呂增鋒

(象山縣第二中學,浙江 象山 315731)

學生認識數(shù)學就是從學習運算開始：幼兒時學習計數(shù)，小學學習加減乘除四則運算，初中學習平方、開方及比較抽象的符號運算，高中學習的運算更加多樣：除了具體的數(shù)字運算外，還有邏輯運算、幾何運算等.數(shù)學運算是“童子功”，按理說學生的運算能力不會差，但大量調(diào)查數(shù)據(jù)顯示：當前高中學生的數(shù)學運算能力不容樂觀.

實踐證明：單純的運算訓練無法支撐起持續(xù)發(fā)展運算能力的重任，站在學科核心素養(yǎng)的高度對運算素養(yǎng)進行統(tǒng)一謀劃才是治本之道.當然，“數(shù)學運算”一旦上升到素養(yǎng)層面，就不單單指數(shù)學計算能力，而是“數(shù)學運算核心素養(yǎng)”，它是在明晰運算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學問題的素養(yǎng)，主要包括：理解運算對象、掌握運算法則、探究運算思路、選擇運算方法、設(shè)計運算程序、求得運算結(jié)果等[1].數(shù)學運算核心素養(yǎng)是數(shù)學運算能力的根基，是數(shù)學思維發(fā)展的錨點，對促進思考模式的規(guī)范化、程序化，樹立一絲不茍、嚴謹求實的科學精神具有重要作用.

1 向量是發(fā)展數(shù)學運算核心素養(yǎng)的絕佳載體

數(shù)學運算核心素養(yǎng)不會憑空產(chǎn)生，它需要以具體的教學內(nèi)容為載體、通過運算實踐來獲得，而不同的數(shù)學知識模塊，其運算素養(yǎng)的指向也不盡相同.比如，集合與邏輯用語強調(diào)的是集合運算與邏輯運算；圓錐曲線關(guān)注的是化簡與變形能力，培養(yǎng)的是學生耐心細致的思維品質(zhì)；排列組合培養(yǎng)的是計數(shù)技巧及算法思想.這就意味著知識模塊所包含的運算越豐富，它對于數(shù)學運算核心素養(yǎng)培養(yǎng)所起的作用也就越大.在所有高中數(shù)學知識模塊中，運算最為豐富的非向量莫屬.

1.1 向量的運算對象多樣

向量是溝通三角、代數(shù)、幾何三大領(lǐng)域的橋梁，它既有數(shù)的屬性，又有形的特征；既有代數(shù)運算，又有幾何運算；既有二維平面的表征，又有三維空間的推廣.因此，向量的運算對象就更具多樣化：它可以是向量與向量之間的運算，如向量的加減法、數(shù)量積、向量積、混合積等；可以是實數(shù)與向量之間的運算，如數(shù)乘運算；可以是有向線段之間的運算，如平行四邊形法則與三角形法則；可以是點與點之間的運算，如坐標運算；還有符號之間的運算，如把一個向量用其他向量來表示……向量這些運算幾乎囊括了高中數(shù)學全部的運算對象，這對于學生在關(guān)聯(lián)或綜合情境中如何確定運算對象具有象征意義.

1.2 向量的運算法則獨特

1.3 向量的運算方法靈活

通常在向量運算中，既可以由“形”感知，如借助向量運算的幾何意義，通過直觀感知獲得運算結(jié)果；又可以從“數(shù)”入手，而數(shù)的運算又有“基底運算”和“坐標運算”.向量運算方法的靈活性造就了解題方法的多樣化，入口寬、方法多是向量運算的常態(tài).

2 指向數(shù)學運算核心素養(yǎng)的向量解題教學

數(shù)學解題教學中主要是運用數(shù)學運算來解決數(shù)學問題，突出體現(xiàn)了數(shù)學方法的范式.學生通過數(shù)學解題不僅訓練了數(shù)學運算能力，而且加深了學生對數(shù)學對象和關(guān)系的理解，形成了有序地、合乎邏輯地認識與表達數(shù)學的理性精神[2].也就是說，數(shù)學運算是解題的基本手段，通過解題又能發(fā)展學生的運算素養(yǎng)，數(shù)學運算與解題是相生相長的關(guān)系.那么，如何使向量的解題教學指向核心素養(yǎng)呢？

2.1 讀懂向量語言，理解運算對象

數(shù)學語言是表達科學思想的通用語言和數(shù)學思維的最佳載體，實現(xiàn)有效交流的前提就是學習和掌握數(shù)學語言，而且從某種程度上講學習數(shù)學就是學習數(shù)學語言.數(shù)學語言一般分為文字語言(自然語言)、符號語言、圖形語言.這3類語言各有千秋，文字語言表達直接，易于理解；符號語言書寫簡潔，表達嚴密；圖形語言表現(xiàn)直觀，啟迪思維.不論用哪種語言表示，讀懂語言，把它轉(zhuǎn)化成易于學生理解的表達是解決問題的第一步.

1)|p-a|+|p-b|=2m(其中m>|a-b|)，向量p所對應(yīng)的點的軌跡是橢圓，雙曲線也可以進行類似的定義.

用向量語言表示雖然更具簡潔性，但也加重了抽象性，導致學生無法直接讀懂其所表達的內(nèi)涵，需要借助數(shù)學運算來“翻譯”.

分析此題涉及的向量多達4個，包含了數(shù)量積運算、模運算等多種運算，構(gòu)成了復雜的向量關(guān)系式，這給學生的讀題制造了不小的障礙，只有通過運算才能厘清其中的關(guān)系.

圖1

通?？梢赃@樣解：設(shè)橢圓的另一個焦點為A1，則

得

2.2 一題多解，理解算理

依據(jù)數(shù)學的法則公式等進行數(shù)學運算，這是數(shù)學運算素養(yǎng)的初級階段.而能夠在理解運算的算理的基礎(chǔ)上，根據(jù)問題中的相關(guān)條件，合理、正確和熟練地獲得運算途徑，靈活采用不同的運算方法與策略解決問題，這是數(shù)學運算素養(yǎng)的高級階段.因此，多視角地分析問題，開展一題多解，是實現(xiàn)數(shù)學運算素養(yǎng)從初級階段到高級階段跨越的有效途徑.

(2013年浙江省數(shù)學高考理科試題第17題)

從而

下面的過程和解法1一致(略).

解法4(幾何視角之平行四邊形法則)不妨設(shè)x≠0，由b=xe1+ye2，得

從而

圖2

由于向量的多重屬性與獨特的運算性質(zhì)，導致向量問題往往有多種解法.上述問題給出了4種解法，如果進一步挖掘還會有更多的解法.當然，指向運算核心素養(yǎng)的解題教學并不是為了獲得更多的解法，而是在一題多解的過程中明確算理，而平面向量運算的算理就是從代數(shù)與幾何兩個視角，把條件與結(jié)論充分代數(shù)化，再借助方程與函數(shù)思想、直觀感知等手段進行解決.

2.3 解題反思，形成算法

解題反思是一種元認知活動，它是通過對解題過程的再次思考，探究解題過程中所蘊涵的思想方法、規(guī)律模式、算法套路等.解題反思的過程不僅有益于鞏固知識，熟練方法，分化和貫通整個思想和策略，而且能夠促使算法結(jié)構(gòu)更完善.解題的完成并不意味著解題活動的結(jié)束，對解題過程的回顧才是學習的重頭戲，數(shù)學運算的算法化與程序化也是在這個過程中得以實現(xiàn)的.解題反思一般可以從所涉及的知識與思想方法、問題之間的聯(lián)系、解題的程序、運算推理的過程、數(shù)學活動的結(jié)果等方面進行，從而獲得某類運算或某類題目的一般算法.比如，對向量的“代數(shù)化”可以這樣反思，如圖3.

圖3

雖然說，數(shù)學運算是數(shù)學解題活動中最為普遍的方式之一，但如果在解題中只是“就題論題”，或者一味地追求解題的結(jié)果，而不去提煉解題中的運算法則、算理與算法，那么數(shù)學運算素養(yǎng)就不能得到持續(xù)發(fā)展，因此，指向核心素養(yǎng)才是數(shù)學解題教學的真諦所在.