曹 毅

(浙江師范大學(xué)附屬中學(xué)，浙江 金華 321000)

概念教學(xué)有兩種基本形式：概念同化與概念形成.根據(jù)教材設(shè)置，本節(jié)課應(yīng)采用“概念形成”的方式進(jìn)行教學(xué)，筆者認(rèn)為APOS理論能滿足這些要求，使數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)滲透整個(gè)教學(xué)過(guò)程.APOS理論通過(guò)建立心智結(jié)構(gòu)使學(xué)習(xí)者形成數(shù)學(xué)概念，心智結(jié)構(gòu)的構(gòu)建分為4步：活動(dòng)→過(guò)程→對(duì)象→圖式，即抽象特征—?dú)w納共性—形成概念—同化整合.

1 課前準(zhǔn)備，研讀教材

1.1 教材內(nèi)容解析

《浙江省普通高中學(xué)科教學(xué)指導(dǎo)意見(jiàn)數(shù)學(xué)(2021年版)》中明確指出：函數(shù)是描述客觀世界變量關(guān)系和規(guī)律的最基本的數(shù)學(xué)語(yǔ)言和工具，是貫穿高中數(shù)學(xué)課程的主線.學(xué)生在初中階段學(xué)習(xí)的函數(shù)概念是“變量說(shuō)”，即函數(shù)是刻畫(huà)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.在高中階段，學(xué)生要在“集合論”的基礎(chǔ)之上建立“對(duì)應(yīng)關(guān)系說(shuō)”，其核心是實(shí)數(shù)集合的特殊對(duì)應(yīng)關(guān)系.因此本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是從現(xiàn)實(shí)問(wèn)題出發(fā)，讓學(xué)生抽象、建立以集合語(yǔ)言為基礎(chǔ)的函數(shù)概念.

1.2 教學(xué)目標(biāo)解析

筆者基于APOS理論，讓學(xué)生通過(guò)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，在得到對(duì)應(yīng)關(guān)系的基礎(chǔ)上，體會(huì)變量范圍對(duì)描述問(wèn)題的重要性，比較函數(shù)不同的表達(dá)形式，抽象出函數(shù)的共性，構(gòu)建“集合—對(duì)應(yīng)關(guān)系說(shuō)”觀點(diǎn)下的函數(shù)概念；再引導(dǎo)學(xué)生用高中函數(shù)概念刻畫(huà)一次函數(shù)、二次函數(shù)與反比例函數(shù)，以同化新知；最后，讓學(xué)生通過(guò)構(gòu)建問(wèn)題情景，使其中的變量關(guān)系滿足給定的函數(shù)表達(dá)式，以進(jìn)一步體會(huì)作為數(shù)學(xué)工具的函數(shù)是如何描述客觀世界的.

2 構(gòu)建心智結(jié)構(gòu)，滲透核心素養(yǎng)

2.1 抽象特征，歸納共性，形成概念(APO)

投屏初中函數(shù)概念：一般地，在某變化過(guò)程中，設(shè)有兩個(gè)變量x與y，如果對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，那么y是x的函數(shù)，x是自變量.

學(xué)生意見(jiàn)不一，根據(jù)初中學(xué)習(xí)的函數(shù)概念并不能進(jìn)行判斷.

師(板書(shū)課題)：要解決這些問(wèn)題，需要進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)概念.

根據(jù)APOS理論，我們將高中函數(shù)概念的形成分成以下幾步：

1)通過(guò)問(wèn)題1關(guān)注變量的取值范圍；

2)通過(guò)問(wèn)題1和問(wèn)題2的比較，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)定義域、值域；

3)通過(guò)問(wèn)題3中圖像的對(duì)應(yīng)關(guān)系，得到圖像的表達(dá)式；

4)通過(guò)問(wèn)題4中表格的對(duì)應(yīng)關(guān)系，得到表格的表達(dá)式；

5)歸納4個(gè)函數(shù)的共性，概括函數(shù)的本質(zhì)特征；

6)得出函數(shù)概念.

問(wèn)題1高鐵是我國(guó)制造業(yè)的驕傲，是中華民族偉大復(fù)興的標(biāo)志之一.列車(chē)行進(jìn)的路程S(單位：km)與運(yùn)行時(shí)間t(單位：h)的關(guān)系可以表示為

S=350t.

(1)

師：根據(jù)初中學(xué)習(xí)的函數(shù)概念，請(qǐng)同學(xué)們判斷S是否為t的函數(shù)？為什么？

生1：是.因?yàn)樵谛旭傔^(guò)程中，對(duì)于時(shí)間t的每一個(gè)確定值，路程S都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng).

師：“根據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系S=350t，這趟列車(chē)加速到350 km/h后，運(yùn)行1 h就能前進(jìn)350 km”，這樣的說(shuō)法正確嗎？如何更精確地表述S與t的對(duì)應(yīng)關(guān)系?

生2：對(duì)于集合{t|t≤0.5}中每個(gè)時(shí)間t的確定值，通過(guò)式(1)，路程S都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng).

設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)發(fā)生認(rèn)知沖突，發(fā)現(xiàn)初中所學(xué)概念的局限性，并注意到變量范圍，開(kāi)始描述變量范圍中的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.

問(wèn)題2保護(hù)勞動(dòng)者合法權(quán)益是全社會(huì)的共識(shí).為了符合2021年5月21日最新推出的《中華人民共和國(guó)勞動(dòng)法》，某公司確認(rèn)工資標(biāo)準(zhǔn)為每人每天350元，每周付一次工資，工人每周至少工作1天，至多6天，那么工資w與一周工作天數(shù)d的關(guān)系是

w=350d.

(2)

師：仿照問(wèn)題1，用精確的語(yǔ)言描述本問(wèn)題中w與d的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

突發(fā)情況：學(xué)生回答天數(shù)d的集合為{d|1≤d≤6}，筆者立即讓學(xué)生對(duì)比集合{d|1≤d≤6}與{1,2,3,4,5,6}，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到在描述問(wèn)題時(shí)應(yīng)與實(shí)際相符合.

生3：對(duì)于集合{1,2,3,4,5,6}中每個(gè)天數(shù)d的確定值，通過(guò)式(2)，工資w都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng).

師：?jiǎn)栴}1與問(wèn)題2中的函數(shù)有相同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，你認(rèn)為它們是同一個(gè)函數(shù)嗎？為什么？

設(shè)計(jì)意圖使學(xué)生進(jìn)一步關(guān)注到定義域與值域，體會(huì)它們對(duì)于函數(shù)概念的必要性.

問(wèn)題3隨著政府持續(xù)治理，我國(guó)的環(huán)境有了根本性的改善.請(qǐng)根據(jù)書(shū)本上的圖1(略)回答：如何根據(jù)該圖確定這一天任何一個(gè)時(shí)刻t的空氣質(zhì)量指數(shù)值I(以下簡(jiǎn)稱(chēng)AQI)？

設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生指出圖像中包含的對(duì)應(yīng)關(guān)系，為判斷是否為函數(shù)提供依據(jù).

師：你認(rèn)為這里的I是t的函數(shù)嗎？如果是，請(qǐng)仿照前面的方法描述它們的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

生：對(duì)于時(shí)刻t的集合A={t|0≤t≤24}中任意一個(gè)值t，都有唯一確定的AQI值與它對(duì)應(yīng)，所以I是t的函數(shù).

師(引導(dǎo))：從圖像出發(fā)，我們并不能準(zhǔn)確描述I的取值范圍，需要用AQI值所構(gòu)成的集合B3，而這不會(huì)影響對(duì)問(wèn)題的描述，且I的取值范圍C3滿足：C3?B3={I|0

設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到圖像也是一種函數(shù)表達(dá)形式，值域是函數(shù)值所在集合B的子集.

問(wèn)題4恩格爾系數(shù)是反映人民生活水平的指數(shù)之一，請(qǐng)根據(jù)書(shū)本上的表1(略)回答：你能得出該省城居民生活質(zhì)量發(fā)生了怎樣的變化？你認(rèn)為恩格爾系數(shù)r是y的函數(shù)嗎？仿照前面的問(wèn)題精確描述它們的對(duì)應(yīng)關(guān)系.根據(jù)恩格爾系數(shù)的定義，r的取值范圍為B4={r|0

設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到表格也是一種函數(shù)表達(dá)形式，此處教師根據(jù)恩格爾系數(shù)的定義對(duì)函數(shù)值所在的集合B4的合理性進(jìn)行了解釋.

歸納共性根據(jù)上述4個(gè)問(wèn)題中的函數(shù)，歸納函數(shù)的共性，并概括出函數(shù)的本質(zhì)特征.

教師給出表1，讓學(xué)生歸納4個(gè)問(wèn)題的共性.

表1 4個(gè)問(wèn)題中的函數(shù)特征

師：4個(gè)函數(shù)有哪些共同特征？

教師引導(dǎo)學(xué)生得到：①都有兩個(gè)非空數(shù)集，分別用A與B表示；②都有一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系.

師：自變量與因變量是如何通過(guò)對(duì)應(yīng)關(guān)系聯(lián)系起來(lái)的？

教師引導(dǎo)學(xué)生得到：雖然表達(dá)方式不一樣，但這4個(gè)函數(shù)都滿足“對(duì)于數(shù)集A中的每一個(gè)x，按照某種對(duì)應(yīng)關(guān)系，在數(shù)集B中都有唯一確定的y值和它對(duì)應(yīng)”.

師生活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生最終形成函數(shù)的概念.

2.2 訓(xùn)練鞏固，理解概念

1)下列給出的對(duì)應(yīng)關(guān)系中，是函數(shù)的是

( )

2)設(shè)集合A={x|0≤x≤2}，B={x|0≤x≤2}，下列對(duì)應(yīng)關(guān)系f不能表示從集合A到集合B的函數(shù)是

( )

A.f∶x→y=xB.f∶x→y=2x

A. B. C. D. E.

設(shè)計(jì)意圖2個(gè)練習(xí)分別從不同角度鞏固函數(shù)概念，讓學(xué)生更好地理解函數(shù)概念中的任意性與唯一確定性以及值域是集合B的子集.

2.3 同化整合

“圖式階段”是指讓新的概念形成知識(shí)圖式，并把這個(gè)圖式納入已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的教學(xué)過(guò)程，即知識(shí)的同化.筆者安排了兩個(gè)教學(xué)活動(dòng)幫助學(xué)生完成這一過(guò)程.

活動(dòng)1用高中所學(xué)的函數(shù)概念重新描述一次函數(shù)、二次函數(shù)與反比例函數(shù).

教師引導(dǎo)學(xué)生得到一次函數(shù)的描述：f把R中的任意一個(gè)x，對(duì)應(yīng)到R中唯一確定的ax+b(其中a≠0).學(xué)生獨(dú)立思考并描述二次函數(shù)與反比例函數(shù).

活動(dòng)2試著構(gòu)建問(wèn)題情境，使其中的變量關(guān)系可以用解析式y(tǒng)=x(10-x)來(lái)描述.

筆者在活動(dòng)2中安排了分組討論，學(xué)生在充分理解概念的基礎(chǔ)上，構(gòu)建了例如銷(xiāo)售總額情景、物體勻加速運(yùn)動(dòng)情景等很多精彩的答案.

3 教學(xué)反思

3.1 強(qiáng)化必要性是學(xué)習(xí)函數(shù)概念的前提

高中函數(shù)概念是在初中函數(shù)概念基礎(chǔ)上的再抽象，因此本節(jié)課的引入必須強(qiáng)調(diào)“對(duì)應(yīng)關(guān)系說(shuō)”的必要性，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到“變量說(shuō)”的局限性.學(xué)生也需要通過(guò)對(duì)第三章章前語(yǔ)的解讀，并與第一章“集合”的內(nèi)容產(chǎn)生呼應(yīng)，認(rèn)識(shí)到在集合基礎(chǔ)上建立函數(shù)概念的必要性.

對(duì)“必要性”的研究能幫助學(xué)生更好地理解函數(shù)概念，再讓學(xué)生完整地經(jīng)歷“問(wèn)題—觀察—比較—分類(lèi)—分析—?dú)w納—抽象—概括”的過(guò)程，得出函數(shù)概念也就水到渠成了.

3.2 APOS理論下函數(shù)教學(xué)的建議

新生概念的學(xué)習(xí)是學(xué)生主動(dòng)構(gòu)建知識(shí)的過(guò)程.在備課階段，教師需要研究學(xué)生建構(gòu)過(guò)程中可能產(chǎn)生疑惑的環(huán)節(jié),了解學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，找到學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)與新學(xué)概念之間的結(jié)合點(diǎn)，從而確定教學(xué)內(nèi)容與順序，精心設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng).

若放棄對(duì)書(shū)本上4個(gè)問(wèn)題的講解,直接給出函數(shù)概念,高一新生則很難體會(huì)函數(shù)概念的形成，只能機(jī)械記憶.那么學(xué)生如果缺乏對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解，就不可能完成對(duì)新知識(shí)的同化，達(dá)到構(gòu)建心智結(jié)構(gòu)的目的.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的是認(rèn)識(shí)、理解客觀世界，學(xué)生不能簡(jiǎn)單地將學(xué)數(shù)學(xué)與做題目等同，此版本教材較好地將該目標(biāo)滲透到每一章節(jié)中.教師在上課前一定要研讀教材，體會(huì)教材設(shè)計(jì)的初衷，落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，使學(xué)生能自然地使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述客觀世界.