【摘 要】數(shù)學史作為數(shù)學文化的重要組成部分，是數(shù)學文化融入教學過程的主要表現(xiàn)形式，而教材作為傳承數(shù)學知識和文化的重要載體，對中學數(shù)學教學起著重要的指導作用。研究者從歷史起源和內(nèi)容兩個維度，分析多元文化背景下數(shù)學史在新舊教材中的滲透情況。結(jié)果表明，新舊教材史料基本一致，數(shù)學史來源比例過于懸殊，數(shù)學史應用水平較低。為此，研究者建議重視史料教育作用，增加史料引用數(shù)量;平衡不同起源史料，適應多元文化背景;提高史料應用水平，促進學生綜合發(fā)展。

【關(guān)鍵詞】多元文化;教材;數(shù)學史

【作者簡介】林劍，中國人民解放軍陸軍特種作戰(zhàn)學院助教，主要研究方向為數(shù)學教育。

一、引言

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》明確指出，教師應在教學活動中有意識地結(jié)合相應的教學內(nèi)容，將數(shù)學文化滲透在日常教學中。數(shù)學史作為數(shù)學文化的重要組成部分，是數(shù)學文化融入教學過程的主要表現(xiàn)形式[1]，而教材作為傳承數(shù)學知識和文化的重要載體，對中學數(shù)學教學起著重要的指導作用。在多元文化背景下，為堅定文化自信，滲透數(shù)學文化，教材中數(shù)學史料的來源不應囿于單一區(qū)域或某一國家。因此，研究數(shù)學史在教材中的來源占比以及應用方式是否適應多元文化時代背景的要求具有重要意義。為了解目前教材中數(shù)學史的來源是否適應多元化社會的需求，其應用能否達到發(fā)展學生數(shù)學思維，培養(yǎng)學生情感、態(tài)度與價值觀的目的。本研究從數(shù)學史的起源和應用兩個維度出發(fā)[2]，對數(shù)學史在人教A版新舊教材中的滲透情況進行對比分析。

二、數(shù)學史在新舊教材中的滲透情況比較

（一）比較維度

1.起源維度

數(shù)學的發(fā)展經(jīng)歷了初等數(shù)學時期、變量數(shù)學時期以及現(xiàn)代數(shù)學時期，其重心也進行了歷次轉(zhuǎn)移，形成了現(xiàn)今系統(tǒng)的數(shù)學知識體系。古代中國有著燦爛的數(shù)學文化，成書最遲在西漢的《九章算術(shù)》最早提到分數(shù)與盈不足等問題，《方程》章還在世界數(shù)學史上首次闡述了負數(shù)及其加減運算法則。成書于公元前1世紀的《周髀算經(jīng)》最早記載了勾股定理的公式與證明及其在測量上的應用，以及怎樣將它們應用到天文計算[3]。在16世紀初期，自然科學與工程的發(fā)展需求促使西方數(shù)學爆炸式發(fā)展，由幾何原本奠定的公理化研究方法為西方數(shù)學取得較大突破，伴隨著大航海時代全球經(jīng)貿(mào)的擴張，使得西方數(shù)學乃至其他國家數(shù)學傳入中國。多年來，中西方數(shù)學思想不斷碰撞、融合，沉淀為如今的數(shù)學文化。因此，我國教材中數(shù)學史的引用主要有以下幾個來源。

（1）中國數(shù)學史（CM）

中國數(shù)學始于先秦時期，其注重對實際問題的解釋和再利用，形成以計算為核心的算法理論，具有濃郁的應用色彩[4]。在內(nèi)容上多為對生活實踐中遇到的問題進行歸納和理性的處理，強烈實用主義雖然促進了數(shù)學知識的傳播，但同時也致使研究成果相對獨立，未能深究背后的邏輯，并形成完備的數(shù)學體系。中國數(shù)學的特點奠定了中國數(shù)學史是以生活情境解釋以及數(shù)學家事跡、成果為中心的歷史。

由于近現(xiàn)代西方數(shù)學的發(fā)展，教材中大部分的公式、定理均源于西方數(shù)學，中國數(shù)學史的引用能讓學生了解中國古代數(shù)學同樣有著非凡的成就，能增強學生學好數(shù)學的信心，提升民族自豪感，堅定文化自信。此外，以生活情境解釋以及數(shù)學家事跡、成果為中心的中國數(shù)學史更符合學生的認知規(guī)律，比較容易為學生所接受。

（2）西方數(shù)學史（WM）

與中國數(shù)學強調(diào)實用性不同，西方數(shù)學注重邏輯性，旨在建立統(tǒng)一理論以解釋一切現(xiàn)象[5]。中西方數(shù)學的起源非常類似，但在經(jīng)歷相似時期后，西方數(shù)學取得蓬勃發(fā)展，得益于近現(xiàn)代西方數(shù)學沿用的是由幾何原本奠定的公理化研究方法，其通過抽象符號將數(shù)學應用于實際問題中，進而形成高度抽象化的數(shù)學體系。

在人教版教材中，微積分、解析幾何等數(shù)學內(nèi)容模塊均為西方數(shù)學研究成果，因此西方數(shù)學史是教材中數(shù)學史的重要組成部分。西方數(shù)學史的引用，一方面可以讓學生了解異于中國的研究方法，培養(yǎng)學生的邏輯思維，另一方面可以開拓學生視野，促進學生綜合素質(zhì)的發(fā)展。

（3）多元文化數(shù)學史（MM）

多元文化數(shù)學史是指在不同文化背景下對同一問題的獨立研究成果。數(shù)學史料“中外歷史上的方程求解”，以時間順序梳理了中外數(shù)學家關(guān)于方程解法的研究歷程，介紹了中外對于低次方程式不同的解法，闡明了五次以上高次方程的根式解不存在。教材中多元文化數(shù)學史的引入，能使學生感受到中西方思維的差異，引導學生從不同角度思考問題，促進學生的思維發(fā)展。

（4）其他國家數(shù)學史（OM）

除西方數(shù)學史和中國古代數(shù)學史外，人教版教材的史料來源還涉及少數(shù)其他國家，如史料“弧度制發(fā)展史簡介”就介紹了印度人曾用同一單位度量半徑和圓周，是現(xiàn)知的最早的弧度制概念的雛形，這能幫助學生理解概念引入的意義。

2.應用維度

對教材中數(shù)學史的篇幅、欄目、內(nèi)容進行文本比較、分析發(fā)現(xiàn)，數(shù)學史在教材中的應用存在差異，既有以提示框形式出現(xiàn)的數(shù)學家生平的介紹，也有以探究欄目引導的數(shù)學定理的推導證明。通過新舊教材數(shù)學史的分類歸納，依據(jù)對學生思維能力發(fā)展的促進程度不同，數(shù)學史的應用可分為以下四種類型。

（1）簡單介紹（T1）

簡短介紹某一數(shù)學家及其研究成果。這類數(shù)學史常以注釋的形式出現(xiàn)，例如史料“第24屆國際數(shù)學家大會會標”簡短地介紹了該大會會標是根據(jù)中國古代的數(shù)學家趙爽的弦圖設(shè)計的[6]。該史料引導學生通過觀察圖形各部分面積間的關(guān)系，使學生發(fā)現(xiàn)圖形中的相等或不等關(guān)系，進而引入基本不等式的概念，激發(fā)學生的求知欲望。

（2）詳盡介紹（T2）

詳細介紹某種數(shù)學問題的解決方案，即某種算法或某一數(shù)學家的故事，但以結(jié)論的形式呈現(xiàn)，不對其探究過程或歷史背景做深入闡述。這類數(shù)學史常以閱讀與思考的形式出現(xiàn)，例如史料“中外歷史上的方程求解”詳盡地介紹了中外歷史上關(guān)于方程的解法，以時間順序還原了方程求解從低次向高次不斷推進的過程，拓寬學生的視野。

（3）引領(lǐng)探究（T3）

介紹某種算法、概念或數(shù)學家的成果和結(jié)論，并解釋其探究過程或文化背景，將數(shù)學產(chǎn)物與人物、歷史背景、探究過程結(jié)合起來。這類數(shù)學史常以閱讀與思考的形式出現(xiàn)，例如史料“三角學與天文學”將三角學伴隨著天文學發(fā)展的起源與推廣過程復現(xiàn)，使學生了解知識形成的歷史背景及來龍去脈，幫助學生更好地理解知識。

（4）自主探究（T4）

介紹數(shù)學知識及其相關(guān)背景并提出問題，鼓勵學生探究、推理或完成實驗，在已有知識的基礎(chǔ)上得出新的結(jié)論。這類數(shù)學史常以實習作業(yè)形式出現(xiàn)，例如史料“函數(shù)的形成與發(fā)展”要求學生以合作學習的方式進行探究，了解函數(shù)的發(fā)展歷程與廣泛應用，有效地培養(yǎng)學生的自主學習能力，讓學生在自主探究中學習數(shù)學文化[7]。

（二）滲透情況

2019年人教A版高中數(shù)學新教材包括2冊必修教材、3冊選擇性必修教材。本研究以人教A版必修一為例，對新舊教材共有內(nèi)容的數(shù)學史滲透情況進行對比分析。新版教材必修一共包含“集合與常用邏輯用語”“一元二次函數(shù)、方程和不等式”“函數(shù)的概念與性質(zhì)”“指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)”“三角函數(shù)”五章內(nèi)容，對應舊版教材必修一全冊、必修四第一章、必修五第三章內(nèi)容模塊。按照新版教材內(nèi)容模塊的順序，從起源和應用兩個對比維度對教材中的有關(guān)數(shù)學史料進行劃分[8]，其中“NP+頁碼”表示該史料內(nèi)容在2019年人教版教材中的具體頁碼，“OP+冊數(shù)+頁碼”則表示在2003年人教版教材中的具體冊數(shù)及相應頁碼。

（三）對比分析

1.起源維度對比分析

從表1可知，新舊教材在數(shù)學史料選用上大部分一致，僅新增了“康托爾頭像及生平介紹”“對數(shù)概念的形成與發(fā)展”，刪除了2003年人教版教材中的“對數(shù)與指數(shù)討論”，“牛頓冷卻模型”不做史料解釋，而是以例題的形式出現(xiàn)，新版教材總體上仍較多地以西方數(shù)學史作為史料的主要來源。以下對教材中的史料從起源維度進行分析（見表2）。

基于表1對新舊教材中不同起源的數(shù)學史進行分類匯總，可得到不同起源數(shù)學史在新舊教材中的總量直方圖（如圖1）。

由圖1可以看出，在必修一中四種不同起源的數(shù)學史均有引用，但西方數(shù)學史是必修一內(nèi)容模塊中數(shù)學史的主要來源，占該冊數(shù)學史內(nèi)容的63，中國數(shù)學史及其他國家數(shù)學史的引用比例相對較低。在圖1中，由于內(nèi)容模塊間數(shù)學史數(shù)量的增減變化，新舊教材在不同起源維度的數(shù)量相等，對新舊版本教材數(shù)學史在起源維度上進行對比分析，依內(nèi)容模塊作圖如下（如圖2）。

由圖2可知，新版教材在每一個內(nèi)容模塊中均有數(shù)學史，在數(shù)量分布上比舊版教材更為合理。新版教材相較于舊版教材在“集合與常用邏輯用語”中增加了一則西方數(shù)學史，而在“指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)”中減少了一則西方數(shù)學史。因此，在新舊教材中，數(shù)學史的引用總量相等。

2.應用維度對比分析

數(shù)學史不同的應用程度，對學生思維能力發(fā)展的促進程度也不同。新版教材對史料的運用偏向于簡單介紹，以史料為背景進行引領(lǐng)探究和自主探究較少。以下對新舊教材史料的應用維度進行分析。

基于表3對新舊教材中不同應用方式的數(shù)學史進行分類匯總，可得到不同應用方式數(shù)學史在新舊教材中的總量直方圖（如圖3）。

由圖3易知，新舊教材中數(shù)學史在T4維度的數(shù)量一致，但結(jié)合表1內(nèi)容分析可知，新舊教材在T4維度的數(shù)學史料并不相同，新版教材新增了T4的方式應用史料“對數(shù)概念的形成與發(fā)展”，將原有的“牛頓冷卻模型”不做史料解釋，而是以例題形式出現(xiàn)。因此，新版教材相較于舊版教材在數(shù)學史的應用方式上有所提高。

由圖4可知，新舊教材中數(shù)學史在各內(nèi)容模塊中的應用方式均以介紹為主，引領(lǐng)學生探究或?qū)W生自主探究較少，僅在“函數(shù)的概念與性質(zhì)”“指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)”章節(jié)中對數(shù)學的應用方式達T3及以上水平。

三、總結(jié)與反思

龐加萊認為，如果我們想要預見數(shù)學的將來，合適的途徑是研究這門科學的歷史和現(xiàn)狀。數(shù)學史研究數(shù)學概念、數(shù)學方法和數(shù)學思想的起源與發(fā)展，及其與社會、經(jīng)濟和文化的聯(lián)系。在多元文化的背景下，數(shù)學史的意義不再局限于激發(fā)學生學習興趣，對于深刻認識數(shù)學體系與實現(xiàn)文化強國戰(zhàn)略目標均具有重要的意義。

通過對新舊教材對比分析發(fā)現(xiàn)，數(shù)學史料基本相同，未進行大幅改動。教材中數(shù)學史的來源主要以西方數(shù)學史為主，中國數(shù)學史、多元文化數(shù)學史、其他國家數(shù)學史的數(shù)量均不足;教材中數(shù)學史的應用主要以介紹為主，旨在介紹某一數(shù)學家或其相關(guān)成果，對問題背景及演化過程的探究較少。因此，對于教材中數(shù)學史的編排，筆者建議可從以下三個方面進行改進。

（一）重視史料教育作用，增加史料引用數(shù)量

教材更新迭代工作煩瑣復雜，因此教材不能實時更新，一套教材的沿用往往長達近十年時間，這就要求教材編寫委員會應具有前瞻性。在依內(nèi)容模塊對新舊教材的數(shù)學史料對比分析后發(fā)現(xiàn)，新版教材的數(shù)學史料大部分沿用舊版教材的，僅對幾處內(nèi)容進行增減。舊版教材中數(shù)學史料無論在來源比例或是應用水平上均未完善。教材中數(shù)學史的引入不僅可以激發(fā)學生的學習興趣，而且通過學習數(shù)學家研究治學的態(tài)度與精神能幫助學生形成正確的價值觀，培養(yǎng)學生的思維。由此，筆者建議教材編寫委員會應重視史料的人文與科學教育作用，增加教材中史料的引用數(shù)量，并適當對史料的來源比例及應用水平進行調(diào)整。

（二）平衡不同起源史料，適應多元文化背景

在多元文化的背景下，黨的十九大提出堅定文化自信，推動社會主義文化繁榮興盛，要求堅持不忘本來、吸收外來、面向未來。而在新舊教材中西方數(shù)學史均呈現(xiàn)出“一枝獨秀”的態(tài)勢。因此，平衡教材中不同起源的數(shù)學史料數(shù)量，特別是增加中國數(shù)學史的數(shù)量占比具有重要意義。隨著外來文化的不斷沖擊，增加中國數(shù)學史的數(shù)量有利于學生了解中國古代數(shù)學的成就，提升民族自豪感，堅定文化自信。此外，適當增加多元文化數(shù)學史及其他國家數(shù)學史，能更好地培養(yǎng)學生適應多元文化的綜合能力。多元文化數(shù)學史強調(diào)一個數(shù)學問題在中西方甚至更多其他國家中的研究歷史，讓學生感受解題邏輯背后的異同，培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維。其他國家數(shù)學史的引入旨在幫助學生理解概念的形成與發(fā)展過程，開拓學生的視野[9]。

（三）提高史料應用水平，促進學生綜合發(fā)展

學習數(shù)學的目的在于培養(yǎng)學生的邏輯推理能力，依據(jù)對學生思維能力發(fā)展的促進程度不同，數(shù)學史的應用情況可分為簡單介紹（T1）、詳盡介紹（T2）、引領(lǐng)探究（T3）、自主探究（T4）。在新舊教材中史料多以介紹形式呈現(xiàn)，以史料為背景引領(lǐng)學生探究或鼓勵自主探究較少，不利于學生邏輯推理數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。筆者建議將T1類型數(shù)學史改進為T3、T4類型的數(shù)學史，充分發(fā)揮在多元文化背景下數(shù)學史料的作用，鼓勵教師結(jié)合歷史背景解釋數(shù)學成果的探究過程。為照顧一些基礎(chǔ)薄弱、探究和創(chuàng)新能力不足的學生的學習發(fā)展需要，T4的數(shù)量應略少于T3。同時，提高數(shù)學史料的應用水平，在傳遞數(shù)學史的人文價值的同時發(fā)展學生邏輯推理能力，促進學生綜合能力的發(fā)展。

參考文獻：

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[9]路夢綺，林劍，周瑩.多元文化背景下數(shù)學史在教科書中的滲透情況分析[J].中小學課堂教學研究，2019（1）：21-25.

（責任編輯：陸順演）