施剛良, 孟子君

(浙江大學(xué)附屬中學(xué)丁蘭校區(qū)，浙江 杭州 310021)

1 問題呈現(xiàn)

對于這個(gè)題目，文獻(xiàn)[1]中作者呈現(xiàn)了兩種解答：第一種(作者的解法)是利用正弦定理化邊為角，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值域問題，從而得出正確答案；第二種(學(xué)生的解法)是通過余弦定理化角為邊，利用基本不等式求解，結(jié)果與正確答案不符.文末，作者認(rèn)為以上兩種解法是解決三角函數(shù)的常用方法，學(xué)生的解法過程看似簡單合理，但結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)答案相左，問題出在哪里？

2 問題的深入研究

在課堂教學(xué)后，筆者用此題作為學(xué)生的課后習(xí)題，批改過程中發(fā)現(xiàn)好多學(xué)生也采用第二種解法.學(xué)生做題往往不計(jì)后果，只要能做出來就好了.著名數(shù)學(xué)家波利亞曾說過：“沒有任何一個(gè)題目是徹底完成了的，總還會有些事情可以做；在經(jīng)過充分的研究和觀察以后，我們可以將任何解題方法加以改進(jìn)；而且無論如何，我們總可以深化對答案的理解.”文獻(xiàn)[2]中幾位老師通過探究給出了問題范圍擴(kuò)大的原因，但沒有對問題做進(jìn)一步探究，于是在筆者的腦海中產(chǎn)生了探個(gè)究竟的想法.

2.1 問題的另解

從而

3(b-c)2+(b+c)2=3.

(1)

(2)

聯(lián)立式(1)和式(2)，消去b-c，得

16(b+c)4-48(b+c)2+27<0，

即

從而

2.2 問題的一般化

從特殊到一般是研究數(shù)學(xué)的一般套路，這也是我們發(fā)現(xiàn)一些數(shù)學(xué)結(jié)論的基本思想方法.這類推理屬于歸納推理，是邏輯推理的一種形式，也是我們教學(xué)過程中要著力培養(yǎng)的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).通過類比，我們將題目一般化，得到：

評注當(dāng)λ=1時(shí)，即為文獻(xiàn)[1]中的問題.對于推廣1，如果利用正弦定理化邊為角，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值域問題求解，那么可能會遇到一定的麻煩，此時(shí)角A已不是特殊角了，有興趣的讀者可以探究一下.

我們發(fā)現(xiàn)上述解法極具啟發(fā)性.下面給出具體的探究過程：

從而

(λ+2)(b-c)2-(λ-2)(b+c)2=3.

消去b-c，得

16(2-λ)(b+c)4-48(b+c)2+9(λ+2)<0.

(3)

解此不等式的難點(diǎn)是要考慮λ的范圍，即縮小它的范圍.事實(shí)上，根據(jù)余弦定理b2+c2-a2=2bccosA，可得

即

亦即

-2<λ<2.

因此，不等式(3)可變形為

[4(b+c)2-3][4(2-λ)(b+c)2-3(λ+2)]<0.

即

這顯然不可能.

3)當(dāng)λ=0時(shí)，顯然也不可能.

通過上面的討論，我們發(fā)現(xiàn)所得的一般性結(jié)論為：

上面的討論都是從代數(shù)運(yùn)算的角度加以解決的.有學(xué)生提出：能否從幾何的角度加以解決？通過觀察b+c的結(jié)構(gòu)特征，容易聯(lián)想到橢圓的長軸長，于是想到能否從此角度加以突破？

圖1

著名數(shù)學(xué)家波利亞又說過：“當(dāng)你找到第一個(gè)蘑菇或做出第一個(gè)發(fā)現(xiàn)后，再四處看看，它們總是成群生長的.”此時(shí)，我們感覺還是意猶未盡，通過進(jìn)一步探究得到了如下更加具有一般性的結(jié)論：

2)當(dāng)-2<λ<0時(shí)，b+c>a>|b-c|.

通過變式探究，還可以得到如下類似的結(jié)論：

2)當(dāng)-2<λ<0時(shí)，b+c>a>|b-c|.

評注結(jié)論1和結(jié)論2的證明方法與“另解”的思路相同，筆者在此不再敘述，留給有興趣的讀者探究.

3 結(jié)束語

正確的解答，可能是模仿；而錯(cuò)誤的解答，卻可能是創(chuàng)新，里面蘊(yùn)藏著價(jià)值[3].要將錯(cuò)誤為自己所用，必須將錯(cuò)誤發(fā)生的來龍去脈搞清楚，這是一種經(jīng)驗(yàn)的積累.

對錯(cuò)解的深入探究，能有效地提高一線教師的數(shù)學(xué)教學(xué)和研究水平.正所謂“百花齊放，百家爭鳴”，有些問題通過大家的爭辯、討論，一開始可能百思不得其解，但通過持續(xù)地思考和探究，會使我們感到“醍醐灌頂”，體會到數(shù)學(xué)研究的樂趣，而這種樂趣是一般人感受不到的，這也使得我們更加深刻地理解數(shù)學(xué).

對錯(cuò)解的深入探究，還能提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題與解決問題的能力.如果我們能在具體的教學(xué)實(shí)踐中，讓學(xué)生對某個(gè)問題也來個(gè)“爭鳴”，給學(xué)生開辟一個(gè)施展他們能力的平臺，那么，學(xué)生通過思考、爭論，最終解決問題時(shí)經(jīng)歷的感受也就“別有一番風(fēng)味”.而且，這種感受與解決了幾個(gè)習(xí)題是不一樣的,可以極大地提高學(xué)生的邏輯推理和批判能力.