摘?要：動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件GeoGebra可以直觀、動(dòng)態(tài)、交互地演示高等數(shù)學(xué)中的知識(shí)概念，顯著提高高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)的質(zhì)量和效率。本文探討圍繞高等數(shù)學(xué)的知識(shí)概念構(gòu)建動(dòng)態(tài)圖形化輔助教學(xué)資源庫(kù)，在大學(xué)數(shù)學(xué)現(xiàn)代化教學(xué)方面的實(shí)際意義和應(yīng)用價(jià)值，并以“曲線繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)形成的旋轉(zhuǎn)曲面”為例加以演示。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué);動(dòng)態(tài)圖形化教學(xué);GeoGebra;旋轉(zhuǎn)曲面

1 GeoGebra簡(jiǎn)介

GeoGebra是由美國(guó)佛羅里達(dá)州亞特蘭大大學(xué)數(shù)學(xué)系教授Markus Hohenwarter開(kāi)發(fā)設(shè)計(jì)的，其最大的特點(diǎn)就是易用性高，基于Javascript語(yǔ)言和坐標(biāo)系統(tǒng)，具有比幾何畫板功能更豐富、可編程性更強(qiáng)的特點(diǎn)。國(guó)內(nèi)有關(guān)GeoGebra的文獻(xiàn)相對(duì)較少，其中比較早是2010年左曉明等[1]介紹了演示軟件GeoGebra的功能及如何利用該軟件優(yōu)化整合數(shù)學(xué)教學(xué)的各環(huán)節(jié)。北京大學(xué)的唐大仕[2]教授在中國(guó)大學(xué)MOOC開(kāi)設(shè)了動(dòng)態(tài)幾何畫板Geogebra教學(xué)應(yīng)用課程，2018年開(kāi)課至今已第10次開(kāi)課，極大地推動(dòng)了Geogebra在教學(xué)中的應(yīng)用。目前GeoGebra的應(yīng)用主要集中在初高中的數(shù)學(xué)及物理教學(xué)當(dāng)中，在高校教學(xué)中尚未得到廣泛地普及推廣。在高等教育教學(xué)方面，我們發(fā)現(xiàn)對(duì)GeoGebra研究與應(yīng)用的成果較少（周洪[3]，2020;閆永芳[4]，2021），GeoGebra在大學(xué)數(shù)學(xué)類課程教學(xué)領(lǐng)域應(yīng)用還處于不夠系統(tǒng)和完善階段。

2 高等數(shù)學(xué)的教與學(xué)

學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)際上是學(xué)習(xí)一門數(shù)學(xué)語(yǔ)言，它是由數(shù)學(xué)定義、數(shù)學(xué)符號(hào)所構(gòu)成，具有嚴(yán)格的推理邏輯，非常適合表達(dá)各個(gè)學(xué)科理論知識(shí)的語(yǔ)言。要學(xué)會(huì)這門數(shù)學(xué)語(yǔ)言，就需要將這些數(shù)學(xué)定義、數(shù)學(xué)符號(hào)與其具體涵義建立起聯(lián)系。數(shù)學(xué)概念如果能配以具體的、動(dòng)態(tài)的圖形化演示將非常有趣味，讓學(xué)生產(chǎn)生直觀具象的認(rèn)識(shí)，從而真正理解概念，而只有理解了數(shù)學(xué)概念，才能進(jìn)一步基于邏輯推理構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)體系這個(gè)大廈。這些才是真正的數(shù)學(xué)知識(shí)，對(duì)后續(xù)的專業(yè)課程學(xué)習(xí)有幫助的東西。大學(xué)數(shù)學(xué)類課程的基礎(chǔ)課程如果不能將大部分學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)打牢固，那么就是失敗的。同時(shí)，我們也注意到一些國(guó)外的優(yōu)秀數(shù)學(xué)教材所具有的一些優(yōu)點(diǎn)：論述得非常詳盡，會(huì)詳細(xì)闡述概念的由來(lái)和實(shí)際用途，很多內(nèi)容非常適合學(xué)生自主學(xué)習(xí);例題和課后習(xí)題也多與實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合告訴學(xué)生概念有什么用途;同時(shí)還加入了新的信息技術(shù)用數(shù)學(xué)軟件實(shí)現(xiàn)通常的數(shù)學(xué)計(jì)算。而GeoGebra可以很好地利用其自身強(qiáng)大的代數(shù)、幾何、3D、表格、概率統(tǒng)計(jì)、微積分等優(yōu)勢(shì)，特別是動(dòng)態(tài)化的演示，能夠突破傳統(tǒng)教法中現(xiàn)存的問(wèn)題，提高大學(xué)數(shù)學(xué)類課程教學(xué)的質(zhì)量和效率。

正是認(rèn)識(shí)到目前國(guó)內(nèi)大學(xué)數(shù)學(xué)類課程教與學(xué)的上述種種弊端，我們教學(xué)團(tuán)隊(duì)將分析借鑒國(guó)內(nèi)外高校數(shù)學(xué)類課程教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，去粗取精，以基于Geogebra的高校數(shù)學(xué)類課程動(dòng)態(tài)圖形化教學(xué)資源建設(shè)為突破口，致力于更新傳統(tǒng)數(shù)學(xué)類課程的教學(xué)理念與方法，以生為本，提升教學(xué)質(zhì)量。我們將圍繞大學(xué)數(shù)學(xué)類課程中的知識(shí)點(diǎn)，致力于用強(qiáng)大的Geogebra軟件，賦以數(shù)學(xué)定義及概念以幾何直觀，建立幾何直觀與抽象定義、概念之間的聯(lián)系，設(shè)計(jì)并制作動(dòng)態(tài)圖形化課件，探索更加完善的GeoGebra動(dòng)態(tài)圖形化方法輔助大學(xué)數(shù)學(xué)類課程教學(xué)的使用策略，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣和探索欲，讓大學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)。建設(shè)高等數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)圖形化教學(xué)資源庫(kù)，這無(wú)疑具有重要的實(shí)際意義和應(yīng)用價(jià)值。

3 基于Geogebra構(gòu)建高等數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)圖形化教學(xué)資源庫(kù)

目前，我們教學(xué)團(tuán)隊(duì)已經(jīng)設(shè)計(jì)制作了近百個(gè)高等數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)圖形化輔助教學(xué)課件，包括各種函數(shù)圖形、數(shù)列極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、黎曼積分、泰勒公式、偏導(dǎo)數(shù)、球坐標(biāo)微元等。

下面僅舉一例加以演示：“曲線繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)形成的旋轉(zhuǎn)曲面”。

旋轉(zhuǎn)曲面[5]是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)，涉及立體圖形、動(dòng)態(tài)旋轉(zhuǎn)過(guò)程，普通教學(xué)設(shè)計(jì)往往是靜態(tài)圖形：在平面上從某個(gè)角度看到的三維效果，很難體現(xiàn)真正的幾何直觀，學(xué)生想象不出具體圖形和旋轉(zhuǎn)過(guò)程，就很難深入地理解和掌握該知識(shí)點(diǎn)。而Geogebra恰恰擅長(zhǎng)于此，動(dòng)動(dòng)鼠標(biāo)就可以交互式地從不同角度、放大或縮小地觀看立體圖形，拉動(dòng)滑動(dòng)條觀察旋轉(zhuǎn)曲面動(dòng)態(tài)生成的旋轉(zhuǎn)過(guò)程。

定義1[5]一條平面曲線Γ繞其平面上一條定直線l旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面，稱為旋轉(zhuǎn)曲面。該定直線稱為l旋轉(zhuǎn)軸，曲線Γ稱為母線。

定義2[5]母線上任一點(diǎn)繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周的軌跡，稱為緯圓;以旋轉(zhuǎn)軸l為邊界的半平面于旋轉(zhuǎn)曲面的交線，稱為經(jīng)線。

曲線繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)曲面。不妨考慮yOz面上的曲線C：f（y，z）=0繞z軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)曲面。

圖1是《高等數(shù)學(xué)》同濟(jì)七版旋轉(zhuǎn)曲面的配圖，該圖只是從正面視角看到的最終的旋轉(zhuǎn)曲面，無(wú)法看到旋轉(zhuǎn)曲面生成的旋轉(zhuǎn)過(guò)程（點(diǎn)和曲面的旋轉(zhuǎn)軌跡），只能靠文字?jǐn)⑹鲎寣W(xué)生自行想象;另外，在平面上只從一個(gè)視角憑感覺(jué)（不是基于嚴(yán)格坐標(biāo)系統(tǒng)）展示立體圖形，立體感也有所欠缺。

下面用Geogebra開(kāi)發(fā)旋轉(zhuǎn)曲面的動(dòng)態(tài)圖形化課件，可以彌補(bǔ)上述所有缺陷，極大地提升教學(xué)效果。Geogebra是基于坐標(biāo)系統(tǒng)，通過(guò)指令可以方便地繪制嚴(yán)格精確的二維/三維圖形，再輔以滑動(dòng)條、鼠標(biāo)操作等，可以動(dòng)態(tài)地、多視角地展示圖形。主要制作步驟如下：

（1）首先要選擇一條適合演示本問(wèn)題的已知表達(dá)式的曲線，這里選擇一條yOz面上的半支雙曲線，用空間參數(shù)方程表示為：

參數(shù)a，b決定雙曲線的形狀，適合定義成Geogebra中的滑動(dòng)條，滑動(dòng)它們就能改變雙曲線的形狀。

要繪制該雙曲線，需要用參數(shù)形式的（空間）「曲線」指令，其基本語(yǔ)法為：

曲線（x（t），y（t），z（t），參變量t，t起始值，t終止值）。

其中，x（t），y（t），z（t）分別為曲線的參數(shù)方程分量。

在曲線上任取一點(diǎn)，適合用描點(diǎn)指令，基本語(yǔ)法：描點(diǎn)（幾何對(duì)象）。這樣繪制的點(diǎn)，用鼠標(biāo)拖動(dòng)可以在幾何對(duì)象上隨意移動(dòng)。打開(kāi)Geogebra 3D繪圖區(qū)，依次在輸入框輸入如下指令并回車：

（2）繪制點(diǎn)M0繞z軸旋轉(zhuǎn)一周的軌跡。為了展示動(dòng)態(tài)旋轉(zhuǎn)過(guò)程，增加滑動(dòng)條θ，滑動(dòng)控制旋轉(zhuǎn)到角度θ。

Geogebra繪圖按極坐標(biāo)更容易實(shí)現(xiàn)，點(diǎn)M0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到達(dá)點(diǎn)M，易知旋轉(zhuǎn)半徑為y0，又旋轉(zhuǎn)角度為-θ，故M點(diǎn)的極坐標(biāo)寫法為：

其中，y（M0），z（M0）表示點(diǎn)M0的y值和z值。Geogebra有同名的函數(shù)：x（P），y（P），z（P）可以分別提取點(diǎn)P的x坐標(biāo)、y坐標(biāo)、z坐標(biāo)。

繪制從點(diǎn)M0到點(diǎn)M的軌跡，這是一段圓弧。繼續(xù)用Geogebra（空間）「曲線」指令來(lái)繪制。這里實(shí)際上就是讓點(diǎn)M0繞旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)t度，讓t作為參變量從0變化到θ。為了增加視覺(jué)效果，將旋轉(zhuǎn)中心（0，0，z0）點(diǎn)繪制出來(lái)，并連線位于邊界的兩條半徑。

依次在輸入框輸入如下指令并回車：

（3）繪制旋轉(zhuǎn)曲面的軌跡。整條曲線C繞z軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面。同樣為了展示動(dòng)態(tài)旋轉(zhuǎn)過(guò)程，使用前面的滑動(dòng)條θ，滑動(dòng)控制旋轉(zhuǎn)到角度θ。共用一個(gè)θ的好處是，拖動(dòng)滑動(dòng)條θ時(shí)，曲線C旋轉(zhuǎn)的曲面軌跡與點(diǎn)M0旋轉(zhuǎn)的圓周軌跡會(huì)一起跟著變化。

Geogebra用「曲面」指令繪制空間曲面，共有三種語(yǔ)法，這里適合選用：曲面（曲線，旋轉(zhuǎn)的角度，旋轉(zhuǎn)軸）。本例就是將曲線C繞z軸旋轉(zhuǎn)角度θ，于是，在輸入框輸入指令并回車：

曲面（C，θ，z軸）

這就完成了“曲線繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)形成的旋轉(zhuǎn)曲面”整個(gè)動(dòng)態(tài)圖形化課件的制作，結(jié)果如圖2所示：

若用鼠標(biāo)緩慢拖到滑動(dòng)條θ從0°到360°變化，則點(diǎn)M0的旋轉(zhuǎn)軌跡（藍(lán)色虛線及紅色M點(diǎn)）以及曲線C的旋轉(zhuǎn)軌跡（紅色曲面），都將跟著動(dòng)態(tài)地呈現(xiàn);若用滑動(dòng)M0點(diǎn)，則藍(lán)色虛線及紅色M點(diǎn)將在曲面上滑動(dòng)，真正體現(xiàn)任意一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)軌跡與整條曲線的旋轉(zhuǎn)軌跡的關(guān)聯(lián)性。同樣地，若想切換不同視角觀看當(dāng)前圖形，按住并移動(dòng)鼠標(biāo)就可以實(shí)現(xiàn)。

另外，位于Geogebra窗口左側(cè)的代數(shù)區(qū)，自動(dòng)列出了所有幾何對(duì)象的指令代碼，它們是與幾何對(duì)象相關(guān)聯(lián)的，鼠標(biāo)點(diǎn)擊相應(yīng)的藍(lán)點(diǎn)，可以切換是否在圖形中顯示該幾何對(duì)象。這非常便于突出演示部分概念和相應(yīng)幾何對(duì)象。

本課件是以半支雙曲線作為旋轉(zhuǎn)曲面的母線，該曲線可以換成其他曲線方程，其他都無(wú)需改動(dòng)，就能動(dòng)態(tài)化演示各種不同的旋轉(zhuǎn)曲面。比如將母線換成半圓則旋轉(zhuǎn)出球面，換成半橢圓則旋轉(zhuǎn)出橢球面，換成異面直線則也旋轉(zhuǎn)出單葉雙曲面……這些我們均已實(shí)現(xiàn)。

上述設(shè)計(jì)制作的“曲線繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)形成的旋轉(zhuǎn)曲面”動(dòng)態(tài)圖形化課件，保存為.ggb文件，大小只有28k.在課堂上，只要電腦里裝有Geogebra軟件，就可以打開(kāi)并現(xiàn)場(chǎng)動(dòng)態(tài)化地給學(xué)生演示。借助GGBPlayer插件甚至可以將.ggb文件嵌入PPT中，在PPT全屏放映狀態(tài)下用鼠標(biāo)動(dòng)態(tài)操作，而且不需要電腦里安裝有Geogebra軟件。具體嵌入使用方法，可參閱“GGBPlayer功能特點(diǎn)”。

4 結(jié)論與展望

通過(guò)基于GeoGebra的高等數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)圖形化輔助教學(xué)課件的設(shè)計(jì)，并將其應(yīng)用到實(shí)際的大學(xué)教學(xué)中來(lái)，在線下課堂、線上教學(xué)都受到了學(xué)生的廣泛好評(píng)。利用GeoGebra進(jìn)行輔助教學(xué)相比于傳統(tǒng)的教學(xué)方式，GeoGebra環(huán)境下的教學(xué)更清晰，可視化效果更好，將GeoGebra軟件應(yīng)用于教學(xué)中，不僅能使概念的形成過(guò)程清晰可視化，讓學(xué)生更好地接受吸收，也使得學(xué)生在課堂上不再只是單純地傾聽(tīng)者，而是參與到對(duì)未知知識(shí)的探索之中，從而使得學(xué)生更加積極主動(dòng)地參與對(duì)概率統(tǒng)計(jì)的學(xué)習(xí)中去，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的探索求知精神以及創(chuàng)新思維，同時(shí)也增加了課堂的活躍性與趣味性，有助于提高教學(xué)效果。因此將GeoGebra使用到數(shù)學(xué)教學(xué)上，是非常具有實(shí)用價(jià)值的，能夠?yàn)楦叩葦?shù)學(xué)課堂帶來(lái)更好的教學(xué)效果。

我們教學(xué)團(tuán)隊(duì)基于GeoGebra的高等數(shù)學(xué)課程動(dòng)態(tài)圖形化教學(xué)資源建設(shè)為突破口，致力于更新傳統(tǒng)數(shù)學(xué)類課程的教學(xué)理念與方法，注重知識(shí)概念的動(dòng)態(tài)交互圖形演示，能夠大大提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果和教師的教學(xué)效果。因此，應(yīng)當(dāng)大力提倡應(yīng)用現(xiàn)代教育技術(shù)促進(jìn)教學(xué)改革，注重信息技術(shù)在課堂教學(xué)中的應(yīng)用，并在課堂教學(xué)中注意利用其展現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容，以增大課堂教學(xué)信息量，激發(fā)學(xué)生興趣。

參考文獻(xiàn)：

[1]左曉明，田艷麗，贠超.基于GeoGebra的數(shù)學(xué)教學(xué)全過(guò)程優(yōu)化研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2010，19（01）：99-102.

[2]唐大仕.動(dòng)態(tài)幾何畫板Geogebra教學(xué)應(yīng)用.中國(guó)大學(xué)MOOC.

[3]周洪.運(yùn)用GeoGebra著力提升高等數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量[J].四川職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2020，30（05）：116-122.

[4]閆永芳.GeoGebra軟件在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中的應(yīng)用舉例[J].北京印刷學(xué)院學(xué)報(bào)，2021，29（04）：131-134.

[5]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第七版 下冊(cè)）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[6]GB123.GGBPlayer功能特點(diǎn)，https：//www.ggb123.cn/ggbplayer2/.

基金項(xiàng)目：本文是黑龍江省高等教育教學(xué)改革一般研究項(xiàng)目“基于Geogebra的高校數(shù)學(xué)類課程動(dòng)態(tài)圖形教學(xué)資源建設(shè)與研究”（SJGY20200353）資助階段性成果

作者簡(jiǎn)介：張敬信（1982—?），男，河北保定人，基礎(chǔ)數(shù)學(xué)博士，基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)院副教授，哈爾濱商業(yè)大學(xué)，研究方向：大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)、數(shù)學(xué)模型、數(shù)據(jù)挖掘等。