王書賢 郭建理
【摘 要】尺規(guī)作圖是幫助學生從感性到理性,從直觀操作到邏輯推理,并建立幾何直觀的有效工具。研究者對尺規(guī)作圖的命題現(xiàn)狀提出問題,以江蘇省近三年尺規(guī)作圖的中考試題為研究對象,結(jié)合題量變化、試題分析,具體闡述了尺規(guī)作圖題對學生空間觀念、幾何直觀以及推理能力的培養(yǎng)。
【關(guān)鍵詞】尺規(guī)作圖;命題分析;中考試題
【作者簡介】王書賢,常熟理工學院在讀學生;郭建理,高級教師,江蘇省特級教師,曾榮獲全國優(yōu)秀教師,第八屆中學數(shù)學教育獎——“蘇步青數(shù)學教育獎”二等獎等。
尺規(guī)作圖是幫助學生從感性到理性,從直觀操作到邏輯推理,并建立幾何直觀的有效工具。在信息高度發(fā)展的今天,尺規(guī)作圖仍有豐富的教育價值。尺規(guī)作圖是一種學生實際動手操作的過程,與圖形運動有著密切的聯(lián)系,具有不可替代的直觀性;其也是問題解決中不可分割的一部分[1]。此外,由于尺規(guī)作圖只利用無刻度直尺和圓規(guī)這兩種工具作圖,對于學生而言具有一定的挑戰(zhàn)性,例如在尺規(guī)作圖的過程中,所規(guī)定的是無刻度直尺,這使得直尺只能用來作直線,而不能進行測量,這一限制將會激發(fā)學生思考,進而培養(yǎng)學生的思維能力與創(chuàng)新能力。同時,尺規(guī)作圖對學生推理能力的培養(yǎng)有較大的促進作用,使學生加深對幾何知識的理解。因此,在幾何教學強調(diào)對思維能力與推理能力培養(yǎng)的今天,尺規(guī)作圖理應得到足夠的重視。本文從中考命題入手,通過對尺規(guī)作圖題的考查情況進行分析,以期對教師的教學有所啟發(fā)。
一、尺規(guī)作圖的命題現(xiàn)狀
(一)尺規(guī)作圖的題量變化
為研究江蘇省對尺規(guī)作圖問題的考查,筆者查閱了江蘇省13個地市近3年的數(shù)學中考題,并將涉及尺規(guī)作圖的地市和題號進行統(tǒng)計(見表1)。
從考查地區(qū)來看,2018年只有南京、無錫、南通、淮安、常州5個地市考查了尺規(guī)作圖題,到了2020年共有11個地市考查尺規(guī)作圖題,可見越來越多的地區(qū)在中考中加大了對于尺規(guī)作圖題的考查;從考題分布來看,主要在解答題進行考查,選擇題和填空題也有涉及;從題量來看,尺規(guī)作圖題的考查次數(shù)明顯增多,可見近幾年江蘇省數(shù)學中考對尺規(guī)作圖的考查是有所加強的,并且重視程度不斷提高。
(二)尺規(guī)作圖的命題方式
1.補全式
補全式,即題目給出作法的全部或者部分過程,要求學生理解作法,補全作圖依據(jù)或作圖過程[2]。這樣的考題不僅要求學生依據(jù)題目作出目標圖形,而且需要學生深刻理解每一步操作背后的原理,做到知行合一。
例1(2018年南通16)下面是“作一個30°角”的尺規(guī)作圖過程。
已知:平面內(nèi)一點A。
求作:∠A,使得∠A=30°。
作圖:如圖1,(1)作射線AB;(2)在射線AB上取一點O,以O為圓心,OA為半徑作圓,與射線AB相交于點C;(3)以C為圓心,OC為半徑作弧,與⊙O交于點D,作射線AD,∠DAB即為所求的角。
請回答:該尺規(guī)作圖的依據(jù)?????? 。
本題考查運用尺規(guī)作出特殊角,以及運用等邊三角形的判定和性質(zhì),圓周角定理等知識解決問題的能力。解答此類題目,首先應知道確定圖形所需要的元素;其次明確達成作圖對象需要應用的知識點;接著厘清每一步作法與確定圖形元素之間的關(guān)系;最后明白整個作法的數(shù)學原理[3]。
這類試題關(guān)注作圖依據(jù),不僅需要學生讀懂尺規(guī)作圖的作法,而且需要學生逆向證明所作的圖形符合要求,具有一定的思維能力。這很好地體現(xiàn)了知行合一,以及尺規(guī)作圖“知原理、重探究”的教學價值取向,充分發(fā)展了學生的空間觀念、幾何直觀、邏輯推理等數(shù)學核心素養(yǎng)。在教學中,教師應引導學生深刻理解每一步作法背后的依據(jù),體現(xiàn)步步有據(jù),使學生對作法的“理”認識到位。
簡解:先根據(jù)作圖得出OD=OC=CD,即△OCD為等邊三角形,據(jù)此可得 ∠COD=60°,再根據(jù)圓周角定理知∠DAC=12∠COD=30°,從而得出答案:三邊相等的三角形是等邊三角形;圓周角的度數(shù)等于圓心角度數(shù)的一半。
2.實操式
實操式,即根據(jù)題目要求,用尺規(guī)作出相應圖形,只保留作圖痕跡,不要求寫作法。試題常以五種基本作圖法作為本源,對需要確定的對象屬性進行深層次、多角度的聯(lián)想。
例2(2019 年宿遷24)在Rt△ABC中,∠C=90°。
(1)如圖2,點O在斜邊AB上,以點O為圓心,OB長為半徑的圓交AB于點D,交BC于點E,與邊AC相切于點F,求證:∠1=∠2。
(2)在圖3中作⊙M,使它滿足以下條件:
①圓心在邊AB上;②經(jīng)過點B;③與邊AC相切。(尺規(guī)作圖,只保留作圖痕跡,不要求寫作法)
本題將尺規(guī)作圖與圓和切線的性質(zhì)相結(jié)合,主要考查角平分線和線段垂直平分線的作法。掌握連接圓心和切點的半徑與切線垂直是解題的關(guān)鍵,其突出了對學生推理能力的考查。這樣的命題方式常見于解答題中,以基本作圖作為出發(fā)點,將推理蘊含其中。
此類問題需要學生熟練掌握《義務教育數(shù)學課程標準(2011年版)》(以下簡稱課程標準)中所要求的五種基本作圖法,將書本知識與實際動手操作結(jié)合起來,不但可以提高學生的空間觀念、幾何觀念、邏輯推理等數(shù)學核心素養(yǎng),還可以讓學生體會到尺規(guī)作圖的簡單精確與數(shù)學之美[4]。在教學中,教師應以教材為本,深化整體教學,使學生明確教材中的基本作圖方法,掌握各個知識點之間的內(nèi)在聯(lián)系。對于解決此類尺規(guī)作圖的問題,教師可以參照波利亞的解題四步驟來組織教學。
簡解:(1)連接OF,可證得OF//BC,結(jié)合平行線和圓的性質(zhì)可求得∠1=∠OFB=∠2。
(2)由(1)可知切點是∠ABC的角平分線和AC的交點,圓心在BF的垂直平分線上,由此可作出⊙M。
3.應用式
應用式,即題目給出作圖語言、作圖痕跡,以此為條件進行應用。這類考題考查角度新穎,將題目的已知條件通過尺規(guī)作圖的作法表達出來,要求學生理解作法,并能夠根據(jù)作法找出隱藏的已知條件進行其他計算或證明。較補全式、實操式兩種類型而言,應用式考查要求相對較低,只要求學生讀懂做法即可。
例3(2020年蘇州18)如圖4,已知∠MON是一個銳角,以點O為圓心,任意長為半徑畫弧,分別交OM、ON于點A、B,再分別以點A、B為圓心,大于12AB長為半徑畫弧,兩弧交于點C,畫射線OC。過點A作AD∥ON,交射線OC于點D,過點D作DE⊥OC,交ON于點E。設OA=10,DE=12,則sin∠MON=??? 。
本題借用作圖語言、作圖痕跡,間接地給出“OD平分∠MON”這個已知條件,考查學生對角平分線基本尺規(guī)作圖的了解。本題并未要求學生按步驟作出圖形,而是以閱讀題目條件的形式讓學生對作圖語言進行推理,再通過計算求得角的正弦值。
這類問題需要學生閱讀并理解作圖步驟,判斷作出的幾何圖形,再分析推理得出作圖所表示的信息,最后進行解題。在教學中,教師可引導學生嘗試操作,理解圖形產(chǎn)生的過程,通過問題串的形式,及時梳理學生在探究過程中發(fā)現(xiàn)的問題,并鼓勵學生用數(shù)學語言來表達自己的數(shù)學思考,帶領(lǐng)學生經(jīng)歷解決問題的全過程,不斷提高學生發(fā)現(xiàn)和提出問題以及分析和解決問題的能力。
簡解:連接DB,過點D作DH⊥ON于H。首先,證明四邊形AOBD是菱形;其次,通過解直角三角形可求出DH,即可解決問題。故答案為2425。
二、尺規(guī)作圖的命題預測
(一)縱向分析
中考考題具有良好的導向作用。從近幾年江蘇省中考數(shù)學試題來看,尺規(guī)作圖題的考查類型以補全式、實操式和應用式為主。對于從未考查過尺規(guī)作圖的徐州市和連云港市,今后數(shù)學中考題可能會優(yōu)先命制實操式類型的試題,即給出部分幾何圖形,學生根據(jù)作圖要求,作出相應的圖形,主要考查基本作圖的操作,具體可參照上文例2。
對于已考查過尺規(guī)作圖試題的地區(qū),如蘇州市,不會馬上提高試題難度,可能會涉及圓、三角形、平行四邊形等性質(zhì)定理,并在已考查過的試題的基礎(chǔ)上進行創(chuàng)新。而無錫市此前的試題綜合性強,靈活度高,難度大,對于學生的邏輯推理、分析問題、空間想象能力都有較高的要求,今后將會繼續(xù)在此基礎(chǔ)上考查尺規(guī)作圖,并提高試題的創(chuàng)新性。
(二)橫向分析
目前,江蘇省高考與全國高考已經(jīng)接軌,中考題也會向全國其他省市看齊,這是未來的大趨勢。因此,借鑒全國數(shù)學中考題中有關(guān)尺規(guī)作圖的考查,江蘇省尺規(guī)作圖三大類型題目可從作圖背景或作圖工具進行試題創(chuàng)新和改編。雖然江蘇省有關(guān)此類的尺規(guī)作圖題已有涉及,但相較于全國其他走在尺規(guī)作圖命題前沿的省市,還不夠成熟。
從全國中考數(shù)學的真題來看,天津市的網(wǎng)格作圖題比較熱門,屬于天津中考數(shù)學的??碱}型,或許會對未來江蘇各地市的命題有借鑒意義。此外,限制作圖工具僅為無刻度直尺或圓規(guī)的題型也應值得關(guān)注,比如江西省中考數(shù)學近幾年考查了無刻度的直尺作圖題;2007年南京市中考數(shù)學考查了圓規(guī)作圖題,這或許成為未來命題的新形式。
三、教學建議
根據(jù)課程標準對尺規(guī)作圖的教學要求,近幾年江蘇省中考數(shù)學試題從題材選擇到問題設計均進行了適當創(chuàng)新,研究這些試題的命題意圖,分析課程標準的導向作用,有助于教師把握尺規(guī)作圖的教學要求與考查方向。尺規(guī)作圖是初中幾何中訓練學生工具操作、幾何語言敘述和邏輯推理能力的重要內(nèi)容,在課堂教學中,教師應注意以下幾個方面。
1.轉(zhuǎn)變思想觀念,促進學生能力培養(yǎng)
尺規(guī)作圖作為最基本的作圖方法,具有創(chuàng)新性與邏輯性,尺規(guī)作圖是平面幾何的核心內(nèi)容,貫穿于整個數(shù)學學習之中。在教學中,教師要轉(zhuǎn)變只關(guān)注知識技能的思想觀念,應把尺規(guī)作圖作為培養(yǎng)學生邏輯思維與創(chuàng)新精神的重要課程資源,通過教學助推學生對數(shù)學知識原理的理解,讓學生進一步實踐并感悟數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法,開發(fā)學生思維,促進學生能力培養(yǎng)。
2.豐富數(shù)學實驗,提高學生動手能力
2021年7月12日,第14屆國際數(shù)學教育大會(ICME-14)在華東師范大學開幕,在“中國數(shù)學教育特色主題活動”中,江蘇省教育科學研究院的“數(shù)學實驗——中國中小學數(shù)學學習的變革”,作為其中一個主題在會上展示。數(shù)學實驗,在一定程度上影響著中學數(shù)學教與學的變革。教學中,教師要幫助學生理解算理、掌握算法、發(fā)展運算能力,培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合以及邏輯推理能力。尺規(guī)作圖是初中幾何教學的重點,是最基礎(chǔ)的數(shù)學實驗之一,教學中一題多變給學生提供靈活的實驗平臺,一題多解、一圖多做,多角度、全方位地開啟學生的發(fā)散性思維,教師要大膽放手讓學生動手操作,觀察思考,探究和內(nèi)化原理。
3.規(guī)范數(shù)學語言,錘煉學生表達能力
課程標準要求學生會用數(shù)學的眼光觀察世界,會用數(shù)學的思維思考世界,會用數(shù)學的語言表達世界。用數(shù)學語言表達問題時要求規(guī)范、準確、簡潔、清晰,而學生在尺規(guī)作圖的學習中,往往只會作圖,欠缺表達。在教學中,教師應首先訓練學生掌握尺規(guī)作圖的語言表達——已知、求作、作法,做到層次分明;其次熟練掌握常用作圖語言,使作法表達規(guī)范、準確;最后,用基本尺規(guī)作圖的作法表達時,無須重復作圖的詳細過程,用一句話概括即可,做到言簡意賅。教學中規(guī)范學生的數(shù)學語言,錘煉學生的表達能力,為學生后續(xù)的解析幾何、立體幾何的作圖表達奠定基礎(chǔ)。
近幾年,江蘇省逐漸重視尺規(guī)作圖試題,各地市的尺規(guī)作圖題量明顯增加,試題考查類型靈活多樣,對學生的直觀思維、推理能力、空間觀念等數(shù)學核心素養(yǎng)有所提高,激發(fā)了學生的學習興趣和創(chuàng)造性,促進了學生的理性思維能力和動手操作能力的發(fā)展,為學生進行更高層次的數(shù)學學習奠定基礎(chǔ)。
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(責任編輯:陸順演)