiàn)出來。適當運用多媒體技術(shù)，不僅能吸引學(xué)生的課堂注意力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還能讓學(xué)生將自己動手操作的結(jié)果和課件演示結(jié)合起來，從而更形象生動、更直觀地理解轉(zhuǎn)化過程及公式推導(dǎo)過程，更好地建立起平行四邊形的面積模型。

（三）求解驗證

第三步就是運用平行四邊形的面積模型去解釋一些現(xiàn)象或解決一些問題。

1.應(yīng)用基礎(chǔ)模型：S=ah

片段4：

師：平行四邊形花壇的底是6m，高是4m，你能運用公式求出它的面積嗎？

生根據(jù)平行四邊形的面積公式S=ah，計算出花壇的面積，并體會字母表示數(shù)的代數(shù)思想。

2.構(gòu)建變化模型：a=S÷h

（1）出示問題：平行四邊形花壇的面積是24平方米，高是4米，它的底是多少？

（2）學(xué)生嘗試解答。

（3）辨析概念，明確：a=S÷h。

3.構(gòu)建變化模型：h=S÷a

（1）出示問題：平行四邊形花壇的面積是24平方米，底是6米，它的高是多少？

（2）學(xué)生嘗試解答。

（3）辨析概念，明確：h=S÷a。

第2題和第3題的練習(xí)構(gòu)建出了變化模型：已知平行四邊形的面積和高，求底;已知平行四邊形的面積和底，求高。通過基礎(chǔ)模型構(gòu)建出變化模型，能讓學(xué)生更好地掌握平行四邊形的面積、底和高三者之間的關(guān)系，對平行四邊形的面積模型有更深刻的理解。

總之，數(shù)學(xué)模型是溝通問題情境與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識之間的橋梁，建立數(shù)學(xué)模型的過程，就是將數(shù)學(xué)理論知識應(yīng)用于實際生活情境的過程。在學(xué)生眼里，數(shù)學(xué)是抽象的、枯燥的，但是教師可以通過原型（創(chuàng)設(shè)問題情境）抽象出數(shù)學(xué)模型（建立數(shù)學(xué)模型），數(shù)學(xué)的抽象就看得見、摸得著了。再把數(shù)學(xué)模型應(yīng)用到實際生活中去（解釋與應(yīng)用），學(xué)生能更加體會到數(shù)學(xué)與大自然和社會的密切聯(lián)系，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和信心。

參考文獻：

[1]教育部.全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）[S].北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]陳曉燕.初心：小學(xué)數(shù)學(xué)教研行與思[M].世界圖書出版廣東有限公司，2019.

[3]王永春.小學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)思想方法[M].華東師范大學(xué)出版社，2014.

[4]曹培英.跨越斷層，走出誤區(qū)：“數(shù)學(xué)課程標準”核心詞的解讀與實踐研究[M].上海教育出版署有限公司，2017.

責(zé)任編輯? 羅良英