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        核心素養(yǎng)視角下“全等三角形”概念學習及課堂實錄

        2022-01-26 09:16:00董向東李瑞霞
        中學教研(數(shù)學) 2022年2期
        關(guān)鍵詞:全等三角形概念學習重合

        董向東, 李瑞霞

        (東營市實驗中學,山東 東營 257091)

        對核心素養(yǎng)的思考日漸細深,越來越聚焦于課堂的實現(xiàn).概念教學尤其是核心概念的教學越來越受到重視.學習核心概念不但有助于對學科體系脈絡(luò)的理解,而且有助于單元內(nèi)知識、方法、思想的掌握.核心素養(yǎng)下探討數(shù)學概念的教和學具有非常重要的意義,是對學生學科本質(zhì)和素養(yǎng)的關(guān)注與培養(yǎng).

        1 情景創(chuàng)設(shè)與概念對象的產(chǎn)生

        師:我們前面學習過三角形的知識,見過各種各樣的三角形,比如根據(jù)三角形中最大角度數(shù)與90°的關(guān)系,有銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形;從三邊是否相等,有不等邊三角形、只有兩邊相等和三邊都相等的三角形等.請同學們找一張紙,先作一次對折,然后在上面畫一個自己喜歡且大小適當?shù)娜切?

        評注讓學生動手操作得到一對全等三角形,使概念對象直觀化.不同的學生會裁出不同的三角形,體現(xiàn)了研究內(nèi)容的普適性和一般性.這一環(huán)節(jié)體現(xiàn)了幾何直觀和模型意識,同時回顧了三角形的分類,滲透了獲得全等三角形的簡單方法.

        數(shù)學概念的學習是一個循序漸進的過程,直觀可操作的情景有利于降低概念學習起點的難度,使抽象的概念從具體著手,實現(xiàn)人人可學.這個階段屬于概念學習的情景創(chuàng)設(shè)和概念對象的提出階段.

        2 初步感知與個體特征的猜想

        師:請同學們在紙張折疊狀態(tài)下把你畫的三角形裁下來,你會得到兩個三角形,通過觀察、分析和對比,你又有何新的發(fā)現(xiàn)?

        觀點1:這兩個三角形面積相等.

        觀點2:這兩個三角形都是同一類三角形.

        觀點3:這兩個三角形能夠重合.

        觀點4:這兩個三角形是一樣的.

        評注兩個三角形是由學生親自裁出的,兩個三角形的“全等性”不難理解,學生的直觀感受應(yīng)該是一致的,但表達的方式和側(cè)重的角度卻不一定相同,多維度的表達有助于促進每一位學生的理解.

        以上的表達是學生基于直觀觀察的表象描述,屬于概念的感知階段.如果對概念的探索止步于此,將不便于學生對概念的“數(shù)學化編碼”,不利于學生完成認知結(jié)構(gòu)對新概念的同化和整合.這個初步感知階段是重要的,是后續(xù)進一步探究的基礎(chǔ).正如教育心理學家奧蘇泊爾所說:“假如讓我把全部教育心理學僅僅歸納為一條原理的話,那么我將以一言蔽之——影響學習最重要的因素就是學生已經(jīng)知道了什么,要探明這一點,并就此進行教學.”

        3 深度思考與本質(zhì)特征的歸納

        師:大家認同這4位同學的觀察嗎?大家各自裁出的兩個三角形可能并不相同,但經(jīng)過觀察,大家得出了一些共同的結(jié)論.對這些結(jié)論,請同學們再做進一步的思考,看看還有沒有其他的數(shù)學表達方式(提示:可以運用類比拓展、抽象概括、具體化、不同語言轉(zhuǎn)述等方式).

        生1:對于觀點1,我認為可以進行類比拓展,兩個三角形的“周長也相等”.而且觀點1和觀點2都是觀點4的具體化,說明這兩個三角形是完全相同的.

        生2:觀點1其實是說明了這兩個三角形的“大小”相同,觀點2說明了這兩個三角形的“形狀”相同.也就是說,觀點4所謂的兩個三角形一樣,是從“形狀”和“大小”這兩個維度來說明的.

        生3:從具體化的角度來說,觀點2說明這兩個三角形無論是按角還是按邊分類都是一致的.觀點4其實是指能夠重合的邊和角也是一樣的,也就是邊和角都對應(yīng)相等的.

        生4:從這兩個三角形產(chǎn)生的角度來說,它們是重合的,也正因為這個重合,這兩個三角形才是一樣的,無論是“大小”還是“形狀”.如果我們是把紙張多次折疊,裁出多個三角形的話,那么他們也是一樣的,也就是說我們用一個“母圖”不斷復(fù)制的話,這樣得出的所有三角形也都是一樣的.

        評注先讓學生的思維活躍起來,再啟發(fā)學生用數(shù)學的視角,多層次、多角度來抽象概括,這樣不但有助于對概念的“數(shù)學化”理解,而且也有助于積累后續(xù)學習的經(jīng)驗.這一環(huán)節(jié)有助于培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象意識.

        在上述探究中,思維的方向進一步“本質(zhì)化”,思維的工具進一步“數(shù)學化”,思維的內(nèi)容進一步整合和聚焦,思維的結(jié)果使當下概念嵌入到上位體系中,使新概念與原有認知結(jié)構(gòu)實現(xiàn)了深度鏈接.這個階段屬于概念的理解階段.相信學生、依靠學生是重要的.正如蘇霍姆林斯基所說:“在人的心靈深處,都有一種根深蒂固的需要,這就是希望感到自己是一個發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者.”

        4 定義對象與概念特征的界定

        師:我們利用重疊裁剪的方法,得到了兩個三角形,同學們也做了很有見地的分析.我們把這兩個能夠重合的三角形,叫做全等三角形.當然,同學們在討論中也發(fā)現(xiàn),不一定是兩個三角形,也可以是多個,甚至無數(shù)個,只要是能夠重合的三角形,都是全等三角形.對于全等三角形,結(jié)合上面的分析,我們可以進一步作哪些概括和歸納呢?如果把我們所學的作推廣的話,你能給出怎樣的拓展與猜想?

        生5:全等三角形的面積、周長相等.

        生6:全等三角形重合的邊相等、角相等.

        生7:全等三角形其實是“形狀”“大小”相同的三角形.分開的全等三角形,相當于一個三角形處在不同的“位置”.

        生8:不但三角形如此,四邊形、多邊形也存在全等,都具有同樣的性質(zhì).

        評注對前面零散的討論作出界定,去偽存真,從特殊到一般,從表象到本質(zhì),理解了本質(zhì),也就明白了這一研究方向是否具有延展性.這一環(huán)節(jié)對學生的符號意識與抽象能力有所鍛煉.

        這個階段屬于概念的規(guī)范階段.在前面探究的基礎(chǔ)上給出準確的定義,并對概念探究的結(jié)果進行梳理、確認,明確其內(nèi)涵和外延,清晰我們應(yīng)該掌握的范圍和程度.

        5 思維訓練與認知結(jié)構(gòu)的重建

        師:為表達兩個三角形重合,我們引入了“對應(yīng)元素”(對應(yīng)頂點、對應(yīng)角、對應(yīng)邊)的概念.既然全等的兩個三角形可以看作是一個三角形處在不同的位置,那么,我們用裁出的兩個三角形來拼擺一下不同的位置關(guān)系(提示:讓兩個三角形重合狀態(tài)作為起始位置,一個保持在原位置不動,運動另一個三角形到另一個位置).先做幾個簡單的拼擺:1)讓另一個三角形沿原三角形某一邊所在直線方向平移;2)讓另一個三角形沿原三角形某一邊所在直線翻折;3)讓另一個三角形繞原三角形某一頂點旋轉(zhuǎn)一定度數(shù).拼擺出來后,讓同桌猜一猜你的操作路徑和兩個三角形各元素之間的對應(yīng)關(guān)系.

        師:我們再讓操作復(fù)雜一點,你用“平移”“翻折”和“旋轉(zhuǎn)”的2~3種變換,運動出兩個三角形的一種相對位置圖案,然后再與同桌互猜“操作”,并讓對方試著用變換的方式還原重合的狀況,你來評判一下,他的操作是否“理解了你的心意”.

        師:我們再讓操作復(fù)雜一點,看看你能不能變換出一種相對位置,讓人不容易直接看出其對應(yīng)關(guān)系,在小組內(nèi)交流,看看是否有人無法“破解你的操作密碼”.對于有爭議的,可以通過還原的方式來驗證,可能你們會有不一樣的解讀,可能存在更簡捷的恢復(fù)路徑.

        評注識別全等三角形、識別全等三角形的對應(yīng)角和對應(yīng)邊,是本單元重要的任務(wù),這既是解決問題的關(guān)鍵,也是對圖形理解的一種訓練.從簡單到復(fù)雜,從正向變換到反向復(fù)原,這樣的訓練不但有助于對應(yīng)關(guān)系的確認,也有助于以后研究更復(fù)雜的圖形.這一環(huán)節(jié)對學生的空間觀念、抽象能力、創(chuàng)新能力、逆向思維、模型思維有很好的訓練作用.

        進一步動手操作,對概念理解和應(yīng)用的重點部分進行不同層級地強化,為概念的應(yīng)用做好準備,突出了數(shù)學思想、方法和經(jīng)驗的解讀和抽象強化.本階段屬于從概念的理解到概念應(yīng)用的過渡階段.

        6 問題解決與自我學習的反思

        師:識別兩個全等三角形之間元素的對應(yīng)關(guān)系是重要的,通過以下各組全等三角形的識別訓練(圖形略),你有哪些確認對應(yīng)關(guān)系的方法?

        生9:利用兩個全等三角形“變換復(fù)原”的方法,可以判定各元素之間的對應(yīng)關(guān)系.

        生10:由于全等三角形的書寫規(guī)則要求“≌”符號兩邊的三角形頂點是對應(yīng)的,這樣就可以根據(jù)頂點的對應(yīng)來說出邊和角的對應(yīng).

        生11:根據(jù)全等三角形的性質(zhì),相等(公共)的邊應(yīng)為對應(yīng)邊,相等(公共)的角為對應(yīng)角.

        生12:從直觀上看,大小相同的元素應(yīng)該是對應(yīng)元素,比如兩個三角形中最大的角、最小的角、中等大小的角,應(yīng)該是對應(yīng)的,邊也是類似的.

        評注通過練習和交流,師生共同總結(jié)識別對應(yīng)元素的方法,形成各自的經(jīng)驗,并在分享中豐富自己的經(jīng)驗.這一環(huán)節(jié)有助于對學生符號意識和應(yīng)用能力的培養(yǎng).

        概念理解的側(cè)面是多維的,深度是多層的,但不同背景下的遷移應(yīng)用是對理解最好的考查.本環(huán)節(jié)聚焦全等前提下對應(yīng)元素的確定方法,進行嘗試和交流,既是概念理解和應(yīng)用所需,也是后續(xù)全等判定的基礎(chǔ).本環(huán)節(jié)屬于概念的應(yīng)用階段.

        7 經(jīng)驗總結(jié)與概念地圖的推演

        師:回顧我們對全等三角形概念的學習,你認為我們經(jīng)歷了怎樣的過程,有怎樣的經(jīng)驗和體會?

        生13:通過兩個具體的全等三角形,我們研究了“等”的元素以及“等”的對應(yīng).特別是借助3種基本變換及其逆向還原學習了不同位置的對應(yīng)關(guān)系.

        生14:我認為動手操作對理解概念很重要,同學之間的互相啟發(fā)也可以彌補自己思維的局限.形狀、大小、位置是研究幾何圖形和關(guān)系的3個重要維度,平移、翻折、旋轉(zhuǎn)是圖形的3種重要變換方式,數(shù)量、位置等相互關(guān)系是兩個具體的考查角度.

        師:根據(jù)以往學習的經(jīng)驗,你對“全等三角形”還有怎樣的疑問,你認為接下來我們應(yīng)該探究什么?

        生15:我認為需要知道全等三角形的作用,以及如何判定兩個三角形全等.

        評注概念不是孤立的,它是知識發(fā)展中的一個結(jié)點.及時對探究路徑、過程和視角進行總結(jié),把研究對象“拉遠”,放入更大的學科“地圖”里,從更宏觀的視角來看待所做的探究,有助于學生學科知識結(jié)構(gòu)和個人認知結(jié)構(gòu)的建構(gòu).這一過程有助于學生活動經(jīng)驗、思維經(jīng)驗和探究經(jīng)驗的積累.

        本環(huán)節(jié)是在強化了重點和進行了多層次訓練基礎(chǔ)上的總結(jié)概括,屬于概念的建構(gòu)階段,有利于概念的進一步抽象.回顧概念學習的過程,有利于學生形成概念學習的經(jīng)驗.在基本掌握概念后,把概念進一步納入學科結(jié)構(gòu)和單元體系中,對學生掌握概念、理解單元脈絡(luò)是重要的,這樣的訓練將更有利于學生理解概念的結(jié)點地位,以及由此展開的單元探究脈絡(luò).

        8 教學反饋與概念應(yīng)用的評價

        師:解答下面的問題,并對你在本節(jié)課中收獲的思維成果和從同學處學習的經(jīng)驗方法做一下梳理,你對自己在本節(jié)課的學習有怎樣的反思?

        問題1如圖1,△ABC≌△DEB,其中AB=DE,∠E=∠ABC,則∠C的對應(yīng)角是______;BD的對應(yīng)邊是______;AC與BE的位置關(guān)系是______.

        圖1 圖2 圖3

        問題2如圖2,△BAD≌△ADE,其中△ADE和△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,AD=AE,AB=AC.請指出圖2中的對應(yīng)關(guān)系.

        問題3如圖3,將△AOB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)52°得到△A′OB′,其中∠B=30°,∠B′OB=52°,你能得到哪些角的度數(shù)?是如何得到的?

        評注教師對問題1~3的實際解答情況進行客觀統(tǒng)計,既有利于從客觀的角度了解學生總體的學習狀況和個體的實際狀況,也有利于我們對課堂教學的實際進行反思.如果有必要,那么可以在后續(xù)課堂中加以補救,或者進行個別指導(dǎo).這一環(huán)節(jié)有利于學生推理能力和應(yīng)用能力的培養(yǎng).

        該階段屬于概念的強化和評價階段,是新知學習的重要階段.評價內(nèi)容要精心選擇,不宜過多,要有一定的層次性,要緊密圍繞課堂探究的內(nèi)容,可以落腳在探究的最近發(fā)展區(qū)上.在采集評估信息的同時促進概念學習的進一步深化,將有助于促進學生元認知的發(fā)展.

        數(shù)學概念是數(shù)學的邏輯起點,是學生學習數(shù)學知識的基石,也是學生進行數(shù)學思維的核心[1].它是數(shù)學思想與方法的載體,數(shù)學概念教學是培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)的重要途徑.正確理解概念是學生建構(gòu)數(shù)學大廈的基石,學生只有正確地掌握概念,才能更好地掌握各種法則、公式和定理,才能有效地解決實際問題.章建躍博士認為:“數(shù)學是用概念思維的,在概念學習中養(yǎng)成的思維方式方法遷移能力最強.數(shù)學概念教學的意義不僅在于使學生掌握‘書本知識’,更重要的是讓他們從中體驗數(shù)學家概括數(shù)學概念的心路歷程,領(lǐng)悟數(shù)學家用數(shù)學的觀點看待和認識世界的思想真諦,學會用概念思維,進而發(fā)展智力和培養(yǎng)能力.”[2]數(shù)學概念雖然各不相同,但教學卻有一定的規(guī)律,主動地、創(chuàng)造性地踐行這些規(guī)律,對培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)、提高數(shù)學教學質(zhì)量是至關(guān)重要的.

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