沈 良

(蕭山區(qū)第五高級中學,浙江 杭州 311202)

數(shù)學作為一門基礎學科，在形成人的理性思維、科學精神和促進個人智力發(fā)展的過程中發(fā)揮著不可替代的作用[1].數(shù)學高考在高考選拔中扮演著重要而獨特的作用，試題具有良好的區(qū)分效果，其選拔功能歷來被重視和認可[2].2019年，教育部明確提出要立足全面發(fā)展育人目標，構建包括“核心價值、學科素養(yǎng)、關鍵能力、必備知識”在內的高考考查內容體系，這為科學構建中國高考評價體系提出了明確目標，提供了基本遵循依據(jù)[3].兩年過去了，當我們看到2021年全國和各省市的數(shù)學高考卷時，還是有許多驚喜.我們發(fā)現(xiàn)數(shù)學高考試題聚焦核心素養(yǎng)，考查關鍵能力，突出數(shù)學本質，重視理性思維，堅持素養(yǎng)導向和能力為重，同時倡導理論聯(lián)系實際、學以致用，體現(xiàn)數(shù)學的應用價值等.

數(shù)學運算作為數(shù)學六大核心素養(yǎng)之一，在數(shù)學解題中具有至關重要的作用.數(shù)學運算是解決數(shù)學問題的基本手段之一，尤其在數(shù)學高考紙筆測試的過程中，數(shù)學運算是最重要的求解工具.章建躍先生曾講：“推理是數(shù)學的‘命根子’，運算是數(shù)學的‘童子功’.”運算與推理息息相關，運算本身就是一種演繹推理.在數(shù)學解題中，首先以邏輯推理為基礎，將邏輯推理的結果以數(shù)與式的形式呈現(xiàn)，然后通過運算轉化實現(xiàn)問題求解.下面筆者結合2021年的部分高考試題，例談數(shù)學運算的價值意義與發(fā)生機制.

1 數(shù)學運算的價值與意義

1.1 數(shù)學運算是代數(shù)變形的基本方法

代數(shù)恒等變形是數(shù)學解題的基石，變形能力也體現(xiàn)著學生的解題能力.從運算角度看，高中階段的代數(shù)變形就是含字母的運算，實現(xiàn)的是一種有方向的轉化與化歸.通過運算，實現(xiàn)化繁為簡，實現(xiàn)問題求解.2021年的數(shù)學高考不乏直接通過代數(shù)運算尋求結果的試題，這樣的運算不僅考查學生的運算能力，也考查學生思維的縝密性.

例1已知a,b∈R,ab>0,函數(shù)f(x)=ax2+b(其中x∈R).若f(s-t),f(s),f(s+t)成等比數(shù)列，則平面上點(s,t)的軌跡是

( )

A.直線和圓 B.直線和橢圓

C.直線和雙曲線 D.直線和拋物線

(2021年浙江省數(shù)學高考試題第9題)

分析由f(s-t),f(s),f(s+t)成等比數(shù)列，得

f(s-t)·f(s+t)=f2(s)，

即 [a(s-t)2+b]·[a(s+t)2+b]=(as2+b)2.

如何化簡上式是本題的關鍵.運算中可以抓住代數(shù)式之間的聯(lián)系，左式運用平方差公式可得

(as2+at2+b)2-(2ast)2=a2s4+2abs2+b2，

化簡整理得a2t4+2abt2-2a2s2t2=0，

即

at2(at2+2b-2as2)=0，

于是

故點(s,t)的軌跡是直線和雙曲線.從這個解題過程可以看到，合理運用運算規(guī)則和運算公式進行化簡是數(shù)學運算的必備能力.

1.2 數(shù)學運算是幾何度量的重要工具

高中數(shù)學中代數(shù)與幾何是相輔相成的.在數(shù)學解題中，幾何問題的解決往往可用代數(shù)方法進行刻畫轉化，也就是尋找到與幾何命題相應的代數(shù)命題，再進一步運用代數(shù)運算實現(xiàn)求解.在高考中遇到這樣的問題，需要第一時間找到相應的代數(shù)結論.

例2若過點(a,b)可以作曲線y=ex的兩條切線，則

( )

A．eb

C．0

(2021年全國數(shù)學新高考Ⅰ卷第7題)

分析首先可以探索到“兩條不同切線”的等價條件為“兩個不同切點”.若設切點為(x0，ex0)，則切線方程為

y=ex0(x-x0)+ex0.

因為過點(a,b)，即

b=ex0(a-x0)+ex0，

所以關于x0的方程b=ex0(a-x0)+ex0有兩個解.設g(x)=(a+1-x)ex，則

g′(x)=(a-x)ex，

故g(x)在(-∞,a)上單調遞增，在(a,+∞)上單調遞減，且

g(x)max=g(a)=ea，

當x→-∞時，g(x)→0，于是0

本題將兩條切線轉化為兩個切點，再將兩個切點轉化為方程的兩個解，通過運算實現(xiàn)幾何性質刻畫，可以發(fā)現(xiàn)這樣的運算實際上難的是第一步：將幾何問題轉變?yōu)榇鷶?shù)問題.

1.3 數(shù)學運算是概念表達的重要形式

概念是邏輯思維的細胞，是反映事物本質屬性和特征的思維形式.數(shù)學概念是揭示現(xiàn)實世界數(shù)量關系和空間形式的本質屬性的思維形式.數(shù)學概念往往通過定義、描述等方式給出，有時也可通過運算等形式進行符號化定義，比如指數(shù)函數(shù)y=ax(其中a>0,a≠1)，角的正弦值y=sinα(其中y為角的終邊與單位圓交點的縱坐標).

例3有6個相同的球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機取兩次，每次取1個球．甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則

( )

A．甲與丙相互獨立 B．甲與丁相互獨立

C．乙與丙相互獨立 D．丙與丁相互獨立

(2021年全國數(shù)學新高考Ⅰ卷第8題)

在選項A中，P(AC)=0≠P(A)P(C)；

在選項D中，P(CD)=0≠P(C)P(D).

故選項B是正確的，事件甲和丁相互獨立.在考試環(huán)境下，面對迷惑的數(shù)字關系，可以從定義出發(fā)通過數(shù)量關系進行探索，從而得到正確結果.

1.4 數(shù)學運算是探索數(shù)學規(guī)律的重要途徑

數(shù)學是人們對客觀世界的定性把握和定量刻畫，是刻畫自然規(guī)律和社會規(guī)律的科學語言和有效工具.在一定意義上，數(shù)學研究的就是變化中不變的規(guī)律.而研究事物變化規(guī)律的方法和形式有很多，有時可借助觀察直接發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律，有時可通過數(shù)學運算尋找變化規(guī)律.特別地，在高考限時考試中，尋找數(shù)的變化規(guī)律，有利于我們較好地找到問題解決的路徑.

(2021年全國數(shù)學高考Ⅰ卷理科試題第16題)

分析本題以生活中的折紙問題為背景，探究紙對折過程中不同規(guī)格圖形的面積之和，以運算為路徑，列舉前幾次的變化規(guī)律如表1所示：

表1 對折后的變化規(guī)律

因此，對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為5種，且

利用錯位相減法求和可得

2 數(shù)學運算的發(fā)生機制

數(shù)學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學問題的素養(yǎng).主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，選擇運算方法，設計運算程序，求得運算結果等[1].這里主要探討在數(shù)學運算過程中，如何在一些關鍵點上探究運算思路和選擇運算方法等.

2.1 以形助數(shù)探索運算方向

數(shù)學運算的優(yōu)勢是邏輯嚴謹、推證嚴密，但其劣勢是有時容易陷入“形式化”的海洋中，不容易直接發(fā)現(xiàn)一些結論.因此，在有些問題中以形助數(shù)，能幫助我們迅速取得運算的突破口，這也體現(xiàn)了“直觀想象”素養(yǎng)與“數(shù)學運算”素養(yǎng)的融合.

( )

(2021年全國數(shù)學高考甲卷理科試題第12題)

分析f(x+1)為奇函數(shù)，其代數(shù)刻畫為f(-x+1)=-f(x+1)，后續(xù)轉化處理相對難捉摸；而幾何刻畫是f(x+1)的圖像關于原點中心對稱，即f(x)圖像關于點(1,0)中心對稱，因此

f(1)=0,f(0)=-f(2).

同理,由f(x+2)為偶函數(shù)，可得f(x)的圖像關于x=2軸對稱，從而

f(3)=f(1)=0，

從而

a+b=0， -(4a+b)=6，

解得

a=-2,b=2，

當然，結合圖像還可以發(fā)現(xiàn)f(x)的周期為4，運用這個性質解題效果會更好.在時間有限的情況下，我們需要找到一些問題的突破口，而數(shù)形結合就是一種很好的方式.

2.2 借數(shù)字特征選擇運算路徑

數(shù)學運算不是盲目的，它是有方向的.數(shù)學運算中要觀察具體數(shù)與式的特征，合理利用運算定理和運算性質，展開聯(lián)想巧妙構造，有效尋找到數(shù)學運算的路徑.運算中蘊涵思維，思維通過運算實現(xiàn).

( )

A．a(chǎn)

C．b

(2021年全國數(shù)學高考乙卷理科試題第12題)

從而

a-c=f(0.01)，

易得

且當0≤x<2時,

從而f′(x)≥0，故f(x)在[0,2)單調遞增，于是

a-c=f(0.01)>f(0)=0，

得a>c.

同理比較b與c的大小，可構造函數(shù)

則

b-c=g(0.02)，

由

容易判斷當x∈[0,+∞)時，g′(x)≤0，g(x)單調遞減，從而

g(0.02)

故

b

因此

b

觀察數(shù)字特征成為構造運算路徑的關鍵點.

2.3 以思想方法指引運算過程

有方向的運算，還包括以數(shù)學思想方法為指導.數(shù)學思想方法是人們從某些具體數(shù)學內容和對數(shù)學的認識過程中概括出來的，是對所使用的方法和規(guī)律的理性認識，具有普遍的指導意義和相對穩(wěn)定的特征.在數(shù)學運算過程中，需要以數(shù)學思想方法為指導，有目的、有策略、有方向地進行運算.

例7如圖1，已知F是拋物線y2=2px(其中p>0)的焦點，M是拋物線的準線與x軸的交點，且|MF|=2.

圖1

1)求拋物線的方程；

2)設過點F的直線交拋物線于點A,B，若斜率為2的直線l與直線MA,MB,AB,x軸依次交于點P,Q,R,N，且滿足|RN|2=|PN|·|QN|，求直線l在x軸上截距的取值范圍.

(2021年浙江省數(shù)學高考試題第21題)

分析本題給人的感覺是元素較多，直線l分別與MA,MB,AB,x相交，且A,B又是過點F的直線與拋物線的交點，直線AB的轉動和直線l的平移影響了點P,Q,R,N的位置，在|RN|2=|PN|·|QN|條件下，求l在x軸上截距的取值范圍.

第1)小題中容易求得拋物線的方程為y2=4x.第2)小題中，首先將“|RN|2=|PN|·|QN|”代數(shù)化，因為點N恰好在x軸上，可得

也就是圍繞著縱坐標關系進行運算，且目標指向為直線l橫截距的計算，所以

欲計算yPyQ，考慮l與MA和MB相交，進一步考慮AB與拋物線相交，先聯(lián)立x=ty+1和y2=4x，得

y2-4ty-4=0.

記A(x1,y1)，B(x2,y2)，得

y1+y2=4t,y1y2=-4.

同理可得

結合y1與y2的關系式，可以得到關于m,t的關系式，化簡得

易知m≠1，參變分離可得

針對此題，在考試限時的條件下，面對這樣的大運算量，我們不僅需要運算仔細，更需要把握運算的方向，由于直線AB和l的運動會影響點P,Q,R,N的位置，因此從直線AB與拋物線入手，通過點A表示點P,點B表示點Q，尋找點坐標之間的關系，這就是數(shù)形結合、轉化與化歸指導下開展的數(shù)學運算.

本文從高考解題的視角，探討了數(shù)學運算在數(shù)學解題中的作用.在數(shù)學紙筆測試中，數(shù)學運算具有十分重要的作用，它是代數(shù)運算的基本方法、幾何度量的重要工具、數(shù)學概念表征的重要形式和數(shù)學規(guī)律探索的重要途徑等.當然，在數(shù)學解題中，數(shù)學運算也離不開其他素養(yǎng)和能力的支持，比如直觀想象有利于從繁雜代數(shù)形式尋找到一些結論，為簡化運算鋪路；比如數(shù)學思想方法指引下的數(shù)學運算有利于我們找到運算方向，使運算有理有據(jù)等.當然，我們也要從高考評價的要求出發(fā)，反思我們日常的運算教學.