傅蘭英

摘? 要：學(xué)習(xí)并不是對所學(xué)知識簡單識別和記憶的過程，而是通過與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)體系中的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的比較、分析、判斷，形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程. 數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)是學(xué)生在教師的幫助與引導(dǎo)下主動建構(gòu)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)的過程.

關(guān)鍵詞：平方差公式;結(jié)構(gòu)化教學(xué);認(rèn)知結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)是人類歷史的積淀，是人類在實踐中認(rèn)識圖形和數(shù)量時所積累的成果，是數(shù)量關(guān)系、空間形式，以及它們之間的關(guān)系所形成的結(jié)構(gòu)體系. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，讓學(xué)生理解知識的基本結(jié)構(gòu)是很重要的. 因此，通過結(jié)構(gòu)化教學(xué)幫助學(xué)生建立有關(guān)聯(lián)的知識結(jié)構(gòu)是一種較好的教學(xué)方式.

一、知識結(jié)構(gòu)分析

1. 總體分析

“平方差公式”一課是浙教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》七年級下冊“3.4 乘法公式”第1課時的內(nèi)容. 平方差公式是初中階段學(xué)生學(xué)習(xí)的第一個乘法公式，它從多項式與多項式相乘的法則出發(fā)，引入特殊的多項式乘法，是從一般到特殊的范例，對后續(xù)研究完全平方公式，立方和、立方差公式等乘法公式起到了引領(lǐng)作用.

本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了用字母表示數(shù)、整式的加減、單項式的乘法、多項式的乘法后學(xué)習(xí)的內(nèi)容，它同時又是學(xué)習(xí)因式分解的重要基礎(chǔ)，起著承上啟下的作用.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）中關(guān)于平方差公式的表述為：能推導(dǎo)乘法公式[a+ba-b=][a2-b2，] 并能利用公式進行簡單運算. 在教學(xué)過程中，教師要讓學(xué)生通過觀察和歸納體會模型思想、建立符號意識，由此制定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo).

2. 知識分析

教學(xué)中要呈現(xiàn)公式學(xué)習(xí)的一般過程，即與概念教學(xué)類似，要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷引入、本質(zhì)特征概括、給出公式、辨析公式、應(yīng)用公式等過程. 在得出公式的過程中，利用了從一般到特殊的歸納思想. 另外，《標(biāo)準(zhǔn)》指出，在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)注重發(fā)展學(xué)生的運算能力. 基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點為：推導(dǎo)和運用平方差公式.

二、認(rèn)知結(jié)構(gòu)分析

數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是人們在對數(shù)學(xué)對象和數(shù)學(xué)經(jīng)驗進行感知和理解的基礎(chǔ)上形成的一種心理結(jié)構(gòu)，是指學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識時，感知、記憶、理解數(shù)形關(guān)系的一般方式，是在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識過程中形成的一種認(rèn)知模式和思維模式，這種認(rèn)知模式是學(xué)生個體認(rèn)知活動的成果，也就是學(xué)生頭腦中的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu). 學(xué)習(xí)過程并不是簡單地對所學(xué)知識進行識別和記憶的過程，而是在學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)體系中的相關(guān)知識與新知識的相互作用下，形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)體系的過程. 數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)是學(xué)生在教師的幫助與引導(dǎo)下，主動建構(gòu)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，提升自身數(shù)學(xué)素養(yǎng)的過程.

1. 預(yù)備基礎(chǔ)

在學(xué)習(xí)本節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)有了整式的加減、單項式的乘法、多項式的乘法等數(shù)式運算基礎(chǔ)，已經(jīng)經(jīng)歷了從加法到乘法，從乘法到乘方等從一般到特殊的認(rèn)知過程，初步體會了特殊化的數(shù)學(xué)研究能夠豐富數(shù)學(xué)的內(nèi)涵，推動數(shù)學(xué)的發(fā)展.

2. 認(rèn)知起點

七年級的學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了冪的運算、單項式的乘法和多項式的乘法，對于一般的多項式乘法，學(xué)生已經(jīng)形成了固定的運算方法. 在此基礎(chǔ)上，學(xué)生還欠缺何時需要進行特殊化研究，以及如何進行特殊化研究的經(jīng)驗.

3. 認(rèn)知特征

平方差公式是具有特殊結(jié)構(gòu)的多項式乘法，從多項式乘法直接得到結(jié)果，進行步驟化運算，不經(jīng)歷推導(dǎo)過程，使學(xué)生有一個認(rèn)識和熟練的過程. 平方差公式是二次抽象的結(jié)果，學(xué)生對公式中字母的具體意義的理解需要一個認(rèn)識過程. 對于特征不明顯的問題，學(xué)生很難靈活運用公式. 由此確定本節(jié)課的難點為：對平方差公式的“結(jié)構(gòu)”和“=”的再認(rèn)識.

三、目標(biāo)和目標(biāo)分析

1. 目標(biāo)

（1）經(jīng)歷公式的形成過程，能推導(dǎo)平方差公式.

（2）理解公式的結(jié)構(gòu)特征，會運用平方差公式進行計算.

（3）會靈活運用平方差公式進行簡便運算，體會不同方向的代數(shù)式的計算過程.

2. 目標(biāo)分析

達(dá)成目標(biāo)（1）的標(biāo)志：學(xué)生能闡述特殊化的平方差公式和多項式與多項式相乘的法則之間的關(guān)聯(lián). 能用代數(shù)法推導(dǎo)平方差公式.

達(dá)成目標(biāo)（2）的標(biāo)志：學(xué)生能識別平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，能辨別兩個多項式相乘能否利用平方差公式，能按照步驟運用平方差公式進行計算.

達(dá)成目標(biāo)（3）的標(biāo)志：學(xué)生能根據(jù)平方差公式的結(jié)構(gòu)特征對較復(fù)雜的乘法運算進行簡便運算.

四、基于結(jié)構(gòu)的教學(xué)主線設(shè)計

1. 推導(dǎo)公式

問題1：上一節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了多項式與多項式相乘，你能說說它的運算法則嗎？它的運算依據(jù)是什么？

練習(xí)1：利用多項式與多項式相乘的法則，計算下列各題.

（1）（a+2）（a-2）;（2）（b+m）（b-m）.

師生活動：回顧多項式與多項式相乘的法則，并完成相關(guān)運算.

【設(shè)計意圖】從學(xué)生的思維最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，讓學(xué)生再次經(jīng)歷從掌握法則到運用法則的過程，復(fù)習(xí)多項式與多項式相乘的法則的學(xué)習(xí)過程，強化利用運算律進行計算的意識.

問題2：與（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd相比，觀察練習(xí)1中的2道小題有什么共性？

【設(shè)計意圖】讓學(xué)生通過三次有目的的觀察（① 初步觀察等號的兩邊;② 進一步觀察計算過程;③ 重點觀察等號兩邊式子的結(jié)構(gòu)特征），發(fā)現(xiàn)研究對象的共性，體會從一般到特殊的探究過程，幫助學(xué)生掌握有序、理性的觀察方法，歸納研究問題的特征，完成對平方差公式的第一次抽象.

追問：你能寫出與上述運算形式相同的多項式乘法算式嗎？

師生活動：學(xué)生在白板貼上寫例子，教師選擇一部分展示在黑板上.

【設(shè)計意圖】學(xué)生大量舉例，為后續(xù)歸納一般性結(jié)論積累素材.

問題3：能否用一般化的式子（符號語言）來表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律？

師生活動：學(xué)生回答，教師板書公式[（a+b）（a-b）=a2-b2.

追問1：這只是我們通過大量例子得到的猜想，猜想一定是正確的嗎？

師生活動：學(xué)生利用多項式與多項式相乘的法則對猜想進行證明. 教師總結(jié)，給出公式名稱，并寫出課題——平方差公式.

追問2：能用文字語言表述平方差公式嗎？

師生活動：學(xué)生利用文字語言口述平方差公式，教師給予補充、完善.

【設(shè)計意圖】通過符號語言歸納發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，輔以文字語言表述，完善學(xué)生的認(rèn)知. 幫助學(xué)生加深對公式的理解，完成對公式的第二次抽象. 讓學(xué)生經(jīng)歷“觀察—發(fā)現(xiàn)—猜想—歸納”的過程，通過歸納獲得新知——平方差公式，以及其中蘊涵的推理思想. 這一過程符合學(xué)生的認(rèn)知邏輯，符合代數(shù)教學(xué)的一般規(guī)律. 有利于提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題能力. 同時，也有利于訓(xùn)練學(xué)生的語言表達(dá)能力.

追問3：我們再來觀察，從多項式與多項式相乘的法則，到平方差公式，我們做了哪些處理？

師生活動：學(xué)生觀察后回答，是讓法則中的c=a，d=-b?教師總結(jié)，如果我們把多項式與多項式相乘看作是一般的多項式乘法，那么平方差公式就是其中的一種特殊情況.

【設(shè)計意圖】在學(xué)生獲得公式后，教師再次啟發(fā)學(xué)生從項之間的特殊關(guān)系出發(fā)，找到平方差公式與多項式乘法之間的聯(lián)系. 讓學(xué)生從上下位關(guān)系來分析公式的形成過程，理解從一般到特殊的研究方法. 從兩個方向完成了平方差公式的推導(dǎo)，突破了本節(jié)課的教學(xué)難點之一.

追問4：學(xué)習(xí)平方差公式有哪些作用？

師生活動：師生共同得出，當(dāng)遇到符合平方差公式形式的多項式乘法時，可以直接運用平方差公式寫出結(jié)果，簡化運算過程.

【設(shè)計意圖】明確了為什么要研究平方差公式，讓學(xué)生體會研究特例的意義.

2. 辨析公式

練習(xí)2：判斷x+y與下列式子相乘能否運用平方差公式計算.

（1）-y+x;（2）-x+y;（3）-x-y

問題4：能運用平方差公式計算（x+y）（-x-y）嗎？

師生活動：采用學(xué)生回答，教師板書的形式. 在問答中幫助學(xué)生辨析平方差公式的結(jié)構(gòu)特征. 第（3）小題通過反例幫助學(xué)生加深對平方差公式使用規(guī)則的理解與記憶.

【設(shè)計意圖】通過辨析理解平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，歸納總結(jié)出運用平方差公式進行計算的基本步驟：① 判斷;② 確定a，b;③ 運用公式計算，培養(yǎng)學(xué)生步驟化解題的意識，再通過反例幫助學(xué)生加深對平方差公式的理解與記憶.

變式：對（x+y）（-x-y）進行適當(dāng)處理，使處理后的式子能運用平方差公式進行計算.

師生活動：對反例進行處理使之能適用平方差公式進行計算，并總結(jié)只要符合平方差公式的結(jié)構(gòu)，位置、符號、系數(shù)和指數(shù)的變化不影響公式的使用，讓學(xué)生明確平方差公式結(jié)構(gòu)的不變性和字母的廣泛性.

【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生從改變符號、系數(shù)和指數(shù)等角度對[x+y-x-y]進行處理（如圖1），讓學(xué)生體會平方差公式結(jié)構(gòu)的不變性. 通過從整體的角度進行處理，總結(jié)平方差公式中字母的廣泛性. 讓學(xué)生在活動體驗中掌握平方差公式的本質(zhì)特征.

練習(xí)3：在“¨”內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使補充后的式子能運用平方差公式進行計算.

師生活動：學(xué)生獨立思考完成.

【設(shè)計意圖】進一步讓學(xué)生體會平方差公式結(jié)構(gòu)的不變性和字母的廣泛性.

練習(xí)4：運用平方差公式計算.

練習(xí)5：先化簡，再求值.

當(dāng)x=1/4時，求-（2x+1/2）（2x-1/2）的值.

師生活動：給學(xué)生提供充足的時間，讓學(xué)生在平板上完成練習(xí). 學(xué)生提交后教師進行批改，再讓學(xué)生根據(jù)批改進行訂正.

【設(shè)計意圖】利用平方差公式進行直接運算，再遞進到新舊知識的綜合運用，采用“學(xué)生先行、案例呈現(xiàn)、正誤辨析、糾錯改錯、評價反思”五步流程，幫助學(xué)生進一步理解和鞏固平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，準(zhǔn)確運用平方差公式進行計算，提高學(xué)生的運算能力.

3. 應(yīng)用公式

練習(xí)6：運用平方差公式計算.

（1）103 × 97;（2）60.2 × 59.8.

師生活動：學(xué)生獨立思考，在學(xué)案上完成計算并進行小組交流，最后小組展示，教師對其進行評析.

【設(shè)計意圖】題目中的結(jié)構(gòu)特征不明顯，但可以構(gòu)建符合平方差公式的結(jié)構(gòu)，這里把兩數(shù)相乘轉(zhuǎn)化成兩數(shù)和與兩數(shù)差乘積的形式，建立了數(shù)的運算與式的運算之間的聯(lián)系，體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化思想和數(shù)式通性.

練習(xí)7：運用平方差公式計算.

（1）132 - 122;（2）9992 - 1.

師生活動：學(xué)生獨立思考，在學(xué)案上完成計算并進行小組交流，最后小組展示，教師對其進行評析.

【設(shè)計意圖】讓學(xué)生再次辨別、理解平方差公式的結(jié)構(gòu)，打破思維定勢，完善學(xué)生對平方差公式結(jié)構(gòu)的認(rèn)知，以及對平方差公式中“=”的再認(rèn)識. 同時為后續(xù)學(xué)習(xí)因式分解奠定基礎(chǔ). 練習(xí)6和練習(xí)7讓學(xué)生體會到平方差公式的運用靈活而多變，通過構(gòu)造平方差公式結(jié)構(gòu)能夠達(dá)到簡便運算的目的.

練習(xí)8：運用平方差公式計算（2+1）（22+1）（24+1）×（28+1）+1.

師生活動：學(xué)生獨立思考后，進行小組交流，最后小組展示，各小組補充. 教師為學(xué)生提供必要的幫助.

【設(shè)計意圖】由于題目中只出現(xiàn)部分平方差公式結(jié)構(gòu)，學(xué)生在求解過程中會遇到一些困難，通過小組合作，進行思維的碰撞，發(fā)現(xiàn)通過添加式子使之具備平方差公式的結(jié)構(gòu)就可以解決問題，有效培養(yǎng)了學(xué)生知識應(yīng)用的能力. 同時，教師還要強調(diào)，乘以（2-1）的同時還要除以（2-1），讓學(xué)生明確算理、算法.

4. 梳理創(chuàng)新

采用問題串的形式引導(dǎo)學(xué)生對本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容進行回顧和整理.

（1）本節(jié)課學(xué)習(xí)了什么公式？怎樣推導(dǎo)得到公式？它與多項式與多項式相乘的法則是什么關(guān)系？

（2）為什么要研究平方差公式？如何運用平方差公式進行計算？

（3）平方差公式的本質(zhì)特征是什么？運用平方差公式解決特征不明顯的問題時有哪些方法？

（4）對平方差公式的學(xué)習(xí)經(jīng)歷了怎么樣的過程？

【設(shè)計意圖】通過問題串整理知識體系，總結(jié)公式學(xué)習(xí)的過程（掌握公式→運用公式），為后續(xù)學(xué)習(xí)完全平方、立方和、立方差等乘法公式提供路徑和方法.

5. 目標(biāo)檢測

【設(shè)計意圖】通過電子書包讓學(xué)生完成課堂檢測，編制的檢測題要指向目標(biāo)的落實和思維的提升. 學(xué)生完成后及時反饋答題情況，達(dá)到精準(zhǔn)教學(xué)的目的.

五、反思升華

本節(jié)課始終從學(xué)生的認(rèn)知出發(fā)，通過回顧舊知，讓學(xué)生感受到問題的引入是自然而然的，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的整體性. 通過平方差公式的學(xué)習(xí)教會學(xué)生特殊形式多項式乘法研究的一般路徑.

1. 研究問題的“基本套路”就是結(jié)構(gòu)化教學(xué)的主線

如圖2，平方差公式其實是把多項式與多項式相乘的法則進行特殊化處理獲得的.

2. 形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是數(shù)學(xué)教學(xué)的終極目標(biāo)

本節(jié)課通過平方差公式的學(xué)習(xí)教會學(xué)生特殊形式多項式乘法研究的一般方法，讓學(xué)生學(xué)會類比、遷移的數(shù)學(xué)思想，為今后的公式學(xué)習(xí)提供了一般觀念的示范引領(lǐng)作用. 教師可以循著上述思路，再提出一些值得研究的問題.

例如，從對多項式乘法特殊化的角度，提出如下值得研究的問題.

公式的推廣雖然不是《標(biāo)準(zhǔn)》的要求，但可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識，發(fā)展學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力，為以后的學(xué)習(xí)做好鋪墊. 因此，教師可以適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生進行推導(dǎo). 同時，學(xué)科基本結(jié)構(gòu)有利于促進學(xué)生良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成. 結(jié)構(gòu)化知識體系的建構(gòu)，體現(xiàn)了知識的連貫性，有利于學(xué)生從整體上理解數(shù)學(xué)知識，構(gòu)建數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，為單元整體教學(xué)奠定基礎(chǔ).

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